169

INTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS. DISTANCIASOBJETIVOS

1. Reconocer el sistema diédrico o sistema de Monge comoel recurso descriptivo gráfico más adecuado en el diseñoindustrial y arquitectónico.

2. Manejar con soltura los conceptos espaciales de inter-secciones, paralelismo, perpendicularidad y distancias en-tre elementos, traduciéndoles al sistema diédrico.

3. Resolver problemas de distancias entre elementos en el es-pacio, utilizando el sistema diédrico como sistema de me-dida para obtener, fácilmente, verdaderas magnitudes.

1 INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS

1.1 Intersección entre planos conocidassus trazas: procedimiento general.

Dos superficies planas, no paralelas, se cortan se-gún una recta. Dicha recta intersección i al perte-necer a ambos planos αα y ββ , verifica con cadauno de ellos las condiciones de pertenencia a unplano: su punto traza horizontal I1 estará en la in-tersección de las trazas horizontales αα1 y ββ1 delos planos y, su punto traza vertical I2 en la inter-sección de las trazas verticales αα2 y ββ2 (fig.1.1).

1.2 Intersección cuando las trazas de los planosse cortan fuera de los límites del dibujo.

Si las trazas de los planos se cortan fuera de los lí-mites del papel, se emplea otro procedimiento al-ternativo para localizar la recta intersección deambos planos: consiste en localizar puntos de larecta intersección diferentes de sus puntos traza.Para ello, se corta a los planos αα y ββ dados, me-diante planos auxiliares horizontales o frontales,del tipo ωω o δδ que muestra la fig.1.2.

Por tanto, se trazan paralelas a la LT para encon-trar las trazas verticales A’’ y B’’ de las rectas a yb . Las proyecciones horizontales a’ y b’ serán res-pectivamente paralelas a las trazas horizontales αα1

y ββ1 de los planos. De esta forma se localiza elpunto M’, proyección horizontal del punto M, perte-neciente a la recta intersección de ambos planos.

Asimismo, para localizar otro punto de la recta in-tersección y con ello definirla, se puede operar conplanos frontales del tipo del plano δδ como muestrala perspectiva. Así se obtendría otro punto N queunido con M determinaría la recta intersección.

La representación diédrica que se acompaña a laderecha de la visión en perspectiva (fig.1.2) –queúnicamente pretende ayudar en la percepción es-pacial para su representación en el sistema dié-drico–, muestra la recta intersección i de los pla-nos αα y ββ cuyas trazas verticales salen fuera delos límites de la superficie del dibujo. Por ello, y encorrespondencia con lo que ilustra la perspectiva,se ha utilizado para determinar el punto M de larecta i, un plano auxiliar horizontal que, unido alpunto traza horizontal I1, define la recta intersec-ción de los planos αα y ββ considerados.

2 INTERSECCIÓN DE RECTA Y PLANO

La intersección de una recta r con un plano αα , nopalalelo a la recta, obviamente, es un punto.

Es evidente que si por una recta r se hace pasarun plano cualquiera ππ (en el sistema diédrico pre-ferentemente un plano proyectante) y, se halla larecta intersección i, del plano αα con el plano ππ,(según se muestra en el esquema gráfico de la de-recha), el punto común de la recta i con la r deter-mina el punto intersección I de ésta con el plano αα .

2.1 Intersección de recta y plano dado por sustrazas.

En diédrica, por su facilidad de uso, se hace pa-sar por la recta r, indistintamente, un plano pro-yectante horizontal (caso de la fig. 2.1 con el pla-no ππ ) o bien un plano proyectante vertical. Larecta i , intersección de ππ con αα , corta a la rectar en el punto I buscado.

2.2 Intersección de recta y plano dado por trespuntos o por dos rectas que se cortan.

Cuando el plano no está dado por sus trazas sinopor tres puntos A ,B,C o por dos rectas AB y ACse sigue idéntico procedimiento.

En la fig. 2.2 se ha considerado el plano proyec-tante horizontal que contiene a la recta r : su pro-yección horizontal r ’ es coincidente con la proyec-ción horizontal i’ de la recta i (recta interseccióndel plano proyectante ππ que contiene a la recta rcon el plano ABC ). Considerados los puntos 1’ y2’ se obtienen sus correspondientes proyeccionesverticales 1’’ y 2’’ que definen i’’ y con ello la pro-yección I’’ del punto intersección buscado.

En los ejercicios de intersección de recta y planose supone, en ocasiones, que el plano es opaco yse diferencian en la recta que lo atraviesa las regio-nes cuyas proyecciones son vistas u ocultas paraun observador situado en el primer cuadrante.

α2 β2

β1α1

I1

I2

i’’

i’

α2 β2

β1α1

I’’2

I’2

I’’1

I’1

i’’

i’

V

H

1.1 Perspectiva y representación diédrica de la intersección de dos planos αα y ββ.

H

V

1.2 Perspectiva y representación diédrica de la intersección de dos planos αα y ββcuando alguna o ambas trazas se cortan fuera de los límites del papel.

1’’

2’’

1’

2’

B’

A’

C’

C’’

B’’

A’’

I’

I’’

i

i’’

r’’

r’

i’

α

I

π

r

α2

π2

π1α1

α2

π1

I’’

I’

I”

I’

i

π

r

α1

I

HH

VV

1º.- Trazar π (r)2º.- π Ø α i3º.- i Ø r I

PASOS A SEGUIR

ESQUEMA

i

i”

π2

r’ i’

r”

i”

r”

r’i’α

Plano horizontal ω

β1

I1

α1

β2

α2

N

A B

Ma b

ω2

δ1

H

I2VV

H

i’’

i’β1α1

α2 β2

ω2

I”1 I’2

I’1

A’ B’b’

M’

a’

M’’ B’’A’’

Plano vertical δi

a’’ b’’

I’1

I’’1 I’2

I’’2

β ααβ

2.1 Perspectiva y representación diédrica de la obtención del punto intersecciónde una recta r con un plano αα dado por sus trazas αα1 y αα2.

r Ø α I

π

2.2 Intersección de una recta r conplano dado por tres puntos ABC,mediante el «método directo».

B’’2

A’1

β1

β2α2

α1

B’1

A’’2

A’2A’’1 B”1 B’2

b’’

β2

β1

α2 β2

β1

α1

α1

A1

α2

A2

a’ b’B1

β2

β1

A’’2

B’’2

A’’1

A’1

B’2

B’’1

B’1

P’

P”

α2

α1

α

p

A’2

VV

HH

α1

α2

α

q

3.2 Esquema y representacióndiédrica de una recta p pa-ralela al plano αα ; es decir,paralela a una recta q con-tenida en dicho plano.

α

b

HH

VV B2

m’’

n’’

u’

v’

3.1b Rectas paralelas: las proyecciones homónimas son paralelas.

3.3.1 Paralelismo entre los planos αα y ββ: las trazas homónimasson paralelas.

3.3.2 Consecuencia del paralelismo entre planos.

3.1c Rectas paralelas contenidas en un mismo plano proyectante.

3.1d Rectas paralelas y a la vez perpendiculares al plano de proyección.

3.1a

b’’a’’ a

e”

d”

Plano proyectanteVV

HH

e’ d’

d

e

A1

a’’

A2

a’

b’’

b’

B1

B2VV

HH

ab

m’n’ππ

mn

a’c’

b’

π

a b c

π

βα β

ββαα

Pp”

p’

q’

q”

a’’

a’b’

b’’

e’d’

d’’

e’’

n’m’

v’’u’’

a’ b’

a’’

170

3 PARALELISMO

Todas las construcciones que se llevan a cabo endiédrico para la resolución de problemas o paracomprobaciones de paralelismo entre rectas, pla-nos o rectas y planos, se basan en las propieda-des del espacio que se indican a continuación.

3.1 Paralelismo entre rectas. Fundamentos.

• Figura 3.1a .«Si dos rectas a y b son paralelas también loson sus proyecciones a’ y b’ sobre un plano ππcualquiera».No es cierto, en cambio, lo recíproco (condiciónnecesaria pero no suficiente), ya que aunque seanparalelas las proyecciones, por ejemplo b’ y c’ so-bre un mismo plano ππ de las rectas del espacio by c , no se puede asegurar que las rectas (b y c) losean.

• Figura 3.1b .«Cuando son paralelas las proyecciones dedos rectas sobre dos planos distintos secanteslas rectas del espacio son, también, paralelas».Si la proyección a’ es paralela a la b’ y además laproyección a” es paralela a la b” las rectas a y bson paralelas.En diédrico las rectas de perfil son una excepciónde esta propiedad. Todas ellas tienen sus proyec-ciones horizontales y verticales perpendiculares ala LT y, por tanto, paralelas entre sí; sin embargono son, en general, paralelas.

• Figura 3.1c .«Si las proyecciones de dos rectas sobre unplano se confunden y las proyecciones sobreotro plano secante son paralelas, las rectas sonparalelas».O sea que, si la proyección e’ es la misma rectad’, y además e’’ es paralela a d’’, las rectas e yd son paralelas.

• Figura 3.1d.«Si las proyecciones de dos rectas sobre unmismo plano se reducen a un punto, las rectasson paralelas».Es el caso de las rectas m y n , donde las proyec-ciones sobre el plano ππ son los puntos m’ y n’ res-pectivamente.En diédrico, las rectas pueden ser de punta (m yn ) o perpendiculares (u y v ) al plano horizontal.

3.2 Paralelismo entre recta y plano.

«Para que una recta sea paralela a un plano bas-ta que sea paralela a una recta de dicho plano».

En la fig. 3.2 , la recta p es paralela al plano αα sies paralela a la recta q contenida en dicho plano.En este caso la recta p no corta al plano en ningúnpunto (condición de paralelismo de recta y plano).

3.3 Paralelismo entre planos.

«Dos planos paralelos cortan a un tercer planosegún rectas paralelas».

En la fig. 3.3.1 , si los planos αα y ββ son paralelos ycortan a un tercer plano H o V , las rectas de in-tersección o trazas αα1 y ββ1 o αα2 y ββ2 , respec-tivamente, son paralelas.

En consecuencia, en el sistema diédrico, los pla-nos paralelos tienen sus trazas homónimas parale-las: αα1 paralela a ββ1 y αα2 paralela a ββ2 .

No sólo las trazas de planos paralelos serán para-lelas entre sí, sino que, además, lo serán las pro-yecciones de todas las rectas horizontales de am-bos planos. Análogamente sucede con las rectasfrontales de ambos planos.

Nótese que, en general, las rectas contenidasen dos planos paralelos simplemente se cruzan.Para que además sean paralelas, deben ser pa-ralelas sus proyecciones, como se indica en lafig. 3.3.2: a’ es paralela a b’ y a’’ es paralela ab’’, lo que significa que las rectas a y b del es-pacio son paralelas.

P’’

P’

α1

α2

4.1a Teorema de las tres perpendiculares. 4.1b Recta perpendicular a un plano. 4.1c Haz de planos perpendicular a otro plano.

4.2b

4.3b

4.4 Planos perpendiculares entre sí.4.3a Plano ββ que pasa por un punto Q y es perpendicular

a la recta r.

β2

β1

h’

hQ

Q’

Q’’

H2

VVh’’

r

r’

r’’

Q’

Q”

r’

r”

β1

H’2

H’’2

β2

h’’

h’

VV

α

4.2a Recta r perpendicular a un plano αα.

r’’

r’r’

r’’

α2

α1

P’

PP’’

r

β

π

90°

a

a’

b’

ab

P

e

cd

α

p

α2

π2

P’’

P’

i’

i’’

I’1

I’2

I’’2

I’’1

π1

α1

b

α

β

γ

π

i

π α π

α

ββ

αα

β

171

4 PERPENDICULARIDAD

La relación de perpendicularidad puede darseentre dos rectas ; dos planos o entre una rectay un plano.En proyecciones diédricas, en contra de lo quesucede en paralelismo, dos rectas que son per-pendiculares, o dos planos que son perpendi-culares, no guardan relación singular entre sí;es decir, que la perpendicularidad no se con-serva en el paso del espacio a la proyección.

4.1 Fundamentos.

En la resolución de los problemas de perpen-dicularidad se han de tener en cuenta los si-guientes principios geométricos.

• Figura 4.1a .Teorema de las tres perpendiculares:«Si dos rectas son perpendiculares en el es-pacio (cruzándose o cortándose) y una deellas es paralela a un plano, las proyeccio-nes ortogonales de las dos rectas sobre di-cho plano son perpendiculares entre sí».Las rectas a y b son perpendiculares entre síy, por consiguiente, los planos αα y ββ que lascontienen serán perpendiculares entre sí, sien-do, asimismo, perpendiculares al plano ππ .

• Figura 4.1b .«Si una recta es perpendicular a un plano,también lo es a todas las infinitas rectas con-tenidas en él».La recta p es perpendicular al plano αα y, portanto, también a las rectas a , b, c , d , … En de-finitiva, dos rectas, p y e por ejemplo, seránperpendiculares si por una de ellas se puedetrazar un plano αα perpendicular a la otra.

• Figura 4.1c .«Un plano αα será perpendicular a otro ππcuando contenga a una recta i perpendicu-lar al mismo».

• Figura 4.1c .«Un plano ππ será perpendicular a otros dos(αα , ββ , γγ , …) cuando lo sea a su recta inter-sección ( i ) , y recíprocamente».Todos los planos del haz que pasan por i sonperpendiculares al plano ππ .

4.2 Perpendicularidad entre recta y plano.

Como se ha dicho anteriormente, si una recta res perpendicular a un plano αα , será necesaria-mente perpendicular a todas las rectas conteni-das en αα y, por consiguiente, a su traza αα1 ;por ello, la proyección r’ de la recta será per-pendicular a la traza αα1 del plano. ( Fig. 4.2a ) .

Idéntico razonamiento puede hacerse con res-pecto al plano vertical de proyección. Por tanto,si el sistema diédrico trabaja, básicamente, conlos dos planos de proyección (H y V ) puedeenunciarse la siguiente conclusión:

«Para que una recta sea perpendicular a unplano ha de verificarse que las proyeccionesde la recta sean perpendiculares a las trazashomónimas del plano».

Así, si por un punto P se traza una recta r per-pendicular al plano αα ( fig. 4.2b), será suficien-te con dibujar por P’ y P’’ las proyecciones r’y r’’ perpendiculares a las trazas del plano.

4.3 Plano que pasa por un punto dado y esperpendicular a una recta.

Análogamente, para trazar por un punto Q da-do un plano αα perpendicular a una recta r ,bastará con trazar por las proyecciones delpunto ( Q’ - Q’’ ) una horizontal h del plano ββ,cuya proyección h’ sea perpendicular a laproyección horizontal r ’ de la recta dada (obien una frontal f del plano ββ, cuya proyec-ción vertical f ’’ sea perpendicular a la proyec-

ción vertical r’’ de dicha recta).En la fig. 4.3 puede verse cómo por el puntotraza vertical H2 de la horizontal h, que pasapor el punto Q , se dibuja la traza ββ2 , perpendi-cular a r’’ ; y por el punto de corte de dicha tra-za con la línea de tierra la traza horizontal ββ1 ,perpendicular, asimismo, a la proyección hori-zontal r’ (paralela a h’).

4.5 Recta perpendicular a otra.

De acuerdo a lo dicho en la fig. 4.1b , todas lasrectas que estén contenidas en un plano per-pendicular a una recta dada serán perpendicu-lares a ella. Por tanto, para dibujar una rectaperpendicular a otra dada y que pase por unpunto P , bastará determinar el punto I de in-tersección del plano que contiene a P y es per-pendicular a la recta. La recta PI determina laperpendicular a la recta dada.

4.4 Plano perpendicular a otro.

De acuerdo a lo dicho en la fig. 4.1c , el planoαα será perpendicular a otro ππ cuando uno deellos, por ejemplo el αα , contenga a una recta( i ) perpendicular al otro. Por consiguiente, to-dos los planos que pasen por la recta i seránperpendiculares a ππ, de ahí que existan infini-tas soluciones.

En la fig.4.4, para trazar por el punto P un pla-no a perpendicular a otro ππ dado, se comienzapor dibujar una recta i ( i’ - i’’) perpendicular aππ . Cualquier plano cuyas trazas pasen por lastrazas de la recta i , esto es por I’1 e I’’2 , seráperpendicular al plano ππ dado.

172

5 DISTANCIAS

Como se recordó en geometría plana, hablar dedistancia es referirse a la mínima distancia queexiste entre dos elementos geométricos (puntos,rectas o planos ) , es decir, hallar la verdaderamagnitud del segmento que los une. Siempre,claro está, partiendo de su representación en elsistema diédrico.

Dentro de este epígrafe se desarrollan aspectosque constituyen una aplicación directa de losconceptos tratados anteriormente en perpendicu-laridad.

5.1 Distancia entre dos puntos.

Como sabemos, distancia entre dos puntos es lalongitud del segmento que los une.

Si proyectamos ortogonalmente un segmento ABsobre un plano de proyección paralelo a él esevidente que obtendremos un segmento A’B’idéntico al AB del espacio. Pero cuando el seg-mento es oblicuo al plano de proyección no apa-rece en verdadera magnitud, por tanto, se haceprecisa la obtención y, consiguientemente, la uti-lización de algún artificio constructivo que con-duzca a determinar el valor real de la distanciaentre sus extremos.

5.1.1 Verdadera magnitud de un segmentopor diferencia de cotas o de alejamientoentre sus extremos.

En la fig. 5.1.1, se dibuja, a la izquierda, una pers-pectiva de la posición de un segmento AB en elespacio y, a su derecha, las proyecciones diédri-cas del mismo. Si se traza por B una paralela a laproyección horizontal A’B’, se obtiene un triángulorectángulo de catetos A’B’ y la diferencia de co-tas (∆z), con hipotenusa el segmento AB en elespacio.

Si se considera el segmento A’B’ proyección ho-rizontal del segmento AB y por un extremo, el Aen la figura, se traza la perpendicular al segmen-to A’B’, y sobre ella se lleva la magnitud ∆z, seconsigue el punto (A) que, unido con B’, deter-mina la distancia real entre los puntos A y B , ex-tremos del segmento considerado. El triángulorectángulo A’B’(A), situado en el plano H , repre-senta el abatimiento, sobre dicho plano, del trián-gulo espacial coloreado en la ilustración que seacompaña.

5.1.2 Verdadera magnitud de un segmento porgiro del mismo, situándolo frontalmente.

Si giramos el triángulo rectángulo espacial, con-siderado anteriormente y contenido en un planoproyectante horizontal, alrededor del eje AA’ (quecontiene al punto A y es perpendicular al plano Hsobre el que se proyecta el segmento AB) hastaque quede paralelo al plano vertical, el segmentoAB, ahora AB1, queda situado frontalmente, esdecir, paralelo al plano vertical de proyección.

En esta situación la proyección del segmento AB1

sobre el plano vertical V , esto es, A’’B’’1 , estará enverdadera magnitud, siendo A’’B’’1 = AB.

Tanto éste como el anterior procedimiento paraconseguir la verdadera magnitud de un segmento,son las formas más utilizadas para medir o llevardistancias entre elementos geométricos.

5.2 Distancia de un punto a un plano.

La distancia de un punto P a un plano αα es lamagnitud del segmento perpendicular al planodefinido por el citado punto P y su punto intersec-ción I con dicho plano. Esto es, la magnitud PI.

5.3 Distancia de un punto a una recta.

La distancia de un punto Q a una recta r, vienedada por la longitud existente entre dicho punto yel punto J de corte de la recta con la perpendicu-lar a ella trazada desde dicho punto Q.

Esta distancia se consigue trazando por Q un pla-no αα perpendicular a la recta r dada y hallandoel punto intersección J de la recta r con el planoαα . La magnitud QJ es la solución buscada.

5.4 Distancia entre rectas paralelas.

La distancia entre dos rectas paralelas r y s vie-ne determinada por la longitud del segmentoMN, cuyos puntos extremos son los de intersec-ción de las rectas consideradas con un planocualquiera que cumpla la condición de ser per-pendicular a dichas rectas.

5.5 Distancia entre planos paralelos.

La distancia entre dos planos paralelos αα y ββqueda determinada por la longitud del segmen-to AB, delimitado por los puntos de intersección,de cada uno de los planos considerados, conuna recta r cualquiera que sea perpendicular aambos planos.

αααα

αα

B’’

A’’

B’

A’

¬Z

¬Z

ϕ

(A)

5.1.1 Verdadera magnitud de un segmento por diferencia de cotas.

5.1.2 Giro de un segmento AB para situarlo frontalmente y podermedir su verdadera magnitud.

5.2 Distancia de un punto P a un plano αα.

5.4 Distancia entre rectas r y s, paralelas.

5.5 Distancia entre rectas αα y ββ, paralelos.

5.3 Distancia de un punto Q a una recta r.

P

I

d

Qd

J

N

M

A

B

d

Verdadera magnituddel segmento AB

B’’

A’’

A

¬Z

¬Z

(A)B’ Verdadera magnitud

r

r’’

ϕ

ϕr’

VV

HH

B

A’

B’’1

B’1

B’’

A’’

O’’

O’A’

B’

Verdadera magnituddel segmento AB

r’’

r’1

r’’1

r’

r’

r’’

B1

B’’1

B’1

B”

B

B’

O’

A’

O

A

A’’

O’’

δVerdadera magnitud

VV

HH

r’’

r’

r’1

r’’1

r

r1

ϕ

δ

r

rs

d

r

ββ

Plano paralelo alcoordenadoVV

e (Eje de giro)

ααÁngulo de AB con el H

1. Dibuja, representando partes VISTAS y OCULTAS, la RECTA INTER-SECCIÓN del plano αα (αα1 - αα2) con el plano ββ (ββ1 - ββ2).

2. Determina la RECTA INTERSECCIÓN del plano γγ (γγ1 - γγ2) con el pla-no δδ, PROYECTANTE VERTICAL, que contiene a la recta r.

3. Representa la RECTA común a las superficies definidas por el cuadriláteroABCD y el triángulo PQR. Imagina que ambos polígonos son OPACOS

y de distinto color; con lo que diferenciando partes VISTAS y OCULTAS,debes dibujar cómo se antepone uno sobre el otro, en cada proyección.

4. Halla el punto I, INTERSECCIÓN del plano αα (αα1-αα2) con la recta r (r’-r’’).5. Halla el punto I, INTERSECCIÓN al plano δδ (δδ1-δδ2) con la recta r (r’-r’’).6. Determina el PUNTO COMÚN de la recta r con el cuadrilátero opaco

ABCD. Mostrar, como siempre, partes VISTAS y OCULTAS de la recta r.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAINTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS Y DE RECTA CON PLANO 2

3

1

52

4 5

δ1

δ2

6α2

α1

2 3

B’’

A”R”

Q”

D’’

C’’ P’’

R’

C’

B’

A’

D’

Q’

P’

γ1

γ2

r’’

1

α2

α1 r’

r’

r’’

r’

β2

β1

C”

B’’

D’’

A’’

B’

C’

D’

A’

r’

r”

r”

I’

I’’

η2

η1

I’’

I’

β1

r”

I’2

I’’2

I’’1

I’1

δ1

i’’

i’

1”

2’ N’

M’

1’

N”

M’’

2”I’’2

I’2

I’1

I’’1

COMENTARIO

Al ser el plano δδ (que contiene a r ) proyectante vertical, lasproyecciones verticales de todos sus elementos coincidirácon la traza vertical δδ2 y, por ello, coincidente con la proye-cción vertical de la recta común a ambos planos.Por tanto: γγ Ø δδ Ö i (i’ - i”).

PASOS

1. Se traza el planoproyectante ββ quecontiene a la recta r.

2. αα Ø ββ Ö i

3. i Ø r Ö I

r’’

i’’

i ’

i’

r’’

i’’

r’

2‘‘

1’’

1’

I’

I’’

i”

r”

2’

r’

i’

I’1

I’2

I’’1

I’’2

δ2

i’’

i’

i”

i’

β2

VERIFICACIONES

B’’

A‘‘

C’’

A’C’

B’

1. Representar la RECTA INTERSECCIÓN del plano αα con el plano proyectante horizontal ββ.

2. Determinar el PUNTO INTERSECCIÓN de la recta r con el plano definido por el TRIÁNGULO OPACOABC. Con ello, representar partes VISTAS y OCULTAS de la recta r, debido a la opacidad del plano.

r’

α2

α1

β1

β2

r’’

1 INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERACON OTRO PROYECTANTE

2 INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN PLANODADO POR TRES PUNTOS

1. Representar la RECTA INTERSECCIÓN del plano αα con el plano proyectante horizontal ββ.

2. Determinar el PUNTO INTERSECCIÓN de la recta r con el plano definido por el TRIÁNGULO OPACOABC. Con ello, representar partes VISTAS y OCULTAS de la recta r, debido a la opacidad del plano.

1’’

I’’

2’’

1’

I’2’

i’

r’

I’’1

I’’2

I’2

I’1

i’’

i’

i’’

174

1. Al análisis de la perspectiva que muestra el esquema, se pide:Hallar, en PROYECCIONES DIÉDRICAS, la RECTA intersección delplano αα con el ββ, que pasa por la línea de tierra y contiene al punto A.

2. Dibuja las PROYECCIONES DIÉDRICAS de la intersección del TRIÁN-GULO ABC con el CUADRILÁTERO (romboide) MNOP, diferencian-do sus partes VISTAS y OCULTAS. La recta común a ambos planos

se determina mediante dos puntos. Para ello, halla la INTERSECCIÓNde un lado del triángulo con la superficie del cuadrilátero; por ejemplo:ABØMNOP para determinar un punto de la recta intersección y,BCØMNOP para determinar otro punto de dicha recta.

Para facilitar la visión final de las proyecciones, es aconsejable COLO-REAR cada uno de los polígonos en un tono diferente.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAINTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS 2

3

1

53

1 2

A’

A’’

ESQUEMADE SITUACIÓNY ANÁLISIS

HV

Plano definido porla LT y el punto A

βA’’

m’’

m’A’

P’

P

Q

A

P’’

V

δ

H

m

Plano auxiliar paralelo al HH

α1

α2

δ2 H’’2

H’2

α

δ

VH

β

α

iαβ

i’’αβ

i’αβ

B’’

O’’

A’’C’’

M’’ N’’

P’’

M’ P’

O’N’

A’

C’

B’α2

α1

h

h’

h’

m’’ (A) P’’

P’

δ2H’’2

H’2

h’’

h’

Q’ Q’’

m’

VH

i’αβ

i’’αβ

1’’

3’’

2’’

4’’

1’

3’

2’

U’’V’’

N’’

P’’

4’ P’

U’

PASOS EN LA CONSTRUCCIÓN

1º.- AB Ø MNOP Ö punto: U (U’- U”)

2º.- BC Ø MNOP Ö punto: V (V’- V”)

¬ABC Ø MNOP Ö UV (U’V’- U”V”)

V’

COMENTARIO

αα Ø ββ Ö iαβαβ = PQ

αα Ø δδ Ö hββ Ø δδ Ö m h Ø m Ö P

VERIFICACIONES

η2θ2

η1 θ1

INTERSECCIÓN DE DOS PLANOSPROYECTANTES VERTICALES

γ2

δ2

γ1

INTERSECCIÓN DE UN PLANO CUALQUIERACON OTRO HORIZONTAL

1. Dibujar la RECTA COMÚN a los planos ηη y θθ PROYECTANTES VERTICALES. Indicar el TIPO DE RECTA que resulta de la INTERSECCIÓN.

2. Determinar la RECTA INTERSECCIÓN del plano γγ con otro δδ, paralelo al horizontal de referencia. Indicar el TIPO DE RECTA resultante.

1 2

COMENTARIO

Dado que se trata de dos planosperpendiculares al plano vertical dereferencia, su recta intersección será,asimismo, perpendicular a éste.

Esto es:

COMENTARIO

Al ser uno de los planos horizontal,la recta común a ambos será, igual-mente, horizontal.

Esto es:

1. Dibujar la RECTA COMÚN a los planos ηη y θθ PROYECTANTES VERTICALES. Indicar el TIPO DE RECTA que resulta de la INTERSECCIÓN.

2. Determinar la RECTA INTERSECCIÓN del plano γγ con otro δδ, paralelo al horizontal de referencia. Indicar el TIPO DE RECTA resultante.

H’’2

H’2

I’’2 i’’

I’2

γγØ δδ Ö hηηØθθ Ö i

i’

h’

h’’

176

1. Dados los SEGMENTOS de perfil AB y CD, se desea comprobar sison o no PARALELOS hallando sus TERCERAS PROYECCIONES.

2. Traza por el punto A, TRES RECTAS PARALELAS al plano αα: unah (HORIZONTAL), paralela al HH ; otra f (FRONTAL), paralela al VV ;y una tercera recta r, CUALQUIERA en posición ARBITRARIA.

3. Traza, por el punto P un PLANO PARALELO a otro ββ dado.

4. Traza por el punto Q un PLANO PARALELO a otro εε dado, paralelo,a su vez, a la LÍNEA DE TIERRA.

5. Dibuja las TRAZAS de un plano ππ que sea PARALELO a la recta dy que contenga a la recta r.Para ello, traza por un PUNTO CUALQUIERA de la recta r, una rectas PARALELA a la recta d. Las rectas r y s definen el plano ππ pedido.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAINTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

PARALELISMO DE RECTAS Y PLANOS 2

3

1

54

A’’

B’’

C’’

D’’

A’

B’

C’

D’

A”

A’

α1

α2

β2

β1

P’’

P’

Q’

Q’’

ε2

ε1

r’

1 PARALELISMO ENTRE RECTAS DE PERFIL 2 RECTAS PARALELAS A UN PLANO 3 PLANOS PARALELOS

4 PARALELISMO ENTRE PLANOS PARALELOS A LA LT 5 PLANO PARALELO A UNA RECTA CONTENIENDO A OTRA

r’’

d’

d’’

A’’’ C’’’

B’’’

D’’’

y1 y2 y3

y 1y 2

y 3

A’’

γ1

γ2

h’’

h’

H’’2

H’2

s’ t’

t’’

s’’

ω2

ω1

T’’1 T’2

T’1

T’’2

π1

π2

s’

A’

A’’s’’S’’2

S’1

S’2

R’1

R’2S’’1R’’1

R’’2

COMENTARIO

El paralelismo de la tercera proyección, en rectas de perfil,verifica si los segmentos lo son. En el ejercicio: ABäCD.

COMENTARIO

Por un punto exterior a un plano pueden trazarse infinitas rectas paralelas a dichoplano: todas aquéllas que sean paralelas a cualquiera de las contenidas en él.

COMENTARIO

En el ejercicio se ha hechouso de una horizontal ( h )contenida en el plano ( γγ ) quese busca, sabiendo que sus proyec-ciones homónimas serán paralelas a lashorizontales del plano ββ.

COMENTARIO

Por un punto arbitrario A de la recta r se traza una parale-la (s ) a la recta d. Las trazas del plano ππ pasarán por lospuntos traza correspondientes de las rectas r y s.

COMENTARIO

En este caso no es posible emplear horizontales o frontales de plano. Se hace uso deuna recta s arbitraria situada en εε, y por el punto dado Q se traza la paralela t. Lastrazas del plano ωω buscado pasarán por los puntos traza ( T1-T2 ) de la recta.

r’’

f’’

s’’

h’’

s ’

r’

f’

h’

4 PARALELISMO ENTRE PLANOS PARALELOS A LA L.T. 5 PLANO PARALELO A UNA RECTA CONTENIENDO A OTRA

1 PARALELISMO ENTRE RECTAS

VERIFICACIONES

M’’

N’

1. Determinar las PROYECCIONES DIÉDRICAS del segmento MN sabiendo que es PARALELO a la recta r.

2. Determinar y dibujar la RECTA INTERSECCIÓN de los planos αα y ββ, PARALELOS a la línea de tierra.

α2

β2

α1

β1

ESQUEMA DE SITUACIÓN

LT

π2

π 1

α1

β 1

β 2

I

b

a

δ

Paralela a la LT

2 INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS PARALELOS A LA LT

π2

π 1

δ

α2α2

α1

β 2

iαβ

r”

r’

1. Determinar las proyecciones diédricas del segmento MN sabiendo que es PARALELO a la recta r.2. Determinar y dibujar la RECTA INTERSECCIÓN de los planos αα y ββ, PARALELOS a la línea de tierra.

N’’

M’

δ1 δ2

COMENTARIO

(b)(a)

( I )

αα Ø ββ Ö iαβ; Por tanto:αα Ø δδ Ö a

ββ Ø δδ Ö ba Ø b Ö I

δδ : Plano auxiliar de perfil

i’’αβ

i’αβ

178

1. Partiendo de representar los puntos: A (20 ,25 ,0 ), B (20, 35, 25 ),C (-15, 0, 0 ) y P (-40, 50, 25 ), te proponemos:a) Determinar las TRAZAS del plano αα definido por los puntos A, B y C.b) Dibujar la RECTA m, que pasa por P y es perpendicular al plano αα .c ) Obtener el PUNTO DE INTERSECCIÓN de la recta m con el plano αα.

d) Hallar la DISTANCIA, en posición y magnitud, del punto P al plano αα.Nota.- Para situar los puntos A, B, C y P dados por sus coordenadas car-tesianas, considera el origen en el punto O de la LT.

2. Determina, en posición y magnitud, la MÍNIMA DISTANCIA entre elpunto M y la recta r.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVAINTERSECCIONES. POSICIONES RELATIVAS

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS 2

3

1

55

O

r’’

r’

M’’

M’

N

M

ESQUEMA

A

B

Cαα

1 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO 2 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

ESQUEMA

αα

P

m

I

r

i’

C’ C’’

P’’

I’’

I’

A’

B’

h’P’

α 2

β2

α1

β1

Z I-

Z P

ZI - Z

P

A’’

B’’h’’

Ver

dad

era

mag

nit

ud

de

PI

COMENTARIO

• Intersección de recta m con el plano αα :m Ø αα Ö punto I .

• Distancia PI = 45 mm.

α 2

N’’

N’

α1

∆ z

∆ z

i’ωα

ω2

F’’1

F’1

Verdadera magnitu

d de MN

f”

f’

i’’ωα

ω1

PASOS

1. Por M se traza un plano αα à r.2. r Ø αα Ö N.

3. MN (mínima distancia ) = 50 mm.

m’’

i’’

m’