1

LIMITES El límite de una función en un punto examina el comportamiento de la función )(xf cuando los valores x se aproximan al punto 0x . Para tener una idea de la complejidad del problema pongamos el siguiente ejemplo:

Sea 11)(

3

−−

=xxxf . Se quiere saber el comportamiento de la función cuando x se acerca a 1.

Observe que la función no está definida en 1. Sin embargo podemos tomar valores arbitrariamente cercanos a 1. La siguiente tabla nos hace intuir el resultado del proceso límite.

x tendiendo a 1 por la izquierda → ← x tendiendo a 1 por la derecha x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

)(xf 2.710 2.970 2.997 2.9997 No está definida 3.0003 3.003 3.03 3.31

)(xf tiende a 3

La siguiente es una definición informal de límite de )(xf .

Definición: Si )(xf se acerca cada vez más a un número L cuando x se aproxima cada vez más a un número c en cualquier sentido, entonces se dice que )(xf tiene límite en c y vale L.

La notación usada es Lxflím

cx=

→)( y se lee como:

el límite de )(xf cuando x tiende a c vale L.

Comentario: Es importante que la función este definida cerca de c. No hace falta que esté definida en c, pues el valor de la función en c no importa para decir cuanto vale el límite. Lo importante son los valores de la función evaluados en puntos cercanos a c. PROPIEDADES DE LÍMITES

En esta sección estableceremos las propiedades de los límites. Ellas permitirán calcular y establecer límites sin usar la definición formal. Las dos primeras propiedades resultan evidentes.

Suponga k una constante, entonces

Vemos que los valores de la función se acercan a 3 conforme x se acerca a 1.

Esto se escribe como:

3)(1

=→

xflímx

2

1.- kkax

=→

lim

2.- axax

=→

lim .

El siguiente Teorema agrega más propiedades de límites. Teorema 1.-Suponga )(xf y )(xg dos funciones tales que )(lim xf

ax→ y )(lim xg

ax→ existen. Entonces:

3.-Si k es una constante tenemos que )(lim xkfax→

= )(lim xfkax→

.

4.- ))()((lim xgxfax

+→

= )(lim xfax→

+ )(lim xgax→

.

5.- ))()((lim xgxfax

−→

= )(lim xfax→

- )(lim xgax→

6.- ))()((lim xgxfax

⋅→

= )(lim xfax→

)(lim xgax→

⋅ .

7.- ))()((lim

xgxf

ax→=

)(lim

)(lim

xg

xf

ax

ax

→

→ , si 0)(lim ≠→

xgax

.

8.-Para n entero positivo tenemos n

axxf ))((lim

→= ( )n

axxf )(lim

→

9.- nax

xf )(lim→

= nax

xf )(lim→

,

Comentarios: 1.- Las conclusiones del Teorema tienen dos partes, una implícita: la función que se le toma límite en el lado izquierdo de la igualdad tiene límite en a y otra explícita: se dice que este límite vale el lado derecho de la igualdad. Por ejemplo, si tenemos que )(lim xf

ax→ y )(lim xg

ax→ existen entonces podemos

asegurar que el límite de ))(( xgf + cuando x va a a existe y vale el lado derecho de (4) 2.- Para aprenderse mejor estos resultados se suelen usar expresiones como: los factores constantes salen fuera del límite (propiedad 3); el límite de una suma es la suma de los límites (ésta es la propiedad de la suma: (propiedad 4); el límite de un cociente es el cociente de los límites si el límite del denominador es distinto de cero; el límite se introduce dentro de la raíz, en el caso que el índice de la raíz sea par podemos garantizar la propiedad si el límite del radicando es mayor que cero. 3.- En los siguientes ejemplos se dirá de igualdad en igualdad que propiedades se están usando Ejemplo 1.- Calcular los siguientes límites, justificando que propiedades se está usando.

a) 4

23lim x

x→; b) 15lim 23

3+−

→xx

x ; c) 4

1 151lim+→ xx

; d) 20 )2(3lim

−−

→ xx

x

Solución.-

a) 4

23lim x

x→( ) 48)2(3lim3lim3 44

2

4

2

tan

====→→

identidad

x

potencia

x

teconsfactor

xx .

b) La propiedad de la suma y diferencia puede ser aplicada reiterativamente cuando hay más de dos términos, utilizando apropiadamente la propiedad asociativa. Directamente podemos ver la primera igualdad

Propiedad del factor constante

Propiedad de la suma

Propiedad de la multiplicación

Propiedad de la raíz

Propiedad del cociente

Propiedad de la potencia

Propiedad de la diferencia

Propiedad de la función constante

Propiedad de la identidad

es válido siempre en el caso de n impar y si n es par podemos garantizarlo si 0)(lim >

→xf

ax.

3

15limlimlim15lim3

2

3

3

3

23

3 →→→→+−=+−

xxx

diferencia

sumaxxxxx

( ) ( ) 3315927153)3(15limlim 232

3

3

3.=+−=+−=+−=

→→

identidad

xx

potencia

constxx

c)

21

21

1511

15limlim1

)15(lim

1lim

151lim

151lim

4 4

44

.4

11

4

1

141

41

==+

=+

=+

=+

=+

→→→

→

→→

identidad

constxx

cte

sumax

xcociente

x

raiz

x xxxx

d) diferencia

potenciax

xcociente

x x

x

xx

=−

−=

−−

→

→

→ 2

0

020 )2(lim

)3(lim

)2(3lim

=( ) 4

3203

)2limlim(30

))2(lim(

3limlim2.2

00

,

2

0

00 −=−−

=−−

=−

−

→→→

→→identidad

constxx

cteidentidad

diferenciax

xx

xx

x.

Comentarios:

1) Observe que en c) efectivamente se cumple la condición 015

1lim1

>+→ xx

. Esta condición nos

permite aplicar la propiedad de la raíz del límite, cuando el índice es par. Si no fuese así entonces pudiese ocurrir que este límite no tuviese sentido por estar evaluando fuera del dominio de la función. 2) Como se podrá apreciar en todos estos ejemplos, el límite se hubiese podido obtener sustituyendo, sin embargo hay que ser muy cautos, no todos los límites los podremos obtener de esta forma. Debemos siempre basarnos en alguna propiedad para ir obteniendo los límites. El siguiente Teorema nos permitirá en el caso de funciones polinomicas hacer la sustitución. Teorema 2 . Sea )(xp una función polinómica. Entonces

)()(lim apxpax

=→

Demostración: Sea 011

1)( cxcxcxcxp nn

nn ++++= −

− K . Entonces ctefactor

teconsaxax

nnax

nnaxsuma

nn

nnax

cxcxcxccxcxcxctan01

1101

11 limlimlimlimlim =++++=++

→→

−−→→

−−→

KK

011011

11)lim()lim(limlimlim cacxcxccxcxcxc nn

axnaxn

potencia

identidadax

n

axnn

axn ++++=++++= −

→−→→

−

→−→KK

)(011

1 apcacacac nn

nnidentidad

=++++= −− K .

Corolario.- Sea r(x) una función racional definida en a. Entonces

)()(lim arxrax

=→

.

Ejemplo 2.- Calcular 325

32

2 3234

213lim

+−+−

+→ xx

xxxx

Solución:

325

32

2 3234

213lim

+−+−

+→ xx

xxxx

= 325

3

2

2

2 3234

21lim3lim

+−+−

+=→→ xx

xxxxx

suma

4

325

3

2

2

3234lim

2123

+−+−

+⋅=→ xx

xxx

polinomio

ctefactor

325

3

2 3234lim

2112

+−+−

+=→ xx

xxx

raiz La función racional está definida: el denominador no se anula

325

3.

32223242

2112

+⋅−+⋅−

+=racionalf

6312

273

2112

33 +=+= .

Podríamos establecer más resultados que nos permitiera sustituir de una vez, pero vayamos con

calma.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el siguiente límite justificando que propiedades se está usando

+−+−

−+−→ 13

342)13(lim 2

33

1 xxxxx

x

Respuesta: -9

CALCULO DE LÍMITES USANDO MANIPULACIONES ALGEBRAICAS.

En esta sección estudiaremos algunos límites donde las propiedades dadas anteriormente no

podrán ser aplicadas directamente y habrá que recurrir a reescribir f(x) de una manera equivalente.

El siguiente ejemplo nos aclarará muchas situaciones y conceptos

Ejemplo 1.- Calcular 22 )2(1lim

−−

→ xx

x

Solución: Observe que el denominador se hace 0 cuando x tiende a 2 , así no se puede aplicar la propiedad del cociente. Sin embargo observará que cuando x se acerca a 2, el numerador se acerca a 1 y el denominador va siendo cada vez más pequeño y positivo, el cociente por consiguiente va a un número extremadamente grande cuando x se acerca a 2. Diremos entonces que el límite no existe y abusando de nuestra propia terminología diremos que vale ∞+ . Estos conceptos próximamente los aclararemos.

Ejemplo 2.- Calcular 4

2lim 22 −−

→ xx

x

Solución: De nuevo el denominador es 0 en 2, pero en este caso el numerador también, quedando la

forma indefinida 00

. Cuando ocurre este tipo de situación se debe manipular algebraicamente, en el

caso de polinomio sobre polinomio se deberá factorizar y luego simplificar.

42lim 22 −

−→ x

xx

=)2)(2(

2lim2 +−

−→ xx

xx

.

5

Al simplificar nos quedará la función 2

1+x

, la cuál es igual a la original salvo en x=2 donde

la primera no está definida, pero en la definición de límite no se consideran el valor 2, así que vale la sustitución. Por lo tanto

)2)(2(2lim

2 +−−

→ xxx

x=

)2(1lim

2 +→ xx 41

)22(1

=+

=racional

.

Veamos distintas situaciones triviales de límites de la forma 00

:

a) x

xx

2

0lim→

01

lim0

==→

xx

rsimplifica

b) xkx

x 0lim→

kkx

rsimplifica==

→ 1lim

0

c) 30lim

xx

x→+∞==

→ 20

1limxx

rsimplifica

d) 20lim

xx

x→ xx

rsimplifica 1lim0→

= . Este último límite no está definido, si x se acerca a 0 por la derecha va a

más infinito, si se acerca a 0 por la izquierda va a menos infinito.

El siguiente es otro ejemplo con forma indeterminada 00

, donde el numerador y el

denominador son polinomios. De nuevo la idea será factorizar y simplificar.

Ejemplo 3.- Calcular 27

32lim 3

2

3 −−−

→ xxx

x

Solución.-

274

99913

)93()1(lim

)93)(3()1)(3(lim

2732lim

.

2323

00

3

2

3=

+++

=++

+=

++−+−

=−

−−→→→

racionalf

evaluarxrsimplificaxfactorizarx xxx

xxxxx

xxx

En el próximo ejemplo tendremos otra vez la forma indeterminada 00

, pero esta vez no será de

la forma polinomio sobre polinomio, así que no podremos factorizar y simplificar de una vez.

Cuando tenemos un límite que al evaluarlo da la forma indeterminada 00

, hay que

realizar una manipulación algebraica según sea el caso, que nos lleve a una simplificación. Hay que remarcar que un límite de una forma indeterminada puede ser una constante, cero, infinito o no existir.

6

Ejemplo 4.- Calcular 1

23lim1 −

−+→ x

xx

Solución: De nuevo, al evaluar tenemos la forma 00

, pero esta vez aparece una raíz cuadrada en uno

de los términos del numerador. El secreto de trabajar este tipo de límite con al menos uno de los dos miembros de la fracción con dos términos uno de los cuales lleva una raíz cuadrada en la variable es reescribir la expresión para 1≠x . La forma de manipular es introducir la conjugada. Entonces tenemos si 1≠x

2323

1231

123

123

++++

⋅−−+

=⋅−−+

=−−+

xx

xx

xx

xx

Se reescribe 1 como la conjugada sobre la conjugada

( )=

++−−+

=++−

−+=

)23)(1(43

)23)(1(23 22

xxx

xxx

231

)23)(1(1

++=

++−−

=xxx

x

Así

41

2)3(lim1

23lim1

231lim

123lim

1111

=++

=++

=++

=−−+

→→→→ xxxx

x

xxxx

De nuevo remarcamos que la primera igualdad se obtuvo porque las dos expresiones que se les

está tomando límites toman los mismos valores salvo en 1, que no interesa pues no está en la definición de límite.

Veamos otro ejemplo que intenta ilustrar la forma de trabajar. Algunos detalles de aplicación de propiedades son omitidos.

Ejemplo 5.- Calcular 23

122lim 22 +−−−

→ xxxx

x

Solución: En este límite se debe racionalizar el numerador pues tenemos otra vez la indeterminación 0/0.

123

122lim23

122lim 22

00

22⋅

+−−−

=+−−−

→→ xxxx

xxxx

xx Se racionaliza el numerador

=−+

−+⋅

+−−−

=→ 122

12223

122lim 22 xxxx

xxxx

x

( ) ( ))122)(23(

)1(42lim)122)(23(

122lim222

22

2 −++−−−

=−++−

−−=

→→ xxxxxx

xxxxxx

xx=

)122)(23(42lim

22 −++−

+−=

→ xxxxx

x Se factoriza numerador y denominador en los factores que al evaluar

Se realiza el producto (a+b)(a-b) que nos ayudará a eliminar la raíz. El otro producto del otro miembro de la fracción no se ejecuta.

Se simplifica.

7

dan 0. Posteriormente se simplifica

= )122)(2)(1(

)2(2lim2 −+−−

−−→ xxxx

xx

21

)222(12

)122)(1(2lim

2−=

+⋅⋅−

=−+−

−=

→ xxxx.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular los siguientes límites

a) 1

132lim 2

2

1 −++

−→ xxx

x

b) x

xxx −

−+→ 1

21lim1

La forma 00

no es la única forma indeterminada. Tenemos también la forma ∞1 . Esta última la

tiene el siguiente límite: x

xx

1

0)1(lim +

→.

En ocasiones se asume la existencia de este límite para calcular a través de él otros límites con

formas semejantes, por medio de manipulaciones y sustituciones apropiadas. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.- Asuma que x

xx

1

0)1(lim +

→=e. Calcular

a) x

xx /2

0)1(lim −

→+ b) x

xx /1

0)31(lim −

→

Solución:

a) ( ) ( ) ( ) 222/1

0

.2/1

0

/2

0)1(lim)1(lim)1(lim −−−

→

−

→

−

→==+=+=+ eexxx x

x

potenciapx

x

x

x

x x

xx1

)1( + )(xf

-10-1 (0.9)-10 =2.8679 ↓ -10-2 (0.99)-100 =2.7279 ↓ -10-3 (0.999)-1000 =2.7196 -10-4 (0.9999)-10000 =2.7184 0 e? 10-4 (1.0001)10000 =2.7181 ↑ 10-3 (1.001)1000 =2.7169 ↑ 10-2 (1.01)100 =2.7048

Un cálculo más avanzado permite demostrar que este límite es el número e, recordemos que es un número irracional cuyos primeros dígitos son 2,71828 y es la base de los logaritmos naturales. Veamos a través de una tabla que este límite parece acercarse cada vez más al número e cuando x se acerca a 0.

0

8

b) )3(23

021

0

/1

0))3(1(lim)31(lim)31(lim x

xx

x

x

xxxx −

−

→→→−+=−=− =

231

0

23

0)1(lim)1(lim

−⋅

→

−

→+=+= y

y

y

yyy

=

+=

−

→

2/31

0

.)1(lim y

y

potenciapy ( )

3

2/3 1e

e =−

Ejercicio de desarrollo: Asuma que xx

x1

0)1(lim +

→=e. Calcular

xx

x 23

0)51(4lim −

→

El siguiente es un límite que se plantea en el cálculo diferencial:

Ejemplo 7.- Encontrar h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

, donde 2)( 2 += xxf .

Solución.- h

xhxh

xfhxfhh

)2(2)(lim)()(lim22

00

+−++=

−+→→

=h

xhxhxh

222lim222

0

−−+++→

xh

hxhh

hxhhh

2)2(lim2lim0

00

2

0=

/+/

=+

=→→

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el siguiente límite para 21)( +−= xxf

hxfhxf

h

)()(lim0

−+→

Se hace la sustitución xy 3−= , esto es, sustituimos la expresión (-3x) por y, tomando además en consideración que si 0→x , entonces 03 →− x y por consiguiente 0→y .

El límite tiene que estar completamente en términos de la nueva variable y.

Observación: en este límite la variable sobre la que se está tomando límite es h, x se comporta como constante.

9

EJERCICIOS 1) Hallar los siguientes límites, justifique de igualdad en igualdad las propiedades que está usando.

1.1) 3

41

)21(lim xx

−→

; 1.2) 13lim 2

0+−

→xx

x; 1.3)

15214lim 25

3

0 +−−+−

→ xxxxx

x; 1.4)

3lim

2

1 +−→ xxx

x

2) Encuentre los siguientes límites.

2.1)4

65lim 2

2

2 −+−

→ xxx

x; 2.2) 23

2

2 2252lim

xxxx

x −+−

→; 2.3)

43214lim 2

3

0 +−+−

→ xxxx

x

2.4) xx

xxx −

+−→ 2

3

1

34lim ; 2.5) 2

22lim2 −

−→ x

xx

; 2.6) xx

xx 23

1lim2

1 −+−

→

2.7) 12

11lim 20 +−−−+

→ xxxx

x; 2.8)

xxxx

x 211lim 20 −−−+

→; 2.9) x

xx /2

0)31(2lim +

→

2.10) x

x xxx /1

2

0)(lim −

→; 2.11) x

x

xx

43

0)31(2lim

+

→+ ; 2.12)

2/12

0)21(lim x

xx+

→

2.13) xx

xxxx −

−−+→ 2

23

1

22lim ; 2.14) x

xxx

)2(4lim2

0

+−+→

; 2.15) x

xx /1

0)21(4lim −

→−

2.16) 42

16lim2

4 −−

→ tt

t; 2.17)

168lim 4

3

2 −+

−→ xx

x

3) Encontrar h

xfhxfh

)()(lim0

−+→

,

3.1) xxxf 2)( 2 −= ; 3.2) 2)( 2 −= xxf ; 3.3) xxf 53)( −= ;

3.4) x

xf+

=1

1)( ; 3.5) 1)( += xxf ; 3.6) xxf 2)( =

4) Calcular

4.1) x

xx

11lim3

0

−+→

; 4.2) x

xx

11lim3

0

−+→

; 4.3) 1111lim

4

3

0 −+−+

→ xx

x

Respuestas: 1.1) 42

; 1.2) 1− ; 1.3) 1; 1.4) 1−

2.1) ;41

− 2.2) 3/4-1; 2.3) ;41

2.4)-1; 2.5) ;21

2.6) ;78

− 2.7) 0; 2.8) ;21

− 2.9)2e6; 2.10) e-1;

2.11)2e12; 2.12) e2; 2.13) 6; 2.14) -1; 2.15) 2e; 2.16) -16; 2.17) 83

−

3.1) 2x-2 3.2)2x 3.3)-5; 3.4) ( )21

1x+

− 3.5) 12

1+x

; 3.6) x

1

10

+=−

=

=

nosin

xsin

xsi

xf

012

1121,1

)(

>+=<−

=11111,1

)(2 xsix

xsixsix

xf

LIMITES QUE NO EXISTEN

En ocasiones el límite no existe ya que el valor de la función )(xf no se aproxima a un único valor cuando x tiende a un 0x . Pretendemos mostrar en los siguientes ejemplos distintas formas en que el límite no existe. La primera que mostramos es una función muy irregular cerca de 0, Ejemplo 1.- Determine )(lim

0xf

x→, donde f está definida por

Con n número natural. x 1/2 1/3 7/24 1/4 1/5 11/60 1/6 1/7 … 1/100 1/101 → 0 f(x) 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 1 -1 0 →/

Se hace referencia a este tipo de situación diciendo que la función oscila infinitamente cerca de 0x . Ejemplo 2.- Determine )(lim

1xf

x→, donde f esta definido por

En el lado derecho mostramos la gráfica de la función f y abajo una tabla de distintos valores de la función para x cada vez más próximos a 0, escogidos estratégicamente para exhibir el comportamiento oscilatorio de la función alrededor de 0. Esto es, la grafica va de –1 a 1, pasando por cero, un número infinito de veces, en una vecindad de 0. Resulta imposible que f(x) este cerca de un solo número L, de aquí podemos decir que el )(lim

0xf

x→ no existe.

)102)(101(2203

2102

1101

1

=+

punto medio entre 1/101 y 1/102

11

Solución:

Cuando la gráfica de la función da un salto, el límite puede no existir. Específicamente no existe el límite de f(x) en la situación que la función tiende a un número L1 cuando x se acerca a

0x por la izquierda distinto a cuando x se acerca 0x por la derecha.

Ejemplo 3.- Determine 20

1limxx→

.

Solución: En la sección pasada vimos que el valor de la función tiende a ∞+ . Ahora bien ∞+ no es un número es una expresión para decir que los valores de la función aumentan sin límite, cuando x se acerca a 0x . Esta es otra situación en que un límite puede no existir. LIMITES LATERALES

Definición (intuitiva).- Si f(x) se acerca a un número específico L, cuando x se aproxima a a por la derecha decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a por la derecha es L y escribimos:

Lxfax

=+→

)(lim .

De manera análoga podemos definir )(lim xfax −→

.

Observe que para valores de x muy cercanos a 1, pero menores que 1, los valores de la función f son muy cercanos a 0. Por el otro lado, si los valores de x están cerca de 1, pero mayores que 1, entonces los valores de la función allí son cercanos a 2. Como usted podrá ver no hay un solo número que la función se acerque cuando x se aproxima a 1. De aquí concluimos que )(lim

1xf

x→ no existe.

En el ejemplo 2 de la sección pasada donde

>+=<−

=11111,1

)(2 xsix

xsixsix

xf

vimos que el límite no existía, sin embargo si nos acercábamos a 1 por la derecha la función tendía a 2 y si nos acercábamos por la izquierda la función tendía a 0. Este hecho lo podemos expresar a través de los límites laterales.

12

Observación.- Las propiedades de los límites bilaterales se siguen cumpliendo en el caso de los límites laterales. Esto es, el límite de una suma es la suma de los límites, el límite de un producto, el límite de una raíz, etc. siguen las mismas reglas.

Podemos demostrar la existencia de determinados límites a través del siguiente Teorema. Teorema.- Sea f una función real, a y L dos números reales. )(lim xf

ax +→=L y )(lim xf

ax −→=L si y sólo

si )(lim xfax→

=L.

Este Teorema se usa así: 1.- Si los dos límites laterales son distintos, entonces )(lim xf

ax→ no existe.

2.- En el caso que los dos límites laterales existan y sean iguales entonces )(lim xfax→

existe y vale L.

Ejemplo 1.- Calcular a) )(lim

1xf

x→y b) )(lim

2xf

x→ , donde

>−=<+

=113121,1

)(

2

xsixxsixsix

xf

Solución: a) Como la función está definida con una fórmula antes de 1 y otra después de 1, hay que usar límites laterales y luego ver si son iguales o no para concluir la existencia del límite que nos interesa. Por tanto

211)1(lim)(lim 22

11=+=+=

−− →→xxf

xx.

Así

211.3)13(lim)(lim11

=−=−=+−+ →→

xxfxx

.

Como los dos límites laterales son iguales a 2, concluimos que )(lim

1xf

x→=2

Observe que si −→1x , estos x son menores que 1, así que 1)( 2 += xxf allí.

De manera análoga, si +→1x , estos x son mayores que 1, así que 13)( −= xxf allí.

13

b) Para calcular )(lim2

xfx→

tomamos en cuenta que a medida que estamos más cerca de 2, los x son

mayores que 1, por tanto 13)( −= xxf . Así

513lim)(lim22

=−=→→

xxfxx

.

Ejemplo 2.- Calcular xx

x 0lim→

.

Solución: Sabemos que al evaluar el valor absoluto tenemos que tomar en cuenta el signo de la variable x. Si x esta cerca de 0, entonces tomaremos límites laterales Por consiguiente:

1)1(limlimlim000

−=−=−

=−−− →→→ xxx x

xxx

Así obtenemos:

1)1(limlimlim000

===+++ →→→ xxx x

xxx

.

Como los límites laterales son distintos concluimos que

xx

x 0lim→

no existe.

Ejercicio de desarrollo- Calcular )(lim

3xf

x→, )(lim

2xf

x −→, )(lim

2xf

x +→ y )(lim

2xf

x→donde

≥−=<+

=21232,12

)(2

2

xsixxsixsix

xf

Si −→ 0x , estos x son menores que 0, por consiguiente los x´s son negativos y de aquí |x|=-x

|-0.01|=0.01

Si +→ 0x , estos x son mayores que 0, por consiguiente los x´s son positivos y de aquí |x|=x

14

Ejemplo 3.- Consiga el valor de k para el cual )(lim3

xfx→

existe, donde

>−

<+=

31

3,2)(

2 xsix

xsikxxf

Solución: La función está definida por partes y justo en 3 cambia la fórmula para evaluar la función. Para que el límite )(lim

3xf

x→ exista los laterales deben ser iguales. Así que el procedimiento es

calcular el límite lateral por la izquierda que dependerá de k , el límite por la derecha, luego plantear la ecuación que los dos límites son iguales, resolviendo la ecuación se obtendrá el valor de k. El límite por la izquierda:

=−→

)(lim3

xfx

232lim3

+⋅=+−→

kkxx

El límite por la derecha =

+→)(lim

3xf

x8191lim 2

3=−=−

+→x

x

Se plantear la ecuación =

−→)(lim

3xf

x)(lim

3xf

x +→

823 =+k La solución de esta ecuación es 2=k , así que para este valor de k, los límites laterales son iguales y por consiguiente el límite )(lim

3xf

x→ existe si y sólo si 2=k .

Ejercicio de desarrollo. Consiga el valor de k para el cual )(lim

1xf

x→ existe, donde

−>−=−<−

=1111,23

)(xsixkxsixsix

xf

Comentario.- Los límites laterales no sólo se introducen para el caso en que la función sea sospechosa de dar un salto. También son necesarios en el caso que la función tenga un dominio restringido.

Por ejemplo, el dominio de la función 1)( += xxf es el conjunto [-1, ∞+ ). Si queremos saber que sucede con los valores de la función cuando x se aproxima a –1, tenemos que plantear el límite cuando x tiende a –1 por la derecha, pues allí es donde está definida la función. No tiene sentido plantear en este caso 1lim

1+

−→x

x o 1lim

1+

−−→x

x.

LIMITES INFINITOS

Ya habíamos visto que 20

1limxx→

no existía, pues los valores de la función se hacen

arbitrariamente grandes cuando x se acerca a 0. Esto se escribe como

20

1limxx→

= ∞+ .

15

Veamos límites de la función x

xf 1)( = , cuya gráfica es conocida.

Veamos ejemplos

Ejemplo 1.- Determinar 22 2lim

xxx

x −→.

Solución: El denominador tiende a 0 cuando x se acerca a 2, pero el signo es distinto dependiendo por que lado vaya x a 2. Así tomamos límites laterales

∞−=−

=−

−

++ →→

01

222 21lim

2lim

xxxx

xx.

∞+=−

=−

+

→→ −−

01

222 21lim

2lim

xxxx

xx

De aquí concluimos que 22 2lim

xxx

x −→ no existe.

Hay que remarcar que siempre que se pueda, se simplifica la expresión, en este caso resultó más fácil el análisis una vez simplificada la expresión. Pero no siempre se puede. Las expresiones factorizadas también ayudan en el análisis del signo del límite.

Ejemplo 2.- Determinar 34

1lim 21 +−+

−→ xxx

x.

Ejercicio de desarrollo.- Calcular el siguiente límite

2

3

2 44lim

tt

t −−

+−→

Observe de la gráfica que si x se acerca a 0 por la derecha, la función toma valores arbitrariamente grandes, esto es

+∞=+→ xx

1lim0

.

Por el otro lado, si x se aproxima a 0 por la izquierda entonces la función (la y) toma valores negativos, pero arbitrariamente grandes en magnitud, esto lo expresamos diciendo que la función va a -∞ . En nuestra notación,

esto es: −∞=−→ xx

1lim0

.

Si +→ 2x , entonces los x´s son mayores que 2, por lo tanto −→− 02 x .

Si −→1x , entonces 21→+x ,

2301 −→−→− − xyx .

Observe que el denominador es el producto de dos números negativos, por tanto el denominador es positivo y se acerca a 0.

Solución: Conviene factorizar, para realizar mejor un estudio de signos

∞+=−−

+=

+−+ −⋅

→→

−

−−

)2(02

121 )3)(1(1lim

341lim

xxx

xxx

xx

16

APLICACIONES Ejemplo 1.- El costo de eliminar el p por ciento de contaminación en un lago está dado por

pppC

−=

1001500)( . a) ¿Cuál es el costo de eliminar el 50% de la contaminación del lago?

b) Encuentre )(lim100

pCp −→

c) ¿Se puede eliminar el 100% de la contaminación

Solución : a) Se tiene que evaluar )( pC en 50=p . Esto da

150050100501500)50( =

−⋅

=C UM

b) Observe que en pp

p −−→ 1001500lim

100 el denominador se acerca a 0 con signo positivo y el numerador a

150000, así pues ∞=−−→ p

pp 100

1500lim100

.

c) El costo aumenta ilimitadamente cuando el porcentaje de contaminación que se quiere eliminar se acerca al 100%, así es imposible eliminar toda la contaminación. EJERCICIOS 1) Calcule los siguientes límites. Si alguno no existe, justifique

1.1) 3

2lim3 −−→ xx

; 1.2) xx

x −−

+→ 21lim

2; 1.3)

44lim 22 ++−−→ xx

xx

;

1.4)23

2lim 22 ++−

−→ xxx

x; 1.5) 3lim

1+→x; 1.6)

xx

x −→ 2lim

2;

1.7) 1

1)1(lim −

−→+

+x

x; 1.8)

11lim

1 −→ xx; 1.9)

xx

x −−

−→ 225lim

2

5;

1.10) yy

yy −−−→ 1)1(

2lim1

; 1.11)34

1lim 21 +−+

−→ xxx

x; 1.12) xx

x+

+−→1lim

1

1.13) 2

11lim x

x−

+−→; 1.14)

121lim 21 −

−−−→ xx

; 1.15)2

1lim 21 −−+

−−→ xxx

x

1.16) 43

42

0 522lim

yyyy

y ++

−→; 1.17) xx

x+

+−→1lim

1; 1.18)

112lim 2

3

1 −−

−→ xx

x

1.19)

+−−

−→ 3412lim 21 xxx

; 1.20) 11lim 2

3

1 −−

−→ xx

x

2) Para las siguientes funciones encontrar los límites indicados. Si alguno no existen, justifique.

2.1)

>−=<+−

=013000,1

)(

3

xsixxsixsix

xf

a) )(lim1

xfx→

; b) )(lim0

xfx +→

; c) )(lim0

xfx −→

; d) )(lim0

xfx→

; e) )(lim xfx ∞→

17

2.2)

−>−

−≤−−=

21

2,1)(

2

2

xsix

xsixxg

a) )(lim0

xgx→

; b) )(lim2

xgx +−→

; c) )(lim2

xgx −−→

; d) )(lim2

xgx −→

2.3)

>++

≤=

01)1ln(

02)(

xsix

xsixf

x

a) )(lim1

xfx→

; b) )(lim0

xfx +→

; c) )(lim0

xfx −→

; d) )(lim0

xfx→

2.4)

>−=<−

=01010,1

)(xsixxsixsi

xf

a) )(lim2

xfx→

; b) )(lim0

xfx +→

; c) )(lim0

xfx −→

; d) )(lim0

xfx→

; e) )(lim xfx −∞→

2.5)

≤+

>−+

−

=

26

2

282

2

)(2

2

23

xx

xxxxx

xh

a) )(lim2

xhx +→

; b) )(lim2

xhx→

.

2.6)

≥

<+−

−=

1,

1,34

1)( 2

2

xsix

xsixxx

xg

a) )(lim1

xgx→

; b) )(lim1

xgx −→

2.7)

>−−

<+=

28416

23)(

4

2

xx

x

xxxxh

a) )(lim2

xhx −→

; b) )(lim2

xhx→

3) Consiga el valor de k para el cual el límite de )(lim

1xf

x→ existe, donde

>−

<−=

1

1,1)(

2

xsikx

xsixxf

4) Consiga el valor de k para el cual el límite indicado exista

18

4.1)

−>−=−<−

=1111,23

)(xsixkxsixsix

xf )(lim1

xfx→

; 4.2)

>−

<−=

29

2,1)(

3 xsikx

xsikxxf )(lim

2xf

x→

Respuestas: 1.1) ∞− 1.2) ∞ ; 1.3) ∞− ; 1.4) 0 ; 1.5) 3 ; 1.6)No existe; 1.7) ∞ ; 1.8) ∞ ; 1.9) 0; 1.10) ∞ ;1.11) ∞ ; 1.12)0; 1.13)0; 1.14) ∞ 0; 1.15)-1/3 1.16) ∞− 1.17) 0; 1.18) ∞− 1.19) ∞− 1.20) 3/2 2.1 a) 2; b)-1; c)1; d)no existe e) ∞ 2.2) a)-1; b)3; c) - 3 d)no existe; 2.3) a) ln2+1; b)1; c)1; d)1; 2.4) a)1 b)-1; c)-1; d)-1; e)-1; 2.5) a)1/2; b)no existe; 2.6) a)no existe; b)1; 2.7)a) -32 b) no existe. 3) 1; 4.1) 1; 4.2) 4 ASINTOTAS VERTICALES

Intuitivamente una asíntota de una función es una recta tal que la gráfica de la función se

acerca cada vez más a ella en cierto sentido. Si hablamos de asíntota vertical nos referimos a una recta vertical.

∞−=−+→ xx 21lim

2.

∞+=−−→ xx 21lim

2.

Esto dice que cuando x se acerca a 2 por la izquierda, los valores de la función (las y) toman

valores positivos y arbitrariamente grandes, como efectivamente ocurre en la gráfica. Así que hay una correspondencia entre asíntotas verticales y límites laterales. Definición.- La recta x=a es una asíntota vertical de la gráfica de f(x) si se cumple cualquiera de las siguientes:

a) −∞=+→

)(lim xfax

b) +∞=+→

)(lim xfax

c) −∞=−→

)(lim xfax

ó d) +∞=−→

)(lim xfax

.

Para buscar las asíntotas verticales de la gráfica de una función, debemos conocer algo acerca

de los valores que toma la función. En el caso que la función tenga algún término fraccionario deberíamos buscar asíntotas x=k, para aquellos valores k donde el denominador se hace 0. Ejemplo 1.- Encontrar las asíntotas verticales de la gráfica de la función

)3)(1(2)(

+−=

xxxf .

Bosquejar la gráfica de la función en la zona donde se aproxima a la asíntota.

En la figura se puede apreciar como la gráfica de

la función x

xf−

=2

1)( crece o decrece sin límite

cuando x se acerca a 2. La gráfica de la función se acerca cada vez más a la recta x=2 La recta x=2 la llamaremos una asíntota vertical de la gráfica de f.

Este tipo de comportamiento es descrito por los siguientes límites.

19

Solución: Los candidatos a para que x=a sea una asíntota vertical son los x donde se anula el denominador de la función; planteamos entonces la ecuación

0)3)(1( =+− xx cuyas soluciones son 1 y –3.

A fin de llevar a cabo la graficación requerida, planteamos todos los límites laterales

∞+=+−

⋅

→

+

+

502

1 )3)(1(2lim

xxx ∞−=

+−

⋅

→

−

−

502

1 )3)(1(2lim

xxx

De aquí concluimos que x=1 es una asíntota vertical.

∞−=+−

+

+

⋅−

−→

042

3 )3)(1(2lim

xxx ∞+=

+−

−

−

⋅−

−→

042

3 )3)(1(2lim

xxx

Tenemos entonces que x=-3 también es una asíntota vertical. Esta información de los límites

laterales es exhibida en la siguiente figura donde la gráfica está incompleta sólo se ha bosquejado en las zonas cercanas a las asíntotas.

Comentario: Una función puede no tener o tener un número finito o infinito de asíntotas verticales.

Ejemplo 2.- Encontrar las asíntotas verticales de la gráfica de la función )1(

12)(2

−+−

=x

xxxf .

Solución: Observe que el denominador se hace 0 en x=1. Así planteamos

0)1(lim1)1(lim

)1(12lim

1

2

1

00

2

1=−=

−−

=−

+−+++ →→→

xx

xx

xxx

rsimplifica

xfactorizarx.

Igual valor nos da el límite cuando x tiende a 1 por la izquierda. Concluimos que esta función no tiene asíntotas verticales. Ejercicio de desarrollo.- Encontrar las asíntotas verticales de la gráfica de la función

)(23)( 3

2

xxxxxf−+−

=

20

Funciones que tienen logaritmo en su definición pudieran tener asíntotas verticales, pues conocemos que el logaritmo toma valores tendiendo a ∞− cuando se evalúa en valores tendiendo a cero. Ejemplo 4.- Encontrar las asíntotas verticales de la gráfica de las siguientes funciones a) xxxf +−= )2ln()( ; b) 2)1ln()1()( −−= xxxg (requiere L´Hopital); Solución: a) El dominio de esta función es el conjunto ),2( ∞ Observe que el candidato a asíntota vertical es cuando 0)2( =−x , esto es 2=x . Para verificar sólo planteamos y resolvemos el límite por la derecha pues no tiene sentido plantear el límite por la izquierda.

∞−=+−+→

xxx

)2ln(lim2

Así 2=x es una asíntota vertical de la función. b) El dominio de esta función es R-{1}, pues 0)1( 2 >−x , salvo en 1 que es cero. 1=x es el candidato a asíntota vertical. En este caso se plantean los dos límites:

∞⋅

→=−−

+

02

1)1ln()1(lim xx

x

∞∞

−→=

−−

+

/

´11 )1()1ln(2lim

HLx xx se reescribió para poder usar L¨Hopital

=−−−=

−→ + 21 )1(11

12lim

xx

x0)1(2lim

1=−−=

+→x

x

Similarmente podemos chequear que 0)1ln()1(lim 2

1=−−

+→xx

x.

En conclusión la función g no tiene asíntotas verticales. APLICACIÓN Ejemplo 1.- El costo de eliminar el p por ciento de contaminación en un lago está dado por

pppC

−=

1001500)( . a) Determine la asíntota vertical de la gráfica de )( pC b) Dibuje el

comportamiento de la función costo cerca de la asíntota Solución

a)Como ∞=−−→ p

pp 100

1500lim100

, entonces 100=p es una

asíntota vertical de la grafica de )( pC b) Al lado se muestra la grafica de )( pC en una vecindad de p=100 EJERCICIOS 1) Determinar todas las asíntotas verticales de las funciones dadas. Dibuje la gráfica cerca de las asintotas

1.1)1

2)( 2 +=

xxf ; 1.2)

1)( 2 −=

xxxf ; 1.3)

22)( 23 −−+=

xxxxxf

1.4) 2)2()( −−= xxf ; 1.5)82)( 3

3

+−

=xxxf ; 1.6)

xxxxf

4)( 3

4

−=

21

1.7) 2

2

444)(

xxxxf

−+−

= ;

Respuestas: 1.1) No hay; 1.2) 1;1 =−= xx ; 1.3) 2;1;1 −==−= xxx ; 1.4) 2=x ; 1.5)

2−=x ; 1.6) 2;2 =−= xx

22

CONTINUIDAD

Intuitivamente una función f es continua en un punto x0 si la gráfica de f no tiene saltos, dicho de otro modo: podemos hacer su gráfica sin levantar el lápiz al pasar por ( )(, 00 xfx ). En el caso que la función no sea continua en x0 decimos que es discontinua en el punto. Antes de dar la definición formal de continuidad, veamos estos tres ejemplos de funciones discontinuas en x0.

La siguiente muestra la gráfica de una función discontinua en x0 donde el )(lim0

xfxx→

existe, la

función esta definida en x0, sin embargo la discontinua se debe a que )(lim0

xfxx→

no coincide con

)( 0xf .

Estos tres ejemplos motivan la siguiente definición

El trazo de la gráfica de está función se ve interrumpido en x0 porque la función no está definida allí

La gráfica de está función se ve interrumpido en x0 porque el )(lim

0

xfxx→

no existe

23

Definición.- Decimos que una función f es continua en un punto x0 si cumplen las siguientes condiciones: 1.- )( 0xf está definida. 2.- El )(lim

0

xfxx→

existe y

3.- )(lim0

xfxx→

= )( 0xf .

Una función f es continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en cada punto del intervalo.

Comentario: Observe que en las gráficas de las funciones dadas arriba al menos una de estas condiciones no se cumple.

Los siguientes ejemplos muestran como concluir si una función es continua o no en un punto

usando la definición. Ejemplo 1.- Determinar si la siguiente función es continua en 0.

>−

≤=

01

0,1)(

xsix

xsixf

Solución: Para determinar la continuidad iremos chequeando una por una las tres condiciones de la definición, en cuanto una condición no se cumpla podremos concluir de una vez que la función no es continua en el punto en cuestión. 1.- f está definida en 0: efectivamente f(0)=1. 2.- )(lim

0xf

x→ no existe, pues 1)(lim

0−=

+→xf

x y 1)(lim

0=

−→xf

x. De aquí concluimos que la función es

discontinua en 0. Remarcamos que para ver que una función es continua en un punto hay que chequear que se cumple las tres condiciones. Ejemplo 2.- Determinar si la siguiente función es continua en 1.

≥−

<=

112

1,)(

2

xsix

xsixxf .

Solución: Chequeamos una por una las tres condiciones de continuidad en un punto, 1.- f está definida en 1: f(1)= 1112 =−⋅ . 2.- Para la segunda condición calculamos límites laterales:

112lim)(lim11

=−=++ →→

xxfxx

y

1lim)(lim 2

11==

−− →→xxf

xx.

Por tanto )(lim1

xfx→

existe y vale 1

3.- Finalmente pasamos a la condición 3: vemos que f(1)= )(lim1

xfx→

. De aquí concluimos que la

función es continua en 1.

24

Ejercicio de desarrollo.- Determinar si las siguientes funciones son continuas en -1.

a)

−>+−

−=−

−<+−

=

111

132

1,11

)(

3

2

3

2

xsixx

xsi

xsixx

xf

b) 11)( 3

2

+−

=xxxf

Casi todas las funciones que se tratan en los cursos de cálculo son continuas en su dominio salvo quizás en un conjunto finito de puntos. Particularmente podemos chequear rápidamente que las funciones polinómicas son continuas.

A través de las gráficas usted puede ver que n xxf =)( , log(x), ex, sen(x), cos(x) son continuas en su dominio. Los siguientes Teoremas amplia el conjunto de funciones continuas. Teorema 1.- Sean f y g funciones continuas en x0 y c un número escalar. Entonces las funciones cf ,

f+g, f-g, fg son continuas en x0. Si 0)( 0 ≠xg , entonces gf

es continua en x0.

Del Teorema 1 tenemos la siguiente consecuencia: Corolario.- Las funciones racionales son continuas en su dominio

Así por ejemplo, por medio del Teorema 1 podemos ver que las funciones racionales son

funciones continuas en su dominio.

Teorema 2.- Sean g función continua en x0 y f función continua en )( 0xg . Entonces la función gf o es continua en x0.

En ocasiones una manera de chequear continuidad de una función es verla como la composición de dos funciones de funciones continua. Comentario: Si queremos analizar los puntos donde una función definida por partes es continua es conveniente dividir el dominio en partes. En los intervalos se usaran los Teoremas y Corolario dados y en los puntos de empate nos valemos de la definición para ver continuidad. Ejemplo 3.- Determinar el conjunto de puntos donde las siguientes funciones son continuas

a)xx

xxf2

12)( 2 −+

= ; b)

≥+

<−

=01

01)(

2

xe

xx

xxh

x

Solución.- a) El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos, excepto el 2.

25

Veamos que el numerador es una función continua: h1(x)=2x es una función continua por ser un polinomio. x2 es una función continua por ser una composición de funciones continua:

xxh =)(2 con la función h1(x)=2x. x2 +1 es una función continua por ser suma de funciones continuas.

Por otro lado el denominador es una continua por ser un polinomio.

Finalmente la función xx

xxf2

12)( 2 −+

= es continua en ),2()2,0( ∞∪ por ser cociente de

funciones continuas en puntos donde el denominador no se anula. b) Para analizar continuidad de funciones definidas por partes, conviene considerar cada parte por separado y los puntos de empates. Parte i) ¿Continuidad en (-∞ ,0) ? La función h es continua en (-∞ ,0) por ser cociente de funciones continuas que no se anulan el denominador. Parte ii) ¿Continuidad en (0, ∞ )? En (0, ∞ ) es continua por ser suma de funciones continuas. Falta verificar continuidad en 0. Parte iii) ¿Continuidad en el empate (x=0)?

Recuerde: En los puntos de empate nos valemos de la definición para ver continuidad. Condición 1: h(0) está definida y vale 2.

Condición 2: 21lim)(lim00

=+=++ →→

x

xxexh , sin embargo +∞=

−=

−− →→ xxxh

xx

1lim)(lim2

00. Por tanto

)(lim0

xhx→

no existe y de una vez podemos decir que la función es discontinua e 0.

Concluimos que la función es continua en (-∞ ,0) ∞∪ ,0( ). Ejercicio de desarrollo.- Determinar el conjunto de puntos donde las siguientes funciones son continuas

a)482

1)(−+

+=

xxxf

b)

≥+

<−+

=0)ln(

02

2)(

2

xex

xx

xxh

EJERCICIOS 1) Determinar si las siguientes funciones son continuas en 1. Justifique

1.1) 1)( −= xxh ; 1.2)xx

xf−

= 2

1)( ; 1.3)xx

xxf−−

= 2

1)( ;

1.4) 1)( += ttf ; 1.5) 2)( =wg ; 1.6)xx

xh+

= 2

1)( ;

26

1.7)x

xxg −=

1)( ; 1.8)

>−

≤−=

121

1,)12()(

2

xsix

xsixxf ;

1.9)

=

≠−−

=12

1,11

)(

2

xsi

xsix

x

xf ; 1.10)

≥−

<−−

=11

1,2

1

)(

2

xsix

xsix

x

xg ;

1.11)

>−

≤+

=

11

1

1,1

1

)(

xsix

xsix

xf ;

2) Determinar el conjunto de puntos donde las siguientes funciones son continuas. Justifique.

2.1) 1)( 2 −+= xxxh ; 2.2 )32

1)( 2 −−−

=xx

xxf ; 2.3)4

2)( 2 +−

=xxxf ;

2.4)4

1)( −=

xxf ; 2.5 ) 1

1)( 3 −=

ttf ; 2.6) wwh −= 2)( ;

2.7)

−≥−

−<= 2,2

2,4)( xsix

xsixf ; 2.8)

≥+−

≤= 3,1

3,2)( xsix

xsixh ;

2.9)

=−

≠−−

=2,4

2,2

4)(

2

xsi

xsix

xxh ; 2.10)

≥−<<−≤−

=23

212111

)(2

xsixsix

xsixxh ;

2.11)

=

≠−−

=3,18

3,3273

)(

2

xsi

xsix

xxg 2.12)

>−

−+=<−

=

11

231011

)(2

2

xsix

xxsixsix

xh

3) VERDADERO O FALSO 3.1) ( )Si al menos una de las dos funciones f o g es discontinua en x0 entonces gf − es discontinua en x0. 3.2) ( ) Si f+g es una función continua entonces f es continua. 3.3) ( ) Si f es continua entonces |f| es continua. 3.4) ( ) Si f es una función racional entonces solo puede haber un número finitos de puntos de discontinuidades.

27

3.5) ( ) La función

= irracionalesxsi

racionalesxsixg ,1

,0)( , no tiene ningún punto de continuidad.

4) Demuestre que si f y g son funciones continuas en x0 entonces la función fg es continua en x0. 5) Consiga el valor de k para que la siguiente función sea continua en su dominio.

5.1)

≥−

<−=

13

11)(

2

xsikx

xsikxxh 5.2)

>−=<−

=122181

)(

2

xsikxxsixsixk

xh

5.3)

−>−−

−≤=

226

2)(

2

xsixk

xsixkxh

APLICACIONES 1) La sensación térmica por efecto del viento está modelada por la siguiente función de v velocidad del viento en Km/h.

0601.0601.9015396064.2061072608.1

904009.6)0126.02392.047547534.0()33(334009.6

)(

>−≤≤−+×−−

<=

vsiTvsivvT

vsiTvW

Donde T es la temperatura en ºC. v es la velocidad del viento en Km/h. ¿Es la función continua en 6.4009 y en 90.0601? ¿Por qué el modelo para representar la sensación térmica es continuo? 2) A fin de propiciar el ahorro de electricidad se estableció la siguiente tarifa

>≤≤−+

<=

4004400100)100(5.32000

1002)(

xsixxsix

xsixxt

donde x es el número de kilowatios-horas consumidos al mes. ¿Es t continua en 100? ¿Es continua en 400? ¿Qué importancia tiene que la función de tarifa sea continua? Respuestas; 1.1) Continua 1.2) Discontinua; 1.3) Discontinua en 1 1.4) Continua;1.5) Continua 1.6) Continua; 1.7) continua en 1; 1.8) Discontinua; 1.9) Continua en 1. 1.10) Continua; 1.11) Discontinua en 1 2.1) Continua en R; 2.2) Continua en R-{-1,3};2.3.- Continua en R; 2.4) Continua en R 2.5) Continua en R-{1} 2.6) Continua en su dominio ]2,(−∞ ;2.7) Continua en R; 2.8) Continua en R-{3}; 2.9) Continua en R. 2.10) Continua en R-{1} 2.11) Continua en R; 2.12) Continua en R-{1} (l limite por la derecha es 1/2 y por la izquierda 0). 3.1) Falso, 3.2) Falso; 3.3) Verdadero; 3.4) Verdadero; 3.5) Verdadero 5.1) 2=k 5.2) 3−=k ; 5.3) k=1,2