Tema 2: Matrices, determinantes y sistemas de ecuacioneslineales

1. Matrices

Unamatriz con coeficientes sobre un cuerpo (normalmente = R) consiste en una colecciónde números (o escalares) del cuerpo ordenados por filas y columnas. Si la matriz tiene filas y

columnas se dirá que es de orden × .

Ejemplo: Las siguientes son matrices con coeficientes sobre R:

=

Ã0 −1 3

3 7 6

!de orden 2× 3 =

³3 7

´de orden 1× 2

=

⎛⎜⎜⎜⎝√5 3 −30 0 0

−2 8 8

5 05 0

⎞⎟⎟⎟⎠ de orden 4× 3 =

⎛⎜⎝ 0

2

8

⎞⎟⎠ de orden 3× 1

=

Ã2 1

0 −3

!de orden 2× 2 =

⎛⎜⎝ 3 0 0

5 −4 0

1 −8 0

⎞⎟⎠ de orden 3× 3

Sea una matriz. Para indicar la fila y columna que ocupa cada elemento usaremos la notación

= (), donde el índice indica la fila y el índice la columna. De este modo estamos diciendo

que el elemento de la matriz es el que ocupa la fila y la columna , considerando esto para

todos los posibles y . Así los elementos de la matriz = () del ejemplo anterior son:

11 = 0 12 = −1 13 = 3 21 = 3 22 = 7 23 = 6

Recordemos que R está formado por todos los vectores de coordenadas, todas ellas números

reales. Similarmente ocurre con tomando esta vez escalares del cuerpo en vez de números de

RPara una matriz de orden × denotaremos por la fila -ésima de la matriz, la cual puede

interpretarse como un vector de al que llamaremos vector-fila de ; igualmente denotaremos

por a la columna -ésima de la matriz, que puede interpretarse como un vector de al que

llamaremos vector-columna de .

Una submatriz de otra es una matriz que se obtiene a partir de la inicial cogiendo unas cuantas

filas y unas cuantas columnas.

Se dice que una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas (como la

matriz del ejemplo anterior). En esta situación si la matriz tiene filas y columnas, podremos

1

decir que es de orden × ó simplemente de orden . Se llama diagonal principal de una matriz

(generalmente cuadrada) a los elementos de la forma para todo posible, es decir, los elementos

que tienen el mismo índice fila que columna (la diagonal principal de la matriz del ejemplo an-

terior está formada por el 11 = 2 y el 22 = 0). Una matriz cuadrada se dice que es triangular

inferior (respectivamente triangular superior) cuando todo elemento que esté situado por encima

(respectivamente por debajo) de la diagonal principal es nulo (la matriz del ejemplo anterior es

triangular superior, mientras que la matriz es triangular inferior). A una matriz cuadrada que

es triangular tanto inferior como superior, es decir, si cumple que los elementos que no están en la

diagonal principal son nulos, se le llama matriz diagonal. La matriz diagonal de orden que tiene

todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1 se llamamatriz identidad (o matriz unidad)

de orden , y la denotaremos por , o simplemente por si está claro el tamaño. La matriz nula

es la matriz que tiene todos sus coeficientes son nulos. La matriz opuesta de una matriz se denota

por − y consiste en cambiar de signo todos sus coeficientes. Veamos algunos ejemplos:

⎛⎜⎝ 5 −3−3 5

−5 7

⎞⎟⎠ es submatriz de

⎛⎜⎜⎜⎝5 7 −36 −5 0

−3 8 5

−5 0 7

⎞⎟⎟⎟⎠ al coger las filas 1, 3 y 4 y las columnas 1 y 3

Ã−3 0

0 4

!y

⎛⎜⎝ 11 0 0

0 0 0

0 0 5

⎞⎟⎠ son matrices diagonales

Ã1 0

0 1

!es la matriz identidad de orden 2 y

⎛⎜⎝ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎠ de orden 3

Ã0 0 0

0 0 0

!es la matriz nula de orden 2× 3

La opuesta de la matriz

Ã0 4 −3−1 2 0

!es

Ã0 −4 3

1 −2 0

!

1.1. Operaciones con matrices

Fijados y , al conjunto de las matrices de orden × con coeficientes sobre un cuerpo lo

denotaremos por ×().

2

1.1.1. Suma

Sean = () y = () dos matrices del mismo orden (× ). Se define la suma de las dos

matrices como la matriz + = (), también de orden × , que cumple que

= +

para cada par de índices . Esto se traduce en que sumamos y coeficiente a coeficiente.

Observemos que esto sólo tiene sentido si las dos matrices son del mismo orden. Por ejemploÃ0 1 3

−1 5 6

!+

Ã2 0 −32 0 4

!=

Ã2 1 0

1 5 10

!Propiedades:

Propiedad asociativa: ∀ ∈×() se tiene que

(+) + = + ( + )

(Propiedad conmutativa) ∀ ∈×() se tiene que

+ = +

(Elemento neutro) La matriz nula 0 ∈ ×(), cumple que dada cualquier otra matriz ∈×() se tiene que

+ 0 =

(Elemento opuesto) Dada ∈×() se cumple que

+ (−) = 0

Entonces ×() es un grupo abeliano con la suma ”+”, por cumplir estas propiedades.

1.1.2. Producto de una matriz por un escalar

Sea = () una matriz de orden × y ∈ R. Se define el producto del escalar por la matrizcomo la matriz · = () (o simplemente , omitiendo el símbolo de multiplicar) de orden×,

que cumple que

=

para todo posibles. Por ejemplo

3

Ã0 1 3

−1 5 6

!=

Ã0 3 9

−3 15 18

!− 4

Ã2 −1 3

9 0 8

!=

Ã−8 4 −12−36 0 −32

!Propiedades

3

Pseudodistributivas:

1. ∀ ∈×()∀ ∈ se tiene que

(+) = +

2. ∀ ∈×()∀ ∈ se tiene que

(+ ) = +

Pseudoasociativa: ∀ ∈×()∀ ∈ se tiene que

( · ) = ()

Pseudoelemento neutro: ∀ ∈×() se tiene que

1 · =

(donde 1 es el neutro para la multiplicación en el cuerpo ).

Observación: Como se ve en el Tema 2 el conjunto ×() está dotado, con la suma y elproducto por escalares que aquí se han detallado, de estructura de espacio vectorial.

1.1.3. Producto de matrices

Dadas dos matrices = () y = () de orden × y × , respectivamente, se define el

producto de ambas matrices como la matriz · = () (en adelante sin punto) de orden

× que cumple que

=P

=1

= 11 + 22 + +

para todo posibles. Recordando que el producto escalar (euclídeo) de dos vectores

(1 2 ) (1 2 ) de R está dado por

(1 2 ) · (1 2 ) =P

=1

= 11 + 22 + +

el producto matricial puede interpretarse del siguiente modo: para obtener el elemento del pro-

ducto que está situado en la fila , columna , hay que hacer el producto escalar del

vector-fila de por el vector-columna de (esto vale también para matrices consideradas

sobre un cuerpo arbitrario , no necesariamente R).Notemos que si 6= no tiene sentido hacer el producto . Incluso aunque = , y entonces

tenga sentido el producto en orden inverso, la matriz tendría orden × y la matriz sería

de orden × , luego ambas no podrían ser iguales, ya que tendrían distinto orden, si 6= . Es

más, aún poniéndonos en la situación en que = = (así y son cuadradas de orden

) el producto no tiene por qué ser conmutativo, es decir, es posible que 6= .

4

Dada una matriz cuadrada se define la potencia -ésima de como la matriz

=

veces z }| { · · ·

es decir, el producto de veces . Así 1 = , 2 = ·, 3 = · ·, etc.Ejemplo:

1. Dadas

=

Ã0 −21 −3

! =

Ã3 −1 0

4 −2 1

!la matriz producto es

=

Ã0 −21 −3

!Ã3 −1 0

4 −2 1

!=

Ã−8 4 −2−9 5 −3

!

2. Para la matriz anterior se tiene que

4 = · · · =Ã0 −21 −3

!Ã0 −21 −3

!Ã0 −21 −3

!Ã0 −21 −3

!=

=

Ã−2 6

−3 7

!Ã−2 6

−3 7

!=

Ã−14 30

−15 31

!

Propiedades

1. Asociativa: Dadas matrices de orden × , de orden × y de orden × se tiene

() = ()

y entonces podremos escribir simplemente .

2. Relación con el producto por escalares: Dadas matrices de orden × y de orden

× y dado cualquier escalar se tiene

() = () = ()

y entonces lo escribiremos de cualquiera de las formas siguientes = = .

3. Distributivas:

Dadas matrices de orden × , de orden × y de orden × se tiene

(+) = + y (+) = +

4. Se tiene que

· 0 = 0 y 0 · = 0para cualquier matriz , tomando la matriz nula del tamaño correspondiente en cada caso.

5

5. Elemento neutro: Para cualquier matriz se cumple que

= y =

tomando la matriz identidad del tamaño adecuado en cada caso.

6. No conmutativa: En general se tiene 6= , para matrices y de órdenes × y

×, respectivamente.

1.1.4. Trasposición de matrices

Dada una matriz = () de orden× se llama matriz traspuesta de , a la matriz = ()

de orden × cuyos elementos son

=

para cada . Observemos que cualquier matriz tiene traspuesta, no necesita ser cuadrada. En la

práctica para calcular la traspuesta de una matriz hay que tener en cuenta que las filas de son las

columnas de , o equivalentemente, las columnas de las filas de .

=

Ã2 0 −3−2 1 4

!−→ =

⎛⎜⎝ 2 −20 1

−3 4

⎞⎟⎠Una matriz cuadrada se dice que es simétrica si

=

Por ejemplo, es simétrica la matriz ⎛⎜⎝ 1 −3 0

−3 5 4

0 4 −2

⎞⎟⎠1.2. Sistemas escalonados. Método de Gauss

En toda la parte de Álgebra Lineal nos van a aparecer con frecuencia (en matrices, sistemas

de ecuaciones, sistemas de vectores de algunos de los espacios R, espacios vectoriales....) sistemas

escalonados. Estos sistemas se caracterizan porque se puede elegir una ordenación en la que cada

fila (ecuación o vector) tiene más ceros iniciales que la/el anterior, exceptuando las filas

(ecuaciones o vectores) nulas que pudieran aparecer al final.⎛⎜⎜⎜⎝1 −3 0 3 7

0 0 4 5 0

0 0 0 1 −40 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠ matriz escalonada

6

Ejemplo: El sistema de ecuaciones lineales⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 = 3

− 22 = −4− 3 = 0

está escalonado, pues si representamos los coeficientes de modo matricial vemos que la matriz de

coeficientes ⎛⎜⎝ 1 2 0

0 −2 0

0 0 −1

⎞⎟⎠está escalonada. Resolver un sistema de ecuaciones escalonado es bien sencillo. Para éste en concreto

obtenemos en la última ecuación 3 = 0, de la segunda 2 = 2, y sustituyendo esto en la primera que

1 = −1.Nota: Un sistema de ecuaciones lineales se caracteriza porque las incógnitas del sistema (en

este caso 1 2 y 3) aparecen en cada una de las ecuaciones del sistema sumando, restando o

multiplicadas por un número (no aparecen ni multiplicando ni dividiendo ni realizando otro tipo de

operaciones diferentes de la suma, resta o multiplicación por números).

Ejemplo: El sistema de vectores de R6

1 = (0 0 3 4 5 4) 2 = (0 2 3 4 5−3) 3 = (0 0 0 0 1−6) 4 = (0 0 0 0 0 2)

es escalonado si se elige el orden 2 1 3 4. Observemos la representación matricial con esta

ordenación de los vectores: ⎛⎜⎜⎜⎝0 2 3 4 5 −30 0 3 4 5 4

0 0 0 0 1 −60 0 0 0 0 2

⎞⎟⎟⎟⎠El método de triangulación o escalonación de Gauss, que utilizaremos en estos temas, se

utiliza para pasar de un estado inicial (sea en forma de matriz, de sistema de ecuaciones lineales, o

de sistema de vectores) a otro estado que se denomina la escalonación del sistema inicial. Se

hace uso de 3 tipos de transformaciones (denominadas transformaciones elementales) para la

escalonación. Éstas son:

1. Cambiar el orden de las filas, ecuaciones o vectores.

2. Sumarle a una fila, ecuación o vector múltiplos de otras/os.

3. Multiplicar una fila, ecuación o vector por algún escalar no nulo.

Observación: Podemos utilizar las siguientes notaciones cuando realicemos alguna trasformación

elemental (usaremos preferentemente notación para matrices):

7

1. Si intercambiamos las filas y pondremos

←→

2. Si le añadimos a la fila veces la fila pondremos

+

3. Si multiplicamos la fila por pondremos

Observación: Estas transformaciones también pueden hacerse sobre las columnas, al menos para

el caso de matrices, sobreentendiendo las notaciones correspondientes (cambiando la F de fila por la

C de columna).

Ejemplo: Escalonemos (por filas) la matriz⎛⎜⎝ 2 1 −1 0

1 0 −3 1

−1 −1 −2 1

⎞⎟⎠En primer lugar cambiamos de orden las dos primeras filas:

1 ←→ 2

⎛⎜⎝ 1 0 −3 1

2 1 −1 0

−1 −1 −2 1

⎞⎟⎠Después le añadimos la primera fila a la segunda y a la tercera (a la segunda multiplicada por −2 yla tercera por 1) y obtenemos

2 − 213 + 1

⎛⎜⎝ 1 0 −3 1

0 1 5 −20 −1 −5 2

⎞⎟⎠Ahora nos fijamos únicamente en las dos últimas filas y le sumamos a la tercera la segunda. Nos da

3 + 2

⎛⎜⎝ 1 0 −3 1

0 1 5 −20 0 0 0

⎞⎟⎠Ya tenemos escalonada la matriz inicial.

Ejemplo: Escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

31 + 62 + 153 = 9

− 22 + 3 = −6

8

Matricialmente se tiene ⎛⎜⎝ 1 2 5 3

3 6 15 9

0 −2 1 −6

⎞⎟⎠Le añadimos la primera fila multiplicada por −3 a la segunda y obtenemos

2 − 31

⎛⎜⎝ 1 2 5 3

0 0 0 0

0 −2 1 −6

⎞⎟⎠Cambiando las dos últimas llegamos a la matriz

3 ←→ 2

⎛⎜⎝ 1 2 5 3

0 −2 1 −60 0 0 0

⎞⎟⎠que representa al sistema ⎧⎪⎨⎪⎩

1 + 22 + 53 = 3

− 22 + 3 = −60 = 0

el cual está ya escalonado.

Ejemplo: Escalonemos el sistema de vectores

{(−1 0 1 1) (1 0 3 2) (2 1−1 0)}

Para ello hagamos operaciones sobre la matriz cuyas filas son estos vectores:⎛⎜⎝ −1 0 1 1

1 0 3 2

2 1 −1 0

⎞⎟⎠En primer lugar le añadimos la primera fila a la segunda (multiplicada por 1) y a la tercera (multi-

plicada por 2),

2 + 1

3 + 21

⎛⎜⎝ −1 0 1 1

0 0 4 3

0 1 1 2

⎞⎟⎠Después cambiamos de orden la segunda y tercera filas y obtenemos la escalonación

2 ←→ 3

⎛⎜⎝ −1 0 1 1

0 1 1 2

0 0 4 3

⎞⎟⎠Entonces el sistema de vectores escalonado obtenido es

{(−1 0 1 1) (0 1 1 2) (0 0 4 3)}

9

Una variante del método de Gauss es el de Gauss-Jordan, que consigue, además de ceros por

debajo de la diagonal como lo hace el método de Gauss, también ceros por encima y unos en la

misma diagonal.

Ejemplo: Escalonar el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-

Jordan: ⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

31 + 62 + 143 = 9

− 22 + 3 = −4Le añadimos a la segunda −3 veces la primera y obtenemos

2 − 31

⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

− 3 = 0

− 22 + 3 = −4

Cambiando de orden las dos últimas filas tenemos

2 ←→ 3

⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

− 22 + 3 = −4− 3 = 0

sistema que ya está escalonado. Ahora le añadimos la tercera fila a la segunda y primera multiplicada

por 1 y 5, respectivamente y tenemos

2 + 3

1 + 53

⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 = 3

− 22 = −4− 3 = 0

Seguidamente le sumamos la segunda ecuación a la primera y tenemos

1 + 2

⎧⎪⎨⎪⎩1 = −1− 22 = −4− 3 = 0

Finalmente se multiplica la segunda ecuación por −12y la tercera por −1 para quedar así:

−122

−3

⎧⎪⎨⎪⎩1 = −12 = 2

3 = 0

1.3. Rango

El rango de una matriz es un número que será denotado por () ó (). Esto podemos

calcularlo, aplicando el método de Gauss para escalonar las filas (respectivamente, las columnas)

de , teniendo en cuenta que () es el número de filas no nulas que resultan después de

10

escalonar la matriz. Esto se debe a que las transformaciones elementales que se realizan a las filas

o columnas de una matriz no varían su rango.

Definición: Se dice que un vector es combinación lineal (en adelante CL) de otros vectores

{1 2 } si =

P=1

es decir = 11 + 22 + +

para ciertos números 1 2 .

Ejemplo: En la situación de una matriz con cuatro filas si:

2 = 11 + 33 + 44 se diría que 2 es CL de 1 3 y 4

1 = 32 − 23 + 4 se diría que 1 es CL de 2 3 y 4

3 = 2 − 74 (observemos que 1 = 0) se diría que 3 es CL de 1 2 y 4

Definición: Se dice los vectores {1 2 } son linealmente dependientes (en adelanteLD), o que hay una relación de dependencia lineal entre ellos, si alguno de los vectores del sistema

es CL de los demás. Esto significa que para uno de ellos, por ejemplo , sucede que

=P 6=

para ciertos números { : 6= }.En caso contrario se dirá que son linealmente independientes (LI).

En el proceso del cálculo del rango de una matriz mediante el método de escalonación de Gauss

podemos, o bien dejar las filas nulas que nos vayan apareciendo al final (tal y como está concebido

inicialmente el método de Gauss) o bien ir eliminando estas filas (pues luego éstas no cuentan para

el rango). Lo mismo podemos hacer con las filas entre las que haya alguna relación de dependencia

lineal, eliminando alguna que sea combinación lineal de las demás.

Ejemplo: Vamos a hallar el rango de la matriz⎛⎜⎜⎜⎝2 2 3 2 0

1 1 2 0 −11 1 2 0 −12 2 2 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠En primer lugar cambiamos de orden la primera y segunda filas, para así operar mejor con el 1

que tiene la segunda fila como primer coeficiente. Tendríamos entonces

1 ←→ 2

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 2 0 −12 2 3 2 0

1 1 2 0 −12 2 2 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

11

donde añadimos la primera fila a las restantes, multiplicándola por números adecuados (a la segunda

y cuarta se la añadimos multiplicada por −2 y a la tercera por −1). Entonces tenemos

2 − 213 − 1

4 − 21

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 2 0 −10 0 −1 2 2

0 0 0 0 0

0 0 −2 1 2

⎞⎟⎟⎟⎠Ahora procederíamos igual con las tres últimas filas. En ellas es nulo el primer coeficiente (porque lo

hemos eliminado antes) y casualmente el segundo. Empezamos pues por el tercero. Esta vez no hace

falta cambiarlas de orden y lo único que tenemos que hacer es añadir un múltiplo de la segunda fila

a las demás para hacer ceros. En este caso basta añadirle a la cuarta fila −2 veces la segunda paraobtener

4 − 22

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 2 0 −10 0 −1 2 2

0 0 0 0 0

0 0 0 −3 −2

⎞⎟⎟⎟⎠Ahora procedemos con la tercera y cuarta filas, donde nos interesa cambiarlas de orden:

3 ←→ 4

⎛⎜⎜⎜⎝1 1 2 0 −10 0 −1 2 2

0 0 0 −3 −20 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠Ejemplo: Vamos a hallar el rango de la matriz⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 3 −2 0

−1 3 0 2 3

−1 1 −2 −2 1

0 1 1 0 −1

⎞⎟⎟⎟⎠En primer lugar eliminamos la cuarta columna pues es -2 veces la primera⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 3 0

−1 3 0 3

−1 1 −2 1

0 1 1 −1

⎞⎟⎟⎟⎠Ahora eliminamos la cuarta fila, pues es suma de la primera y la tercera⎛⎜⎝ 1 0 3 0

−1 3 0 3

−1 1 −2 1

⎞⎟⎠12

Ahora añadimos la primera fila a las restantes. En este caso basta con sumarles a ambas la primera

fila. Entonces tenemos

2 + 1

3 + 1

⎛⎜⎝ 1 0 3 0

0 3 3 3

0 1 1 1

⎞⎟⎠Ahora eliminamos la segunda fila, pues es triple de la tercera y queda la matriz escalonadaÃ

1 0 3 0

0 1 1 1

!que nos indica que el rango es 2.

1.4. Inversa

Una matriz cuadrada de orden se dice que es invertible cuando existe otra matriz cuadrada

del mismo orden de modo que

= =

En esta situación la matriz es única cumpliendo lo anterior, y se llamará la matriz inversa de

y escribiremos

= −1

Observación: Puede comprobarse que es la inversa de si y sólo si = si y sólo si

= , es decir, es suficiente con que uno de los dos productos resulte la matriz identidad.

Propiedad: Una matriz cuadrada de orden es invertible si y sólo si tiene rango .

La inversa de una matriz invertible puede calcularse de varias formas. Una de ellas es di-

rectamente, planteando un sistema de ecuaciones (que se puede resolver escalonándolo por Gauss),

obtenido a partir de la suposición de que los coeficientes de −1 son indeterminados, y hacer el pro-ducto −1 = (ó

−1 = ). Este método no es muy adecuado, pues hay que resolver sistemas

de ecuaciones con incógnitas. Es mejor el método de Gauss-Jordan que se explica a continuación.

1.4.1. Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa

Este método para el cálculo de la inversa de una matriz es en general bastante eficiente. Supong-

amos que tenemos una matriz , cuadrada de orden , que se sabe que es invertible. Pongamos la

matriz y a continuación, a la derecha, la matriz identidad de orden . Usualmente se ponen ambas

formando una matriz de orden × 2 y se separan por una línea vertical, quedando en la forma(|). Aplicamos a la matriz el método de Gauss-Jordan (variante del método de Gauss), con-sistente en hacer operaciones por fila hasta obtener la matriz identidad. El resultado de aplicarle a la

matriz identidad que hay a la derecha de esas mismas operaciones nos proporciona precisamente

−1.Observación: Si le aplicamos el método de Gauss-Jordan a una matriz no invertible observaremos

que es imposible obtener la matriz identidad en la parte izquierda.

13

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz

=

⎛⎜⎝ 1 0 1

2 −1 0

3 2 6

⎞⎟⎠Pondríamos entonces ⎛⎜⎝ 1 0 1

2 −1 0

3 2 6

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎠y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la segunda fila −2 veces la primeray a la tercera fila −3 veces y obtenemos

2 − 213 − 31

⎛⎜⎝ 1 0 1

0 −1 −20 2 3

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

−2 1 0

−3 0 1

⎞⎟⎠Añadimos a la tercera fila 2 veces la segunda y llegamos a

3 + 22

⎛⎜⎝ 1 0 1

0 −1 −20 0 −1

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

−2 1 0

−7 2 1

⎞⎟⎠Una vez que estamos con una matriz triangular superior se hacen operaciones para hacerla diagonal.

Primero cambiamos el signo de las dos últimas filas, por lo que tenemos

−2−3

⎛⎜⎝ 1 0 1

0 1 2

0 0 1

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

2 −1 0

7 −2 −1

⎞⎟⎠Ahora añadimos a la segunda fila −2 veces la tercera y se obtiene que

2 − 23

⎛⎜⎝ 1 0 1

0 1 0

0 0 1

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

−12 3 2

7 −2 −1

⎞⎟⎠Finalmente a la primera fila le restamos la tercera y nos sale

1 − 3

⎛⎜⎝ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

¯̄̄̄¯̄̄ −6 2 1

−12 3 2

7 −2 −1

⎞⎟⎠Entonces la matriz inversa de es

−1 =

⎛⎜⎝ −6 2 1

−12 3 2

7 −2 −1

⎞⎟⎠14

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz

=

⎛⎜⎝ 1 1 0

−3 0 1

2 −1 −2

⎞⎟⎠Pondríamos entonces ⎛⎜⎝ 1 1 0

−3 0 1

2 −1 −2

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎞⎟⎠y aplicamos transformaciones, por ejemplo por fila. Añadimos a la segunda fila −2 veces la primeray a la tercera fila −3 veces, y obtenemos

2 + 31

3 − 21

⎛⎜⎝ 1 1 0

0 3 1

0 −3 −2

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

3 1 0

−2 0 1

⎞⎟⎠Ahora le añadimos a la tercera fila −1 por la segunda:

3 + 2

⎛⎜⎝ 1 1 0

0 3 1

0 0 −1

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

3 1 0

1 1 1

⎞⎟⎠Una vez que estamos con una matriz triangular superior, se hacen operaciones para hacerla diagonal.

Primero añadimos a la segunda fila 2 veces la tercera:

2 + 23

⎛⎜⎝ 1 1 0

0 3 0

0 0 −1

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

4 2 1

1 1 1

⎞⎟⎠Multiplicando la segunda fila por 1

3y la tercer por −1 sale:

−132

−3

⎛⎜⎝ 1 1 0

0 1 0

0 0 1

¯̄̄̄¯̄̄ 1 0 0

43

23

13

−1 −1 −1

⎞⎟⎠finalmente añadimos a la primera fila −1 por la segunda:

1 − 2

⎛⎜⎝ 1 0 0

0 1 0

0 0 1

¯̄̄̄¯̄̄ −13 −23 −134

323

13

−1 −1 −1

⎞⎟⎠Entonces la matriz inversa de es

−1 =

⎛⎜⎝ −13−23−13

43

23

13

−1 −1 −1

⎞⎟⎠Recordemos los pasos que se siguen para transformar una matriz en la matriz identidad:

15

1. Hacer ceros por debajo de la diagonal principal.

2. Convertir los elementos de la diagonal en 1.

3. Hacer ceros por encima de la diagonal principal.

Nota: Los dos últimos pasos pueden entremezclarse.

2. Determinantes

La definición rigurosa del concepto de determinante requiere una serie de herramientas matemáti-

cas que no creemos necesario tratar. El determinante está englobado dentro de lo que se denominan

las aplicaciones multilineales.

El determinante de una matriz cuadrada de orden con coeficientes sobre un cuerpo es un

escalar del cuerpo. Lo vamos a denotar por || (reemplazando los paréntesis usados para delimitarla matriz por líneas verticales), por det() o también por det(1 2 ), donde se supone que

1 2 ∈ son los vectores-fila de (igualmente se podría usar la notación det(1 2 2)

a partir de los vectores-columna 1 2 ∈ ). Diremos indistintamente que es el determinante

de la matriz o de los vectores que están en las filas o columnas.

La definición exacta de determinante es un tanto técnica y no se va a incluir aquí (aunque

puede verse en buena parte de los textos de Álgebra). Vamos a dar las fórmulas para el cálculo

de los determinantes de orden 1, 2 y 3, y a continuación enunciaremos algunas propiedades de los

determinantes que nos permiten calcular también los determinantes de orden superior.

Orden 1 −→ || =

Orden 2 −→¯̄̄̄¯

¯̄̄̄¯ = −

Orden 3 −→

¯̄̄̄¯̄̄ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

¯̄̄̄¯̄̄ =

= 112233 + 213213 + 311223 − 132231 − 233211 − 331221

Esta última fórmula se hace más sencilla de recordar si tenemos en cuenta que aparecen 6 sumandos,

3 de los cuales resultan de multiplicar los elementos que aparecen en la diagonal principal y los de

cada una de las 2 diagonales ”paralelas” a ésta, y los otros tres resultan de multiplicar los elementos

que aparecen en cada una de las 3 ”diagonales opuestas”. Esto se conoce como Regla de Sarrus.

Ejemplo: ¯̄̄̄¯̄̄ 2 −3 0

1 −1 4

−2 3 5

¯̄̄̄¯̄̄ =

16

= 2 · (−1) · 5 + 1 · 3 · 0 + (−2) · (−3) · 4− 0 · (−1) · (−2)− 4 · 3 · 2− 5 · (−3) · 1 == −10 + 0 + 24− 0− 24 + 15 = 5

2.1. Propiedades de los determinantes

Sea una matriz cuadrada de orden , y supongamos que sus filas son 1 2 ∈ .

Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. Si = 0 + 00

, para ciertas filas 0

00 ∈ , entonces

det(1 ) = det(1 0 ) + det(1

00 )

2. Para todo ∈ se tiene que

det(1 ) = det(1 )

3. Para todo ∈ {1 2 } ( 6= ) se tiene que

det(1 ) = −det(1 )

4. Para todo ∈ {1 2 } ( 6= ) se tiene que

det(1 + ) = det(1 )

para todo ∈ {1 2 } ( 6= ) y todo ∈ .

5. det(1 ) = 0 si y sólo si los vectores 1 2 son LD. De esto se deduce que:

6. es invertible si y sólo si det 6= 0. Además en esta situación

det(−1) =1

det

7. Si es una matriz triangular superior o inferior (en particular si es una matriz diagonal)

entonces det es el producto de los elementos de la diagonal.

8. det = det()

9. det( · ) = det · det para toda matriz

cuadrada de orden .

Observación: Las 5 primeras propiedades pueden enunciarse también en términos de las colum-

nas de la matriz.

17

Ejemplo: Vamos a calcular el siguiente determinante¯̄̄̄¯̄̄̄¯1 0 2 3

2 −3 2 5

0 2 2 −31 1 2 4

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

Vamos a hacer ceros usando el elemento 11 = 1. Así tenemos

2 − 214 − 1

¯̄̄̄¯̄̄̄¯1 0 2 3

0 −3 −2 −10 2 2 −30 1 0 1

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

(habiéndole añadido a la segunda, tercera y cuarta filas la primera multiplicada por −2, 0 y −1).Ahora cambiamos la segunda y cuarta filas para simplificar la eliminación, y queda

2 ←→ 4 −

¯̄̄̄¯̄̄̄¯1 0 2 3

0 1 0 1

0 2 2 −30 −3 −2 −1

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

Le añadimos ahora la segunda fila a la tercera y cuarta, multiplicada por −2 y 3 respectivamente, yllegamos a

3 − 224 + 32

−

¯̄̄̄¯̄̄̄¯1 0 2 3

0 1 0 1

0 0 2 −50 0 −2 2

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

Finalmente le sumamos la tercera fila a la cuarta y tenemos

4 + 3 −

¯̄̄̄¯̄̄̄¯1 0 1 3

0 1 0 1

0 0 2 −50 0 0 −3

¯̄̄̄¯̄̄̄¯

con lo que el valor del determinante es −[1 · 1 · 2 · (−3)] = 6.En la siguiente sección veremos que no es necesario escalonar la matriz para obtener el determi-

nante.

2.2. Menor, menor complementario, adjunto

Se llama menor de una matriz (no necesariamente cuadrada) al determinante de cualquier

submatriz cuadrada suya.

18

En una matriz cuadrada de orden se llama menor complementario del elemento al

determinante de orden − 1 de la submatriz resultante de eliminar en la fila y la columna , queson en las que está situado el elemento. Finalmente se llama adjunto del elemento a su menor

complementario multiplicado por (−1)+, es decir, se multiplica por 1 o por −1, dependiendo de quela suma de los índices fila y columna del elemento sea par o impar. Al adjunto del elemento en la

matriz lo denotaremos por. En el ejemplo anterior el adjunto de 31 = 3 es31 =

¯̄̄̄¯ 0 −35 0

¯̄̄̄¯ = 15

y el adjunto de

Algunos menores de la matriz =

⎛⎜⎝ 2 0 3 −40 6 2 −1−5 −6 0 7

⎞⎟⎠ son

¯̄̄̄¯̄̄ 2 0 −4

0 6 −1−5 −6 7

¯̄̄̄¯̄̄ = −48 y

¯̄̄̄¯ 2 −4−5 7

¯̄̄̄¯ = −6

En la matriz

⎛⎜⎝ 1 0 −31 5 0

3 −3 2

⎞⎟⎠

el menor complementario de 31 = 3 es

¯̄̄̄¯ 0 −35 0

¯̄̄̄¯ = 15 y su adjunto vale 31 =

¯̄̄̄¯ 0 −35 0

¯̄̄̄¯ = 15

Y el menor complementario de 21 = 1 es

¯̄̄̄¯ 0 −3−3 2

¯̄̄̄¯ = −9 su adjunto vale 21 = −

¯̄̄̄¯ 0 −3−3 2

¯̄̄̄¯ = 9

2.2.1. Cálculo del determinante desarrollando por adjuntos

Sea una matriz cuadrada de orden . Entonces se tiene

det =P

=1

= 11 + 22 + + =P=1

= 11 + 22 + +

Lo anterior lo que nos dice es que mediante la o la columna podemos calcular el determinante de

la matriz sumando los productos de los elementos de esa fila o columna por sus respectivos adjuntos.

Por ejemplo si tenemos una matriz = () de orden 3 tendríamos (fijándonos por ejemplo en la

primera fila o la segunda columna)

det = 1111 + 1212 + 1313 = 1212 + 2222 + 3232

19

Es muy útil esta regla a la hora de calcular determinantes grandes, sobre todo si aparece alguna

fila o columna con muchos elementos nulos (si es posible todos los elementos excepto uno). Por

ejemplo si queremos calcular el determinante

|| =

¯̄̄̄¯̄̄ 3 0 −4−2 0 1

−5 −2 4

¯̄̄̄¯̄̄

vamos a desarrollar por los adjuntos de la segunda columna y tendremos

|| = 1212+2222+3232 = 012+022+(−2)32 = −232 = −2·(−¯̄̄̄¯ 3 −4−2 1

¯̄̄̄¯) = 2(3−8) = −10

Por supuesto no siempre estaremos en esta situación de tener bastantes ceros, pero aplicando las

propiedades de los determinantes podremos llegar a una matriz con muchos ceros. Por ejemplo si

queremos calcular ahora el determinante

|| =

¯̄̄̄¯̄̄ 4 2 −41 3 4

2 0 6

¯̄̄̄¯̄̄

le añadimos a la última columna −3 veces la primera y nos queda¯̄̄̄¯̄̄ 4 2 −161 3 1

2 0 0

¯̄̄̄¯̄̄

determinante que puede calcularse ahora fácilmente desarrollando por los adjuntos de la tercera fila,

para obtener

|| = 3131 + 3232 + 3333 = 2

¯̄̄̄¯ 2 −163 1

¯̄̄̄¯+ 032 + 033 = 2(2 + 48) = 100

2.2.2. Rango de una matriz utilizando menores

En el apéndice estará explicado con más detalle la relación entre los menores de una matriz y su

rango. Lo que nos interesa fundamentalmente es la siguiente propiedad:

Propiedad: Sea un matriz de orden × (no necesariamente cuadrada). El rango de es

el mayor orden para el que existen menores no nulos de ese orden dentro de . En particular

se tiene que si encontramos un menor de orden no nulo, entonces () ≥ .

2.3. Cálculo de la inversa de una matriz mediante adjuntos

Vamos a dar otro método para calcular la inversa de una matriz. Supongamos que = ()

es una matriz cuadrada invertible. Sabemos que || 6= 0. Calculamos ahora lo que vamos a llamarmatriz adjunta de , y que la vamos a denotar por

() = ()

20

cuyos coeficientes son los adjuntos respectivos de los elementos de , es decir, = para todo

posible. Entonces se cumple que

−1 =1

||(())

De este modo la matriz inversa de resulta de hallar la traspuesta de la adjunta y dividir por el

determinante. Da lo mismo tomar la traspuesta de la adjunta que la adjunta de la traspuesta, así

que también tendremos

−1 =1

||(())

Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz

=

⎛⎜⎝ 1 1 3

1 2 −10 1 1

⎞⎟⎠Como || = 5 y

() =

⎛⎜⎝ 11 12 13

21 22 23

31 32 33

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

¯̄̄̄¯ 2 −11 1

¯̄̄̄¯ −

¯̄̄̄¯ 1 −10 1

¯̄̄̄¯

¯̄̄̄¯ 1 2

0 1

¯̄̄̄¯

−¯̄̄̄¯ 1 3

1 1

¯̄̄̄¯

¯̄̄̄¯ 1 3

0 1

¯̄̄̄¯ −

¯̄̄̄¯ 1 1

0 1

¯̄̄̄¯

¯̄̄̄¯ 1 3

2 −1

¯̄̄̄¯ −

¯̄̄̄¯ 1 3

1 −1

¯̄̄̄¯

¯̄̄̄¯ 1 1

1 2

¯̄̄̄¯

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠=

⎛⎜⎝ 3 −1 1

2 1 −1−7 4 1

⎞⎟⎠

tenemos que

−1 =1

||() =

1

5

⎛⎜⎝ 3 2 −7−1 1 4

1 −1 1

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝35

25−75

−15

15

45

15−15

15

⎞⎟⎠Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz 22 invertible

=

Ã

!Es sencillo obtener por la fórmula anterior que

−1=

1

−

à −−

!Por ejemplo, la inversa de la matriz

=

Ã−3 6

−7 8

!es

−1=1

18

Ã8 −67 −3

!

21

2.4. Determinante de Vandermonde

Es un determinante especial que se usa en determinadas situaciones como a la hora de hallar el

polinomio interpolador de Lagrange o bien al resolver ciertas reglas de cuadratura para aproximar

numéricamente integrales. Pongamos y resolvamos el caso 33:¯̄̄̄¯̄̄ 1 1 1

2 2 2

¯̄̄̄¯̄̄

Realicemos las siguientes operaciones por fila (y en ese orden):

3 − 2

2 − 1−→

¯̄̄̄¯̄̄ 1 1 1

0 − −

0 2 − 2 −

¯̄̄̄¯̄̄ =

¯̄̄̄¯̄̄ 1 1 1

0 − −

0 (− ) (− )

¯̄̄̄¯̄̄

=

¯̄̄̄¯̄̄ 1 1 1

0 − −

0 (− ) (− )

¯̄̄̄¯̄̄ = ¯̄̄̄¯ − −

(− ) (− )

¯̄̄̄¯ = (− )(− )

¯̄̄̄¯ 1 1

¯̄̄̄¯ = (− )(− )(− )

En resumen el desarrollo del determinante de Vandermonde donde la primera fila esté formada por

elementos 1 2 es Q

( − )

es decir, el producto de todas las diferencias entre los 0 siempre que pongamos como minuendo elque tiene el subíndice mayor.

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones de la forma

(∗)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩111 + 122 + + 1 = 1

211 + 222 + + 2 = 2

11 + 22 + + =

donde los y los son escalares del cuerpo y los representan las incógnitas del sistema

(también escalares del cuerpo , en este caso, indeterminados), se llamará sistema de ecuaciones

lineales o sistema lineal sobre el cuerpo. Se dirá que el sistema tiene ecuaciones y incógnitas.

A los se les llama coeficientes del sistema, a los términos independientes. Agrupando los

22

elementos anteriores tenemos

= () −→ matriz de coeficientes, de orden ×

=

⎛⎜⎜⎜⎝1

2

⎞⎟⎟⎟⎠ −→ vector de términos independientes, de orden × 1

=

⎛⎜⎜⎜⎝1

2

⎞⎟⎟⎟⎠ −→ vector de las incógnitas, de orden × 1

Definimos la matriz ampliada (|), de orden × ( + 1), como la que se forma añadiendo lacolumna a la matriz . Si ponemos el vector de términos independientes y el de las incógnitas en

forma de columna obtenemos la forma matricial del sistema = .

Una solución del sistema de ecuaciones lineales (*) es un vector = (1 2 ) ∈ tal

que al sustituir cada incógnita por el correspondiente se verifican todas las ecuaciones, o

equivalentemente, si se cumple la relación matricial = ( denota el traspuesto del vector-fila

, es decir, lo hemos puesto en forma de vector-columna).

Según el número de soluciones los sistemas pueden ser compatibles (SC), si tienen alguna

solución, o incompatibles (SI), si no tienen ninguna solución. Un sistema compatible puede tener

solución única, en cuyo caso se dice que es compatible determinado (SCD), o tener más de

una solución, en cuyo caso se dice que es compatible indeterminado (SCI). De hecho cuando el

cuerpo es infinito (como ocurre con el caso = R) los SCI no sólo tienen más de una solución sinoque tienen infinitas.

En los SCI al conjunto de todas las soluciones se le llama solución general y ésta quedará en

función de una serie de parámetros. Al menor número de parámetros que se necesitan para expresar

la solución general lo llamaremos grado de indeterminación o grados de libertad del sistema.

Diremos que un sistema = es homogéneo si es el vector nulo, es decir, si todos los

términos independientes son nulos. Éstos siempre serán SC pues el vector nulo es siempre una solución

(la solución que se obtiene al coger todas las incógnitas con valor 0). Entonces un sistema homogéneo

es SCI si y sólo si tiene alguna solución no nula.

Al conjunto de las soluciones de un sistema homogéneo = 0 lo denotaremos por ker y lo

llamaremos núcleo de la matriz .

23

3.1. Sistemas equivalentes. Método de Gauss para resolver sistemas lin-

eales

Llamaremos discutir un sistema a determinar si es SI, SCD o SCI. Por discutir y resolver se

entenderá que hay además que dar la solución o soluciones, si es SC. Para ello lo que podemos hacer

es utilizar elmétodo de Gauss que consiste en aplicar transformaciones elementales hasta escalonar

el sistema. Recordemos las transformaciones elementales que utilizábamos sobre matrices, sistemas

o vectores:

1. Cambiar de orden las ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.

3. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Además, aquí es posible también:

4. Cambiar de orden las incógnitas.

Estas transformaciones convierten el sistema lineal inicial en otro equivalente, es decir, con las

mismas soluciones. Una vez escalonado el sistema se resuelve de forma sencilla, pues:

Si al final (o en algún momento previo) nos sale un absurdo, es decir, una ecuación que no es

posible que se cumpla (como 0 = 1, o algo similar) entonces estamos con un SI.

Si no estamos en la situación anterior (podremos escalonar hasta el final), estaremos con un

SC y puede ocurrir que:

• ◦ Todas las incógnitas correspondan con pivotes (se llaman pivote de cada filaal primer coeficiente no nulo que aparece. Esto es para la matriz de coeficientes. Si lo

miramos en el sistema se corresponden con la primera incógnita que aparece en cada

ecuación). En definitiva lo que ocurrirá es que, después de escalonar y eliminar las

ecuaciones (o filas) nulas, tendremos igual número de ecuaciones que de incógnitas. En

tal caso tenemos un SCD en el que la solución del sistema se puede hallar despejando

el valor de las incógnitas, de abajo hacia arriba.

◦ Haya alguna incógnita del espacio que no corresponda a ningún pivote. En estecaso tenemos un SCI, y las incógnitas que no correspondan a pivotes van a ser los

parámetros del sistema. El número de parámetros (que por el método de Gauss son

ya el número mínimo necesario para expresar la solución general del sistema) será los

grados de libertad del sistema.

Durante este proceso también pueden ir eliminándose ecuaciones ”triviales” de la forma 0 = 0

(porque estas ecuaciones siempre se cumplen y no aportan nada nuevo) o bien ecuaciones que sean

CL de otras.

24

Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:

1. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal⎧⎪⎨⎪⎩− + 3 = −15− 3 + 10 = 22 − 5 = 3

Añadiéndole a la segunda ecuación la primera multiplicada por −5 obtenemos (observemos quecomo son ecuaciones y no filas, empleamos 1 y 2 en vez de 1 y 2 para referirnos a ellas)

2 − 51

⎧⎪⎨⎪⎩− + 3 = −12 − 5 = 72 − 5 = 3

Si ahora le restamos a la tercera la segunda se tiene

3 −2

⎧⎪⎨⎪⎩− + 3 = −12 − 5 = 70 = −4

En este caso hemos obtenido una ecuación contradictoria (un absurdo) 0 = −4, con lo quededucimos que es un SI.

2. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal⎧⎪⎨⎪⎩ − = −1−2+ + = −54− − 3 = 3

Obtenemos que la matriz ampliada del sistema es⎛⎜⎝ 1 0 −1 −1−2 1 1 −54 −1 −3 3

⎞⎟⎠Le añadimos a la segunda fila la primera multiplicada por 2, y a la tercera multiplicada por

−4 y obtenemos2 + 21

3 − 41

⎛⎜⎝ 1 0 −1 −10 1 −1 −70 −1 1 7

⎞⎟⎠Eliminando entonces la tercera ecuación (es proporcional a la segunda) llegamos a la matrizÃ

1 0 −1 −10 1 −1 −7

!

25

que representa al sistema ( − = −1

− = −7que es equivalente al sistema inicial. Como ya está escalonado y no nos ha aparecido ninguna

ecuación contradictoria estamos con un SC. Además sólo hay 2 pivotes (los correspondientes

a las incógnitas e ), con lo que sobra un incógnita, , que será el único parámetro en este

caso, de manera que tenemos un SCI (ya que hay algún parámetro). Así, poniendo = y

despejando en las ecuaciones obtenemos que = −7 + = −7 + . Y en la primera ecuación

tenemos que = − 1 = − 1. Así la solución general de este SCI es⎧⎪⎨⎪⎩ = − 1 = −7 +

=

con ∈ R

3. Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema lineal⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

31 + 62 + 143 = 9

− 22 + 3 = −4

De nuevo le añadimos a la segunda y tercera filas un múltiplo adecuado de la primera y

obtenemos

2 − 31

⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

− 3 = 0

− 22 + 3 = −4Cambiando de orden las dos últimas filas tenemos

2 ←→ 3

⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

− 22 + 3 = −4− 3 = 0

sistema que ya está escalonado. Como no hemos obtenido ninguna ecuación absurda estamos

con un SC. Y como las tres variables corresponden a pivotes (1 en la primera ecuacion, 2 en

la segunda y 3 en la tercera), no va a haber ningún parámetro, de modo que tenemos un SCD.

El valor de las incógnitas se halla despejando de abajo a arriba las variables, o, si empleamos

Gauss-Jordan transformando previamente la matriz en una matriz ”diagonal”. Así, le añadimos

la tercera fila a la segunda y primera multiplicada por 1 y 5, respectivamente y tenemos

2 +3

1 + 53

⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 = 3

− 22 = −4− 3 = 0

26

Finalmente le sumamos la segunda ecuación a la primera y tenemos

1 +2

⎧⎪⎨⎪⎩1 = −1− 22 = −4− 3 = 0

de donde obtenemos que 1 = −1, 2 = 2 y 3 = 0.

3.2. Teorema de Rouché-Fröbenius

Teorema: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de

coeficientes coincide con el de la matriz ampliada. En este caso, el sistema es compatible determinado

si este rango coincide con el número de incógnitas del espacio. Cuando el sistema es compatible

indeterminado los grados de libertad se calculan como la diferencia entre el número de incógnitas y

el rango.

Como consecuencia del Teorema de Rouché-Fröbenius obtenemos que un sistema homogéneo

= 0 tiene solución no nula (es decir, ker 6= 0) si y sólo si () .

3.3. Método de Cramer

Teorema: Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales = con matriz de

coeficientes cuadrada de orden , y del que se sabe que es SCD. Entonces la solución del sistema

(1 2 ) cumple que =|||| para todo , donde es la matriz obtenida a partir de

sustituyendo la columna -ésima por la columna de términos independientes .

El método de Cramer también puede utilizarse para resolver un SCI del siguiente modo:

Supongamos que () = (|) = y elegimos un menor no nulo de de orden . Se dejan

a la izquierda las incógnitas que forman parte del menor; el resto de incógnitas se pasarán a la derecha

y serán los parámetros. Las ecuaciones que no forman parte del menor pueden eliminarse pues son

CL de las restantes. La solución general del sistema puede obtenerse por Cramer, imaginando que

tenemos el SCD en el que se consideran como incógnitas únicamente las que están a la izquierda, es

decir, las que corresponden a los pivotes (la matriz de coeficientes de este sistema será de orden ×

pues no formarán parte de ella los coeficientes de las incógnitas que van a ser ahora parámetros, ni

tampoco los de las ecuaciones que hemos eliminado).

El método de Cramer es en general poco útil en la práctica, pues cuando el orden del sistema es

relativamente grande hay que hacer demasiadas operaciones para resolverlo (ya cuando estamos con

3 ecuaciones y 3 incógnitas es más recomendable el de Gauss).

Ejemplo: Discutir los siguientes sistemas lineales utilizando el Teorema de Rouché y resolverlos

(en su caso) por el método de Cramer:

27

1. ⎧⎪⎨⎪⎩1 + 2 − 3 = 2

31 − 2 + 23 = 2

−1 − 2 − 33 = −2

Como ¯̄̄̄¯̄̄ 1 1 −1

3 −1 2

−1 −1 −3

¯̄̄̄¯̄̄ = 16 6= 0

se tiene que el rango tanto de la matriz de coeficientes como el de la matriz ampliada valen 3.

Por ello estamos con un SCD. Entonces la solución es

1 =1

16

¯̄̄̄¯̄̄ 2 1 −1

2 −1 2

−2 −1 −3

¯̄̄̄¯̄̄ = 16

16= 1

2 =1

16

¯̄̄̄¯̄̄ 1 2 −1

3 2 2

−1 −2 −3

¯̄̄̄¯̄̄ = 16

16= 1

3 =1

16

¯̄̄̄¯̄̄ 1 1 2

3 −1 2

−1 −1 −2

¯̄̄̄¯̄̄ = 0

16= 0

2. ⎧⎪⎨⎪⎩1 − 2 + 33 = −121 + 2 − 3 = 2

31 + 23 = 1

Es fácil comprobar que el rango tanto de la matriz de coeficientes como de la matriz ampliada

es 2. Por ello estamos con un SCI. Como las dos primeras filas de la matriz ampliada son

LI la última es necesariamente CL de ellas dos. De este modo podemos eliminar la última y

quedarnos con el sistema (1 − 2 + 33 = −121 + 2 − 3 = 2

que es equivalente al primero. Podemos quedarnos con un menor de orden dos no nulo (por

ejemplo el que corresponde a las dos primeras filas y columnas) y poniendo el sistema en la

forma (1 − 2 = −1− 3321 + 2 = 2 + 3

28

para el que imaginamos que tiene sólo dos ecuaciones y dos incógnitas, y cuyas soluciones

podemos hallarlas en función de 3 por Cramer:

1 =

¯̄̄̄¯ −1− 33 −12 + 3 1

¯̄̄̄¯¯̄̄̄

¯ 1 −12 1

¯̄̄̄¯

=1− 233

2 =

¯̄̄̄¯ 1 −1− 332 2 + 3

¯̄̄̄¯¯̄̄̄

¯ 1 −12 1

¯̄̄̄¯

=4 + 733

Ejemplo: Discutir y resolver (en su caso) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función

del parámetro ⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

1 + 32 + 83 = 5

− 22 + 3 = 4

Añadiéndole la primera fila a las demás obtenemos⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

2 + 33 = 2

− 22 + 3 = 4

Le añadimos ahora la segunda fila a la tercera y tenemos⎧⎪⎨⎪⎩1 + 22 + 53 = 3

2 + 33 = 2

(+ 6)3 = 8

Entonces la discusión se hace teniendo en cuenta que el parámetro aparece en alguno de los pivotes

una vez que el sistema está escalonado. 1 y 2 son las variables que corresponden a pivotes. El

coeficiente + 6 puede ser nulo (si = −6) con lo que en ese caso la variable 3 no sería un pivote,es más tendríamos una ecuación de la forma 0 = 8. Así que en ese caso ( = −6) tenemos un SI.Y cuando 6= −6 tendremos que la variable 3 sí que es un pivote (pues su coeficiente + 6 es nonulo) y estamos con un SC. Además al no sobrar ninguna variable, ya que todas se corresponden con

pivotes, tendríamos un SCD, cuya solución (dependiente de ) se hallaría despejando como hacemos

habitualmente: 3 =8

+6, 2 = 2− 3 8

+6y 1 = 3− 2(2− 3 8

+6)− 5 8

+6.

Otro modo de discutir este sistema es utilizando el Teorema de Rouché-Froebenius, calculando

los rangos de las matrices asociadas. Para esto puede ser útil el determinante (que en este caso tiene

29

sentido pues la matriz de coeficientes es cuadrada; en el caso de que sea cuadrada la matriz ampliada

también se puede utilizar; pero en cualquier otro caso no), hallando el de la matriz de coeficientes

|| =

¯̄̄̄¯̄̄ 1 2 5

1 3 8

0 −2

¯̄̄̄¯̄̄ =

¯̄̄̄¯̄̄ 1 2 5

0 1 3

0 −2

¯̄̄̄¯̄̄ = 1 ¯̄̄̄¯ 1 3

−2

¯̄̄̄¯ = + 6

Cuando || 6= 0 (para 6= −6) el rango de la matriz es 3, y como el rango de la matriz ampliada nopuede ser mayor (al tener 3 filas) tendríamos () = (|) = 3 =número de incógnitas. Entoncestenemos que si || 6= 0 ( 6= −6) el rango de la matriz es 3, y como el rango de la matriz ampliadano puede ser mayor (al tener 3 filas) tendríamos () = (|) = 3 =número de incógnitas. En estecaso tendríamos un SCD, cuya única solución, dependiente de cada valor 6= −6, se podrá hallarpor el método anterior o utilizando la fórmula de Cramer (éste es uno de los pocos casos en los que

puede resultar útil este método). Y en el caso en que || = 0 ( = −6) tenemos que hacerlo de formadirecta. Pero se ve fácilmente que () = 2 y (|) = 3, con lo que tendríamos un SI.El resultado de la discusión ha sido entonces: Si 6= −6 SCD y si = −6 SI.

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