Tema 2 - pdi.topografia.upm.espdi.topografia.upm.es/an_dom/Doctorado/TEMA2.pdf · -El dogma de que...

Tema 2Tema 2

IntroducciIntroduccióón a las tn a las téécnicas de cnicas de estimaciestimacióón robustan robusta

2.1-CONCEPTOS BÁSICOS

- A menudo, en los procesos de ajuste, se usan distribuciones de probabilidad sencillas para los errores, como puede ser la distribución normal. Los estadísticos clásicos se obtienen bajo la suposición de que estos modelos son estrictamente verdaderos. Sin embargo, estos modelos no lo son casi nunca.

-Las desviaciones de estos modelos pueden ser debidas a la existencia de equivocaciones en el proceso de observación. La existencia de estos errores y su desviación de la distribución clásica, hace que los procedimientos clásicos de ajuste, como el de los mínimos cuadrados, sean poco eficientes en determinados casos.

-El dogma de que los errores de medida deberían distribuirse según una distribución normal lleva a ciertas contradicciones pues el método de los mínimos cuadrados presenta algunos problemas dado que casi todas las variaciones estadísticas son debidas a los errores de medida.

2.2. -ELIMINACIÓN DE LOS ERRORES DE TIPO I

-Una forma de abordar los errores graves es rechazar todos los errores que no se ajusten a la suposición de normalidad. Pero este asunto es complicado por el hecho de que sólo conocemos estimaciones de los errores después del ajuste por mínimos cuadrados, en el cual los errores son enmascarados y distribuidos por todas las observaciones, y por tanto, difíciles de reconocer. También, los residuos de mayor tamaño no indican necesariamente la correcta posición del error.

Para localizar un error de este tipo, la magnitud estimada, êi, de cada error ei, puede ser testada para comprobar si se desvía de forma significante de cero. El testestadístico más utilizado es el residuo normalizado:

t =

el cual se distribuye según una distribución t de Student con un grado de libertad. El denominador representa la desviación estándar correspondiente a la estimación del error y puede ser calculada en el proceso del ajuste. Sólo los errores más significantes se rechazan como posibles errores graves, y este proceso(el ajuste y el test) se repiten hasta que ya no se localicen.

��

��

σ

-El denominador representa la desviación estándar correspondiente a la estimación del error y puede ser calculada en el proceso del ajuste. Sólo los errores más significantes se rechazan como posibles errores graves, y este proceso(el ajuste y el test) se repiten hasta que ya no se localicen.

Veamos un ejemplo sencillo para ilustrar el método:

Consideremos el valor medio a estimar de la muestra

Z= (10,11,11,12,100) con desviación estándar 1. Una vez calculados los residuos y los residuos normalizados resulta para la primera iteración:

media=29 ; t5% ,1= 6. 7

max( ) > t α=5%,1 indica error ,

y para la segunda iteración(ya sin el valor 100):media=11 ; t 5% ,1 = 6. 7

max( ) < t α=5%,1

��

��

σ

��

��

σ

-Este ejemplo muestra la importancia de rechazar sólo el residuo más significante, pues todos los residuos son de forma significante mayores que el valor rechazado en la primera iteración.

Posibles problemas que plantea el método son:

-El test es uniparamétrico, es decir, sólo detecta un error por cada iteración, y por tanto las conclusiones equivocadas sobre la exclusión de observaciones incrementa en probabilidad con el número de errores en los datos.

-Pueden quedar errores no detectados con una cierta probabilidad(alta).

-No se conocen expresiones para la precisión del valor estimado resultante.

2. 3. - ESTIMACIÓN ROBUSTA ( RECHAZANDO LA NORMALIDAD)

-El objetivo sería, por tanto, según lo expuesto, disponer de métodos de estimación, que siempre proporcionaran los valores óptimos, independientemente de la distribución de los errores. En particular, los estimadores no deberían ser influidos por los errores de gran tamaño y deberían ser construidos como valores centrales del conjunto total de los datos.

-Aspectos generales de la teoría en la que se basa la estimación robusta:

La característica común de todos estos métodos es que no se minimiza el sumatorio de los cuadrados de los residuos, sino otra función elegida de forma adecuada:

Σ φ(v) --> mínima

-Un ejemplo sencillo puede ser la función valor absoluto

φ(v)= abs(v), llamado método de la suma mínima, que estima la media por medio de la mediana.

La solución numérica de estos principios de ajuste se puede hacer de forma iterativa, por sucesiva aplicación del método de los mínimos

cuadrados ponderados.

-La iteración comienza con unos valores dados a priori para los pesos de lasobservaciones y un ajuste convencional por mínimos cuadrados(se supone por el momento que todas las observaciones tienen el mismo peso).

-En la siguiente iteración, se calculan nuevos pesos para cada observación individual a partir de sus residuos obtenidos en el ajuste anterior, y se repite el ajuste mínimo cuadrático con estos nuevos pesos. Los pesos p de cada observación individual se obtienen de la siguiente forma:

En primer lugar reescribimos las equivalentes “Ecuaciones Normales”:

Σ = 0 ; donde x son las incógnitas;

que lleva a una expresión para los pesos :

p(e) = / v

�

��

∂∂φ

�

��

∂∂φ

-Para el método de la Minima Suma:

p(v) = con ε una constante pequeña

-Para el denominado Método de Huber:

p(e) =

con a = 1. 5siendo σ la desviación estándar a priori o estimada de las observaciones.

- Aplicando el método de la suma mínima al ejemplo anterior, el valor de la estimación de la media es 11.01 después de 20 iteraciones, tomando como constante 0.01 . Veamos los resultados de las 6 primeras iteraciones en forma de tabla:

ε+��

��

��

�

>

≤

�

�

σσ

σ

��

��

��

iteración pesos media residuos1 2 3 4 5

1 2 3 4 51 1 1 1 1 1 28. 8 19 18 18 17 712 0.05 0.06 0.06 0.05 0.01 16. 2 6. 2 5. 2 5. 2 4. 2 83. 83 0.16 0.19 0.19 0.23 0.01 12. 4 2. 4 1. 4 1. 4 0. 4 87. 64 0.4 0.7 0.7 2.2 0.01 11. 7 1. 7 0. 7 0. 7 0. 3 88. 35 0.6 1.4 1.4 3.5 0.01 11. 5 1. 5 0. 5 0. 5 0. 5 88. 56 0. 6 1. 7 1. 7 2. 4 0. 01 11. 4 1. 4 0. 4 0. 4 0. 6 88. 6

-Otro método de interés es el M. Danés (Krarup 1967, Kubik, 1982). Puede ser considerado como un método de estimación robusta con pesos dados por:

p(v) =

�

��

��

�

><

σσ

σ

��

��

��

�

�

�

Si aplicamos el Método Danés al ejemplo anterior obtenemos:

Iteración pesos media residuos1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1 28. 19 18 18 17 71

2 1.7 10-77 1.6 10-69 1.6 10-69 5.1 10-62 0 12 2 1 1 0 883 1 1 1 1 0 11 1 0 0 1 89

-Este método tiene unas propiedades favorables comparado con otros métodos robustos, en la detección de observaciones erróneas y en la velocidad de cálculo (convergencia rápida del proceso)

-Habiendo analizado los diversos aspectos de los errores groseros, se puede concluir que estos errores no existen como entidades independientes. Están totalmente conectados con el dogma de la distribución normal y el método de los mínimos cuadrados. En este sentido hay dos posibles caminos a seguir: aceptar el método de los mínimos cuadrados y por tanto también la existencia de estos errores, o elegir nuevos métodos de ajuste, en cuyo caso tanto el concepto de mínimos cuadrados como el de error grosero desaparecen.

2. 4. - APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LA MÍNIMA SUMA

-Vamos a describir de forma genérica el método de la mínima suma para resolver un conjunto de ecuaciones lineales:

A x = b + v

donde A es la matriz (n,m) de las ecuaciones de observación, n>m, x es el vector de parámetros incógnita (m,1), b, es el vector de observaciones (n,1) y v es el vector de residuos.

El método de la mínima suma, como ya hemos comentado , está basado en el criterio de minimizar la suma de los valores absolutos de los residuos:

min �v = min �Ax -b

En este capítulo se mostrará como se puede obtener la solución por medio de algoritmo equivalente este principio, y también se comparará con el algoritmo clásico de los mínimos cuadrados.

-Sin embargo, los datos de observación rara vez contienen errores que sean puramente aleatorios y sigan la distribución normal. De hecho, en la mayoría de los casos, estos datos contienen algunos puntos “espúreos” (observaciones fuera de rango), que es imposible o impracticable aislar del resto de los datos.

-Por ejemplo, en la mayoría de las redes geodésicas nacionales, las series de observaciones que son necesarias para ajustar están formadas usualmente por datos heterogéneos que han sido recogidos en diferentes momentos y con diferente instrumentación, técnicas de observación y observadores de distinta experiencia.

- Tratando con este tipo de redes, el problema no es tanto la identificación y rechazo de las observaciones fuera de rango, sino conseguir la mejor solución para la red tal y como está diseñada. Es decir, elegir un método de ajuste adecuado para definir las mejores estimaciones de los parámetros de dicha red.

-En tales casos, algunos métodos rigurosos de ajuste distintos a los mínimos cuadrados, pueden proporcionar un mejor ajuste. Uno de estos métodos es el de la mínima suma o ajuste L1 como a veces se le denomina.

Consideremos el conjunto de ecuaciones de observación:

A x = b + vdonde :

A: matriz de las ecuaciones de observaciónx: vector de parámetros incógnitab: vector de observacionesv: vector de residuos

Por ejemplo, en el contexto del ajuste de una red de nivelación, x representaría el vector de correcciones a las alturas aproximadas de los puntos.

Este método está basado en el criterio de minimizar la suma de los valores absolutos de los residuos:

min Σ Ax-bEste criterio se atribuye a Laplace(1799), sin embargo el primer método sistemático para encontrar la solución fue desarrollado por Edgeworth(1888).

APLICACIÓN EN EL AJUSTE DE UNA RED DE NIVELACIÓN :

- Como aplicación de dicho método, y teniendo en cuenta su tamaño y naturaleza, se eligió la red de nivelación geodésica de Nigeria, formada por 250 líneas de nivelación.

-El programa de nivelación para esta red comenzó en 1955 y aunque el plan estaba totalmente definido desde el principio, la ejecución por el contrario fue un proceso de muchas fases. Las observaciones se realizaron desde 1955 hasta 1977, con el consiguiente cambio en la instrumentación a lo largo de este tiempo.

-Por estos cambios instrumentales y las variaciones en las condiciones atmosféricas a lo largo de todo el territorio, estas observaciones no se podían considerar homogéneas. De hecho, muchas líneas no se incluyeron en el ajuste por la conocida heterogeneidad de los datos.

-La red ajustada estaba formada por 68 puntos y 40 circuitos con perímetros entre 267 y 1299 Km, siendo 12656 Km la longitud total de las líneas.


-El método de la suma mínima se aplicó de la siguiente forma: a cada desnivel se le asignó un peso de 1/L donde L era la longitud correspondiente.

-El ajuste final se realizó utilizando un algoritmo que se debe a Barrodale y Young(1966), formulando un ajuste generalizado libre en el que no se considerófija ninguna estación.

-Después del ajuste, más de la mitad de los residuos resultaron cero. Se observó que los desniveles con residuos distintos de cero grandes eran también los únicos con discrepancias relativamente grandes en los dos sentidos de cada tramo de la línea de nivelación. Esto indica que la magnitud del residuo en cualquier desnivel depende de la calidad de la observación en dicho desnivel; los desniveles con observaciones de peor calidad tenían posteriormente los residuos o correcciones mayores.

-Para poder realizar una comparación se realizó un ajuste de la misma red usando el método de los mínimos cuadrados. Se compararon los valores de las estimaciones de la precisión de la red calculadas por los dos métodos y el valor calculado con los errores de cierre del circuito, resultando mucho más realista el valor obtenido por la suma mínima.


-Por otro lado, el estudio de la distribución de los errores de cierre dentro de cada circuito, muestra que, mientras que el método de la suma mínima coloca los mayores residuos en las diferencias de altura más flojas en precisión, el método de los mínimos cuadrados los distribuye o reparte entre todos.

-Se podría resumir como conclusión que en un ajuste mínimo cuadrático, no es posible detectar errores sistemáticos o groseros mediante un mero examen de la variabilidad interna de los propios residuos.

-Esto ocurre porque en este ajuste, la observación peor no recibe necesariamente la corrección mayor. La detección de este tipo de errores se realiza indirectamente a través de test estadísticos sobre los residuos(Baarda) y a través del análisis de la matriz covarianza

-En cambio, en el ajuste aquí estudiado, las partes más débiles de la red se localizan directamente observando el tamaño de los residuos.

2. 5. PROBLEMAS PLANTEADOS POR EL MÉTODO CLÁSICO

-Sabemos que el método de los mínimos cuadrados minimiza el sumatorio de los cuadrados de las correcciones v de las observaciones.

Σ v2 MÍNIMO

-A partir de los resultados del ajuste y los residuos puede ser muy complicado detectar y localizar los errores graves . De hecho, el método es “muy eficiente” en ocultar los errores mayores y distribuir sus efectos sobre todas las observaciones, haciéndolos , por tanto, irreconocibles.

-Las observaciones erróneas no son necesariamente aquéllas con los mayores residuos después del ajuste, como se mostrará en determinados ejemplos que se desarrollarán en capítulos posteriores.

-Para afrontar estos problemas, Baarda desarrolló una amplia teoría basada en tests estadísticos (Data Snooping) . Este método es, sin embargo, muy elaborado, requiriendo tanto la inversión de la matriz de ecuaciones normales o ajustes sucesivos excluyendo de forma individual todas las observaciones

Veamos algunos ejemplos de Estimadores Robustos:

MÉTODO DE LA SUMA MÍNIMA

Como una alternativa al método de los mínimos cuadrados, fue propuesto este método en 1887. En este caso, se hace mínima la suma de los valores absolutos de las correcciones:

Σ v MÍNIMO

Este método resulta atractivo de forma intuitiva, pues los residuos más grandes son tolerados, facilitando la detección y localización de las observaciones erróneas a partir de los resultados.

Estudios posteriores demuestran que este método proporciona mejores resultados en la presencia de este tipo de errores que el método clásico.

En la mayoría de los casos, los residuos individualmente indican claramente que medidas son erróneas. (Sólo en la presencia de muchos y desfavorablemente localizados errores el método puede llegar a conclusiones equivocadas )

MÉTODO DE HUBER:

Consiste en minimizar una función de los residuos φ(v), siendo para Huber

v2 si v≤ 2σφ(v) = {

2σ (2v-2σ) si v> 2σsiendo σ la desviación estándar de las observaciones

MÉTODO DE HAMPEL:

φ(v) =

Donde a , b y c son constantes

��

�

��

�

�

≥

<≤−

<≤<≤

c |v| 2b-c

a

c|v|b )2

(b-c

ab |v|a ava |v|0

2

2

2

c

vcv

v

Otros principios de Estimación Robusta vienen dados por :

Σ |v| p ----> mínimo con 1 ≤ p < 2

donde el rango de valores más favorable para la constante p está entre 1. 2 y 1. 5.

MÉTODO DANÉS :

-Este método fue desarrollado a partir de las ideas de Krarup(1967) y estaba diseñado especialmente para eliminar errores groseros.

-El punto de partida de este método es un ajuste convencional por mínimos cuadrados.

-A partir de los residuos del primer ajuste, se calculan nuevos pesos para cada medida de forma individual, basados en la siguiente función de pesos

p(v) =

��

�

��

�

�

>

≤

2|v| e

2 |v| 1

2cv- σ

σ

k

-Con estos nuevos pesos, se realiza un nuevo ajuste por mínimos cuadrados, y este proceso de reponderación y ajuste se repite hasta que se logre la convergencia.

-Finalmente las observaciones afectadas de este tipo de errores tienen peso cero y sus residuos son una medida de la magnitud del error correspondiente.

Una posible selección de pesos, que usualmente proporciona buenos resultados dentro del campo de la fotogrametría sería la siguiente:

1ªiteración: p=1

2ªy 3ªiteración: p=(exp[-(v/σ)4.4])0. 05

siguientes iteraciones: : p=(exp[-(v/σ)3])0. 05

2. 6. -BASES MATEMÁTICAS DE LA TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ROBUSTA

�� MMéétodos de Estimacitodos de Estimacióón Robustan Robusta ( basada en estimadores ( basada en estimadores robustos)robustos)

�� Punto de partidaPunto de partida::•• ΦΦ (v) m(v) míínima nima ≠≠ vvtt P vP v

�� Planteamiento MatemPlanteamiento Matemáático Generaltico General::�� f(x) distribucif(x) distribucióón asociada al conjunto de observacionesn asociada al conjunto de observaciones

�� ParParáámetro a estimar : metro a estimar : θθ

�� Valor Estimado : Valor Estimado :

�� DistribuciDistribucióón del Estimador : n del Estimador : ϕϕ ( ,f)( ,f)

�θ

�θ

-- f(x) no se conoce exactamentef(x) no se conoce exactamente

-- g(x) g(x) Representa el Modelo matemRepresenta el Modelo matemáático tico para f(x)para f(x)

-- serseráá ROBUSTOROBUSTO si si

d(f,g) < d(f,g) < ηη d [d [ϕϕ ( ,f), ( ,f), ϕϕ ( ,g) ] < ( ,g) ] < εε∀∀ ηη , , εε positivospositivosd : se denomina distancia de d : se denomina distancia de ProkhorovProkhorov

�θ

�θ

�θ

�� Planteamiento MatemPlanteamiento Matemáático tico : Aplicaci: AplicacióónnModelo de DistribuciModelo de Distribucióón de las n de las

Observaciones:Observaciones:g(x) g(x) ≈≈≈≈≈≈≈≈ N ( N ( µµµµµµµµ, , σσσσσσσσ22))

DistribuciDistribucióón Real : Normal Contaminadan Real : Normal Contaminada�� f(xf(x) = (1) = (1--) ) N(N(µµ,,σσ22) + ) + ηη(a(a ,,σσ22))�� con con ηη pequepequeññoo�� y (a y (a -- µµ))22 > n > n σσ22

�� PASOS DEL PROCESOPASOS DEL PROCESO

�� ElecciEleccióón del n del Punto de AnPunto de Anáálisislisis

�� ConstrucciConstruccióón de la n de la FunciFuncióón de n de InfluenciaInfluencia

�� ClasificaciClasificacióón Generaln General

��

�

��

�

�

��

��

��

Jacknife de Método

Condiciones que debe cumplir un estimador de tipo M-Veamos primero cual sería el algoritmo de aplicación para los estimadores de tipo M:

Como ya se ha señalado con anterioridad, una de las técnicas robustas más utilizadas son los llamados estimadores de tipo M.Sea vi el residuo correspondiente al dato iésimo, la diferencia entre la observación y el valor ajustado. El método estándar de los mínimos cuadrados trata de minimizar el sumatorio , el cual es inestable si existen datos aislados dentro de las observaciones.

Estos datos producen un efecto tal en el proceso de minimización, que los parámetros estimados quedan distorsionados. Los estimadores de tipo M, como ya se ha señalado, intentan reducir el efecto de estas observaciones reemplazando los residuos al cuadrado por otra función de dichos residuos, es decir

��

�

�

�� ρ��

� �

-donde ρ es una función simétrica, definida positiva con un único mínimo en cero, y se elige de tal forma que sea menos creciente que el cuadrado.

-En lugar de resolver directamente el problema, tal y como se hizo en el método clásico de los mínimos cuadrados, se puede implementar un algoritmo que sería unos mínimos cuadrados reponderados.Veamos como se construye el algoritmo:

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�� Resumen del Algoritmo General de aplicaciResumen del Algoritmo General de aplicacióón de n de los estimadores de tipo M:los estimadores de tipo M:

��ElecciEleccióónn de la Funcide la Funcióón Objetivon Objetivo ::•• ρρ(v)(v) mmíínimanima

��ConstrucciConstruccióónn de la Funcide la Funcióón de Influencian de Influencia::•• ΨΨ(x)(x) = d = d ρρ(x)/ (x)/ dxdx

ConstrucciConstruccióónn de la Funcide la Funcióón de Pesosn de Pesos::•• p(x)=p(x)= ΨΨ(x)/ x(x)/ x

Algoritmo General de aplicaciAlgoritmo General de aplicacióón de los n de los estimadores de tipo M:estimadores de tipo M:

Proceso IterativoProceso Iterativo ::

•• k: nk: nººde iteracide iteracióónn•• i : ni : nººde residuode residuo

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Otros Otros estimadores(tipoestimadores(tipo M)M)::

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Otros Otros estimadores(tipoestimadores(tipo M)M)::

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Veamos ahora una serie de características de de estas funciones:

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�� ElecciEleccióón de los Estimadores Robustos:n de los Estimadores Robustos:

�� MMíínima Sumanima Suma ::ρρρρρρρρ(x) = |x|(x) = |x| ψψψψψψψψ (x) = (x) = sgn(xsgn(x) p(x) = 1 / |x|) p(x) = 1 / |x|

�� MMéétodo de todo de HuberHuber ::

ρρρρρρρρ(x(x) = ) = ψψψψψψψψ (x) = (x) =

p(x) = p(x) = k k ctecte..

��

��

�

>

≤

1��

13��1��

1��

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��

>≤

1��"*��1�

1��

��

��

>

≤

1��

11��


�� MMéétodo Dantodo Danééss ::

ψψψψψψψψ (x) = (x) = c,c,σσσσσσσσ ctesctes..

p(x) = p(x) =

��

��

σ>

σ≤

��3��

��

�

��

σ>σ≤

��3��

��


�� Estimador de Estimador de GemanGeman & & McClureMcClure::

ρρρρρρρρ(x(x) = ) = ψψψψψψψψ (x) = (x) =

p(x) = p(x) =

��

��

+ ��

�

+

��

�

+

2. 7. –ALGUNOS EJEMPLOS SENCILLOS DE APLICACIÓN DE ESTIMADORES

EJEMPLO DEL ESTIMADOR DE HUBER

Este estimador fue desarrollado por PETER J. HUBER en el año 1964 y en su trabajo “Robust Estimation ” del año 1968 presenta en detalles la teoría de la estimación robusta de un parámetro de tendencia central o posición central o puntual de una distribución normal “contaminada” y presenta los tres métodos para construir estimadores que robustos.

El Estimador HUBER se desarrolló en base a las funciones :

� ( Vi )² = mínima si se cumple | V | � K �

� K � ( 2 � V � - K� ) = mínima si cumple con | V | � K �

generalmente K adopta valores de 2 ó 3. Muchos recomiendan usar el valor 3,

pués K � representa la tolerancia de la medición y � representa la exactitud de la observación o medición obtenida. Es un proceso iterativo.

El Estimador de HUBER usa como función de Peso P lo siguiente :

P = 1 si | V | � K �

K �

P = --------------- si | V | � K �

| V |

Veamos en la pizarra un ejemplo numérico de aplicación muy sencillo:

EJEMPLO DEL MÉTODO DANÉS

-Este método fue propuesto por TORBEN KRARUP en 1967 y desde entonces ha sido usado como un método standard de computación en el Instituto Danés deGeodesia para sus cálculos Geodésicos. Durante los últimos años ha sido usadopara otras tareas en la Universidad de Aalborg.

- El método Danés puede ser interpretado también como un método iterativo, como lo es el estimador de HUBER, para resolver un problema de programación lineal, particularmente si los Pesos para las mediciones con errores groseros ( los denominados “outliers”) son reducidos a cero.

-La convergencia del método depende de las condiciones del problema y del porcentaje de errores groseros.

La estimación de acuerdo con el Método Danés tiene el siguiente algoritmo iterativo :

CASO DE MEDICIONES DE IGUAL EXACTITUD :(1) Si los residuos l V l � K � les corresponde un peso P = 1(2) Si los residuos l V l � K � les corresponde un peso dado

por la expresión siguiente :

Siendo : e = 2.718282 . . . ( base de los logaritmos Neperianos )K = constante que adopta el valor de 2 ó 3� = precisión adoptada para el grupo de mediciones.

Hay que señalar que existen diferentes variantes del Método Danésdependiendo del problema a resolver.Veamos también ahora un ejemplo numérico como aplicación de esteMétodo:

2

2

)()( σkv

evp−

=

EJEMPLO COMPARATIVO

Consideremos el caso de dos estudiantes A y B que cursaron las mismas asignaturas y cuyas calificaciones son las siguientes :

ASIGNATURAS CALIFICACIONESA B

Matemáticas 10 20Física 10 20Química 10 20Biología 10 20Historia 20 10

¿ Cual es la calificación que representaría al Estudiante A y B ? Si aplicamos las estimadores paramétricos de la media aritmética, la mediana y la

media de los extremos, por ejemplo, se obtiene :

ESTIMADOR ESTUDIANTEA B

Media Aritmética 12 18

Mediana 10 20

Media de los Extremos 15 15

De estos resultados observamos que la media aritmética parece que no representa mejor las calificaciones, mientras que la mediana ofrece una mejor representación; mientras que la media de los extremos califica de igual tanto al buen estudiante como al mal estudiante ( ¿ qué tal ? ). Obsérvese que no hay consistencia entre las tres estimaciones realizadas.

Obsérvese que la muestra es pequeña y no podemos eliminar la calificación que se sale de la mayoría; tampoco podemos asumir alegremente que es una distribución normal o una distribución rectangular.

Aplicando los ESTIMADORES ROBUSTOS se obtienen los valores siguientes :

ESTIMADOR ESTUDIANTE

APLICADO A B

Estimador de HUBER ( * ) 10.498 19.501

Método Danés ( * ) 10 20

( * ) Se utilizó � = 1 y valor de K = 2

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