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TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES Matemáticas 3º de la E.S.O.
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TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES Matemáticas 3º de la E.S.O.
1. Potencias con exponente entero • Potencias de exponente negativo
€
a−n =1an
Las potencias de exponente negativo cumplen las mismas propiedades que las potencias de exponente natural
1. Potencias con exponente entero • Una potencia de exponente natural es una forma
abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales
€
an = a⋅ ...⋅ an-veces
exponente
base €
a0 =1
€
a ≠ 0para todo
Recuerda…
2. Raíz de un número entero • La raíz enésima de un número “a” es el valor “b” que al
elevarlo a “n” da como resultado “a”.
€
an = b⇔ bn = aDonde n es un número natural
€
an = bíndice
radicando
raíz
Expresión radical
2. Raíz de un número • Se llama radical a una raíz no operada como:
€
23 , 3, 47
Según el índice, las raíces reciben diferentes nombres:
cuadrada, cúbica, cuarta … enésima
3. Número de raíces. Radicales equivalentes. • Dos radicales son equivalentes o iguales si tienen la
misma raíz. • Teorema fundamental de los radicales:
Si se multiplican o dividen el índice del radical y el exponente del
radicando por un mismo número natural distinto de cero, se
obtiene un radical equivalente €
a ≥ 0si
€
aqn = aq⋅mn⋅m
€
(m ≠ 0)
€
164 = 1622⋅4
€
164 = 2568
€
2 = 2
3. Número de raíces. Radicales equivalentes.
€
aqn = aq⋅mn⋅mEJEMPLO 1
€
¿ −83 = (−8)23⋅2 ?
€
−2 ≠ 2
€
¿ −83 = 646 ?¿No se cumple el teorema?
Se cumple, porque el ejemplo no cumplía una de sus premisas
€
a ≥ 0si
€
an = an⋅mn⋅m
€
(m ≠ 0)
3. Número de raíces. Radicales equivalentes.
€
aqn = aq⋅mn⋅mEJEMPLO 2
3. Número de raíces. Radicales equivalentes
• Ej. 17 Pág. 30 Escribe tres radicales equivalentes a:
EJERCICIO
3. Número de raíces. Radicales equivalentes
• Ej. 18, Pág. 30 Comprueba si los radicales son equivalentes.
EJERCICIO
3. Número de raíces. Radicales equivalentes
• Pág. 115. Ej. 33.
EJERCICIO
4. Propiedades de los radicales Operación Expresión Ejemplo
Producto y cociente de radicales del mismo índice Producto y cociente de radicales de distinto índice
Se reducen a índice común y se aplica lo anterior
Potencia de un radical
Raíz de un radical
€
an ⋅ bn = a ⋅ bn
€
an : bn = a :bn
€
an( )m
= amn
€
amn = an⋅m
€
23 ⋅ 53 = 2⋅ 53 = 103
€
73( )2
= 723
€
1735 = 1715
4. Propiedades de los radicales
• Ej. 24 Pág. 31. Realiza estas operaciones:
EJERCICIO
4. Propiedades de los radicales
• Pág. 31. Ej. 25 Introduce en el radical los números de fuera
EJERCICIO
4. Propiedades de los radicales
• Ej. 26 Pág. 31. Efectúa esta suma de radicales.
EJERCICIO
4. Propiedades de los radicales
• Ej. 27 Pág. 31. Calcula el área sombreada de la figura cuyas medidas están dadas en metros.
EJERCICIO
5. Potencias con exponente fraccionario • Un radical puede expresarse como una potencia de
exponente fraccionario
€
amn = amn
Este resultado se demuestra si se admite que las propiedades de las potencias de exponente entero positivo deben conservarse para otro tipo de exponentes.
€
amn = amn
€
amn( )n
= amn
"
# $
%
& '
n
€
amn
"
# $
%
& '
n
= am⋅nn = am
€
23( )13 = 2
33
€
813 = 233Demuestra que
Lo expresamos como potencias
€
813 = 2
33
Escribimos 8 como potencia
€
233 = 2
33La igualdad se cumple
€
2 = 2
5. Potencias con exponente fraccionario
EJERCICIO
¿Qué es mayor, ó ?
€
5
€
73
Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice.
Expresándolos como potencias.
€
5 = 512
€
73 = 713
Denominador del exponente
€
2
€
3Denominador del exponente
m.c.m de ambos exponentes
€
6€
36
€
26
€
536
€
726
€
536
€
726
€
536 = 1256
€
726 = 496
€
1256 > 496
5. Potencias con exponente fraccionario EJERCICIO
� Pág. 33. Ej. 32 Escribe en forma radical estas potencias.
EJERCICIO
� Pág. 33. Ej. 33 Expresa estas raíces en forma de potencia.
EJERCICIO
� Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario.
EJERCICIO
6. Notación científica • Hay números que por ser muy grandes o muy pequeños se
expresarían con muchos ceros. La notación científica permite expresarlos de forma más compacta.
€
x = a ⋅10p
€
1≤ a ≤10p es “orden de magnitud” de x
Notación científica • Escribe en notación científica estos números
� Pág. 33. Ej. 34 Calcula las raíces expresándolas como exponente fraccionario.
EJERCICIO
• Ej. 35. Indica que pares de potencias son iguales.
EJERCICIO
• Ej 37. Calcula:
EJERCICIO
• Ej 39. Realiza las siguientes operaciones indicando los radicales como potencias fraccionarias.
EJERCICIO
• Ej. 45.
EJERCICIO
• Ej. 47
EJERCICIO
La masa de la Luna es de 7,34·1023 kilogramos, y la de la Tierra, de 5,98·1024 kilogramos. ¿A cuántas Lunas equivale la masa de la Tierra?
• Ej 71. Pág 37 Escribe estas potencias de exponente fraccionario como radicales:
EJERCICIO
• Ej 73. Pág 37. Calcula estas raíces expresándolas primero como potencias de exponente fraccionario
EJERCICIO
• Ej 76. Pág 37 Indica si son ciertas o falsas
EJERCICIO
• Ej 82. Pág 37 Efectúa las siguientes operaciones:
EJERCICIO
• Escribe en forma de potencias estas expresiones
EJERCICIO
• T7-35. Simplifica estos radicales hasta conseguir un radical irreducible:
EJERCICIO
• T7-36 Reduce a índice común estos radicales EJERCICIO
• T7-40. Calcula esta suma de radicales
EJERCICIO
• Extrae los factores de los siguientes radicales:
EJERCICIO
96. Escribe en notación científica los siguientes números:
EJERCICIO
• Escribe en notación científica:
a) veinticinco millonésimas:
b) Tres cien millonésimas:
EJERCICIO
€
31104004
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
EJERCICIO
Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos
12 34
18 5 ⋅63
12x ⋅ z ⋅ y2 z ⋅ y24
16x ⋅ z ⋅ y2 5x ⋅ y43
EJERCICIO
Extrae factores del radical
24 ⋅ x2 ⋅ z4 ⋅ y163
64 ⋅ x6 ⋅ z12 ⋅ y166
3125 ⋅ x10 ⋅ z25 ⋅ y45
256 ⋅ x6 ⋅ y177
EJERCICIO
x3 ⋅a2
1. Extrae factores del radical
a x3 ⋅a6 ⋅c73
x3 x2 ⋅ y3 ⋅c77
7683
24014
3. Calcula:
8 + 2 − 18 + 50
6483 − 96
xy3 ⋅ x2y3
x4y3 : x2y39
4. Introduce factores en el radical expresando los números del radicando en potencias de factores primos
27 303
75 105
16x ⋅ z3 ⋅ y4 z ⋅ y24
5. Simplifica:
5126
21879
2. Opera:
2 ⋅10−4 :8 ⋅10−5
0,000000045 : 2 ⋅10−4 =
Potencias y raíces.
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