Tema 26 Derivadas Muestra

Tema 26 Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Aplicaciones.

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TEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN

PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS.

APLICACIONES.

ÍNDICE

1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................... 2

2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. ...................................................................... 2

2.1 DEFINICIÓN .................................................................................................................................... 2 2.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA ....................................................................... 2

3 FUNCIÓN DERIVADA. .................................................................................................................. 3

3.1 DEFINICIÓN .................................................................................................................................... 3 3.2 ÁLGEBRA DE DERIVADAS . ............................................................................................................. 3 3.3 DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA . REGLA DE LA CADENA . ............................................... 4

3.4 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA . ............................................................................................ 4

3.5 DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES . ................................................................................. 5

4 DERIVADAS SUCESIVAS. FÓRMULA DE LEIBNIZ. .......... .................................................... 5

5 APLICACIONES. ............................................................................................................................. 6

6 BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................. 7



1 INTRODUCCIÓN. El concepto de derivada, surgió como consecuencia de las necesidades de la

Mecánica en el s. XVII y de los problemas geométricos (fundamentalmente dibujar una tangente a una curva y encontrar la velocidad de un movimiento en un instante dado).

El cálculo diferencial e integral se debe en su mayor parte a la teoría de funciones de Newton (1642-1727) y al cálculo de diferenciales de Leibniz (1646-1716). La primera exposición del cálculo diferencial hecha por Leibniz fue en 1684 con el título “Un nuevo método para máximos y mínimos y también para tangentes, que no se ve obstruido por las cantidades fraccionarias ni por las irracionales”.

2 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.

2.1 Definición. Definición. Sea f:A→R (A⊂R). Sea 0x un punto de A. Diremos que la derivada

de f en el punto 0x viene dada por: Rh

xfhxfh ∈

−+→

)()(lim 00

0 y la notaremos por

)´( 0xf , si este límite no existe o no es real no tenemos derivada en ese punto.

Si consideramos que x=0x +h podemos expresar la derivada en 0x como:

0

00

)()(lim)´(

0 xx

xfxfxf xx −

−= →

Definición. El incremento de la variable h puede ser positivo o negativo. Si h es positivo tendremos la derivada por la derecha en 0x , si h es negativo tendremos la

derivada por la izquierda en 0x .

h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00´ −+

= +→+ y h

xfhxfxf

h

)()(lim)( 00

00´ −+

= −→−

Teorema. La derivada si existe es única. Demostración. Es consecuencia de la unicidad del límite. Nota: Además la condición necesaria y suficiente para que una función f(x) sea

derivable es que existan ambas derivadas laterales y sean iguales. Teorema. Si una función es derivable en un punto 0x entonces es continua en ese

punto 0x .

Demostración. Será f continua si 0))()((lim 000 =−+→ xfhxfh y esto ocurre en

el caso de que exista y sea finito )´( 0xf = limh →0

f (x0 + h) − f (x0)h

.

2.2 Interpretación geométrica de la derivada. Sea f una función derivable en un punto 0x , la derivada de la función en ese

punto 0x se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho

punto 0x , esto es, la recta que pasa por un punto P=(0x ,f( 0x )) y tiene pendiente f´(0x )

tiene por ecuación: y-f(0x )=f´( 0x )(x- 0x ).

Si f(x) es derivable en 0x entonces existe la recta tangente a f(x) en 0x .



Si f´( 0x )=±∞ ⇒ La recta tangente es paralela al eje y, y la función no es derivable

en dicho punto.

3 FUNCIÓN DERIVADA.

3.1 Definición. Definición. Sea f:[a,b]→R. Si f(x) es derivable en todos los puntos interiores de

dicho intervalo, ∀x∈(a,b) ⇒ La derivada en un punto cualquiera x del mismo, viene

dada por la función h

xfhxfh

)()(lim 0

−+→ , límite que depende del valor x. Esta

función que representaremos por f´(x) o y´, la llamaremos función derivada de f(x), cuyo dominio es un subconjunto del dominio de f(x) (su dominio son los puntos x donde existe la derivada).

3.2 Álgebra de derivadas. Sean las funciones f(x) y g(x) derivables en (a,b), se verifica: 1.Derivada de la suma. (f+g)(x) es función derivable en (a,b) y se tiene: (f+g)´(x)= f´(x)+g´(x). 2.Derivada del producto de dos funciones. (f·g)(x) es función derivable en (a,b) y

se verifica (f·g)´(x)=f´(x)·g(x)+f(x)·g´(x). 3.Derivada de la función 1/f. Si f(x)≠0 ∀x∈(a,b), (1/f)(x) es función derivable en

(a,b) y se verifica )(

)´()(

12

´

xf

xfx

f

−=

4.Derivada del cociente de dos funciones. Si g(x)≠0 ∀x∈(a,b), (f/g)(x) es función

derivable en (a,b) y se verifica f

g

'

(x) = f '(x) ⋅ g(x) − g'(x) ⋅ f (x)g2(x)

.

Demostración: 1.

)´()´()()()()(

lim))(())((

lim 000

0

0

0

0

000

xgxfxx

xgxg

xx

xfxf

xx

xgfxgfxxxx +=

−−

+−−

=−

+−+→→

2.

=

−−+−

=−−

→→0

0000

0

0 )()()()()()()()(lim

))(())((lim

00 xx

xgxfxgxfxgxfxgxf

xx

xfgxfgxxxx

= limx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

limx →x0g(x) + f (x0) limx→x0

g(x) − g(x0)x − x0

= f '(x0)g(x0) + g'(x0) f (x0)

3. )(

)´(

))()·()((

)()(lim

))(/1())(/1(lim

02

0

00

0

0

0

00 xf

xf

xfxfxx

xfxf

xx

xfxfxxxx −=

−−

=−−

→→

4. Se demuestra a partir de 2 y 3 puesto que f/g=f·(1/g).



3.3 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena. Sea f:I→R una función continua en I y derivable en 0x ∈I.

Sea g:J→R y f(I)⊂J, además es derivable en )( 00 xfy =

Entonces fg o es derivable en 0x y [ ] )´()(´))´(( 000 xfxfgxfg =o .

Demostración. Sea h: J→R definida por:

=

≠−−−

=

0

000

0

0

)´()()(

)(

yysi

yysiygyy

ygyg

yh

Se tiene que h es continua en 0y , además puesto que f es continua en 0x , la

función fh o es continua en 0x , siendo 0)())(())((lim 000===→ yhxfhxfhxx o .

De la definición de h(y=f(x)) tenemos que si f(x)≠ f( 0x )es

g(f(x))-g(f( 0x ))=[h(f(x))+g´( 0y )](f(x)-f( 0x )) así:

( fg o )(x)-( fg o )( 0x )=[( fh o )(x)+ g´( 0y )](f(x)-f( 0x )).

Y la derivada ( fg o )´( 0x )= =−−

→0

0 ))(())((lim

0 xx

xfgxfgxx

oo

[ ] )´()·´()()(

lim)´())((lim 000

00 00

xfygxx

xfxfygxfh xxxx =

−−

+= →→ o

3.4 Derivada de la función inversa. Sea f:I→R una función continua e inyectiva sobre I, con derivada no nula en

0x ∈I. Entonces la función inversa 1−f :f(I)→R es derivable en )( 00 xfy = , siendo:

)´(

1

))(´(

1))´((

0010

1

xfyffyf == −

−

Demostración. 1−f existe, es única y es continua por ser f continua e inyectiva.

Sobre f(I)-{ 0y } definimos la función: 0

011 )()(

)(yy

yfyfyy

−−

=→−−

α .

Sobre I-{ 0x } definimos la función: )()(

)(0

0

xfxf

xxxx

−−

=→ β .

Sobre f(I)-{ 0y } se verifica ))(()( 1 yfy −= oβα .

Sabiendo que )´(

1)()(

1lim)(lim

0

0

000 xf

xx

xfxfx xxxx =

−−

= →→ β y 0)´( 0 ≠xf

))(´(

1

))(´(

1

)´(

1)(lim

))((lim)(lim)()(

lim))´((

01

01

0

1

0

011

01

0

000

yffyffxfx

yfyyy

yfyfyf

xx

yyyyyy

−−→

−→→

−−

→−

====

===−−

=

o

o

β

βα



3.5 Derivadas de funciones elementales. 1.La derivada de la función constante es 0.

2.Sea f(x)= .0,1

)´(0acon ,log >∀=⇒> xxLna

xfxa

3. Sea f(x)= .,)´(0bcon , 1 ctebbxxfx bb ==⇒≠ −

4. Sea f(x)= xx exfe =⇒ )´( .

5. Sea f(x)= 0.acon ,)´( >=⇒ Lnaaxfa xx 6.Derivadas de las funciones circulares. (senx)´=cosx; (cosx)´=-senx; (tgx)´=1+ xtg 2 . 7.Derivadas de las funciones inversas de las circulares.

(arcsenx)´= )1,1(;1

1

)cos(

12

−∈−

= xxarcsenx

(arccosx)´= )1,1(;1

1

)(arccos

12

−∈−

−=−

xxxsen

(arctgx)´= Rxxarctgxtg

∈+

=+

;1

1

)(1

122

.

8.Derivadas de las funciones hiperbólicas. (shx)´=chx; (chx)´=shx. Utilizando la regla de la cadena y las expresiones anteriores podemos obtener las

expresiones de las derivadas de la composición de funciones elementales como por

ejemplo: Si g(x)= ⇒> 0acon )(log xfa .0)(/,)(

)´()´( >∀= xfx

Lnaxf

xfxg

9. Destacamos por su importancia ( )́)( )(xgxf resultando

f (x)g(x )( )'= g(x) ⋅ f (x)g(x )−1 ⋅ f '(x) + f (x)g(x ) ⋅ g'(x) ⋅ Lnf (x) .

Demostración. Simplemente utilizando la definición de derivada, las propiedades de los límites y las propiedades de las derivadas estudiadas anteriormente.

4 DERIVADAS SUCESIVAS. FÓRMULA DE LEIBNIZ. Definición. Sea f(x) derivable en (a,b) y f´(x) derivable a su vez en (a,b). A la

función derivada de f´(x) la llamaremos derivada segunda, y la notaremos por f´´(x). En general la derivada n-ésima de f(x), la notaremos por )() xf n .

Definición. Sea f(x) una función tal que existe su derivada de cualquier orden, diremos que es infinitamente derivable.

Definición. Diremos que una función es de clase p∈N si existen sus derivadas hasta el orden p inclusive y son continuas.

Teorema. Fórmula de Leibniz. Dadas dos funciones f y g con derivada n-ésima

⇒ ))2)1)) ·...´´·2

´·1

·0

)·( nnnnn gfn

ngf

ngf

ngf

ngf

++

+

+

= −− .

Demostración. Por inducción. Para n=1 tengo la derivada del producto. Supongamos que es cierto para n y veamos que ocurre para n+1.

[ ]=+

=⇒

= ∑∑

=

+−+−+

=

−n

r

rrnrrnnn

r

rrnn gfgfr

ngfgf

r

ngf

0

)1)))1)1

0

))) ··)·(·)·(



=

−+

= ∑∑

+

=

+−

=

+−1

1

))1

0

))1 ·1

·n

r

rrnn

r

rrn gfr

ngf

r

n

=

−++

+= ∑∑

=

+−+

=

+−+n

r

rrnnn

r

rrnn gfr

ngfgf

r

ngf

1

))1)1

1

))1)1 ·1

···

∑∑+

=

+−

=

+−++

+=

−+

++=

1

0

))1

1

))1)1)1 ·1

·1

··n

r

rrnn

r

rrnnn gfr

ngf

r

n

r

ngfgf

Como queríamos demostrar, hemos utilizado las propiedades de los números combinatorios.

5 APLICACIONES. Crecimiento y decrecimiento. Sea f una función real derivable en el punto 0x . f

es creciente (resp. decreciente) en 0x si y sólo si f´( 0x )≥0 (resp. f´( 0x )≤0). Si

imponemos f´( 0x )>0 (resp. f´( 0x )<0) entonces f es estrictamente creciente (resp.

decreciente) Máximos y mínimos. Sea f una función derivable en un entorno del punto 0x , f

tiene un máximo (respectivamente un mínimo) en 0x si y sólo si la derivada f´ se anula

en ese punto y además f´>0 a la izquierda de 0x y f´<0 a la derecha de 0x (resp. f´<0 a

la izquierda de 0x y f´>0 a la derecha de 0x ).

Teorema de Rolle. Sea f(x) una función continua en [a,b] y derivable en (a,b), tal que f(a)=f(b) ⇒ ∃ al menos un valor c∈(a,b)/f´(c)=0.

Demostración. Por el teorema de Weierstrass como f(x) es continua en [a,b] entonces f alcanza en [a,b] su valor máximo y su valor mínimo. Distinguimos dos casos:

1.Ambos valores (máximo y mínimo) se encuentran en los extremos y como f(a)=f(b) entonces todos los valores del intervalo tienen el mismo valor f(x) es constante y por tanto f´(x)=0.

2.Supongamos que el máximo o el mínimo no se encuentran en los extremos ∃c∈(a,b)/f(c) es el máximo o el mínimo, por tanto la recta tangente en dicho punto es paralela al eje x y por ello su pendiente que coincide con la derivada en dicho punto es f´(c)=0 como queríamos demostrar.

Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado. Sea f(x) y g(x) funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b), tal que g(a)≠g(b) y g´(x) ≠0 ⇒ ∃ al menos un

valor c∈(a,b)/ )´(

)´(

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf =−−

.

Demostración. Tomemos la función h definida en [a,b] como h(x)=[f(b)-f(a)]·g(x)-[g(b)-g(a)]·f(x)= que es continua en [a,b] y admite derivada en (a,b) por venir construida por multiplicación de constantes por funciones continuas y derivables y resta de funciones continuas y derivables, además verifica que h(a)=h(b) aplicando el teorema de Rolle tendremos que ∃c∈(a,b)/h´(c)=0, esto es

0=[f(b)-f(a)]·g´(c)-[g(b)-g(a)]·f´(c) de donde se tiene )´(

)´(

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf =−−

.



Nota: Como caso particular de este teorema tenemos el Teorema de Lagrange o del valor medio: Sea f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b) ⇒ ∃ al menos un valor

c∈(a,b)/ ab

afbfcf

−−= )()(

)´( .

Demostración. A partir de la función h(x) del teorema de Cauchy tomando g(x)=x.

Regla de L´Hopital. Sean f y g dos funciones reales y derivables en todos los puntos de un entorno del punto 0x ∈R, y tenemos que )(lim0)(lim

00xgxf xxxx →→ ==

y que g(x) y g´(x) no se anulan en ese entorno de 0x entonces el )(

)(lim

0 xg

xfxx→ existe si

existe )´(

)´(lim

0 xg

xfxx→ , siendo además ambos límites iguales.

Nota: Además de para resolver indeterminaciones del tipo 0/0 como en este caso, la regla de L´Hopital se puede adaptar sin dificultad para resolver otras indeterminaciones como ∞/∞ ó 0·∞.

La velocidad y aceleración instantánea de un móvil. Sea s(t) la función que nos da la posición de un móvil a lo largo del tiempo y sea s(t) de clase 2, entonces la velocidad instantánea vendrá dada por la derivada de s(t) respecto de t y además la aceleración instantánea viene dada por la derivada segunda.

6 BIBLIOGRAFÍA. -GAUCHAN. Introducción al análisis. -LUNA. Curso de Análisis Matemático I. -REY PASTOR. Elementos de la teoría de funciones. -SPIVAK. Cálculus.

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