Ingeniera Martima

Oscilaciones de corto periodo: Oleaje.Descripcion Estadstica

Apuntes de Clase

MOS, MDM, AMF, ABA

Grupo de Dinamica de Flujos Ambientales, Universidad de Granada.

Curso 20122013

Indice

1. Introduccion 1

2. Analisis de series temporales en el dominio del tiempo 12.1. Definicion de una ola individual: cortes por cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Alturas y periodos de ola caractersticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3. Distribucion de alturas de ola individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Distribucion del periodo de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5. Distribucion conjunta de alturas de ola y periodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Analisis de series temporales en el dominio de la frecuencia 123.1. Altura de ola y periodo caractersticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Anchura del espectro y validez de la distribucion de Rayleigh . . . . . . . . . . . 123.1.2. Altura de ola significante y periodo de pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.3. Distribucion conjunta espectral de alturas de ola y periodos . . . . . . . . . . . . 13

4. Analisis extremal (de altura de ola) 154.1. Nivel de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1.1. Periodo de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.2. Probabilidad de encuentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.3. Diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2. Procedimiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3. Conjunto de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4. Distribuciones candidatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5. Metodos de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5.1. Metodo de mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5.2. Metodo de maxima verosimilitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5.3. Bondad del ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.6. Altura de ola de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6.1. Regmenes medios y extremales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6.2. Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.7. Fuentes de incertidumbre e intervalo de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

i

4.7.1. Intervalo de confianza de la altura de ola de diseno xT . . . . . . . . . . . . . . . 284.8. Periodo de onda de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.9. Analisis extremal multiparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. Practicas Descripcion Estadstica del Oleaje 315.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Apendices 35

A. Variable aleatorias 35A.1. Una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.1.1. Funcion de densidad de probabilidad Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37A.1.2. Desviaciones respecto del comportamiento Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 38A.1.3. Estimacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.2. Dos variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.2.1. Funcion densidad de Gauss bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

A.3. Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3.1. Caracterizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41A.3.2. Procesos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3.3. Procesos Gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3.4. Procesos Gaussianos y estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43A.3.5. Procesos Ergodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44A.3.6. La elevacion de la superficie libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

ii

Palabras clave

oleaje, altura de ola, periodo, significante, diseno, extremo, regmenes, funcion de distribucion, funciondensidad, Rayleigh.

Bibliografa Basica

Holthuijsen, L.H., 2007. Waves in Oceanic and Coastal Waters. Cambridge University Press.

Goda, Y. Random Seas and Design of Maritime Structures. 2010. Vol.33 World Scientific Pub. Co. Inc.

Recomendaciones para obras martimas ROM1.0 (2009).

Stive, M.J.F. 1986 Extreme shallow water conditions. Delft Hydraulics, Intern Report H533.

G.I.O.C. 1986 Documentos de referencia SMC. Vol. I. Dinamicas.. Universidad de Cantabria.

Liu Z. and P. Frigaard, 2001. Generation and Analysis of Random Waves. Aalborg Universitet.

Quintero, D. y M. Ortega-Sanchez. 2012. Anteproyecto Marina Playa Granada. Grupo de Dinamica deFlujos Ambientales de la Universidad de Granada.

iii

1. Introduccion

Los cientficos suelen estar interesados en la dinamica y cinematica de la onda, comoson generadas por el viento, por que rompen y como interaccionan con los contornos ylas corrientes. Los ingenieros normalmente disenan y gestionan estructuras o sistemasnaturales en el entorno marino como plataformas offshore, barcos, diques, playas. Elcomportamiento de estas entidades estan ampliamente afectadas por el oleaje y otrasondas, as que es necesario un conocimiento de ellas a fin de disenar y gestionar ade-cuadamente.

En este Tema se pretende dar una introduccion a la descripcion estadstica deloleaje, concretamente, a la observacion, analisis y prediccion de las ondas de gravedadsuperficiales generadas por el viento (oleaje). Este ttulo tan largo es necesario, porqueondas superficiales hay muchas y de muy diverso origen. Las ondas oceanicas puedenser descritas a varias escalas espaciales, desde los centenares de metros a los miles dekilometros o mas, y temporales, desde unos pocos segundos (un periodo de onda) hastalos miles de anos (variabilidad climatica). En general, cuando hablemos de oleaje nosestaremos refiriendo a oscilaciones del nivel del mar entre tres y treinta segundos.

Como hemos visto el oleaje puede describirse en terminos de series temporales omediante su descripcion equivalente en el dominio de la frecuencia. Por tanto, no esde extranar que la descripcion estadstica pueda hacerse desde ambos puntos de vista.En este curso nos centraremos mas en la descripcion a partir de las series temporales,aunque algunos conceptos espectrales seran introducidos a lo largo del Tema.

2. Analisis de series temporales en el dominio del tiempo

El analisis de las series temporales de elevacion de la superficie libre pueden llevarsea cabo tanto en el dominio del tiempo como en el espacio. En esta seccion trataremosdel analisis temporal.

Se admite, asumiendo linealidad, que el desplazamiento vertical de la superficielibre con respecto a un nivel de referencia fijo es un proceso gaussiano y ergodico.Elegido el nivel de referencia adecuadamente, para que = 0, sigue un modelode probabilidad de Gauss de media nula y desviacion tpica , es decir, una NormalN(0, ).

2 es la varianza del proceso y, asimismo, cuantifica su contenido energetico

(que depende esencialmente de la amplitud al cuadrado),

p() =1

2

2piexp

[

2

22

]2 =

2rms = Esp

{( )2

},

(1)

donde rms es el desplazamiento medio cuadratico.Este modelo matematico-estadstico deja de ser adecuado cuando el oleaje comien-

za a ser asimetrico con respecto al nivel medio, tal y como ocurre en profundidadesreducidas y en la zona de rompientes; en esta situacion, la no-linealidad impera, y el

1

proceso es no gaussiano. No obstante, en muchas de las aplicaciones practicas el modelogaussiano es una aproximacion suficiente.

2.1. Definicion de una ola individual: cortes por cero

Mediante un analisis directo de los datos brutos pueden identificarse las olas indi-viduales. Una ola individual, que no la elevacion de la superficie libre (que sera un(t) concreto), esta definida por dos cortes por cero sucesivos. Los cortes se refieren aun cero, que es un valor de referencia, tpicamente el valor promedio. Se consideranlos cortes por cero de valores positivos a negativos, estos son, los pasos por cero des-cendentes. Se define un corte por cero hacia valores negativos entre las muestras n 1y n cuando se cumple que (tn1) > 0 y (tn) < 0 (Fig. 2). En resumen, una ola es elperfil de la elevacion entre cada dos pasos por cero descendentes consecutivos.

Otras definiciones de ola son posibles, por ejemplo, definiendo los cruces por ceroascendentes, esto es, hacia arriba. Si la elevacion de la superficie libre se consideraun proceso estocastico Gaussiano no importa si se toman los cruces ascendentes odescendentes, puesto que las caractersticas estadsticas seran simetricas1. Sin embargo,es comun adoptar la definicion de cruces por cero descendentes puesto que estimacionesvisuales de la altura de la cresta, referida al seno precedente se considera la altura dela ola. Ademas, en una ola que rompe, el frente, que es relevante en el proceso derotura, esta incluido en la definicion de los cruces hacia abajo (bajo tales condiciones,las ondas no son simetricas y las diferencias entre cruces hacia abajo o cruces haciaarriba se hacen importantes).

En la Fig. 1 se muestran los cruces por cero detectados en un registro de oleajede 7 min a 4 Hz de frecuencia de muestreo. En este caso se han detectado 106 cortespor cero de positivo a negativo, lo que da 105 ondas individuales. La altura de la ondaindividual se define como el rango de alturas, esto es, la diferencia de altura maxima ymnima entre dos cortes por cero. Vease Fig. 2.

La caracterizacion de las olas del registro de oleaje se basa en promediar las alturasde ola y periodos. Esto requiere que la duracion del registro sea lo suficientementecorta como para garantizar la estacionariedad y la homogeneidad, pero tambien losuficientemente larga como para obtener unos promedios aceptables. Normalmente, seemplean intervalos de 30 min o 1 hora2.

1Seguro? Piensese.2Segun la (ROM1.0 , 2009), a los efectos practicos y con las restricciones impuestas, se admite que en

un estado se produce un conjunto de manifestaciones del agente o agentes que pertenecen a un procesoaleatorio estacionario y homogeneo, y que los descriptores estadsticos temporales y espaciales soninvariantes. Esta descripcion se denomina de corta duracion (o a corto plazo). Es habitual denominarestado de mar al estado de oleaje cuando sus propiedades estadsticas son ergodicas. Sin embargo,en estas Recomendaciones se opta por generalizar estas definiciones, otorgando a cada una de ellas elambito de aplicacion de su denominacion, oleaje, nivel del mar, atmosferico y meteorologico. As elestado de nivel del mar incluye las manifestaciones lentas de la superficie libre del mar. El estadometeorologico incluye el conjunto de manifestaciones de los agentes climaticos forzados por la actividadatmosferica: viento, presion atmosferica, oleaje y marea meteorologica y, en su caso, meteomaremotos.

2

Figura 1: Deteccion de los cruces por cero en un registro de oleaje en el Golfo de Cadiz.

Figura 2: Altura y periodo de ondas individuales definidas por cortes hacia valoresnegativos.

3

2.2. Alturas y periodos de ola caractersticos

La elevacion de la superficie libre mostrada en las Fig. 1 tiene mas de 100 olasindividuales. La pregunta es cual coger a la hora de disenar una estructura, o biencual es la altura representativa de esa serie temporal? Para ello se consideran lassiguientes definiciones:

La altura y periodos medios se definen sobre todo el registro, es decir, son la me-dia de alturas y periodos de todas las ondas individuales. Estos son H = 1/N

Nk=1Hk

y T = 1/NN

k=1 Tk, respectivamente. A veces se denota el periodo como Tz. En el casoque seguimos de ejemplo H = 0,39 m y T = 3,93 s.

La altura de ola cuadratica media Hr.m.s. se define como

Hr.m.s. =

1N

Nk=1

H2k . (2)

Analogamente, el periodo es Tr.m.s. =

1/NN

k=1 T2k . Esta medida puede ser re-

levante para proyectos en los que la energa de la onda sea importante. Recuerdeseque la energa de una onda es proporcional a su amplitud al cuadrado. En el ejem-plo que seguimos del registro de oleaje del Guadalquivir se obtiene Hr.m.s. = 0,46 m yTr.m.s. = 4,47 s.

Se define la ola maxima como aquella que tiene la maxima altura de ola Hmax. Ennuestro caso es la ola numero 101 y tiene Hmax = 1,08m y el periodo correspondientea esa altura es THmax = 9,55 s.

La ola maxima se selecciona como onda de diseno para estructuras en las que esimportante y muy sensible a la carga de ola, por ejemplo, en diques verticales. Noteseque Hmax es una variable aleatoria con la distribucion dependiente del numero de olaindividuales.

Las alturas y periodos caractersticos definidos anteriormente son quizas los masobvios. Sin embargo, no se usan a menudo puesto que los resultados que arrojan separecen muy poco a las alturas y periodos estimados visualmente. Por eso se define laaltura de ola significante.

Se define la altura de ola significante3 como la altura promedio del tercio dealturas mayores del registro de oleaje. Se expresa como

H1/3 =1

N/3

N/3k=1

Hk , (3)

donde el ndice k no representa la secuencia temporal de las olas, sino la posicionla ola, estando ordenadas de mayor altura mayor a menor altura. El periodo se defineigualmente como el periodo promedio del tercio de olas cuya altura es mayor, i.e.

T1/3 = 3/NN/3

k=1 THk . En el caso de ejemplo analizado H1/3 = 0,67 m y T1/3 = 5,80 s.

3Significante es una mala traduccion de Importante.

4

La altura de ola significante H1/3, o a veces tambien definida como Hs, se usa enla mayora de las aplicaciones como ola de diseno4. La razon es que antiguamente lasestructuras eran disenadas basandose en la observacion visual de la olas. La altura deola significante H1/3 esta proxima al valor observado visualmente, lo cual resulta utilpuesto que recoge las experiencias previas de ingeniera.

El concepto de altura de ola y periodo significantes es importante y muchas situacio-nes. Sin embargo, dos parametros proporcionan, logicamente, una descripcion limitadade las condiciones del oleaje. Por ejemplo, dos condiciones de oleaje distintas (un marmezclado, irregular, mar de viento y un swell, regular con olas suaves, mar de fon-do) pueden presentar las mismas alturas de ola y periodos significante. Para distinguirambas situaciones se requieren mas parametros, por ejemplo, altura y periodos signi-ficantes para mar de viento y de fondo por separado. Los puntos WANA de Puertosdel Estado5 proporcionan esos parametros en ambas condiciones. Esto se hace a veces,pero en general unos pocos parametros no determinan unvocamente unas condicionesde oleaje. Una descripcion completa (en el sentido estadstico) del oleaje requiere unanalisis espectral basado en la hipotesis que el movimiento aleatorio de la superficielibre puede tratarse como la suma de un gran numero de armonicos.

A veces tambien se usa H1/10 definida como la media aritmetica de las N/10 alturasde ola mayores del registro6, esto es,

H1/10 =1

N/10

N/10k=1

Hk , (4)

donde el ndice k no es el ndice que representa la secuencia temporal de las olas,sino el orden de la ola, estando ordenadas de altura mayor a menor. Igualmente se

define el periodo TH1/10 = 10/NN/10

k=1 THk , i.e. como la media de los N/10 periodoscorrespondientes a H1/10. En el caso de ejemplo analizado H1/10 = 0,91 m y T1/10 =6,78 s. Logicamente H1/10 > H1/3 y T1/10 > T1/3.

La altura de ola con probabilidad de excedencia de un % se denota H%. Porejemplo, H0,1%, H1%, etc.

2.3. Distribucion de alturas de ola individuales

En vez de mostrar todas y cada una de las altura de ola individuales, es mas utilmostrar un histograma de muestre el numero de olas obtenidos en varios intervalos dealtura de ola. La Fig. 3 muestra el histograma de los datos de oleaje de la boya delGuadalquivir.

Para comparar alturas de ola en diferentes localizaciones, el histograma de la Fig. 3se adimensionaliza segun H/H y n/(NH/H), donde N es el numero de olas y H es

4Al proyectar una obra se dimensiona de modo que sea capaz de soportar la accion de temporalescon altura menor o igual a la altura de diseno.

5http://www.puertos.es/oceanografia_y_meteorologia/redes_de_medida/index.html6Estas alturas y periodos caractersticos son interesantes puesto que pueden definirse en terminos

del espectro de onda.

5

Figura 3: Histogramas de altura de ola y periodo. El tamano de bin es para la alturade ola H = 0,052 m y para el periodo T = 0,47 s.

tamano del bin (el subintervalo). El resultado, la densidad de probabilidad, se puede veren la Fig. 4. Cuando H/H 0 la densidad de probabilidad tiende a una curva con-tinua. Resultados teoricos y experimentales muestran que la densidad de probabilidadsigue, aproximadamente, una funcion de distribucion de Rayleigh7. Se dira entonces quelas alturas de ola individuales siguen una distribucion de Rayleigh. La funcion densidadde probabilidad de Rayleigh fR(x) (0, +) es8

fR(x) =x

2xe x222x , (5)

Notese que la funcion dada en la Eq. 5 esta normalizada9. Segun Goda (2010) laaproximacion de Rayleigh es una buena aproximacion en aguas profundas y para unnumero de ondas muy superior a 100. Cuando la rotura de ola tiene lugar, la distribu-cion de alturas de ola difiere de la dada por la distribucion de Rayleigh. Para ese caso,correcciones empricas a la distribucion de Rayleigh han sido propuestas, e.g. (Stive ,

7La funcion de Rayleigh fue derivada originalmente por Lord Rayleigh a finales del s.XIX para des-cribir la distribucion de la intensidad del sonido emitido desde un numero infinito de fuentes. Longuet-Higgins solo verifico la aplicabilidad de la distribucion de Rayleigh para oleaje irregular cuyos periodosy alturas presentaban pocas fluctuaciones tanto en los periodos como en las alturas (Goda , 2010).Sin embargo, las olas reales en el mar pueden presentar fluctuaciones importantes en periodos de olaindividuales. Hasta ahora no se ha desarrollado una teora exacta para olas reales.

8Para las crestas tiene esta forma. La amplitud de las crestas, en una aproximacion muy burda, escresta H/2 (Holthuijsen , 2007). La funcion de densidad de Rayleigh es algo diferente para alturasde ola (vease Eq. 6).

9La normalizacion no es hacer directamente x H/H, sino imponiendo que la integral en todo eldominio es 1. Es inmediato comprobar que 1 =

+0

fR(x)dx. Vease Fig. 4.

6

1986).

Para mar de fondo, con un oleaje de alturas de ola H se tiene las siguientes funciondensidad de probabilidad y funcion de distribucion expresadas en terminos de Hrms

fR(H) = 2H

H2rmse H2H2rms , (6)

FR(H) = Prob {H < H, H (0, +)} = H0

fR(H)dH = 1 e

H2

H2rms .

Tambien puede expresarse utilizando la altura de ola media H como parametro dela distribucion, quedando

fR(H) =pi

2

H

H2 epi4H2

H2 , (7)

FR(H) = 1 epi2H2

H2 .

o en funcion de la altura de ola significante Hs

fR(H) = 4,01H

H2se2,005H2

H2s , (8)

FR(H) = 1 e2,005H2

H2s .

Asumiendo que la distribucion de Rayleigh es una aproximacion de la distribu-cion de alturas de ola individuales10, las alturas caractersticas H1/10, H1/3, Hr.m.s. y

H% pueden expresarse en terminos de H manipulando la Eq. 5. Las relaciones sonlas siguientes11: H1/10 = 2,03H, H1/3 = 1,60H, Hr.m.s. = 1,13H y H2% = 2,23H.Segun estas relaciones es posible expresar la Eq. 6 en terminos de otras alturas deola caractersticas. Por ejemplo, en terminos de la altura de ola significante seraFR(H) = 1 e2,010(H/Hs)2 . Vease la Tabla 1.

10Al considerar la funcion de Rayleigh como funcion de distribucion de la altura de ola se esta admi-tiendo que esta es igual a dos veces la amplitud y que cada una de las olas son sucesos estadsticamenteindependientes. En los casos en los que esto no sea aceptable, es necesario definir la distribucion dealturas de ola como una distribucion conjunta de dos amplitudes separadas por un intervalo de tiempodeterminado. Para este caso en particular, estas dos amplitudes consideradas estadsticamente inde-pendientes deberan estar separadas por el semiperodo medio del proceso. La distribucion de Rayleighsobreestima, habitualmente, las probabilidades de presentacion de las alturas mayores y menores delregistro. Las razones de esta desviacion se atribuyen a no cumplir las hipotesis iniciales. Estas se refierena la anchura espectral, la independencia estadstica entre olas sucesivas y la nolinealidad y asimetra deloleaje. En general, la funcion de distribucion de Rayleigh no se ajusta muy bien a los histogramas ob-tenidos experimentalmente para valores de > 0,5. Sin embargo, los descriptores estadsticos obtenidosde la aplicacion de la distribucion de Rayleigh pueden ser usados con notable fiabilidad.

11La demostracion se deja como ejercicio al lector.

7

Figura 4: Histogramas de altura de ola y periodo normalizados. La curva continua es lafuncion de densidad de probabilidad de Rayleigh. Para ajustar los periodos, no obstante,no suele usarse una distribucion de Rayleigh. Son tpicas, tal y como se describe en elapartado 2.4, las funciones de Bretschneider.

Asumiendo una funcion de distribucion de Rayleigh, esta claro que debe haberrelaciones entre las Eqs. 6, 7 y 8, dadas a traves de las relaciones entre Hs, H, Hrmsy Hmax. Por ejemplo, para un registro ordenado de N olas se verifica que

Prob(h H) = iN, (9)

donde i es el numero de orden de la ola, considerando i = 1 para la ola de alturamayor e i = N para la ola de altura menor. Despejando de la Eq. 8 se tiene

H = Hs

[1

2ln

(N

i

)]1/2. (10)

Para el caso i = 1, que se corresponde con H = Hmax se obtiene una relacion

Hmax = Hs

[1

2lnN

]1/2, (11)

que, para N = 3000, se obtiene aproximadamente Hmax 2,00Hs. El lector puedeobtener sus relaciones para, por ejemplo, H1/10 y H1/100.

8

Altura H/Hr.m.s. H/m0 H/Hs

Hr.m.s. 1,0 2

2 0,706

Moda, H 1/

2 2 0,499

Mediana, H (ln 2)1/2 (8 ln 2)1/2 0,588

Media, Hpi/2

2pi 0,626

Significante, Hs 1,416 4,005 1,00

H1/10 1,80 5,091 1,271

H1/100 2,359 6,672 1,666

Hmax ? ? ?

Tabla 1: Relaciones entre estadsticos de la distribucion de Rayleigh (ROM1.0 , 2009).m0 es el momento espectral de orden cero.

A menudo es interesante conocer la probabilidad de excedencia (Prob(H >Hq en el ano medio)), esto es, la probabilidad q de que una altura de ola exceda uncierto valor Hq. Empleando la definicion de FR sera

q = 1 FR(Hq) = eH2q

H2rms , (12)

donde FR es la funcion de distribucion de alturas de ola individuales. La alturaumbral Hq se puede obtener despejando de la expresion anterior,

HqHrms

=

ln

(1

q

), (13)

siendo q = 1/n, la proporcion de olas mayores que Hq.

2.4. Distribucion del periodo de onda

A diferencia de las distribuciones de ola, el periodo de las olas ha recibido muchamenos atencion en la literatura. Sin embargo, el diseno de las estructuras martimasrequiere una estimacion fiable de la distribucion de periodos del oleaje12 o, mejor aun,de la distribucion conjunta de las alturas de ola y periodos de las olas de un estado demar.

En realidad, no hay una expresion generalmente aceptada para la distribucion delperiodo. Lo que s se observa es que, en un tren de olas, la distribucion es mas estrechaque la de correspondiente para la altura de ola y que los datos presentan una dispersionen el rango 0.5-2.0 veces el periodo de ola medio. Sin embargo, cuando mar de fondoy mar de viento coexisten, el la distribucion de periodos es mas ancha, a menudo

12Por que?

9

Figura 5: Funciones densidad (izquierda) y de distribucion (derecha) de Bretschneiderpara Tz = 6,5 s.

bimodal, con dos picos para cada tipo de oleaje. Por tanto, el periodo de ola no tieneun comportamiento tan universal como la altura de ola con su distribucion de Rayleigh.No obstante, a veces se emplea la funcion densidad de probabilidad y la distribucionde periodos de Bretschneider que son, respectivamente,

fB(T ) = 2,7T 3

T 4ze0,675

(TTz

)4(14)

FB(T ) = 1 e0,675(TTz

)4. (15)

La Fig. 5 muestra un ejemplo de las funciones densidad y de distribucion de Bretsch-neider para Tz = 6,5 s.

2.5. Distribucion conjunta de alturas de ola y periodos

Si la altura de ola y el periodo fueran estadsticamente independientes, la funciondensidad de probabilidad conjunta13 sera simplemente el producto de fconjunta(H,T ) =fR(H) fB(T ), a saber, el producto de la pdf de Rayleigh para la altura de ola fR(H) yla pdf de, por ejemplo, Bretschneider para el periodo fB(T ). Pero no es el caso, puestoque H y T estan relacionados.

Segun Goda, las Eqs. 24 y 27 reflejan las caractersticas de la distribucion conjuntade alturas de ola y periodos. Olas con alturas menores en un registro de oleaje puedenpresentar periodos mas cortos, mientras que olas de alturas mayores que la media noparecen mostrar ninguna correlacion con el periodo de onda, aunque, sin embargo, lo

13Los artculos de Rice citados en (UC , 2000) sobre ruidos blancos Gaussianos son la base para todaslas distribuciones conjuntas de altura de ola - periodo existentes. Las diferencias entre las distribucionesdependen de las hipotesis y tecnicas adoptadas.

10

Figura 6: Diagrama de dispersion en el punto WANA-46 de Puertos del Estado, en elGolfo de Cadiz.

que muestra la Fig. 6 parece querer decirnos que existe un periodo mnimo por debajodel cual no hay olas.

En la practica la distribucion conjunta de altura de ola y periodo es de gran im-portancia. Desafortunadamente, tampoco hay una distribucion generalmente aceptadapara la distribucion conjunta, incluso aunque hay algunos llamados diagramas de dis-persion basados en el registro de oleaje. Tales diagramas dependen fuertemente delemplazamiento.

La relacion entre Hs y Ts se simplifica a menudo como Ts = Hs , asignando valores

apropiados14 a y . En la Fig. 6 se muestra Tp (no Ts) frente a Hs mostrando unarelacion mas complicada (2D). En la Fig. 6 es claro la existencia de un Tp mnimo paraun Hs dado.

14En aguas canadienses, = 4,43 y Ts = 0,5

11

Figura 7: Espectro de la varianza con area m0 y frecuencia de pico fp = 1/Tp, dondeTp es el periodo de pico.

3. Analisis de series temporales en el dominio de la fre-cuencia

3.1. Altura de ola y periodo caractersticos

El espectro de la varianza, ilustrado en la Fig. 7, no dice nada de como seran las olasindividuales. Ahora veremos como estimar la altura de ola caracterstica y el periodo apartir del espectro de la varianza.

El momento de orden-n, mn se define como

mn =

0

fnS(f) df . (16)

As, por ejemplo, el momento de orden 0 es m0 =0 S(f) df , que es en realidad

el area bajo la curva del espectro, relacionado con el contenido energetico del tren deondas.

3.1.1. Anchura del espectro y validez de la distribucion de Rayleigh

De la definicion de mn se puede ver que cuanto mayor sea orden del momento,mayor peso se pone en las frecuencias mas altas del espectro. Con el mismo m0, unespectro mas ancho da valores mayores de momentos de ordenes superiores (2 n).Cartwright y Longuett-Higgins (1956) definieron el parametro de anchura como

=

1 m

22

m0m4, (17)

12

a partir de un analisis teorico de la distribucion estadstica de la altura de las crestasdel oleaje. El valor de (0, 1). Se ha probado teoricamente que

Spectrum width parameter Wave height distribution

= 0 narrow spectrum (SWELL) Rayleigh distribution = 1 wide spectrum (SEA) Normal distribution

El valor de suele ser del orden de 0.4-0.5. Se encuentra que la distribucion deRayleigh es una muy buena aproximacion y ademas es conservativa, puesto que la dis-tribucion de Rayleigh proporciona una altura de ola ligeramente mayor para cualquiernivel de probabilidad dado. Otra posible definicion de la anchura espectral es

=

m0m2m21

1 . (18)

Se probo teoricamente que es inversamente proporcional al numero medio de olasen un grupo. La Eq. 18 indica que cuando la energa esta concentrada en una solafrecuencia, entonces 0. Cuando la energa esta dispersa en muchas frecuencias 1. Un valor tpico en temporales es de 0.3.

3.1.2. Altura de ola significante y periodo de pico

Cuando la altura de ola sigue una distribucion de Rayleigh, i.e. cuando = 0(oleaje tipo Swell), la altura de ola significante puede derivarse teoricamente a partirdel espectro de la varianza como

Hm0 = 4m0 . (19)

Por eso se denota con el subndice del momento de orden 0. La altura significanteespectral esta relacionada con el contenido energetico del oleaje. En realidad, paravalores de = 0,4 0,5, una buena estimacion de la altura de ola significante esHm0 = 3,7

m0.

La frecuencia de pico fp se define sencillamente como la frecuencia a la cual lafuncion s(f) es maxima. El periodo de pico Tp = 1/fp coincide aproximadamente conel periodo de ola significante.

3.1.3. Distribucion conjunta espectral de alturas de ola y periodos

Longuet-Higgins (1975, 1983) (citado en (UC , 2000)) definio el periodo y alturasde ola con el criterio de pasos ascendentes por cero. La distribucion obtenida asumeque el espectro es de banda estrecha (mar de fondo o Swell), donde es el parametrode la anchura espectral definido en Eq. 18. La funcion densidad se expresa en funcionde las variables adimensionales Ha = H/

m0 y Ta = T/T , siendo T el periodo medio

relacionado con la frecuencia media = 2pim0/m1:

13

Figura 8: Funcion densidad conjunta altura de ola - periodo de Longuet-Higgins parados valores del parametro de anchura espectral . Notese que las bandas espectralesson mas anchas donde hay mayor variabilidad en los valores de H y T .

fHa,Ta = CL

(HaTa

)2exp

{H

2a

8

[1 +

1

2

(1 1

Ta

)2]}, (20)

donde

CL =1

4

2pi[1 + (1 + 2)1/2

] . (21)En la Fig. 8 se representan diagramas de contorno para la funcion densidad de la

Eq. 20 para anchuras espectrales = 0,2 y = 0,6. Como puede verse, para anchurasespectrales pequenas, la distribucion es mas simetrica alrededor de Ta = 1 (alrededordel periodo medio).

La funcion densidad de probabilidad para (solo) los periodos puede derivarse a parirde la distribucion de probabilidad conjunta H T dada en Eq. 20, integrando en Hen todo su dominio. De esta manera, se obtiene la distribucion de periodos como unadistribucion marginal. El resultado es

fLH(Ta) =4CL

4pi

T 2a

[1 +

1

2

(1 1

Ta

)2]3/2, (22)

14

donde Ta = T/T . Como puede comprobarse, la distribucion es asimetrica lo cualesta de acuerdo con las observaciones. La moda de la distribucion T decrece con laanchura espectral de acuerdo con la expresion15

Ta =2

1 +9 + 82 . (23)

Asimismo, se ha observado (hecho emprico) que los parametros de los periodoscaractersticos estan interrelacionados. Del analisis de datos de campo, se verifica que

Tmax/T1/3 = 0,6 1,3 , (24)T1/10/T1/3 = 0,9 1,1 , (25)

T1/3/T = 0,9 1,4 . (26)

Simplificando aun mas (Goda (Goda , 2010)),

Tmax T1/10 T1/3 1,2T . (27)

La relacion T1/3/T da solo una indicacion puesto que este valor esta afectado porla forma del espectro del oleaje.

4. Analisis extremal (de altura de ola)

La altura de ola de diseno (Liu et al. , 2001) se representa a menudo por la alturade ola significante Hs, que es una variable aleatoria. Vara con respecto al tiempo ya la localizacion. Si una estructura debe ser construida en una zona del mar dondese dispone de medidas de altura de ola a largo plazo, la pregunta que el ingenierodebe hacerse es como determinar la altura de ola de diseno. El analisis extremal dala respuesta, i.e. proporciona un metodo para determinar la altura de ola de diseno,basado en la importancia de la estructura (nivel de diseno) y el analisis estadstico deun registro de oleaje de largo plazo.

4.1. Nivel de diseno

El nivel de diseno se representa por un periodo de retorno o probabilidad de en-cuentro.

15Demuestrese. Basta recordar que T representa el valor mas probable de la distribucion.

15

4.1.1. Periodo de retorno

Para definir adecuadamente el periodo de retorno T es necesario establecer la si-guiente notacion.

X: Altura de ola significante, que es una variable aleatoria.

x Es una realizacion particular de X.

F (x) Es la funcion de distribucion acumulada de X, F (x) = Prob(X x).t Numero de anos de observacion de X

n Numero de observaciones en un periodo de t anos.

Intensidad de muestreo = n/t

La probabilidad de no excedencia de x es F (x), es decir, la probabilidad acumuladade que X no exceda el valor de x. De modo complementario, la probabilidad de ex-cedencia es 1 F (x), asumiendo que la funcion F esta debidamente normalizada. Enotras palabras, con probabilidad 1F (x) una altura de ola significante sera mayor quex.

Si el numero total de observaciones (realizaciones de X) es n, el numero de obser-vaciones donde X > x es

k =ni=1

Prob(X x) = n (1 F (x)) = t (1 F (x)) . (28)

Luego el periodo de retorno T de una realizacion x se define como

T = t|k=1 = 1 (1 F (x)) , (29)

es decir, en promedio, se excedera el valor x una vez cada T anos. Tambien se definex como un evento de T anos.

4.1.2. Probabilidad de encuentro

Basandose en el hecho que, en promedio, x sera superada una vez cada T anos,la probabilidad de excedencia de x en 1 ano sera de 1/T . Por tanto, la probabilidad deno excedencia de x en 1 ano sera Prob(X x) = 1 1/T ; en dos anos Prob(X x) =(1 1/T )2; y en L anos Prob(X x) = (1 1/T )L. La probabilidad de encuentro,i.e., la probabilidad de excedencia de x en la vida de una estructura de L anos de vidaes

p = 1(

1 1T

)L, (30)

16

que, en el caso de un valor grande de T puede aproximarse por

p = 1(

1 eLT)L

. (31)

4.1.3. Diseno

Tradicionalmente el nivel de diseno para la altura de ola de diseno fue la altura deola correspondiente a un cierto valor periodo de retorno. Por ejemplo, si la altura de olade diseno correspondiente con un periodo de retorno de 100 anos es 10 m, el significadofsico es que, en promedio, estos 10 m de altura de ola de diseno seran excedidos unavez cada 100 anos.

En el diseno de estructuras costeras basado en la fiabilidad, es mejor emplear laprobabilidad de encuentro, i.e. la probabilidad de excedencia dentro de la vida utilde la estructura de la altura de ola de diseno. Por ejemplo, si la vida util L de unaestructura se estima en 25 anos, la probabilidad de encuentro para la altura de disenode 10 m es

p = 1(

1 1T

)25 22 % . (32)

Esto significa que estos 10 m de altura de ola de diseno seran excedidos con un 22 %de probabilidad en los 25 anos de vida util de la estructura.

4.2. Procedimiento general

En la practica, los ingenieros deben determinar la altura de ola de diseno correspon-diente a un cierto periodo de retorno, a partir de un registro (medido o de pronostico)de oleaje a largo plazo. El procedimiento general para llevar a cabo esa tarea podraser el siguiente:

1. Seleccionar los datos extremos (alturas de ola) del conjunto de datos.

2. Seleccionar varias distribuciones teoricas que se ajusten a los datos extremos.

3. Ajuste de las distribuciones a datos extremos por un metodo adecuado de ajuste(p.ej. mnimos cuadrados).

4. Elegir la distribucion que mejor se ajuste a los datos.

5. Calcular la altura de ola de diseno para un periodo de retorno dado.

6. Determinar el intervalo de confianza de la altura de ola de diseno para cuantificarla variabilidad de la muestra (errores).

17

4.3. Conjunto de datos

Los datos de oleaje originales suelen obtenerse tpicamente de medidas directasmediante boyas o a partir de predicciones basadas en datos meteorologicos. La mayorade los registros no cubren mas de 10 anos de observacion (vease Puertos del Estado,http://www.puertos.es/) o 40 si hablamos de predicciones basadas en modelos.

En la practica, suelen usarse tres conjuntos de datos de altura de ola extremal:

Conjunto de datos completo: Contienen todas las medidas directas de altura deola, usualmente equiespaciadas en el tiempo.

Series anuales: Consisten en series de datos cuyo contenido son las mayores alturasde ola por cada ano.

Series parciales: Estan compuestas por las mayores alturas de ola registrada portormenta/borrasca, dado un umbral inferior. El umbral es determinado a partirde la localizacion de la estructura y la experiencia ingenieril. Vease ROM0.0. Elmetodo que se emplea con estas series de datos es el metodo de picos sobreumbral (POT, Peak Over Threshold). Vease Fig. 9.

Es habitual que las series temporales obtenidas con instrumentos de medida tenganintervalos de tiempo en los que, por labores de conservacion o fallos tecnicos, presentenlagunas de informacion. En estos casos, se procurara aplicar tecnicas de relleno dedatos para completar la serie temporal, entre ellas, tecnicas estadsticas, correlacion conotras variables de estado, o relaciones fsicas, debidamente contrastadas, entre variables(ROM1.0 , 2009).

Los conjuntos de datos extremales, basados en datos de oleaje originales, debencumplir las siguientes condiciones (para que la muestra sea significativa)16:

Independencia: No debe haber correlaciones entre los datos. Las series de datosanuales y las series parciales17 verifican la condicion de independencia puesto quelos datos vienen de distintos temporales18.

Homogeneidad: Los datos extremales deben pertenecer a la misma poblacion es-tadstica, e.g., todos los datos extremales proceden de olas generadas por viento.

Estacionariedad: Debe haber una climatologa a largo plazo estacionaria. Estudiosde datos de oleaje en el Mar del Norte de los ultimos 20 anos parecen mostraruna tendencia en los datos medios que muestra una no-estacionariedad. Se obser-van variaciones promedio de decadas a decadas o incluso en periodos mas largos.Sin embargo, la hipotesis de estacionariedad estadstica parece razonable y rea-lista para propositos ingenieriles, puesto que las variacion a esas escales suele serpequena19.

16Ejemplo de las encuestas de intencion de voto.17En este caso hay que tener cuidado al separar entre temporales.18Estan los temporales correlacionados?19Que pasa con las predicciones del Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)?

18

Figura 9: Para la obtencion de los regmenes extremales anuales de oleaje en profundi-dades indefinidas, definidos como la distribucion de valores maximos locales o los picosde tormentas que superan un determinado umbral de una variable de estado de mar enprofundidades indefinidas frente al puerto de Motril, se han utilizado los datos de lospuntos WANA 2019013. Se ha usado el metodo de Picos Sobre Umbral (POT, PeaksOver Threshold). Para ello se han fijado la altura de ola umbral correspondiente a 3 m(linea horizontal azul), correspondiente al valor que es superado en menos del 1 % deltiempo en el ano medio. Para garantizar la independencia estadstica entre temporales,se ha supuesto que la duracion mnima entre temporales debe ser superior a 48 horas.De esta manera se han obtenido 51 eventos extremales respectivamente, en los 14 anosmeteorologicos analizados (Quintero et al. , 2012).

19

El conjunto de datos completo, no cumple el requisito de independencia entre losdatos, puesto que existen correlaciones no nulas entre los diferentes estados de mar.(Goda , 2010) encontro coeficientes de correlacion de 0.3-0.5 para alturas de ola signi-ficante medidas durante 20 minutos con un espaciado temporal de 24 horas. Ademas,es interesante el caso de la ola de diseno con una probabilidad de no excedencia muyelevada (la cola superior de la distribucion de probabilidad). Si la distribucion de ajusteelegida no es la correcta, los valores de cola superior de la distribucion no seran realis-tas (estaran mal estimados), puesto que existen correlaciones entre los datos. Por estasrazones no suelen usarse los registros completos de datos para el analisis extremal.

La mayora de los ingenieros prefieren las series parciales por encima de las seriesanuales. Por una parte, es una muestra de datos mucho mas numerosa y, por otra, lonormal es que el analisis de las series parciales den como resultado una altura de olade diseno mayor, lo que implica un diseno mas conservador de la estructura.

4.4. Distribuciones candidatas

Generalmente las distribuciones exponencial, la de Weibull, la de Gumbel, la deFrechet, la de Pareto y la Log-normal son las distribuciones teoricas que mejor suelenajustarse a los datos. Las acumuladas son las siguientes20:

Exponencial:

FE(x) = Prob(X < x) = 1 e(xBA ) , (33)

Weibull (stretched exponential21):

FW (x) = Prob(X < x) = 1 e(xBA )

k

, (34)

Gumbel:

FG(x) = Prob(X < x) = ee(xBA )

, (35)

Generalizada de Pareto:

FP (x) = Prob(X < x) = 1(

1 + C

(xBA

))1/C, (36)

Log-normal:

FL(x) = Prob(X < x) =

(ln(x)B

A

), (37)

Generalizada de valores extremos:

FGEV (x) = Prob(X < x) = e(1+C xBA )

1/C, (38)

20Las no acumuladas se obtienen derivando estas en virtud del teorema fundamental del calculo.21Tengase en cuenta que MatlabTM define la Weibull sin el parametro de localizacion.

20

donde X es la variable aleatoria, en este caso una altura de ola caracterstica, quepodra ser la altura de ola significante Hs o el diezmo H1/10 o la altura de ola maximaHmax, dependiendo del conjunto de datos; la variable x representa una unica realizacionde la variable aleatoriaX; y F es la funcion de probabilidad acumulada complementaria,i.e. la probabilidad de no excedencia (frecuencia acumulada). Los parametros A, B yk son parametros ajustables de las distribuciones. En la distribucion Log-normal A yB representan, respectivamente, la desviacion estandar y la media de X. La funcion representa una distribucion Normal. En la Generalizada de Valores Extremos Arepresenta el parametro de escala (anchura), B el parametro de localizacion y C es unparametro de forma. Para C = 0 esta distribucion se reduce a una Gumbel, para C > 0es una Frechet o Fisher-Tippet II y para C < 0 toma la forma de una Weibull22.

4.5. Metodos de ajuste

Cuatro metodos de ajuste de las colas que generalmente se emplean son el metodo demaxima verosimilitud, el metodo del momento, el de los mnimos cuadrados y el graficovisual. Los mas comunes son el de maxima verosimilitud y el de mnimos cuadrados.

4.5.1. Metodo de mnimos cuadrados

Las Eqs. 34 y 35 pueden escribirse como

X = A Y +B , (39)

donde Y es la variable aleatoria reducida de acuerdo a

Y = ( ln(1 F ))1/k , (40)

para la distribucion de Weibull y, para la de Gumbel,

Y = ( lnF ) , (41)

El procedimiento de interpolacion por mnimos cuadrados es el siguiente

1. Reordenar los extremos (p.ej. n datos) en orden descendente: xi, i = 1, 2, . . . , n

2. Asignar una probabilidad de no excedencia Fi a cada xi mediante una formulapara representacion Q-Q23, por lo que se obtiene un conjunto de pares (Fi, xi).

22Se deja como ejercicio al lector determinar las propiedades estadsticas mas notables de estasdistribuciones (medias, lmites de los parametros, momentos, funciones densidad, tasas de fallo, etc.

23Plotting position formula en ingles. Un grafico Q-Q es una tecnica grafico para el analisis dediferencias entre la distribucion de una poblacion de la que se ha extrado una muestra aleatoria y unadistribucion teorica usada para la comparacion. Cuando se emplea un metodo de ajuste, una formula

21

3. Calcular el correspondiente valor de Y mediante las Eqs. 40 y 41, obteniendo unnuevo conjunto de datos (yi, xi)

4. Determinar los coeficientes de regresion de la Eq. 39 mediante

A =Cov (Y,X)

V ar (Y ), (42)

B = X AY , (43)

V ar (Y ) =1

n

ni=1

(yi Y

)2,

Cov (Y,X) =1

n

ni=1

(yi Y

) (xi X) ,X =

1

n

ni=1

xi ,

Y =1

n

ni=1

yi .

En el caso de la distribucion de Weibull, varios valores de k son predefinidos y,entonces, se ajustan los valores de A y B. Los valores finales de los tres parametros sonescogidos basados en la bondad del ajuste.

4.5.2. Metodo de maxima verosimilitud

La distribucion de Weibull biparametrica es

FW (x) = Prob(X < x) = 1 e(xxA

)k, (44)

donde x es la altura de ola umbral, que debe ser inferior que la mnima altura deola en el conjunto de datos extremales. Si no contamos inicialmente con informacionrespecto de los datos, varios umbrales deben probarse y seleccionar finalmente en quemejor se ajuste. La estimacion de maxima verosimilitud de k se obtiene resolviendo lasiguiente ecuacion mediante un procedimiento iterativo

para representacion Q-Q debe emplearse, la cual se usa para asignar una probabilidad de no-excedenciaa cada valor extremo de la altura de ola. Son especiales cuando se trabaja con muestras muy pequenas.La probabilidad de no-excedencia Fi asignada a la realizacion xi puede determinarse basandose en tresprincipios estadsticos diferentes, a saber, frecuencia de las muestras, distribucion de la frecuencia y elestadstico de orden. Dos ejemplos tpicos podran ser (1) para una Gumbel (Gringorton) Fi = 1 i0,44n+0,12y (2) para una Weibull (Petrauskas) Fi = 1 i0,30,18/kn+0,21+0,32/k , donde i es el ndice de la muestra (ordenada),n es el numero total de muestras y k una constante.

Este punto se considera, para este curso, un tema avanzado y no sera tratado aqu.

22

N + k

Ni=1

ln(xi x) = NkNi=1

Ni=1 (xi x)k ln (xi x)N

i=1 (xi x)k. (45)

La estimacion de maxima verosimilitud para A es

A =

(1

N

Ni=1

(xi x)k)1/k

. (46)

Para la distribucion de Gumbel, la estimacion de maxima verosimilitud de A seobtiene resolviendo la siguiente ecuacion mediante un proceso iterativo:

Ni=1

e(xiA ) =

(1

N

Ni=1

xi A)

Ni=1

exiA . (47)

La estimacion de maxima verosimilitud de B es

B = A ln

[NN

i=1 exiA

]. (48)

4.5.3. Bondad del ajuste

Para ver que distribucion se ajusta mejor o peor se determina el coeficiente decorrelacion lineal, que se define como

=Cov (X,Y )

V ar (X)V ar (X). (49)

Este coeficiente se emplea como criterio para la comparacion de la bondad del ajuste.Sin embargo, esta definido en un dominio lineal (y, x) donde la variable reducida y esdependiente de la funcion de distribucion. Por tanto, la interpretacion de este criterioes en este caso menos clara.

Con las funciones de distribucion ajustadas, las alturas de ola correspondientes ala probabilidad de no-excedencia de las alturas de ola observadas pueden calcu-larse (Eq. 51 y 52).

El error relativo promedio E, definido como

E =1

n

ni=1

|xi,estimado xi,observado|xi,observado

, (50)

23

es un criterio sencillo y aceptable con una clara interpretacion. E = 5 % significaque, en promedio, la estimacion central de la altura de ola se desva de la altura de olaobservada por un 5 %. Obviamente, cuanto mas pequeno sea E, mejor sera el ajuste.El test de hipotesis estadstica puede igualmente emplearse para la comparacion de labondad del ajuste de cada distribucion.

4.6. Altura de ola de diseno

La altura de ola de diseno xT es la altura de ola correspondiente a un periodo deretorno T . Las distribuciones de Weibull y Gumbel (Eq. 34 y Eq. 35, respectivamente)se reescriben, respectivamente, como

x = A ( ln(1 F ))1/k +B , (51)

y

x = A ( ln( ln(F ))) +B . (52)

Definiendo la intensidad de la muestra como

=numero de datos extremos

numero de anos de observacion, (53)

y empleando la definicion de periodo de retorno T , se tiene

T =1

(1 F ) , (54)

o F = 1 1T . Introduciendo la Eq. 54 en las Eqs. 51 y 52, se obtiene

xT = A

[ ln

(1

T

)]1/k+B , (55)

para la distribucion de Weibull y

xT = A

[ ln

( ln

(1 1

T

))]1/k+B , (56)

para la de Gumbel. Ahora x se expresa como xT puesto que x representa la altura deola correspondiente a un periodo de retorno T . Los parametros A, B y k son parametrosde ajuste.

24

Figura 10: Diferencia entre la estadstica a corto plazo y a largo plazo (extremal).

4.6.1. Regmenes medios y extremales

La Fig. 10 ilustra la diferencia entre la estadstica a corto plazo y a largo plazo. Engeneral hablaremos de Regmenes medio y extremal segun lo siguiente:

Regimen medio: Cuando estudiamos el regimen medio estamos interesados en co-nocer la probabilidad de que en un ano medio la Hrms (por ejemplo) no supereun valor dado H. Buscamos Prob(Hrms H en el ano medio). Si disponemos detal ano medio, podremos calcular F (Hrms) =

Ni=1 ti/t

?, donde t? es la duraciondel ano y ti son los intervalos donde Hrms H en el ano medio.

Regimen extremal o de temporales: En este caso estamos interesados en conocerla probabilidad de que en un ano cualquiera Hrms no supere un valor de H dado.Esto es, Prob(Hrmsmaxima del ano H).

4.6.2. Problema

Se han identificado 17 tormentas en un periodo de 20 anos. La lista de alturassignificantes, ordenadas por orden de magnitud, se muestran en la tabla siguiente (Liuet al. , 2001):

Se requiere encontrar la altura de ola de diseno que tenga el 5 % de probabilidad deexcedencia dentro de la vida de la estructura de 25 anos.

Los pasos para realizar el analisis son los siguientes:

1. Calcule la intensidad de la muestra mediante la Eq. 53. Sol. = 17/20.

2. Calcule el periodo de retorno T mediante la Eq. 32. Sol. T 487 anos.

25

id. Significante xi Prob. no-exc. Fi1 9.32 0.9702 8.11 0.911

3 7.19 0.8524 7.06 0.794

5 6.37 0.7356 6.15 0.676

7 6.03 0.6178 5.72 0.558

9 4.92 0.50010 4.90 0.441

11 4.78 0.38212 4.67 0.323

13 4.64 0.26414 4.19 0.205

15 3.06 0.14716 2.73 0.088

17 2.33 0.029

Tabla 2: Pares altura de ola significante (xi) - probabilidad de no excedencia (Fi). Paradeterminar Fi se ha hecho uso de la funcion de Matlab

TM probplot().

3. Asigne una probabilidad de no-excedencia Fi para cada valor observado de alturade ola de acuerdo, por ejemplo, a la formula Q-Q de Weibull (apartado 4.5.1,nota a pie de pagina) y dibuje los resultados en un papel probabilstico Q-Q deWeibull. Haga uso de la funcion de MatlabTM probplot() (concretamente prob-plot(weibull,xi). Sol. Los resultados de aplicar esta funcion a los datos obser-vados xi se muestran en la segunda columna de la Tabla 2 y en la Fig.11, panelsuperior izquierdo, puntos negros. El resultado es un par (xi, Fi).

4. Ahora vamos a ajustar distribuciones teoricas al par (xi, Fi). En este caso, con-sidere las distribuciones de Weibull (Eq. 34) y Generalizada de Valores Extremos(GEV) (Eq. 38) como las candidatas al mejor ajuste. Determine los parametrosde ajuste correspondientes a cada distribucion con un intervalo de confianza alintervalos de confianza al 95 %. Haga uso de las funciones gevfit(), wblfit() y prob-plot(). Dibuje las curvas resultantes del ajuste sobre el resultado anterior (Fig.11,panel superior izquierdo) y ademas pinte dos nuevas graficas en papel probabilsti-co (con variables reducidas) Weibull y GEV para cada caso. Sol. Los resultadosse muestran tambien en la Fig.11, paneles superior izquierdo y derecho e inferiorizquierdo. Los resultados del ajuste de la GEV con gevfit() son C = 0,2151,A = 1,7254 y B = 4,7270, y sus respectivos intervalos de confianza al 95 % son(0,5744, 0,1441), (1,1776, 2,5279) y (3,8037, 5,6503). Los resultados del ajustecon la distribucion de Weibull con wblfit() son A = 6,0533 y k = 3,2659, y susrespectivos intervalos de confianza al 95 % son (5,1912, 7,0586) y (2,2631, 4,7131).

26

Figura 11: Ajustes de las distribuciones de Weibull y GEV a los datos mostrados en laTabla 2 (Liu et al. , 2001).

5. Compare la bondad de los dos ajustes de acuerdo al valor del error relativo(Eq. 50). El valor de la altura de ola observado es xi, dado en la Tabla 2. Losvalores de altura de ola estimados xi,estim se obtienen cruzando los valores deFi correspondientes a xi por la funciones teoricas GEV (Eq. 38) y de Weibull(Eq. 34) ajustadas en el apartado anterior. Sol. La funcion GEV presenta unerror de 4,73 % frente al 5 % de la de Weibull. Como en este caso la distribucionde GEV presenta menor error, se la considera como el mejor ajuste y representa-tiva de la altura de ola extremal. El error relativo se indica tambien en la Fig.11.

6. Realice una grafica que muestre la altura de ola observada xi frente el periodode retorno T correspondiente. Para ello haga uso de la Eq. 29. Represente en lamisma grafica los ajustes de Weibull y GEV y las bandas de error de los ajustesal 95 % de confianza. Emplee para esto ultimo los intervalos de confianza dadospara los parametros de ajuste A, B y C. Sol. Los resultados se muestran en laFig.11.

7. Finalmente, calcule la altura de ola de diseno xT correspondiente al periodo deretorno T determinado en el punto segundo. Sol. Se obtiene en este caso x487 =10,55 m.

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4.7. Fuentes de incertidumbre e intervalo de confianza

Como se puede observar las bandas de error en Fig.11 son bastante amplias. Algunasfuentes de incertidumbre sobre la altura de ola de diseno pueden son las siguientes: va-riabilidad en las muestras debido a un tamano de muestra limitado, error directamenterelacionado con la medida (error observacional), error en la eleccion de la distribucioncomo representante de la distribucion a largo plazo (que es desconocida), error en laeleccion del umbral, metodos de ajuste, etc. La incertidumbre en los dos primeros casospueden considerarse mediante simulacion numerica en la determinacion de la altura deola de diseno. Datos de oleaje contienen errores de medida. El error observacional puedeproceder, por ejemplo, de un mal funcionamiento del aparato, o de no-linealidades enlas medidas de acelerometros y sensores de presion. Errores de prediccion en modeloscomputacionales pueden ocurrir cuando los campos de presion atmosferica se conviertena campos de viento y estos, as su vez, se convierten a datos de oleaje. La precision enestos casos depende de los datos originales y, por supuesto, de los modelos y algoritmosnumericos. Por regla general, no son fiables los datos obtenidos mediante inspeccionvisual. El error viene dado por C, la desviacion estandar sobre el valor medio. Losmodernos metodos de adquisicion de datos han reducido C por debajo de 0.1.

4.7.1. Intervalo de confianza de la altura de ola de diseno xT

Si sobre los datos pesan incertidumbres, e.g. la variabilidad de la muestra, la alturade ola de diseno xT presentara un error asociado24 xT . Al fin y al cabo es unavariable aleatoria. La forma mas sencilla de estimar el intervalo de confianza es haceruso de las barras de error de los parametros al hacer el ajuste, e.g. CC. El problemaes que la altura de ola de diseno es extremadamente sensible a los parametros de ajuste,lo cual da lugar a alturas de ola de diseno enormemente grandes.

Otra forma de obtener un intervalo de confianza mas realista es mediante simulacionMonte Carlo. Para fijar ideas asumamos, por ejemplo, que la altura de ola extremalsigue una distribucion Gumbel.

F = FX(x) = P (X < x) = exp(exp(((xB)/A))) , (57)

donde X es la altura de ola extremal, la cual es una variable aleatoria, x es unarealizacion concreta de X y A y B son los parametros de localizacion y anchura, respec-tivamente, de la distribucion. Debido a la incertidumbre en la medida, los parametrosA y B son de nuevo variables aleatorias. Para tener en cuenta la incertidumbre debidaa la variabilidad de las muestras se procede de la siguiente manera.

Una muestra de alturas de ola xi de tamano N se ajusta a una distribucion Gumbel,obteniendose los parametros Averdadero y Bverdadero, asumiendo que son los valoresverdaderos. A continuacion,

24Pues cuestiones de seguridad, normalmente se considera solo el signo positivo del error.

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Figura 12: Altura de ola de diseno vs. periodo de retorno. Se muestra la distribucion(normal) obtenida mediante simulacion Monte Carlo para un periodo de retorno de 100anos. Tomado de Liu et al. (2001).

1. Genere un numero aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1. Cruce laprobabilidad de no-excedencia Fi con los valores de los parametros obtenidos, asaber,

xi = F1X (Fi) = Averdadero[ln(lnFi)] +Bverdadero , (58)

y obtendra el valor extremal xi correspondiente.

2. Repita el paso anterior N veces. Con esto, obtendra una nueva muestra de Nalturas de ola cuya distribucion es la Eq. 57, esto es, una distribucion Gumbelcon los parametros Averdadero y Bverdadero.

3. Ajuste la muestra resultante a una distribucion Gumbel y obtenga los nuevosparametros A y B.

4. Calcule la altura de ola xT correspondiente con un periodo de retorno T mediantela Eq. 56.

5. Repita los pasos de (2) a (4), digamos, 10000 veces, por lo que obtendra 10000valores de xT .

6. Elija la altura de ola correspondiente al intervalo de confianza especificado.

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4.8. Periodo de onda de diseno

No hay ninguna teora para determinar el periodo de onda de diseno correspondientea la altura de ola de diseno debido a la complejidad y a la dependencia de la zona deestudio de la distribucion conjunta entre altura y periodo de ola. La Fig. ?? muestrados ejemplos del diagrama de dispersion representando la distribucion conjunta entrela altura de ola significante Hs y el periodo medio Tm y con el nivel de agua en reposoz, respectivamente. Los numeros en el diagrama de dispersion representan el numerode observaciones que caen dentro del correspondiente intervalo. En la practica, variosperiodos de onda dentro de un rango realista, dados en funcion de la altura de ola dediseno, se asignan para conformar el estado del mar de diseno. Mediante consideracionesteoricas y experimentos de laboratorio se conviene en algunos casos en seleccionar

130Hsg

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