Sistemas y Circuitos

Tema 3. Régimen Permanente

Parte II. Régimen Permanente Senoidal

Los equipos de comunicaciones trabajan con señales sinusoidales• Sinusoides:

− Amplitud, frecuencia, fase

• Ejemplos:− Coseno:

Q: ¿Qué pasa si fC= 0 Hz?A: Las señales constantes tienen frecuencia 0

− Seno:

3b.1 Introducción

t

cos(ωot)A cos(2πfCt) A

-A

Amplitud [V]

Frecuencia [Hz]

Fase [rad]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2sin)cos( πxx

( )θπ +tfA C2cos

A sin(2πfCt) A

-At

A

t

3b.1 Introducción

Las señales sinusoidales se representan en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia

tiempo[s]

Amplitud [V]

Frecuencia

[Hz]

Frecuencia más altaAmplitud menor

Frecuencia menorAmplitud mayor

1 1cos(2 )A f tπ 3 3cos(2 )A f tπ

OsciloscopioMide en el dominio del tiempo

f

1f3f

1A3A

Analizador de EspectrosMide en el dominio de la Frecuencia

3

3b.1 Introducción

Los equipos de comunicaciones trabajan con señales sinusoidales: vc(t)=A(t)cos(2πfCt+θ(t))Espectro electromagnético• Conjunto de todas las posibles frecuencias

fC

λ[m] =c[m/s]fc[Hz]

4

MHz GHzkHz

Los equipos de comunicaciones trabajan con señales sinusoidales

• Equivalente eléctrico: − Antena: generador sinusoidal + resistencia interna (RS)− Salida: resistencia de carga (RL)

3b.1 Introducción

ReceptorCircuitos

R,L,C

Antena Receptorf0 fC

)( fSIn

+

-

RL ( )OCO tfV θπ +2cos

RS

( )ICI tfV θπ +2cos

Antena

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

3b.2 Elementos pasivos en régimen sinusoidal

Resistencias (ley de Ohm)

• Ejemplo: tensión de red− 220 V, 50 Hz,

( )i t ( ) ( )v t Ri t=

10R = Ω

Corriente y tensión en fase

+

-

R( )tfVtv CI π2cos)( =

( ) ][ 502cos22)()( AtRtvti π==

( ) ]V[ 502cos220)( ttv π=

Condensadores

• Ejemplo− 220 V, 50 Hz,

− Q: ¿cómo se comporta ante tensiones constantes (continua)?− A: No deja pasar corriente: circuito abierto

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

3b.2 Elementos pasivos en régimen sinusoidal

( )( ) dv ti t Cdt

=( )v t( )i t

La corriente adelanta a la tensión1 mFC =

( )tfVtv CI π2cos)( = C+

-

( )tVtv I ωcos)( =

( )tVtv I ωcos)( =

( )tVdt

tdvI ωω sin)(

−=

( )tCVdt

tdvCti I ωω sin)()( −==

Bobinas

• Ejemplo

− 220 V, 50 Hz,

• Q: ¿cómo se comporta ante corrientes constantes (continua)?• A: No produce caída de tensión ↔ Cortocircuito

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

3b.2 Elementos pasivos en régimen sinusoidal

( )( ) di tv t Ldt

=

10 mHL =

La tensión adelanta a la corriente

( )i tL

+

-

( )tVtv I ωcos)( =0

01( ) ( ) ( )

t

ti t v d i t

Lτ τ= +∫

( )[ ]V cos)( tVtv I ω=

( )tVdv Itω

ωττ sin)( =∫ ∞−

( )[ ]A sin)(1)( tL

VdvL

ti Itω

ωττ == ∫ ∞−

3b.3 Fasores

Los circuitos con resistencias, bobinas y condensadores (R, L, C), pueden modificar la amplitud y/o la fase de la tensión de entrada.• NO cambian la frecuencia

Fasores• Son complejos que representan la amplitud y la fase de

las tensiones y corrientes de un circuito en régimen permanente senoidal.

( ) cos( )I I Iv t V tω θ= + ( ) cos( )O O Ov t V tω θ= +

Fasores• Números complejos que representan tensiones y

corrientes senoidales

3b.3 Fasores

Si ( ) cos( ) IjI I I I Iv t V t V e θω θ= + → =V

{ }Re •

{ }Im •

IV

IθIV

j

1−

j−

{ }Re •

{ }Im •

1V

2V 1 2+V V

Suma de Fasores

1

Plano complejo

3b.3 Fasores

Ejemplo 9.5 (Nilsson): Suma de Fasores

{ }Re •

{ }Im •

1Y

2Y 1 2+Y Y

( )30º1 1( ) 20cos( 30º ) 20 10 3jy t t e jω= + → = = +Y

( )60º2 2( ) 40sin( 30º ) 40 20 1 3jy t t e jω −= + → = = −Y

sin( ) cos( / 2)x x π= −

30º 60º1 2

33.43º

20 40

37.32 24.64 40.64

j j

j

e e

j e

−

−

= +

= − =

Y +Y37.32

24.64j−

20

1 2( ) ( ) 40.64cos( 33.43º )y t y t tω+ = −

3b.4 Impedancias

Impedancia• Es el cociente entre el fasor de voltaje y el de corriente

• Ejemplos− Resistencias (ley de Ohm)

Impedancia

R

+

−

R=V I

( )[ ]V cos)( VI tVtv θω +=( )[ ]A cos)()( V

I tRV

Rtvti θω +==

VmV θ∠=V Vm

RV θ∠=I

[ ]Ω= IVZ

[ ]Ω== RIVZ

3b.4 Impedancias

Condensadores

• Impedancia

+

−

1j Cω

=V I j Cω=I V

VVmV θ∠=V 90º A

VmCV θω ∠ +=I( )Vm tVtv θω += cos)(

( )Vm tCVdt

tdvCti θωω +−== sin)()(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

2cos)sin( πxx

C

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

2cos πθωω Vm tCV

[ ]Ω====−

CjωC-j e

ωC

πj

ω111 2

IVZ

3b.4 Impedancias

Bobinas

• Impedancia

+

−

( )( ) di tv t Ldt

=

L

j Lω=V IjLω

= −I V

VVmV θ∠=V 90º

1 AVmV

L θω ∠ −=I

( )Vmt

tL

VdvL

ti θωω

ττ +== ∫ ∞−sin)(1)(

( )Vm tVtv θω += cos)(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2cos)sin( πxx

[ ]Ω=== 2 LjLeπj

ωωIVZ

3b.4 ImpedanciasImpedancia: cociente entre los fasores de tensión y corriente• Resistencia Bobina Condensador

Reactancia• Parte imaginaria de la impedancia:

Admitancia

+

−

VI

L

+

−

+

−

( )v t → V( )i t → I

(ohmios)RZ R= =VI

(ohmios)LZ j Lω= =VI

1 (ohmios)CZj Cω

= =VI

VI

Z R jX= +

1 (Siemens) YZ

=

Elemento Resistencia Reactancia

Resistor R 0

Bobina 0

Condensador 0

Lω1

Cω−

CR

3b.4 ImpedanciasComportamiento con la frecuencia• Bobinas Condensadores

( )( ) di tv t Ldt

= →

+

−

( )v t( )i t

L

Si 0 ( ) 0 cortocircuitoSi ( ) 0 circuito abierto

v ti t

ωω= ⇒ = ⇔→∞ ⇒ = ⇔

j Lω=V I

+

−

( )v t( )i t

( )( ) dv ti t Cdt

= →

Si 0 ( ) 0 circuito abiertoSi ( ) 0 cortocircuito

i tv t

ωω= ⇒ = ⇔→∞ ⇒ = ⇔

1j Cω

=V I

ω0

RZ R=1

CZj Cω

=

LZ j Lω= ( )Z Ωcircuito abierto

cortocircuitocortocircuito

circuito abierto

C

3b.5 Leyes de Kirchhoff

Ley de corrientes (y voltajes) de Kirchhoff

Agrupación de impedancias• Impedancias en serie Impedancias en paralelo

1 21

eqZ Z Z Rj Cω

= + = +

1Z R= 21Z

j Cω=

1 22

1 2 1eqZ Z j LZ

Z Z LCωω

= =+ −1Z j Lω= 2

1Zj Cω

=

Ι

+ +− −RV CV

1eqR Z

j Cω⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

V = I + I = I

R C+V = V V

( )ai t ( )bi t( )di t( )ci t

aI bI

cI dIFasor

3b.6 Métodos de Análisis

Tensiones en nodos

Corrientes en mallas

3b.7 Transformación de generadores

Generador de tensión en serie con impedancia es equivalente a generador de corriente en paralelo con la misma impedancia

• Ejemplo

3b.8 Equivalente Thèvenin y Norton

Cálculo del equivalente de Thèvenin respecto a los terminales a y b1. Tensión en circuito abierto:

Vab=VTH

2. Corriente en cortocircuito ISC

3. Impedancia de Thévenin

Ejemplo

SC

abTH I

VZ =

3b.9 SuperposiciónLinealidad en circuitos• Régimen transitorio (entradas de tipo escalón, pulso)

− Los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores, estos últimos en reposo (condiciones auxiliares nulas) son lineales.

• Régimen permanente (senoidal y continuo (ω=0 rad/seg)) − los circuitos con resistencias, bobinas y/o condensadores son lineales

Por ello, cuando un circuito en régimen permanente senoidal tenga dos o más generadores, se puede emplear SUPERPOSICIÓN para analizarlo.• Obligatorio en circuitos con dos (o más) generadores de DISTINTA

frecuencia

( )i t

3b.9 Superposición

Linealidad en circuitos

Anulamos el generador de 90 Hz .→ 0 V ⇔ cortocircuito

1( )CZj C

ωω

=

Ω−=×

= − kjj

ZC 6.210602

1)Hz 60( 6π

CfjfZC

11 2

1)(π

=

Anulamos el generador de 60 Hz → 0 V ⇔ cortocircuito

CfjfZC

22 2

1)(π

=

Ω−=×

= − kjj

ZC 7.110902

1)Hz 90( 6π

3b.9 Superposición

Linealidad en circuitosAnulamos el generador de 90 Hz .→ 0 V ⇔ cortocircuito

Ω−=×

= − kjj

ZC 6.210602

1)Hz 60( 6π

22

1( )2CZ f

j f Cπ=

( )1 1 1( ) cos 2 60 Ai t tπ= +∠I I

( )31( ) 1.46 10 cos 2 60 49,76º Ai t tπ−= × +

3b.9 Superposición

Linealidad en circuitos

Corriente total

15 mA.

2.2 1.7j′ =

−I

Anulamos el generador de 60 Hz → 0 V ⇔ cortocircuito

Ω−=×

= − kjj

ZC 7.110902

1)Hz 90( 6π

( ) ( )31 1 1( ) cos 2 90 A 1.79 10 cos 2 90 37,69º Ai t t tπ π−′ ′ ′= +∠ = × +I I

( ) ( )1 1 1 1( ) cos 2 60 A cos 2 90 Ai t t tπ π′ ′= +∠ + +∠I I I I