TEMA 3

� Objetivos.

� Sucesiones numéricas.

� Series numéricas.

� Manejar los conceptos de sucesión y serie y

utilizar las series de potencias para

representar las funciones.

Sucesiones de números reales: monotonía, acotación y convergencia

Se llama sucesión de números reales a toda aplicación f: N � R. El elemento

f(1) se denomina primer término de la sucesión y llamamos término

general de la sucesión al enésimo término f(n)

Cuando hablemos de la sucesión la podemos denotar como

Dadas dos sucesiones {an} y {bn} denominamos sucesión suma a la sucesión

que tiene por término general la suma de los términos generales

...}...,{ 21 naaa }{ na

Sucesiones de numeros reales: monotonía, acotación y convergencia

Definiciones:

Definición de límite de una sucesión

Se dice que un número real l es límite de una sucesión {an} y se denota:

Se dice que la sucesión {a } tiene límite + y se denota:

εε <−≥∀∈∃>∀⇔=∞→

||/0:}{lim 00 lannNnla nnn

Se dice que la sucesión {an} tiene límite + y se denota:

Se dice que la sucesión {an} tiene límite - y se denota:

∞MannNnMa nn

n>≥∀∈∃∀⇔+∞=

∞→ 00 /:}{lim

∞

mannNnma nnn

<≥∀∈∃∀⇔−∞=∞→ 00 /:}{lim

Tipos de sucesiones

Una sucesión {an} que posee límite finito se dice que es convergente, es decir

laRl nn

=∈∃∞→

}{lim/

Se dice que una sucesión {an} es divergente si:

Una sucesión se llama oscilante si no es convergente ni divergente

n ∞→

+∞=∞→ n

nalim

Subsucesiones

Se dice que es una subsucesión de {an} si {rn} es una sucesión estrictamente

creciente de números naturales

� Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, es único. � Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, en general, es falso.

}{nr

a

� Toda sucesión convergente es acotada. El reciproco, en general, es falso.� Si una sucesión tiene límite, finito o infinito, todas sus subsucesiones tienen

también el mismo límite. � Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente.

Además el límite coincide con el supremo del conjunto de los términos de la sucesión.

� Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente. Además el límite coincide con el ínfimo del conjunto de los términos de la sucesión.

� Toda sucesión monótona creciente y no acotada superiormente tiene límite .� Toda sucesión monótona decreciente y no acotada inferiormente tiene límite

∞+∞−

Operaciones con límites de sucesiones

Si se verifica

Rla

mlba nn

∈∀→+→+

·}·{

}{

ααα

RmbyRla nn ∈→∈→ }{}{

nbymlsidivergenteesb

a

nbymsim

l

b

ay

mb

aaparticularEnlaRla

mlba

Rla

nn

n

nn

n

n

nnnn

nn

n

∀≠=≠

∀≠≠→

→

→⇔→→−⇔∈→→

∈∀→

00,0

0011

0|}{|0}{,0|}{|}{

·}·{

·}·{ ααα

Teorema de la sucesión intermedia

Supongamos que para todo n suficientemente grande

Si entonces

nnn cab ≤≤

lcb nn

nn

==∞→∞→

limlim ( )−∞=+∞=∈=∞→

lólóRllannlim

Corolario:

Si y es acotada, entones

En efecto, y basta aplicar el teorema de la

sucesión intermedia

0}{ →na }{ nb 0}{ →⋅ nn ba

nnnnn aKbaba ··0 ≤=⋅≤

Algunos limites importantes

pSi

laentoncesla

aSi n

nn

n

=>

→→+

01

lim,0

1

Raen

a

aaSi

namayorunesnn

npSi

npSi

an

n

n

n

ppn

pn

∈∀=

+

=<

=>

=>

∞→

∞→

∞→

∞→

1lim

0lim,1

loginf0log

lim,0

01

lim,0

Sucesiones Recurrentes

La forma recurrente de representar una sucesión consiste en dar uno o

varios términos iniciales de la sucesión e indicar la fórmula para calcular

los términos sucesivos a partir de los dados

Ejemplos:

...}24,6,2,1,1{·1 11 Nnanaa nn ∈== +

...}5,3,2,1,1,0{10 1221 Nnaaaaa nnn ∈+=== ++

Sucesiones Recurrentes

Para calcular el límite de una sucesión recurrente, podemos intentar

demostrar la existencia de dicho límite mediante técnicas de monotonía y

acotación, usando para ello el principio de inducción

Por ejemplo, para demostrar que una sucesión recurrente es estrictamente

creciente mediante inducción comprobamos en primer lugar que a1 < a2 .

A continuación suponemos por hipótesis de inducción que an < an+1 y

demostramos que también an+1 < an+2

Introducción

Sea {an} una sucesión de números reales y formemos una nueva sucesión {sn}

de la forma:

∑n

La sucesión así formada se llama serie y se representa .

El numero sn es la suma parcial n-ésima de la serie

El numero an es el término n-ésimo de la serie

∑=

=+++=+==n

kknn aaaasaasas

12121211 ......

∑∞

=1nna

Convergencia y suma de una serie

Se dice que la serie es convergente, divergente u oscilante según que la

sucesión de sumas parciales {sn} sea convegente, divergente u oscilante

∑∞

=1nna

Si diremos que l es la suma de la serie y escribiremos

Si , se denota .Si , se denota

El carácter de una serie no se altera si se suprimen un número finito de

sumandos

+∞→}{ ns +∞=∑+∞

=1nna −∞→}{ ns −∞=∑

+∞

=1nna

lan

n =∑+∞

=1

lsn →}{

La serie geométrica

Si entonces

Si entonces

1|| <rr

rr

n

n

−=∑

+∞

= 11

11|| => rór divergenteesrn

n∑+∞

=1

Si la serie es oscilante

Ejemplo:

n=1

1−=r

1

21

1

21

2

1

2

1

1 1

=−

=

=∑ ∑∞

=

∞

=n

n

nn

La serie geométrica (Demostración)

1322

1

...·;... +

=

+++=+++==∑ nn

nn

kkn rrrsrrrrrs

rrsrsipuesAsírrsr

nn

11 1,.)·1(

++ −=≠−=−

−=−=

+∞→==

imparn

parnsrSi

divergentensrSi

n

n

1

01

,1

divergenteessentoncesydivergenteesrentoncesrSi

r

rsentoncesyrentoncesrSi

rsrsipuesAsírrsr

nn

nn

nn

n

1

1

1

,1

10,1

11,.)·1(

+

+

+

>−

→→<

−=≠−=−

Condición necesaria de Convergencia

La condición necesaria (no suficiente) para que una serie sea convergente es

que el término general de la misma converja a cero

Ejemplos:

� La serie no es convergente, puesto que

� La serie armónica es divergente puesto que

∑∞

= +1 1n n

n1

1→

+n

n

∑∞

=1

1

n n+∞→+++=

nsn

1...

2

11

Operaciones con Series

� Si

� Si una serie es convergente, su carácter y su suma no varían al sustituir

∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=+=+==1111

·)·()(n

nn

nnn

nn

n lamlbaentoncesmbyla αα

� Si una serie es convergente, su carácter y su suma no varían al sustituir

grupos de términos consecutivos por sus sumas

� Si una serie es divergente, lo sigue siendo al sustituir grupos de términos

consecutivos por sus sumas

� Para series oscilantes lo anterior, en general, no se verifican

Series de Términos no Negativos

Una serie de términos no negativos es convergente si y solo si, la sucesión de

naa nn

n ∀≥∑∞

=

01

Una serie de términos no negativos es convergente si y solo si, la sucesión de

sumas parciales es acotada

Una serie con términos no negativos es convergente o bien divergente a

pero nunca es oscilante (debido a que sn es monótona creciente)

Ejemplo:

� La serie llamada serie armónica generalizada converge si α > 1 y

diverge si α ≤ 1

∞+

∑∞

=1

1

n nα

Series de Términos no Negativos

Criterio de Comparación en el Límite:

� Sea y dos series con términos positivos tal que lb

a

n

n

n=∃

∞→lim∑

∞

=1nna ∑

∞

=1nnb

� Se verifica que:

� Si las dos series convergen o divergen simultaneamente

� Si y la serie converge, entonces también converge

� Si y la serie diverge, entonces también diverge

∞≠> lyl 0

0=l ∑∞

=1nnb ∑

∞

=1nna

∑∞

=1nnb+∞=l ∑

∞

=1nna

Series de Términos no Negativos

Criterio de la raíz:

� Sea una serie de términos positivos tal que lan

nn

=∞→

lim∑∞

=1nna

� Se verifica que:

� Si la serie es convergente

� Si la serie es divergente

� Si el criterio no decide

10 <≤ l

1>l

1=l

Series de Términos no Negativos

Criterio del cociente:

� Sea una serie de términos positivos tal que la

a

n

n

n=+

∞→

1lim∑∞

=1nna

� Se verifica que:

� Si la serie es convergente

� Si la serie es divergente

� Si el criterio no decide

1<l

1>l

1=l

Series de Términos no Negativos

Criterio de Raabe:

� Sea una serie de términos postiivos tal que la

an

n

n

n=

− +

∞→

11·lim∑∞

=1nna

� Se verifica que:

� Si la serie es convergente

� Si la serie es divergente

� Si el criterio no decide

1>l

1<l

1=l

Series de Términos Arbitrarios (Series Alternadas)

Una serie alternada es aquella en la que dos términos consecutivos tienen

signos apuestos. La forma más común que presentan estas series es:

0;...)1( ≥+−+−=−∑∞

n aaaaa

Criterio de Leibniz:

� Sea {an} una sucesión monótona decreciente de números no negativos,

es decir, y, además, convergente a cero.

Se verifica que la serie alternada es convergente

0...321 ≥≥≥≥ aaa

0;...)1(1

321 ≥+−+−=−∑=

nn

nn aaaaa

∑∞

=

−1

)1(n

nna

Definiciones

� La serie es absolutamente convergente la serie es

convergente.

� Si es absolutamente convergente es convergente

∑∞

=1nna :⇔ ∑

∞

=1nna

∑∞

na ∑∞

⇒ na� Si es absolutamente convergente es convergente

� Las series que son convergentes, pero no absolutamente convergentes, se

llaman condicionalmente convergentes

∑=1n

na ∑=

⇒1n

na

Suma de algunas series

Serie geomética

� Si 1<a ∑∞

= −=

1 1n

n

a

aa

Series aritmético-geométricas

� La serie aritmetico-geometrica tiene la forma siendo P(n) un

polinomio

� Si |a| < 1 es convergente

� Si llamamos S a su suma, se verifica donde k es

una constante y Q un polinomio de grado menor que P

∑∞

=

⋅1

)(n

nanP

∑∞

=

⋅+=−1

)(n

nanQkaSS

Suma de algunas series

Series telescópicas

� La serie es telescópica si an puede escribirse en la siguiente forma

an = bn – bn+1 y por tanto la suma parcial es sn = b1 – bn+1

∑∞

=1nna

an = bn – bn+1 y por tanto la suma parcial es sn = b1 – bn+1

� Esta serie converge si la sucesión {bn} converge y en este caso:

nn

nn bba

∞→

∞

=

−=∑ lim11