TEMA 4: LENGUAJE ALGEBRAICO...La expresión algebraica que da el número de bolas que quedan es x...

TEMA 4: LENGUAJE

ALGEBRAICO

I.E.S. Mata Jove Unidad 4. Lenguaje algebraico

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CONTENIDOS DE LA UNIDAD RESULTADO DE APRENDIZAJE IMPRESCINDIBLE

• Expresiones algebraicas. Traducción de

situaciones del lenguaje verbal al algebraico.

• Monomios. Polinomios. Raíz de un polinomio

• Realización de operaciones con polinomios: suma, resta, producto y división.

• Identidades notables

1. Traducir situaciones del lenguaje verbal al

algebraico. 2. Operar con expresiones algebraicas: suma,

resta, producto y división. 3. Conocer y utilizar las identidades notables.


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1. Lenguaje algebraico

1.1. Expresiones algebraicas 1.2. Traducción de enunciados 1.3. Valor numérico

2. Monomios 2.1. Definición 2.2. Elementos de un monomio 2.3. Operaciones con monomios

2.3.1. Suma de monomios 2.3.2. Producto de monomios 2.3.3. Cociente de monomios 2.3.4. Potencias de monomios

3. Polinomios 3.1. Definiciones 3.2. Valor numérico de un polinomio. Evaluación de un polinomio. 3.3. Operaciones con polinomios

3.3.1. Suma y resta de polinomios 3.3.2. Producto de polinomios

3.3.3. Cociente de polinomios 3.3.4. Factores comunes

3.4. Factorización de polinomios I 3.5. Identidades notables 3.5.1. Diferencia de cuadrados 3.5.2. Cuadrados perfectos

3.6. Regla de Ruffini

3.7 Factorización de polinomios II


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1. Lenguaje algebraico 1.1. Expresiones algebraicas El lenguaje numérico expresa la información matemática a través de los números, pero en algunas ocasiones, es necesario utilizar letras para expresar números desconocidos. El lenguaje algebraico expresa la información matemática mediante letras y números. Así, x+2 es una expresión algebraica formada por la letra x, el signo + y el número 2. Esta expresión algebraica puede leerse como un número más dos. Para escribir una expresión algebraica debes tener en cuenta que puedes sustituir el signo x de la multiplicación por el signo · o bien puedes suprimirlo: 3 x x2 à 3 · x2 à 3x2

y también que no se suelen escribir ni el factor 1 ni el exponente 1. 1x5 à x5 8x1 à 8x

Ejemplo 1: Extraemos 3 bolas de una vasija que contiene x bolas. La expresión algebraica que da el número de bolas que quedan es x – 3. Ejemplo 2: Un coche da 3 vueltas a un circuito de longitud l kilómetros. La expresión algebraica que indica el espacio que recorre es 3l.

1.2. Traducción de enunciados Como hemos visto el lenguaje algebraico permite expresar operaciones con números desconocidos. Así, se puede representar la suma de dos números como x+y y el triple de la suma de dos números como 3(x+y). De esta forma se realiza una traducción de enunciados a lenguaje algebraico. Asimismo mediante la traducción de enunciados se pueden expresar números desconocidos en términos de otros.


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Ejemplo 3: Si la edad de Juan es x y Lola tiene el triple de la edad de Juan más cuatro años, se puede expresar la edad de Lola como 3x+4 y si Pedro tiene el doble de la edad de Lola, se puede expresar la edad de Pedro como 2(3x+4).

Ejemplo 4: Si Juan tiene x libros y Ana tiene el doble de los libros que tiene Juan más 5 se puede expresar el número de libros que tiene Ana como 2x+5. Ejemplo 5: Si el precio de un lápiz es x euros y el de un bolígrafo y euros, el precio de 5 lápices y 3 bolígrafos se puede expresar como 5x+3y.

1.3. Valor numérico Las expresiones algebraicas indican operaciones con números desconocidos. Ejemplo 6: Si un operario cobra 15 € por el desplazamiento y 20 € por cada hora, la expresión algebraica 15 + 20x indica el importe que cobrará por un número desconocido x de horas de trabajo. Y si queremos averiguar cuánto cobrará por trabajar 2 horas sustituiremos x por 2. Observa: 15+20x y entonces, para x=2 se tiene 15+20·2=15+40=55 euros. De esta forma hemos hallado el valor numérico de 15 + 20x para x = 2 y hemos obtenido 55. El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas Ejemplo 7: El valor numérico de 3x3-5x2 para x = 2 es 3·23-5·22= 3·8-5·4=24-20=4 Ejemplo 8: Si el precio de alquiler de un coche es de 78 € diarios más 0,12 € por km recorrido, la expresión algebraica 78x+0,12y indica el importe que se debe pagar por alquilar x días un coche y recorrer y km. Podemos hallar el importe que se debe pagar por alquilar un coche 2 días y recorrer 400 km sustituyendo la x por 2 y la y por 400. Observa: 78·2+0,12·200=156+24=180 Se deberán pagar 180 €. Ø Ejercicio 1: Escribe en lenguaje algebraico: a) El doble de un número más tres. b) El cuadrado de un número menos cinco. c) El doble de un número más el triple del mismo número. Ø Ejercicio 2: Escribe una expresión algebraica que de: a) El perímetro de un triángulo equilátero de lado x


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b) El perímetro de un rectángulo de base x cuya altura mide 1 cm menos que su base. c) El área de un rectángulo de base x cuya altura mide 6 cm menos que su base. Ø Ejercicio 3: Escribe utilizando el lenguaje algebraico las siguientes afirmaciones

a) El doble de un número b) La mitad de un número c) La décima parte de un número d) Un número más su cuarta parte e) El triple de un número más el doble de otro f) La quinta parte de un número g) La suma de dos números es 15 h) La mitad de un número más el triple de otro i) La diferencia de dos números j) El producto de dos números k) El doble de un número dividido de otro l) La mitad de la suma de dos números m) La sexta parte de un número más su cuadrado n) Un número más su quinta parte es 7 o) La diferencia de dos números es el doble de otro p) El producto de tres números es 0 q) La diferencia de dos números es 100 r) El triple de un número es el doble de otro s) La séptima parte de un número es 87 t) Dos números se diferencian en 3 unidades u) El cuadrado de un número más el doble del mismo número v) El cubo de un número menos la mitad de otro número w) Un número más su siguiente es el cuadrado de dicho número. x) La suma del cuadrado de dos números y) La diferencia de un número y de su cuadrado z) El cuadrado de la suma de dos números

2. Monomios

2.1. Definición Un monomio es una expresión algebraica donde las operaciones entre las variables son productos y potencias de exponente natural.

Ejemplo 9: 2x2y3z es un monomio.


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2.2. Elementos de un monomio

• Coeficiente: El coeficiente de un monomio el número que multiplica a la/las variable/s.

• Parte literal: La parte literal está formada por las variables (letras) y sus exponentes.

• Grado: El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus letras o variables.

Ejemplo 10: El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6

• Monomios semejantes: Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplo 11: 2x2y3z es semejante a 5x2y3z

Nota: El opuesto de un monomio tiene distinto signo.

Ejemplo 12: El opuesto de of 5y es -5y.

2.3. Operaciones con monomios

2.3.1. Suma de monomios

Para poder sumar monomios, deben ser semejantes. La suma de dos monomios es otro monomio cuya parte literal es la misma y el coeficiente es la suma de los coeficientes. axn + bxn = (a + b)xn

Ejemplo 13: 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

La suma de dos o más monomios no semejantes es un polinomio.

Ejemplo 14: 2x2 y3 + 3x2 y3 z es un polinomios 2.3.2. Producto de monomios El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las potencias de las partes literales.

axn · bxm = (a · b)(xn · x m) = (a · b)xn + m

Ejemplo 15: (5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3


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2.3.3. División de monomios

La división de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y la parte literal es el cociente de las potencias de igual base.

axn : bxm = (a : b) (xn : x m) = (a : b)xn – m

Ejemplo 16:

Si el grado del divisor es mayor que el grado del dividendo, se obtiene una fracción algebraica. Ejemplo 17:

2.3.4. Potencias de monomios Para calcular la potencia de un monomio, cada elemento del monomio es elevado al exponente de la potencia. (axn)m = am · xn · m

Ejemplo 18: (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9

(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6

Ø Ejercicio 4: Completa la tabla:

Monomio Coeficiente Parte literal Variables Grado Semejante Opuesto

-6x7 -6 x7 x 7 8x7 6x7

3x2y3

a4b7

-8abc3

53

zyx41 25-


9

Ø Ejercicio 5: Simplifica agrupando términos semejantes.

a) 2x2 + 3x2 - 7x2 + 8x2 – x2 =

b) 5xy3 – 2xy3 + 7xy3 – 3xy3 + 12xy3 =

c) 3abc – 2abc + 6abc + 9 abc – 4abc =

d) 5xz – 3xz + 15xz – 11xz + 8xz – 3xz =

e) (2xyz) · (2x2yz3) =

f) (-2abc) · (3a2b2c2)·(-bc) =

g) 7x·(2xy) · (-3xy5)·(xy) =

h) (6ac3) · (-2a2c3) · (-3ac)·(-4a3c2) =

i) (21x2y3) : (7xy2) =

j) (9abc) : (3bc) =

k) (16x4y5a3b6) : (8x2y3a2b5) =

l) (5m3n2g4) : (2mng) =

Ø Ejercicio 6: Simplifica agrupando términos semejantes.

a) P(x) = -x2 – x – 2 – x3 + x2 – x – 2 =

b) Q(x) = -x2 + x2 + 6 –x + x2 -7x -2 =

c) R(x) = x + 1 – x + x2 =

d) S(x) = 8 – x + 34 – x + 324 =

e) T(x) = x4 + x4 – x3 + x2 – 7x – 2 =

f) U(x) = x2 – x - - x2 =

21

61

72


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3. Polinomios

3.1. Definiciones

Un polinomio es un monomio o la suma de varios monomios no semejantes.

Cada monomio es llamado término del polinomio, y el término que no tiene parte literal es llamado término independiente.

¡Importante!: Los términos están separados por signos de suma o resta, nunca por signos de multiplicación.

Un polinomio con un solo término es llamado monomio.

Un polinomio con dos términos es llamado binomio.

Un polinomio con tres términos es llamado trinomio.

Los términos se suelen escribir en orden descendente según su grado, y el grado del polinomio es el grado del término de grado mayor.

El opuesto de un polinomio, P(x), es obtenido cambiando el signo de todos los términos del polinomio, y se escribe – P(x).

Ejemplo 19: Completa la tabla:

Polinomio Grado Variables Término

independiente Opuesto

P(x,y) = -2x5 - x2y2 + 5x3 – 1 + 3x3 + 3

Q(x,y) = x2 + 4x3 – x – 9 + 4x4y3

R(x,y) = x9 - x7y3 + y13 -4

S(x,y,z) = 7x2yz - 3xy2z + 8xyz2

U(x) =

3.2. Valor numérico de un polinomio. Evaluación de un polinomio.

Evaluar un polinomio es encontrar el valor numérico de un polinomios cuando las variables (x, y, …) son reemplazadas por algún número.

61xx

21 2 --


11

Ejemplo 20: Evaluar P(x) = 2x3 + 5x − 3 en x = 1

P(1) = 2 · (1)3 + 5 · (1) − 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Ejemplo 21: Calcula el valor numérico (evalúa) P(x) = 3x6 + 2x5 – 3x4 - x2 + 7x - 2 cuando x=0

P(0) = 3(0)6 + 2(0)5 - 3(0)4 - (0)2 + 7(0) - 2 = -2

Ejemplo 22: Evalúa Q(x,y)= -x4y - x2y + 7xy - 2 cuando x = 1 e y = 2

Q(1,2) = - (1)4(2) - (1)2(2) + 7(1)(2) - 2 = -2-2 + 14 – 2 = 8

Un valor a es llamado raíz o cero de un polinomio si su valor numérico es cero. Es decir, P(a) = 0

Ejemplo 23: Comprueba si los valores -1 y 1 son raíces del polinomio P(x) = x2 -1. ¿Podemos encontrar alguna raiz más del polinomio?

Ø Ejercicio 7 : Reduce agrupando términos semejantes, y entonces calcula el valor numérico cuando x = 2

a) P(x) = 4 – 3x2 + x – x2 +1

b) Q(x) = x4 – 4 - 3x2 + x – x2 + 1 – 3x4 - 3x

3.3. Operaciones con polinomios 3.3.1. Suma y resta de polinomios

Para sumar o restar polinomios debemos agrupar términos semejantes.

Ejemplo 25: (podemos sumar o restar vertical u horizontalmente) Suma y resta los polinomios P(x) = 2x3 - 3x2 + 4x +1 y Q(x) = -x3 + x2


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3.3.2. Producto de polinomios

Para multiplicar polinomios, primero multiplicamos cada monomio de un polinomio por todos los monomios del otro, y entonces, sumamos los polinomios obtenidos (podemos multiplicar vertical u horizontalmente).

Ejemplo 26:

3.3.3. Cociente de polinomios

Al dividir dos polinomios P(x) y Q(x), usando el algoritmo de la división, obtenemos otros dos polinomios, C(x) y R(x), que verifican:

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x) donde Grado de R(x) < Grado de Q(x)

Los polinomios P(x), Q(x), C(x) y R(x) son llamados dividendo, divisor, cociente y resto, respectivamente.

Ejemplo 27: Dividir P(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 3 por Q(x) = 2x2 – x +1


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Ø Ejercicio 8: Calcula la suma, la diferencia y el producto de los siguientes pares de polinomios.

a) R(x) = x3 – x + 1; S(x) = x2 + 1

b) R(x) = x2 + x – 1; S(x) = 3x – 4

c) R(x) = 2x2 + 7x +14; S(x) = -3x2 -12

Ø Ejercicio 9: Calcula –A(x) + B(x) y -A(x) – B(x) con los polinomios:

A(x) = 3x4 – 5x3 + x2 – 7

B(x) = -3x4 + x3 -2x +1

Ø Ejercicio 10: Calcula:

a) (x - 1) : x

b) (x2 -1) : (x-1)

c) (x2 – 5x + 6) : (x-2)

d) (x2 – 5x + 6) : (x-3)

e) (x3 – 3x2 + 2x) : x

f) (2x3 – 3x2 + 4x -3) : (x2 + x + 1)

g) (6x4 + +4x3 – 8) : (2x2+2)


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Ø Ejercicio 11: Encuentra el resto de la siguiente división, sin realizar esta operación división.

Dividendo

Divisor

Cociente

Ø Ejercicio 12: Realiza la siguiente división y comprueba que está bien realizada.

(x3- 4x2 + 5x – 2 ) : (x2 -2)

Ø Ejercicio 13: Dados los polinomios:

Calcula:

a) P(x) – R(x) – Q(x) =

b) P(x) – [R(x) - Q(x)] =

c) [2P(x) - R(x)] – [3Q(x) – S(x) ] =

d) R(x) · S(x) =

e) [S(x) – 2P(x)] · R(x) =

Ø Ejercicio 14: Calcula:

a) (-3x2 +7x2 - x) : 2x

b) (x3 + x2 + x + 1) : (x + 1)

c) (x3 – 5x2 + 6) : (x - 3)

d) (x4 – 4x2 + 4) : (x2 + 2)

3.4 Factorización de polinomios I

Factorizar es escribir una expresión como producto de factores. Factorizar es el proceso contrario a expandir.

expandir

Ejemplo 28: 5(x-1) = 5x-5

contraer


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Importante: A este nivel de factorización estamos utilizando la propiedad distributiva, que dice:

a · ( b + c) = a · b + a· c

Ø Ejercicio 15: Copia y completa:

a) 3x + 6 = 3 (x + …..)

b) 16 – 4b = 4 (…… - b)

c) 6p2 – p = p (6p - ……)

d) 4a – 8 = 4 (a - ……)

e) 14x + 21 = 7 (…… + 3)

f) 15x2 + 10x = 5x (…… + 2)

Ø Ejercicio 16: Copia y completa:

a) 6a + 12 = 6 (…… + ……)

b) 3b – 3 = 3 (…… - ……)

c) 9 + 3c = 3 (…… + ……)

d) 16d -12 = …… (4d - ……)

e) 15xy + 20y = ……(3x + 4)

f) 12y – 18y2 = 6……(2 - ……)

g) 3xy – xy2 =……(3 - ……)

h) 5xy – yz = y (…… - ……)

Ø Ejercicio 17: Factoriza completamente:

a) 2x – 4 =

b) 11a + 11b =

c) x – xy =

d) 9x – 27 =

e) 2xy – yz =

f) 12x – 8xy =

g) x2 + 5x =

h) 7x3 – x2 =

i) X2y – xy2 =


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3.5. Identidades notables 3.5.1. Diferencia de cuadrados

Expandiendo el producto (a+b) · (a-b) = a2 – ab +ab – b2 = a2 – b2.

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados es igual a la suma por la diferencia: a2 – b2 = (a+b) · (a-b).


a) c2 – d2 =

b) m2 – n2 =

c) n2 – m2 =

d) a2 – b2 =

e) x2 – 16 =

f) x2 – 36 =

g) a2 – 25 =

3.5.2. Cuadrados perfectos

3.5.2.1. Cuadrado de una suma y cuadrado de una diferencia

Sabemos que:

(a+b)2 = (a+b) · (a+b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a-b)2 = (a-b) · (a-b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

Expresiones como a2 + 2ab + b2 y a2 - 2ab + b2, son considerados cuadrados perfectos, ya que se pueden factorizar como el producto de dos factores idénticos.

a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 a2 - 2ab + b2 = (a-b)2

Ejemplo 29: x2 + 6x + 9 y x2 – 6x + 9 son cuadrados perfectos pues x2 + 6x + 9 = (x+3)2 y x2 – 6x + 9 = (x-3)2

3.5.2.2. Identificar cuadrados perfectos

Observa que:

(a+b)2 = a2 + 2ab+ b2 y (a-b)2 = a2 - 2ab+ b2

En un cuadrado perfecto debe haber dos cuadrados a2 y b2 y un término de la forma ±2ab.

Ejemplo 30:

x2 + 10x + 25 = = x2 + 2 · 5 · x + 52 = = (x+5)2


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Ejemplo 31:

x2 - 10x + 25 = = x2 - 2 · 5 · x + 52 = = (x-5)2

Ejemplo 32: x2 + 10x + 26 no cumple estas condiciones.

Ø Ejercicio 19: Factoriza:

a) 16x2 - 40x + 25 =

b) 4x2 + 28x + 49 =

c) 4x2 - 12x + 9 =

d) 9x2 + 6x + 1 =

e) 9x2 - 30x + 25 =


a) 2x2 + 4x + 2 =

b) 2x2 - 12x + 18 =

c) 3x2 + 30x + 75 =

d) ax2 – 10ax + 25a =

e) 27x2 – 18x + 3

Ø Ejercicio 22: Expande los siguientes cuadrados perfectos.

Ø Ejercicio 23: Expande:

Ø Ejercicio 24: Calcula los siguientes productos.


19

Ø Ejercicio 25: Encuentra si estas expresiones se pueden expresar como producto de una suma por una diferencia.



3.6. Regla de Ruffini

En Matemáticas, la regla de Ruffini es un eficiente técnica para dividir un polinomio por un binomio de la forma x − a, siendo a un número entero. Esta técnica fue descrita por el matemático italiano Paolo Ruffini en 1809.

Ejemplo 33:


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Ø Ejercicio 29: Trabaja en pareja para realizar las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. Tienes

que encontrar el cociente y el resto en cada división. a) ( x5-x3+x2-x4+3x-7) : (x-2) b) ( x4+2x2-x-3) : (x+1) c) (2x4-x3+x+3) : (x-3) d) ( x3-8x+x2-7) : (x+2)

Ø Ejercicio 30: Completa las siguientes divisiones y escribe dividendo, divisor, cociente y resto.

a) 3 4 0 -1 -1

b) 4 3 2 1

-1


21

c) 1 0 -1 2 2

d) 0 0 -3 -4 8

3.7 Factorización de polinomios II

Si un polinomio se puede poner como producto de otros dos polinomios decimos que estos son factores o divisores del polinomio. Es decir,

Si P(x)=Q(x)·R(x) entonces Q(x) y R(x) son factores o divisores de P(x).

No se consideran divisores de un polinomio los divisores que tienen el mismo grado que el polinomio ni los de grado 0, es decir, las constantes (números).

Ejemplo 34: 2x2+4x= 2x·(x+2) y aquí, 2x y x+2 son divisores del polinomio porque tienen grado menor que dos, sim embargo, si lo factorizamos como 2x2+4x= 2·(x2+2x), no se considera que 2 ni x2+2x lo sean.

Si el polinomio no tiene divisores, decimos que es irreducible.

Para determinar divisores de grado 1 de un polinomio cuyos coeficientes son números enteros utilizamos la Regla de Ruffini tomando como a los divisores del término independiente del polinomio.

Ejemplo 35: Factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios del menor grado posible. Para factorizar un polinomio utilizamos técnicas como: • Sacar factor común • Igualdades notables • Regla de Ruffini


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Ejemplo 36:

Ø Ejercicio 31: Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios:

a) 8x3-4x b) 18x3+14x2 c) 9x2+12x

d) x2+10x+25 e) x2+2x+1 f) 4x4-16x2+16

g) x2-4 h) 4x2-16 i) x3-3x2+4

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