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Tema 4: Sucesiones y ecuaciones 4.1 El lenguaje algebraico, polinomios y ecuaciones. Ejemplo 1. Expresa en lenguaje algebraico: a) el cuadrado de un número x 2 dónde x representa un número cualquiera. El coeficiente es 1, la variable es x y el grado es 2.Es un monomio. b) El cuádruple de un número 4x, dónde x representa un número cualquiera. El coeficiente es 4, la variable es x y el grado es uno. Es un monomio. c) La suma de un número más su cuádruple x 4x, dónde x representa un número cualquiera. Los coeficientes son 1 y 4, mientras que la variable es x. En ambos casos la variable es x.No tenemos un monomio, tenemos un binomio. d) El cubo de un número menos su mitad x 3 x 2 , dónde x representa un número cualquiera. Los coeficientes son 1 y 1 2 , mientras que la variable es x. Los grados son 3 y 1. Es un binomio. e) El triple de un número más uno 3x 1, dónde x representa un número cualquiera. Los coeficientes son 3 y 1, mientras que la variable es x. Los grados son 1 y 0. En este caso el 1, recibe el nombre de término independiente. Es un binomio. f) El cubo de un número x 3 donde x es un número cualquiera. El coeficiente es 1, la variable es x y el grado es tres. Se trata de un monomio. Ejemplo Determina cuáles de las siguientes expresiones son monomios. Cuando lo sean, determina su coeficiente, su grado y sus variables. a) 3x 1 3 esto no es un monomio pues el exponente es fraccionario. b) 3 25 3 25 1 3 25 x 0 si es un monomio. Su coeficiente es 3 25 , su grado es cero y la variable es x. Conclusión: cualquier número es un monomio. c) 19x 5 si es un monomio. Su coeficiente es 19. Su grado es 5. Su variable x. d) 31x 3 12x 7 no es un monomio. Se trata de un polinomio. e) 12x 2 yz 2 si es un monomio. Su coeficiente es 12. Su grado es 2 1 2 5 Sus variables x, y, z. Ejemplo Determina cuáles de los siguientes monomios son semejantes: 12x 4x 2 13y 7x 4 8 6x 2 8x 4 4 5 x 5x 3 3 2 a) Son semejantes 8x 4 y 7x 4 . b) Son semejantes 6x 2 y 4x 2 . c) Son semejantes 12x y 4 5 x. d) Son semejantes 8 y 3 2 . Tareas 06-10-13: ejercicios 1 y 2 de la página 100. Ejemplo Realiza las siguientes operaciones con monomios: a) 8x 4 4x 2 8x 4 4x 2 1

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Tema 4: Sucesiones y ecuaciones

4.1 El lenguaje algebraico , polinomios y ecuaciones .Ejemplo1. Expresa en lenguaje algebraico:a) el cuadrado de un número� x2 dónde x representa un número cualquiera.El coeficiente es 1, la variable es x y el grado es 2.Es un monomio.b) El cuádruple de un número� 4x, dónde x representa un número cualquiera.El coeficiente es 4, la variable es x y el grado es uno. Es un monomio.c) La suma de un número más su cuádruple� x � 4x, dónde x representa un número cualquiera.Los coeficientes son 1 y 4, mientras que la variable es x. En ambos casos la variable es x.No tenemos unmonomio, tenemos un binomio.d) El cubo de un número menos su mitad� x3 � x

2, dónde x representa un número cualquiera.

Los coeficientes son 1 y � 12

, mientras que la variable es x. Los grados son 3 y 1. Es un binomio.

e) El triple de un número más uno� 3x � 1, dónde x representa un número cualquiera.Los coeficientes son 3 y 1, mientras que la variable es x. Los grados son 1 y 0. En este caso el 1, recibe elnombre de término independiente. Es un binomio.f) El cubo de un número� x3 donde x es un número cualquiera.El coeficiente es 1, la variable es x y el grado es tres. Se trata de un monomio.

EjemploDetermina cuáles de las siguientes expresiones son monomios. Cuando lo sean, determina su coeficiente,su grado y sus variables.a) 3x

13 �esto no es un monomio pues el exponente es fraccionario.

b) 3 25 � 3 25 � 1 � 3 25 � x0 �si es un monomio. Su coeficiente es 3 25, su grado es cero y la variable esx.Conclusión: cualquier número es un monomio.c) 19x5 �si es un monomio.Su coeficiente es 19.Su grado es 5.Su variable x.d) �31x3 � 12x � 7 �no es un monomio. Se trata de un polinomio.e) 12x2yz2 �si es un monomio.Su coeficiente es 12.Su grado es 2 � 1 � 2 � 5Sus variables x, y, z.

EjemploDetermina cuáles de los siguientes monomios son semejantes:

12x �4x2 �13y 7x4 8

6x2 �8x4 45

x �5x3 32

a) Son semejantes �8x4 y 7x4.b) Son semejantes 6x2 y �4x2.

c) Son semejantes 12x y 45

x.

d) Son semejantes 8 y 32

.

Tareas 06-10-13: ejercicios 1 y 2 de la página 100.

EjemploRealiza las siguientes operaciones con monomios:a) �8x4 � ��4x2� � � 8x4 � 4x2

1

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Se queda así pues los monomios no son semejantes (es decir, no tienen la misma parte literal)b) 6x2 � 4x2 � �6 � 4�x2 � 2x2

c) 6x2 � ��4x2� � �6 � ��4��x2 � �6 � 4�x2 � 10x2

d) �8x4 � 7x4 � ��8 � 7�x4 � � 1x4 � �x4

e) 12x � 45

x � 12� 45

x � 645

x

12� 45

� 12 � 5 � 45

� 60� 45

� 645

f) 3 � 2x2 � 6x2

g) ��3� � 10x2 � � 30x2

h) ��4� � ��8x4� � 32x4

Hemos realizado el producto de un número por un monomio.i) �2x2� � ��8x4� � ��2� � ��8�� � x2�4 � �16x6

j) �6x2� � ��4x2� � 6 � ��4� � x2�2 � �24x4

k) 45

x � 67

x3 � 45

� 67

� x1�3 � 2435

x4

Hemos realizado el producto de dos monomios.2 ¿Para qué valor de x las siguientes expresiones resultan ser ciertas?

a) 3x � 9, Solution is: 3Pues 3 � 3 � 9b) 2x � 10, Solution is: 5Pues 2 � 5 � 10c) 6x � 6 � 0, Solution is: 1Pues 6 � 1 � 6 � 0d) �4x � 12, Solution is: �3Pues ��4���3� � 12e) x � 7 � �12, Solution is: �19Pues �19� 7 � � 12f) 2x � 1 � 15, Solution is: 7Pues 2 � 7 � 1 � 15

g) x � 53

� 2, Solution is: 11

Pues 11� 53

� 63

� 2

En todos los casos, hemos resuelto la ecuación, pues hemos encontrado su solución.3 Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas de acuerdo a los distintos

valores de x:a) x � 1Si x � 1 � 1 � 1 � 0Si x � 2 � 2 � 1 � 1Si x � �1 � �1 � 1 � � 2Si x � �2 � �2 � 1 � � 3Si x � 0 � 0 � 1 � � 1b) 1 � xSi x � 1 � 1 � 1 � 0Si x � 2 � 1 � 2 � � 1Si x � �1 � 1 � ��1� � 1 � 1 � 2Si x � �2 � 1 � ��2� � 1 � 2 � 3Si x � 0 � 1 � 0 � 1c) 3x � 3Si x � 1 � 3 � 1 � 3 � � 3 � 3 � 0Si x � 2 � 3 � 2 � 3 � 6 � 3 � 3Si x � �1 � 3 � ��1� � 3 � � 3 � 3 � �6Si x � �2 � 3 � ��2� � 3 � � 6 � 3 � �9

2

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Si x � 0 � 3 � 0 � 3 � 0 � 3 � �3d) 2x � 1Si x � 1 � 2 � 1 � 1 � 2 � 1 � 3Si x � 2 � 2 � 2 � 1 � 4 � 1 � 5Si x � �1 � 2 � ��1� � 1 � � 2 � 1 � �1Si x � �2 � 2 � ��2� � 1 � � 4 � 1 � �3Si x � 0 � 2 � 0 � 1 � 0 � 1 � 1e) 5�x � 2�Si x � 1 � 5�1 � 2� � 5��1� � �5Si x � 2 � 5�2 � 2� � 5 � 0 � 0Si x � �1 � 5��1 � 2� � 5 � ��3� � �15Si x � �2 � 5��2 � 2� � 5 � ��4� � �20Si x � 0 � 5�0 � 2� � 5 � ��2� � �10f) x2

Si x � 1 � 12 � 1Si x � 2 � 22 � 4Si x � �1 � ��1�2 � 1Si x � �2 � ��2�2 � 4Si x � 0 � 02 � 0g) �x2 � ��1� � x2

Si x � 1 � �12 � � 1Si x � 2 � �22 � � 4Si x � �1 � ���1�2 � � 1Si x � �2 � ���2�2 � � 4Si x � 0 � �02 � � 0 � 0h) ��x�2 � ��x���x� � x2

Si x � 1 � ��1�2 � ��1���1� � 1Si x � 2 � ��2�2 � ��2���2� � 4Si x � �1 � ����1��2 � 12 � 1Si x � �2 � ����2��2 � 22 � 4Si x � 0 � ��0�2 � 02 � 0i) x

2Si x � 1 � 1

2Si x � 2 � 2

2� 1

Si x � �1 � �12

� � 12

Si x � �2 � �22

� � 1

Si x � 0 � 02

� 0

j) 3x2 � 5x � 7Si x � 1 � 3 � 12 � 5 � 1 � 7 � 3 � 1 � 5 � 7 � 3 � 2 � 5Si x � 2 � 3 � 22 � 5 � 2 � 7 � 3 � 4 � 10� 7 � 12� 3 � 9Si x � �1 � 3 � ��1�2 � 5 � ��1� � 7 � 3 � 1 � 5 � 7 � 3 � 12 � 15Si x � �2 � 3 � ��2�2 � 5 � ��2� � 7 � 3 � 4 � 10� 7 � 12� 17 � 29Si x � 0 � 3 � 02 � 5 � 0 � 7 � 3 � 0 � 0 � 7 � 0 � 7 � 7k) 2x3 � 5x2 � 6x � 1Si x � 1 � 2 � 13 � 5 � 12 � 6 � 1 � 1 � 2 � 1 � 5 � 1 � 6 � 1 � 2 � 5 � 5 � 2Si x � 2 � 2 � 23 � 5 � 22 � 6 � 2 � 1 � 2 � 8 � 5 � 4 � 12� 1 � 16� 20� 11 � 7Si x � �1 � 2 � ��1�3 � 5 � ��1�2 � 6 � ��1� � 1 � 2 � ��1� � 5 � 1 � 6 � 1 �

� �2 � 5 � 7 � �10Si x � �2 � 2 � ��2�3 � 5 � ��2�2 � 6 � ��2� � 1 � 2 � ��8� � 5 � 4 � 12� 1 �

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� �16� 20� 13 � � 49Si x � 0 � 2 � 03 � 5 � 02 � 6 � 0 � 1 � 0 � 0 � 0 � 1 � �14 Realiza las siguientes sumas de polinomios:

a) �3x2 � x � 4� � �2x2 � 6x � 3� � � �3x2 � 2x2� � ��x � 6x� � �4 � 3� � 5x2 � 5x � 1� Otra forma de hacerlo:

3x2 �x �4

� 2x2 �6x �3

5x2 �5x �1

hemos sumado en columna

b) �2x3 � 2x2 � 3x � 2� � �x3 � 2x2 � 3x � 5� �

� �2x3 � x3� � ��2x2 � 2x2� � ��3x � 3x� � �2 � 5� � 3x3 � 4x2 � 6x � 3� Otra forma de hacerlo:

2x3 �2x2 �3x �2

� x3 �2x2 �3x �5

3x3 �4x2 �6x �3

c) �7x4 � 4x2 � 12� � �5x4 � x2 � 5x� �

� 12x4 � 3x2 � 5x � 12

7x4 �4x2 �12

� 5x4 �x2 �5x

12x4 �3x2 �5x �12

hemos sumado en columna

d) �x4 � 3x2 � 2x� � �5x3 � 2x � 3� �

� x4 � 5x3 � 3x2 � 4x � 35 Realiza las siguientes restas de polinomios:

a) �x4 � 2x3 � 5x� � ��x4 � 2x3 � 8� �

� �x4 � 2x3 � 5x� � �x4 � 2x3 � 8� � �x4 � x4� � �2x3 � 2x3� � 5x � 8 �

� 2x4 � 5x � 8� Otra forma de hacerlo:

x4 �2x3 �5x

� �x4 �2x3 8

2x4 �0x3 �5x �8

OJO: hemos restado en cada columna

� Otra forma de hacerlo que se basa en: a � b � a � ��b�

x4 �2x3 �5x

� x4 �2x3 �8

2x4 �0x3 �5x �8

OJO: hemos sumado en cada columna

b) �2x2 � 3x � 1� � 3x2 � 5x � 12

� � x2 � 2x � 12

2x2 �3x �1

� 3x2 �5x � 12

�x2 �2x � 12

OJO: hemos restado en cada columna

� Otra forma de hacerlo

2x2 �3x �1

� �3x2 �5x � 12

�x2 �2x � 12

OJO: hemos sumado en cada columna.

c) 13

x3 � 2x2 � 3x � 1 � 2x3 � 5x2 � 12

x � 2 �

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� 13

x3 � 2x3 � ��2x2 � ��5x2�� � 3x � 12

x � ��1 � 2� �

� � 53

x3 � 3x2 � 52

x � 3

d) �x2 � 3x � 6� � ��4x3 � 2x2 � 3x � 9� � 4x3 � x2 � 3

x2 �3x �6

� �4x3 �2x2 �3x �9

4x3 �x2 �3

OJO: hemos restado en cada columna

Tareas 12-11-2013: ejercicios 3 y 4 de la página 1006 Efectúa las siguientes operaciones con polinomios:

a. 2x4 � �3x2 � �x2 � 2x�� � 1 �

� 2x4 � �3x2 � x2 � 2x� � 1 �

� 2x4 � �2x2 � 2x� � 1 �

� 2x4 � 2x2 � 2x � 1b �x3 � x � 1� � ��x2 � 2x � 1� � �x3 � x2 � 1�� � �x3 � x2 � x� �

� 2x3 � x2 � 2x � 1 � �x2 � 2x � 1 � x3 � x2 � 1� �� 2x3 � x2 � 2x � 1 � ��x3 � 2x2 � 2x � 2�� 2x3 � x2 � 2x � 1 � x3 � 2x2 � 2x � 2 �

� 3x3 � 3x2 � 4x � 3

EjemploRealiza las siguientes multplicaciones:1. ��2� � 4 � � 82. 3 � x � 3x3. ��5� � 4x � � 20x4. 8 � ��3x2� � � 24x2

5. �2x� � ��5x� � ��2 � 5� � �x1�1� � � 10x2

6. ��4x2� � ��7x3� � ��4 � 7� � �x2�3� � 28x5

7. 3 � �5x � 7� � 3 � 5x � 3 � 7 � 15x � 218. ��4� � �5x2 � 6x � 2� � ��4� � �5x2� � ��4� � 6x � ��4� � 2 � � �20x2 � 24x � 89. �7x� � �5x2 � 6x � 2� � �7x� � �5x2� � �7x� � 6x � �7x� � 2 �

� 35x3 � 42x2 � 14x10. ��6x4� � �2x3 � 9x2 � 10x � 3� � � 12x7 � 54x6 � 60x5 � 18x4

11. 5 � �5x2 � 6x � 2� � 3 � �2x3 � 9x2 � 10x � 3� �

� 25x2 � 30x � 10� 6x3 � 27x2 � 30x � 9 �

� 6x3 � 2x2 � 60x � 1� Otra forma de hacerlo:

5 � �5x2 � 6x � 2�

3 � �2x3 � 9x2 � 10x � 3��

25x2 �30x �10

� 6x3 �27x2 �30x �9

6x3 �2x2 �60x �1

OJO: hemos sumado en cada

columna.12. 4�3x4 � 6x2 � 7x � 11� � 2��9x3 � 8x2 � x � 13� �

� 12x4 � 24x2 � 28x � 44� 18x3 � 16x2 � 2x � 26 �

� 12x4 � 18x3 � 40x2 � 30x � 70� Otra forma de hacerlo:

4�3x4 � 6x2 � 7x � 11�

�2��9x3 � 8x2 � x � 13��

12x4 �24x2 �28x �44

� 18x3 �16x2 �2x �26

12x4 �18x3 �40x2 �30x �70

OJO: hemos sumado en

cada columna.13. �5x2 � 6x � 2� � �2x3 � 9x2 � 10x � 3� �

5

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� �5x2� � 2x3 � �5x2� � 9x2 � �5x2� � 10x � �5x2� � 3 �

���6x� � 2x3 � ��6x� � 9x2 � ��6x� � 10x � ��6x� � 3 �

���2� � 2x3 � ��2� � 9x2 � ��2� � 10x � ��2� � 3 �

� 10x5 � 45x4 � 50x3 � 15x2 �

�12x4 � 54x3 � 60x2 � 18x �

�4x3 � 18x2 � 20x � 6 �

� 10x5 � 57x4 � 0x3 � 93x2 � 2x � 6� Otra forma de hacerlo:

2x3 �9x2 �10x �3

x 5x2 �6x �2

�4x3 �18x2 �20x �6

�12x4 �54x3 �60x2 �18x

10x5 �45x4 �50x3 �15x2

10x5 �57x4 �0x3 �93x2 �2x �6

Observa que:

grado�10x5 � 57x4 � 0x3 � 93x2 � 2x � 6� � 5

grado�2x3 � 9x2 � 10x � 3� �grado�5x2 � 6x � 2� � 3 � 2 � 5

Ejemplo7 Dado el polinomio P�x� � 3x3 � 2x2 � x � 2.Calcula los siguientes productos:

a. P�x� � 3x3 � �3x3 � 2x2 � x � 2� � 3x3 �

� 3x3 � 3x3 � 2x2 � 3x3 � x � 3x3 � 2 � 3x3 � 9x6 � 6x5 � 3x4 � 6x3

Observa que:

grado�P�x� � 3x3� � 6

gradoP�x� �grado�3x3� � 3 � 3 � 6

b P�x� � �2x � 1�

3x3 �2x2 �x �2

x 2x �1

�3x3 �2x2 �x �2

6x4 �4x3 �2x2 �4x

6x4 �7x3 �4x2 �5x �2

Observa que: grado�P�x� � �2x � 1�� � 4

gradoP�x� �grado�2x � 1� � 3 � 1 � 4

c P�x� � �x2 � 2x � 3�

3x3 �2x2 �x �2

x x2 �2x �3

9x3 �6x2 �3x �6

�6x4 �4x3 �2x2 �4x

3x5 �2x4 �x3 �2x2

3x5 �8x4 �14x3 �10x2 �7x �6

Observa que: grado�P�x� � �x2 � 2x � 3�� � 5

gradoP�x� �grado�x2 � 2x � 3� � 3 � 2 � 5

8 Realiza las siguientes operaciones y reduce al máximo el resultado:a. �3x2 � x � 2� � 2x�x � 2� � 3x2 � x � 2 � 2x2 � 4x � 5x2 � 5x � 2

6

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b. �3x2 � x � 2� � ��x� � �2x � 1��x � 1� �

� � 3x3 � x2 � 2x � 2x2 � 2x � x � 1 � �3x3 � 3x2 � 5x � 1Tareas 18-11-13: los ejercicios 5,6,7 de las páginas 100 y 1019 Efectúa el siguiente producto y simplifica el resultado:

�x � 2� � �2x � 1� � �x2 � 1� � �x � 2� �

� 2x2 � x � 4x � 2 � x3 � 2x2 � x � 2 � x3 � 4x2 � 4x � 4

EjemploDetermina cuáles de las siguientes expresiones matemáticas son identidades o ecuaciones:1. 6x � 1 � 3

No es ninguna pues no hay un signo " �"2. 6x � 12

Es una ecuación pues sólo se cumple para el valor x � 26 � 2 � 12

3. 3x � x � 4xEs una identidad pues es cierta para cualquier valor de x.

4. x3 � 1 � 28Es una ecuación pues sólo se cumple para el valor x � 333 � 1 � 28 � 27� 1 � 28

5. �a � b�2 � a2 � 2ab � b2

Es una identidad pues es cierta para cualquier valor de a y b.�a � b�2 � �a � b� � �a � b� � a2 � ab � ab � b2 � a2 � 2ab � b2

Se lee " El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más el doble del primero porel segundo más el cuadrado del segundo"

6. x3

� �15

Es una ecuación pues sólo se cumple para el valor x � �45�453

� ��45� � 3 � � 15

7. �a � b�2 � a2 � 2ab � b2

Es una identidad pues es cierta para cualquier valor de a y b.�a � b�2 � �a � b� � �a � b� � a2 � ab � ab � b2 � a2 � 2ab � b2

Se lee " El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero menos el doble del primeropor el segundo más el cuadrado del segundo"

8. 3x � 2 � �11Es una ecuación pues sólo se cumple para el valor x � �33 � ��3� � 2 � �9 � 2 � � 11

9. �a � b��a � b� � a2 � b2

Es una identidad pues es cierta para cualquier valor de a y b.�a � b��a � b� � a2 � ab � ab � b2 � a2 � b2

Se lee "Suma por diferencia, diferencia de cuadrados"10 Sustituye en las expresiones el valor de x y comprueba si se verifica la igualdad:

9x2 � 12x � 4 � �3x � 2�2

x � 1 9 � 12 � 12 � 1 � 4 � 9 � 1 � 12� 4 � 25 �3 � 1 � 2�2 � �3 � 2�2 � 25

x � �2 9 � ��2�2 � 12 � ��2� � 4 � 9 � 4 � 24� 4 � 16 �3 � ��2� � 2�2 � ��6 � 2�2 � 16

x � 3 9 � 32 � 12 � 3 � 4 � 9 � 9 � 36� 4 � 121 �3 � 3 � 2�2 � �9 � 2�2 � 121

x � 0 9 � 02 � 12 � 0 � 4 � 9 � 0 � 0 � 4 � 4 �3 � 0 � 2�2 � �0 � 2�2 � 4

7

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x2 � 10x � 25 � �x � 5�2

x � 1 12 � 10 � 1 � 25 � 1 � 10� 25 � 16 �1 � 5�2 � ��4�2 � 16

x � �2 ��2�2 � 10 � ��2� � 25 � 4 � 20� 25 � 49 ���2� � 5�2 � ��7�2 � 49

x � 3 32 � 10 � 3 � 25 � 9 � 30� 25 � 4 �3 � 5�2 � ��2�2 � 4

x � 0 02 � 10 � 0 � 25 � 0 � 0 � 25 � 25 �0 � 5�2 � ��5�2 � 25

25x2 � 49 � �5x � 7��5x � 7�

x � 1 25� 12 � 49 � 25� 49 � � 24 �5 � 1 � 7��5 � 1 � 7� � ��2� � 12 � �24

x � �2 25� ��2�2 � 49 � 25 � 4 � 49 � 51 �5 � ��2� � 7��5 � ��2� � 7� � ��17� � ��3� � 51

x � 3 25� 32 � 49 � 25 � 9 � 49 � 176 �5 � 3 � 7��5 � 3 � 7� � 8 � 22 � 176

x � 0 25� 02 � 49 � 0 � 49 � � 49 �5 � 0 � 7��5 � 0 � 7� � ��7� � 7 � �49

Resulta que cuando sustituimos x por un valor y operamos, en las tres tablas por filas, las columnas medan el mismo resultado.11 Indica cuáles de las siguientes igualdades son identidades y cuáles son ecuaciones.

a. 3x2 � 12x � 3x�x � 4�Se trata de una identidad pues si multiplicas el segundo miembro se obtiene elprimero.

b. 5x � 12 � 20� 3xEs una ecuación pues dependiendo del valor que le demos a x se verificará o no:Por ejemplo:� Si x � �1 � 5 � ��1� � 12 � 20� 3 � ��1� �

� �5 � 12 � 20� 3 � 7 � 23 no es cierto� Si x � 1 � 5 � 1 � 12 � 20� 3 � 1 �

� 5 � 12 � 20� 3 � 17 � 17 si es ciertoc. x2 � 3x � 15� 6x

Es una ecuación, sólo es cierta para algunos valores de la x.� Si x � �1 � ��1�2 � 3 � ��1� � 15� 6 � ��1� �

� 1 � 3 � 15� 6 � 4 � 21 no es ciertod. �3�x � 4� � �12� 3x

Es una identidad pues si desarrollamos la izquierda de la igualdad nos queda laderecha del igual. Por tanto, por "narices", se va a cumplir para cualquier valor que ledes a x.

e. 9x2 � 36x � 36 � 9x�x � 4� � 36Es una identidad pues si desarrollamos la derecha de la igualdad nos queda laizquierda del igual. Por tanto, por "narices", se va a cumplir para cualquier valor que ledes a x.

f. 6x3 � 18x2 � 6x2�x � 3�Es una identidad pues si desarrollamos la derecha de la igualdad nos queda laizquierda del igual. Por tanto, por "narices", se va a cumplir para cualquier valor que ledes a x.

EjemploDetermina si los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes:1. 2x � 5 � �1 y 3x � 1 � 4

No son equivalentes pues la solución de la primera es x � 2 mientras que la solución de lasegunda es x � 1

2. 2x � 5 � �3 y 3x � 4 � �1Si son equivalentes pues la solución de ambas es x � 1

3. 6x � 2 � �16 y 6 � 2x � 12Si son equivalentes pues la solución de ambas es x � �3

4. 4x � 2 � 18 y 2 � 3x � �16

8

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No son equivalentes pues la solución de la primera es x � 5 y la solución de la segunda es x � 6

EjemploDetermina el grado de las siguientes ecuaciones.1. 4x � 1 � 13

Es de grado 1.2. 4x3 � 2x2 � 6

Es de grado 3.3. 5x2 � 6x � 11 � x4

Es de grado 4.4. 4x � 5y � 2

Es de grado 1.Tareas 20-11-13: ejercicios 8,9,10,11 de la página 101

2.2 Identidades notablesEjemploAplica las identidades notables a las siguientes expresiones matemáticas:1. �x � 1�2 �

� x2 � 2 � x � 1 � 12 � x2 � 2x � 1

Se aplica el cuadrado de una suma: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � x

b � 1

2. �x � 3�2 �

� x2 � 2 � x � 3 � 32 � x2 � 6x � 9

Se aplica el cuadrado de una suma: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � x

b � 3

3. �x � 7�2 �

� x2 � 2 � x � 7 � 72 � x2 � 14x � 49

Se aplica el cuadrado de una suma: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � x

b � 7

4. �2x � 3�2 �

� �2x�2 � 2 � 2x � 3 � 32 � 4x2 � 12x � 9

Se aplica el cuadrado de una suma: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � 2x

b � 3

5. �5x � 2�2 �

� �5x�2 � 2 � 5x � 2 � 22 � 25x2 � 20x � 4

Se aplica el cuadrado de una suma: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � 5x

b � 2

6. �3x2 � 7x�2�

� �3x2�2� 2 � 3x2 � 7x � �7x�2 � 9x4 � 42x3 � 49x2

Se aplica el cuadrado de una suma: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � 3x2

b � 7x

7. �5 � x��5 � x� �

� 52 � x2 � 25� x2

Se aplica suma por diferencia: �a � b��a � b� � a2 � b2 donde a � 5

b � x

8. �x � 3��x � 3� �

� x2 � 32 � x2 � 9

9

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Se aplica suma por diferencia: �a � b��a � b� � a2 � b2 donde a � x

b � 3

9. �8x � 2��8x � 2� �

� �8x�2 � 22 � 64x2 � 4

Se aplica suma por diferencia: �a � b��a � b� � a2 � b2 donde a � 8x

b � 2

10. �9 � 4x3��9 � 4x3� � 92 � �4x3�2� 81� 16x6

Se aplica suma por diferencia: �a � b��a � b� � a2 � b2 donde a � 9

b � 4x3

11. �8x � 2�2 � �8x�2 � 2 � 8x � 2 � 22 � 64x2 � 32x � 4

Se aplica el cuadrado de una diferencia: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � 8x

b � 2

12. �11� x�2 � 112 � 2 � 11 � x � x2 � x2 � 22x � 121

Se aplica el cuadrado de una diferencia: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � 11

b � x

13. �6x4 � 10x�2� �6x4�2

� 2 � 6x4 � 10x � �10x�2 � 36x8 � 120x5 � 100x2

Se aplica el cuadrado de una diferencia: �a � b�2 � a2 � 2ab � b2 donde a � 6x4

b � 10x

14. x2 � 4x � 4 � x2 � 2 � x � 2 � 22 � �x � 2�2

Se aplica la fórmula a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

15. 9x2 � 6x � 1 � �3x�2 � 2 � 3x � 1 � 12 � �3x � 1�2

Se aplica la fórmula a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

16. 49x2 � 100 � �7x�2 � 102 � �7x � 10��7x � 10�Se aplica la fórmula a2 � b2 � �a � b��a � b�

17. �25x2 � 16� 40x � ��25x2 � 16� 40x� � � �5x�2 � 42 � 2 � 5x � 4 �

� ��5x � 4�2

18. x2 � 6x � 9 � x2 � 2 � x � 3 � 32 � �x � 3�2

Se aplica la fórmula a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

19. 16x2 � 48x � 36 � �4x�2 � 2 � 4x � 6 � 62 � �4x � 6�2

Se aplica la fórmula a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

20. 1 � 16x � 64x2 � 12 � 2 � 1 � 8x � �8x�2 � �1 � 8x�2

Se aplica la fórmula a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

21. 4x4 � 20x2 � 25 � �2x2�2� 2 � 2x2 � 5 � 52 � �2x2 � 5�2

Se aplica la fórmula a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

22. 169x2 � 1 � �13x�2 � 12 � �13x � 1��13x � 1�Se aplica la fórmula a2 � b2 � �a � b��a � b�

Tareas 26-11-13: los ejercicios 1,2,3,4 de la página 103.12 Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las identidades notables:

a. �2x � 3�2 � �2x�2 � 2 � 2x � 3 � 32 � 4x2 � 12x � 9b. �x2 � x�2

� �x2�2� 2 � x2 � x � x2 � x4 � 2x3 � x2

c. �2x � 3�2 � �2x�2 � 2 � 2x � 3 � 32 � 4x2 � 12x � 9d. �ab � 2c�2 � �ab�2 � 2 � ab � 2c � �2c�2 � a2b2 � 4abc � 4c2

e. �2a � c��2a � c� � �2a�2 � c2 � 4a2 � c2

f. �4x � 3�2 � �4x�2 � 2 � 4x � 3 � 32 � 16x2 � 24x � 9g. �x2 � 2x�2

� �x2�2� 2 � x2 � 2x � �2x�2 � x4 � 4x3 � 4x2

13 Desarrolla las siguientes identidades notables con números racionales:

10

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a. 12

x � 22� 1

2x

2� 2 � 1

2x � 2 � 22 � 1

4x2 � 2x � 4

b. x2 � 13

2� �x2�2

� 2 � x2 � 13

� 13

2� x4 � 2

3x2 � 1

9

c. x3

� x32� x

3

2� 2 � x

3� x3 � �x3�2

� x6 � 23

x4 � 19

x2

14 Expresa como producto utilizando una identidad notable:a. 4x2 � 4x � 1 � �2x�2 � 2 � 2x � 1 � 12 � �2x � 1�2

b. x2 � 2xy � y2 � x2 � 2 � x � y � y2 � �x � y�2

c. x2 � 4x � 4 � x2 � 2 � x � 2 � 22 � �x � 2�2

d. x4 � 6x2 � 9 � �x2�2� 2 � x2 � 3 � 32 � �x2 � 3�2

e. x2 � 6ax � 9a2 � x2 � 2 � x � 3a � �3a�2 � �3a � x�2

f. 4x6 � 4x4 � x2 � �2x3�2� 2 � 2x3 � x � x2 � �2x3 � x�2

g. 49� y2 � 72 � y2 � �7 � y��7 � y�h. x6 � 81 � �x3�2

� 92 � �x3 � 9��x3 � 9�i. 25� 30x � 9x2 � 52 � 2 � 5 � 3x � �3x�2 � �3x � 5�2

Tareas 27-11-13: ejercicios 5 y 6 de la página 103.

2.3 Resolución de ecuaciones de primer grado15 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis:

a. 120 � 2x � �15� 7x� �

� 120 � 2x � 15� 7x �

� 120� 15 � 9x �

� 135 � 9x �

� x � 1359

� 15

Comprobación:120 � 2 � 15� �15� 7 � 15� �

� 120 � 30� �15� 105� �

� 120 � 30� ��90� �

� 120 � 30� 90 CIERTO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!La ecuación está bien resuelta.

b. 6�x � 4� � 3x � �3 �

� 6x � 24� 3x � �3 �

� 3x � 24� 3 �

� 3x � 21 �

� x � 213

� 7

c. 3�x � 7� � 6 � 2�x � 8� �

� 3x � 21� 6 � 2x � 16 �

� 3x � 2x � 16� 21� 6 �

� x � 1d. 2�x � 4� � 3x � 4��5 � x� � 2x � 3�2x � 5� � 2 �

� 2x � 8 � 3x � 20� 4x � 2x � 6x � 15� 2 �

� 2x � 3x � 4x � 2x � 6x � �15� 2 � 8 � 20 �

� 5x � �25 �

� x � �255

� � 5

e. 4�2x � 3� � 5x � 3x � 2��4 � 2x� � 8 �

� 8x � 12� 5x � 3x � 8 � 4x � 8 �

� 8x � 5x � 3x � 4x � �8 � 8 � 12 �

� �4x � �28 �

� x � �28�4

� 7

16 Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores:

11

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a. 3x � 156

� �7 �

� 3x � 15 � ��7� � 6 �

� 3x � �42� 15 �

� x � �573

� � 19

b. 3x2

� 20 � x � 25 �

� 3x2

� 402

� 2x2

� 502

AHORA, DADO QUE TENEMOS UNA IGUALDAD CON FRACCIONES A AMBOSLADOS QUE TIENEN EL MISMO DENOMINADOR, PODEMOS ELIMINAR ESTE.� 3x � 40 � 2x � 50 �

� 3x � 2x � 50� 40 �

� x � 10

c. 3x4

� 1 � 12� 3x �

� 3x4

� 44

� 484

� 12x4

AHORA, DADO QUE TENEMOS UNA IGUALDAD CON FRACCIONES A AMBOSLADOS QUE TIENEN EL MISMO DENOMINADOR, PODEMOS ELIMINAR ESTE.� 3x � 4 � 48� 12x �

� 3x � 12x � 48� 4 �

� 15x � 52 � x � 5215

d. 1 � x � 16

� x2

� x � 13

� 66

� x � 16

� 3x6

�2�x � 1�

6�

AHORA, DADO QUE TENEMOS UNA IGUALDAD CON FRACCIONES A AMBOSLADOS QUE TIENEN EL MISMO DENOMINADOR, PODEMOS ELIMINAR ESTE.� 6 � �x � 1� � 3x � 2�x � 1� �

� 6 � x � 1 � 3x � 2x � 2 �

� 6 � 1 � 2 � 3x � 2x � x �

� 9 � 6x � x � 96

� 32

Tareas 28-11-13: los ejercicios 1,2,3 de la página 105.17 El doble de un número más cinco unidades suma 25. ¿Cuál es ese número?

Llamamos x al número buscado."El doble de un número más cinco unidades suma 25" se escribe matemáticamente:2x � 5 � 25 �

� 2x � 25� 5 �

� 2x � 20 � x � 202

� 10

El número es 10.18 La suma de dos números consecutivos es 15. ¿De qué números se trata?

Los números consecutivos serán x,x � 1La suma me da 15� x � �x � 1� � 15 �

� x � x � 1 � 15 �

� x � x � �1 � 15 �

� 2x � 14 � x � 142

� 7

Los números son 7 y 8.19 El triple de un número es igual a su cuádruple menos 5 unidades. Averígualo.

Llamamos x al número buscado.triple de un número es igual a su cuádruple menos 5 unidades� 3x � 4x � 5 �

� 5 � 4x � 3x � 5 � xEl número es 5.

20 En un bolsillo tengo varias monedas de 1 euro, y en el otro tengo el doble. Si en total tengo 1212

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euros, ¿Cuántas monedas hay en cada bolsillo?Llamamos x al número de monedas del primer bolsillo.En el segundo bolsillo tengo el doble, en total tengo 12 euros� x � 2x � 12 �

� 3x � 12 � x � 123

� 4

En un bolsillo tengo 4 monedas de un euro y en el otro 8 monedas de un euro.21 La edad de dos hermanos suma 8. Si el mayor triplica los años al pequeño, ¿Cuántos años

tiene cada uno?Llamamos x a la edad del menor:el mayor triplica los años al pequeño� 3xLa edad de dos hermanos suma 8� x � 3x � 8x � 3x � 8 �

� 4x � 8 � x � 84

� 2

La edad del pequeño es 2 y la edad del mayor es 6.22 Hallar un número cuya mitad, tercera parte y cuarta parte suman 13.

Llamamos x al número buscado:número cuya mitad, tercera parte y cuarta parte suman 13� x

2� x

3� x

4� 13 �

� 6x12

� 4x12

� 3x12

� 15612

AHORA, DADO QUE TENEMOS UNA IGUALDAD CON FRACCIONES A AMBOS LADOS QUETIENEN EL MISMO DENOMINADOR, PODEMOS ELIMINAR ESTE.� 6x � 4x � 3x � 156 �

� 13x � 156 � x � 15613

� 12

El número es 12.Tareas 02-12-2013: 4,5,6,7,8,9 de la página 105

2.4 Ecuaciones de segundo grado23 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a. x2 � 5x � 6 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �5

c � 6

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���5� � ��5�2 � 4 � 1 � 6

2 � 1�

5 � 25� 242

�5 � 1

2� 5 � 1

2�

5 � 12

� 62

� 3

5 � 12

� 42

� 2

b x2 � 7x � 10 � x2 � 7x � 10 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �7

c � �10

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���7� � ��7�2 � 4 � 1 � ��10�2 � 1

�7 � 49� 40

2�

�7 � 89

2�

7 � 892

7 � 892

13

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c x2 � 5x � 6 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �5

c � �6

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���5� � ��5�2 � 4 � 1 � ��6�2 � 1

�5 � 25� 24

2�

�5 � 49

2� 5 � 7

2�

5 � 72

� 122

� 6

5 � 72

� �22

� �1

d x2 � 12�5 � 9x� � 2 � x2 � 1�5 � 9x� � 2x2 � 5 � 9x � 2x2 � 9x � 5 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 2

b � 9

c � �5

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�9 � 92 � 4 � 2 � ��5�2 � 2

��9 � 81� 40

4�

��9 � 121

4� �9 � 11

4�

�9 � 114

� �204

� �5

�9 � 114

� 24

� 12

e 2x2 � 11x � 21 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 2

b � 11

c � �21

-

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�11� 112 � 4 � 2 � ��21�2 � 2

��11� 121� 168

4�

��11� 289

4� �11� 17

4�

�11� 174

� 64

� 32

�11� 174

� �284

� �7

f 20x2 � 7x � 3 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 20

b � 7

c � �3

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�7 � 72 � 4 � 20 � ��3�2 � 20

��7 � 49� 240

40�

��7 � 289

40� �7 � 17

40�

�7 � 1740

� 1040

� 14

�7 � 1740

� �2440

� �35

g 25x2 � 10x � 2 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 25

b � �10

c � 2

14

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Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���10� � ��10�2 � 4 � 25 � 2

2 � 25�

10� 100� 20050

�10� �100

50La raiz cuadrada no tiene solución real, por lo tanto esta ecuación de 2º grado no tiene solución.h x2 � 4x � 13 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �4

c � 13

Se resuelve utilizando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���4� � ��4�2 � 4 � 1 � 13

2 � 1�

4 � 16� 522

�4 � �36

2La raiz cuadrada no tiene solución real, por lo tanto esta ecuación de 2º grado no tiene solución.

Tareas 03-12-13: los ejercicios 1 y 2 de la página 108:26 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas:

a. x2 � 49 � 0 �

� x2 � 49 �

� x � � 49 � �7Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

b. x2 � 36 � 0 �

� x2 � 36 �

� x � � 36 � �6Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

c. x2 � 25 � 0 �

� x2 � 25 �

� x � � 25 � �5Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

d. 2x2 � 8 � 0 �

� 2x2 � 8 �

� x2 � 82

� x2 � 4 �

� x � � 4 � �2Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

e. 7x2 � 28 � 0 �

� 7x2 � �28 �

� x2 � �287

� x2 � �4 �

� x � � �4La raiz cuadrada no tiene solución real, por lo tanto esta ecuación de 2º grado no tienesolución.Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

f. x2 � 121 � 0 �

� x2 � �121 �

� x � � �121La raiz cuadrada no tiene solución real, por lo tanto esta ecuación de 2º grado no tienesolución.Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

15

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� OTRA FORMA:x2 � 121 � 0 no tiene solución pues todo número elevado al cuadrado espositivo o cero por lo que esta suma nunca valdrá cero.

g. 16x2 � 25 � 0 �

� 16x2 � 25 �

� x2 � 2516

� x � � 2516

� � 54

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0h. 9x2 � 49 � 0 �

� 9x2 � �49 �

� x2 � � 499

� x � � � 499

La raiz cuadrada no tiene solución real, por lo tanto esta ecuación de 2º grado no tienesolución.Es una ecuación de 2º grado incompleta pues b � 0

27 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas:a. 2x2 � 6x � 0 �

� x�2x � 6� � 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

�x � 0

2x � 6 � 0 � 2x � 6 � x � 62

� 3

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues c � 0b. 5x2 � 20x � 0 �

� x�5x � 20� � 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

�x � 0

5x � 20 � 0 � 5x � 20 � x � 205

� 4

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues c � 0c. 6x2 � 30x � 0 �

� x�6x � 30� � 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

�x � 0

6x � 30 � 0 � 6x � �30 � x � �306

� �5

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues c � 0d. x2 � 9x � 0 �

� x�x � 9� � 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

�x � 0

x � 9 � 0 � x � 9

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues c � 0

e. 2x2

5� 4x � 0 �

� x 2x5

� 4 � 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

16

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�x � 02x5

� 4 � 0 � 2x5

� 4 � x � 202

� 10

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues c � 02x2

5� 4x � 0 � x

5�2x � 20� � 0

f. 7x2

5� 3x � 0 �

� x 7x5

� 3 � 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

�x � 07x5

� 3 � 0 � 7x5

� �3 � x � � 157

Es una ecuación de 2º grado incompleta pues c � 0

g. x2

9� 2x

7� 0 �

� x x9

� 27

� 0 �

"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero"

�x � 0x9

� 27

� 0 � x9

� � 27

� x � � 187

Es una ecuación de 2º grado incompleta bues c � 0Tareas 05-12-13: los ejercicios 3,4,10,11 de la página 108 y 109Tareas 04-12-13: los ejercicios 5,8 de la página 109

Examen de los apartados

Lenguaje algebraico páginas 98,99

Identidades notables páginas 102,103

Ecuaciones de 1º grado páginas 104,105

Ecuaciones de 2º grado páginas 106,107

para el día

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA

PÁGINA 1261. Realiza las siguientes operaciones de polinomios.

‘a ´ �3x4 � 5x3 � 12x2 � 7x � 11� � ��6x4 � 8x3 � 4x2 � 9x � 14�

3x4 �5x3 �12x2 �7x �11

� �6x4 �8x3 �4x2 �9x �14

�3x4 �13x3 �16x2 �2x �3

Se ha sumado en columna

b´ �3x4 � 5x3 � 12x2 � 7x � 11� � ��6x4 � 8x3 � 4x2 � 9x � 14� �

� �3x4 � 5x3 � 12x2 � 7x � 11� � �6x4 � 8x3 � 4x2 � 9x � 14�

3x4 �5x3 �12x2 �7x �11

� 6x4 �8x3 �4x2 �9x �14

9x4 �3x3 �8x2 �16x �25

Se ha sumado en columna

c´ 2�3x4 � 5x3 � 12x2 � 7x � 11� � 5��6x4 � 8x3 � 4x2 � 9x � 14� �

� 2�3x4 � 5x3 � 12x2 � 7x � 11� � 5�6x4 � 8x3 � 4x2 � 9x � 14�

6x4 �10x3 �24x2 �14x �22

� 30x4 �40x3 �20x2 �45x �70

36x4 �30x3 �4x2 �59x �92

d´ �12x2 � 7x � 11� � �2x � 3�

17

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12x2 �7x 11

� 2x �3

�36x2 �21x �33

24x3 �14x2 �22x

24x3 �50x2 �43x �33

Atención:

grado�12x2 � 7x � 11� � 2

grado�2x � 3� � 1

grado�24x3 � 50x2 � 43x � 33� � 3

se cumple que 1 � 2 � 3

e´ �8x3 � 4x2 � 9x � 14� � ��3x2 � 5x � 7� �

� � 24x5 � 52x4 � 49x3 � 59x2 � 133x � 98

8x3 �4x2 �9x �14

� �3x2 �5x �7

�56x3 �28x2 �63x �98

�40x4 �20x3 �45x2 �70x

�24x5 �12x4 �27x3 �42x2

�24x5 �52x4 �49x3 �59x2 �133x �98

Atención:

grado�8x3 � 4x2 � 9x � 14� � 3

grado��3x2 � 5x � 7� � 2

grado��24x5 � 52x4 � 49x3 � 59x2 � 133x � 98� � 5

se cumple que 3 � 2 � 5

2 Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios en los casos indicados:a‘ P�x� � �3x2 � 5x � 7� para x � 1 � P�1� � �3 � 12 � 5 � 1 � 7 � �3 � 1 � 5 � 7 �

� �3 � 2 � � 5� para x � �4 � P��4� � �3 � ��4�2 � 5 � ��4� � 7 � �3 � 16� 20� 7 �

� �48� 27 � � 75b´ Q�x� � 8x3 � 4x2 � 9x � 14

� para x � 25

� Q 25

� 8 � 25

3� 4 � 2

52� 9 � 2

5� 14 �

� 8 � 8125

� 4 � 425

� 185

� 14 � 64125

� 1625

� 185

� 14 �

� 64� 80� 450� 1750125

� 1284125

� para x � � 13

� Q � 13

� 8 � � 13

3� 4 � � 1

3

2� 9 � � 1

3� 14 �

� 8 � � 127

� 4 � 19

� 93

� 14 � � 827

� 49

� 17 � �8 � 12� 45927

� 43927

Tareas 09-12-2013: ejercicios 1, 2 de la página 1263 Emplea las identidades notables en las siguientes expresiones: puede que tengas que aplicarlas

en los dos sentidos:a. x2 � 169 � x2 � 132 � �x � 13��x � 13�

Aplicamos a2 � b2 � �a � b��a � b�b. 4x2 � 4x � 1 � �2x�2 � 2 � 2x � 1 � 12 � �2x � 1�2

Aplicamos a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

c. �x � 9�2 � x2 � 2 � x � 9 � 92 � x2 � 18x � 81Aplicamos �a � b�2 � a2 � 2ab � b2

d. �3x � 6�2 � �3x�2 � 2 � 3x � 6 � 62 � 9x2 � 36x � 36Aplicamos �a � b�2 � a2 � 2ab � b2

e. �7x2 � 5��7x2 � 5� � �7x2�2� 52 � 49x4 � 25

18

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Aplicamos �a � b��a � b� � a2 � b2

f. 36x6 � 24x3 � 4 � �6x3�2� 2 � 6x3 � 2 � 22 � �6x3 � 2�2

Aplicamos a2 � 2ab � b2 � �a � b�2

4 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:a´ 6x � 8 � 17 �

� 6x � 17� 8 �

� x � 256

fracción irreducible

b´ 2x � 9 � 5x � 11 �

� 2x � 5x � �11� 9 �

� �3x � �2 �

� x � �2�3

� 23

c´ 4x � 58

� 14� 9x�3

� ��3��4x � 5� � 8�14� 9x� �

� �12x � 15 � 112� 72x �

� �12x � 72x � 112� 15 �

� 60x � 97 �

� x � 9760

d´ 11� 5 � x4

� 32

� 3x � 23

� 13212

� 15� 3x12

� 1812

� 12x � 812

� 132� �15� 3x� � 18� 12x � 8 �

� 132� 15� 3x � 18� 12x � 8 �

� 3x � 12x � 18� 8 � 132� 15 �

� �9x � �91 �

� x � �91�9

� 919

Tareas 10-12-2013: ejercicio 4 de la página 1265 Resuelve las siguientes ecuaciones:

f 14

� 3x2

� 4 � x �

��4 � 4� � 1

4�

�4 � 2� � 3x4

��4 � 1� � 4

4�

�4 � 1� � x4

� 1 � 14

� 2 � 3x4

� 4 � 44

� 4 � x4

� 14

� 6x4

� 164

� 4x4

Dado que tenemos una igualdad entre expresiones que siempre tienes el mismodenominador, lo podemos eliminar.� 1 � 6x � 16� 4x �

� 6x � 4x � 16� 1 �

� 10x � 15 �

� x � 1510

� 32

h x � 2 � 3x �

� x2

x � 2xx � 3

x �

Dado que tenemos una igualdad entre expresiones que siempre tienes el mismodenominador, lo podemos eliminar.� x2 � 2x � 3 �

� x2 � 2x � 3 � 0

Otra forma

x � 2 � 3x �

� �x � 2�x � 3 �

19

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� x � x � 2 � x � 3 �

� x2 � 2x � 3 �

� x2 � 2x � 3 � 0De cualquiera de las dos formas se trata de una ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �2

c � �3

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���2� � ��2�2 � 4 � 1 � ��3�2 � 1

�2 � 4 � 12

2�

�2 � 16

2� 2 � 4

2�

2 � 42

� 62

� 3

2 � 42

� �22

� �1

Tareas 11-12-13: todos los ejercicios que faltan del 5Tareas 11-12-13: 6,7,89 Encuentra tres números consecutivos tales que al sumar sus cuadrados, obtengamos 77.

Si tres números son consecutivos, se pasa de uno al siguiente sumando uno.El primero desconocido será x, el siguiente será x � 1 y el último será x � 2.Sabemos que al sumar sus cuadrados da 77� x2 � �x � 1�2 � �x � 2�2 � 77 �

� x2 � x2 � 2x � 1 � x2 � 4x � 4 � 77 �

� 3x2 � 6x � 5 � 77 �

� 3x2 � 6x � 5 � 77 � 0 �

� 3x2 � 6x � 72 � 0 �

� x2 � 2x � 24 � 0

Se trata de una ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � 2

c � �24

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�2 � 22 � 4 � 1 � ��24�2 � 1

��2 � 4 � 96

2�

�2 � 1002

� �2 � 102

�2 � 102

� 82

� 4

�2 � 102

� �122

� �6

Tenemos dos soluciones al problema:� �4,5,6�� ��6,�5,�4�

4.5 Sistemas de ecuaciones .4.5.1 Método de reducción

Se siguen los pasos siguientes:� Multiplicamos una o las dos ecuaciones por un entero de forma que quede el mismo coeficiente

para alguna de las dos variables en las dos ecuaciones.� Restamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación resultante.� Despejamos la otra incógnita en función de la ya hallada en una de las dos ecuaciones para

sustituyendo el valor hallado, determinar el valor de la otra incógnita.30 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

a.3x � 2y � 100

�x � y � 25, Solution is: �x � 10,y � 35�

Elegimos la "x": vemos que en la primera ecuación tenemos "3" de coeficiente y en la segundatenemos "-1". Vamos a multiplicar toda la segunda ecuación por "3":

20

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3x � 2y � 100

3��x � y � 25��

3x � 2y � 100

�3x � 3y � 75

Sumamos en columna para obtener:5y � 175 �

� y � 1755

� 35

Ahora sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar el valorcorrespondiente de x:Tomamos �x � 35 � 25 �

� �25� 35 � x � x � 10La solución del sistema es �x,y� � �10,35�Es un sistema compatible determinado.

b2x � 3y � 5

4x � y � �5, Solution is: �x � �2,y � 3�

Elegimos la "y"; multiplicamos por "-3" la segunda ecuación:

2x � 3y � 5

�4x � y � �5���3��

2x � 3y � 5

�12x � 3y � 15

Sumamos en columna para obtener:�10x � 20 �

� x � 20�10

� � 2

Sustituimos este valor de "x" en la primera ecuación para hallar y:2��2� � 3y � 5 �

� �4 � 3y � 5 �

� 3y � 5 � 4 �

� y � 93

� 3

La solución del sistema es �x,y� � ��2,3�Es compatible determinado.

cx � 3y � 20

5x � y � 20, Solution is: �x � 5,y � 5�

Elegimos la "y"; y multiplicamos la segunda ecuación por 3.

x � 3y � 20

�5x � y � 20�3�

x � 3y � 20

15x � 3y � 60

Sumamos en columna para obtener que:16x � 80 �

� x � 8016

� 5

Sustituimos este valor de x para hallar y:5 � 3y � 20 �

� 3y � 20� 5 �

� 3y � 15 �

� y � 153

� 5

Se trata de un sistema compatible determinado con única solución �5,5�Tareas 12-12-13: página 112 todos los ejercicios del 1

4.5.2 Método de sustitución

Los pasos a seguir son los siguientes:� Despejamos una de las dos variables en cualquiera de las dos ecuaciones (escogemos la que

tenga coeficiente uno, si la hay):

21

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� Sustituimos en la otra ecuación la variable despejada por la expresión obtenida y resolvemos laecuación de primer grado resultante.

� Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el paso primero para hallar la otraincógnita.

28 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a.3x � 2y � 100

�x � y � 25

Elegimos la "y" en la segunda ecuación para despejarla:y � 25� xSustituimos este valor de y en la primera ecuación:3x � 2�25� x� � 100 �

� 3x � 50� 2x � 100 �

� 5x � 100� 50 �

� x � 505

� 10

Sustituimos este valor de x para hallar y: y � 25� 10 � 35La solución del sistema es �x,y� � �10,35�.El sistema es compatible determinado.

b2x � 3y � 5

4x � y � �5

Elegimos la "y" en la segunda ecuación para despejarla en función de la x:4x � y � �5 �

� y � �5 � 4xSustituimos este valor de y en la primera ecuación:2x � 3��5 � 4x� � 5 �

� 2x � 15� 12x � 5 �

� �10x � 20 �

� x � 20�10

� � 2

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente de y:y � �5 � 4 � ��2� � �5 � 8 � 3La solución del sistema es �x,y� � ��2,3�Es un sistema compatible determinado.

cx � 3y � 20

5x � y � 20, Solution is: �x � 5,y � 5�

Despejamos la x en la primera ecuación:x � 20� 3ySustituimos este valor de x en la segunda ecuación.5�20� 3y� � y � 20 �

� 100� 15y � y � 20 �

� �16y � 20� 100 �

� �16y � �80 �

� y � �80�16

� 5

Sustituimos este valor de y para hallar x:x � 20� 3 � 5 � 20� 15 � 5Es un sistema compatible determinado con solución �5,5�

Tareas 16-12-12: página 112 todos los ejercicios del 2

4.5.3 Método de igualación

Los pasos a seguir son los siguientes:� Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones.

22

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� Igualamos las dos expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación de primer grado resultante.� Se sustituye el valor obtenido en una de las dos ecuaciones para hallar la otra incógnita.29 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

a.3x � 2y � 100

�x � y � 25�

Elegimos la "x" en las dos ecuaciones para despejarla:

�3x � 100� 2y

y � 25 � x�

x �100� 2y

3y � 25 � x

Entonces podemos igualar las dos expresiones obtenidas en "y":100� 2y

3� y � 25 �

� 100� 2y � 3�y � 25� �

� 100� 2y � 3y � 75 �

� �3y � 2y � �100� 75 �

� �5y � �175 � y � �175�5

� 35

Sustituimos este valor de "y" en una de las dos expresiones dónde "x" está en función de "y":x � 35� 25 � 10La solución del sistema es �x,y� � �10,35�.Es un sistema compatible determinado.

b2x � 3y � 5

4x � y � �5�

Elegimos la "x" en las dos ecuaciones para despejarla:

�2x � 5 � 3y

4x � �5 � y�

x �5 � 3y

2

x ��5 � y

4Entonces podemos igualar las dos expresiones obtenidas en "y":5 � 3y

2�

�5 � y4

� 4�5 � 3y� � 2��5 � y� �

� 20� 12y � �10� 2y �

� 2y � 12y � �10� 20 �

� �10y � �30 �

� y � �30�10

� 3

Sustituimos este valor de "y" para hallar el correspondiente de "x":

x � 5 � 3 � 32

� 5 � 92

� �42

� � 2

La solución del sistema es �x,y� � ��2,3�. Es un sistema compatible determinado.

cx � 3y � 20

5x � y � 20, Solution is: �x � 5,y � 5�

Tareas 17-12-13: el ejercicio 3 de la página 112.

PÁGINA 1124 Escribe dos sistemas de ecuaciones distintos que tengan como solución:

d �x,y� � � 14

, 35

� d.1)4x � 5y � 2

x � y � 720

23

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Por ejemplo:4 � � 1

4� 5 � 3

5� � 4

4� 15

5� �1 � 3 � 2

1 � � 14

� 1 � 35

� � 14

� 35

� � 520

� 1220

� 720

� d.2)3x � 2y � 9

20

x � y � 720

Por ejemplo:3 � � 1

4� 2 � 3

5� � 3

4� 6

5� � 15

20� 24

20� 9

20

1 � � 14

� 1 � 35

� 720

Tareas 19-12-13: todos los ejercicios que faltan del 45 Comprueba si los siguientes sistemas tienen como solución la indicada:

f4x � y � 3

�2x � y � 5� �x,y� � �4,13�

Sustituimos los valores de las incógnitas en el sistema de ecuaciones:

4 � 4 � 13 � 3

�2 � 4 � 13 � 5�

16� 13 � 3

�8 � 13 � 5

Cierto en ambos casos por lo que si es la solución del sistema.Tareas 19-12-13: todos los ejercicios que faltan del 5.6 Intenta resolver los siguientes sistemas y señala si son compatibles o incompatibles

d5x � y � 2

�10x � 2y � 5

Elegimos el método de sustitución:Ahora tomamos en la 1ª ecuación la incógnita "y", para despejarla:5x � y � 2 � y � 2 � 5xSustituimos este valor de "y" en la segunda ecuación:�10x � 2�2 � 5x� � 5 � �10x � 4 � 10x � 5 � 0 � 5 � 4 � 0 � 9 IMPOSIBLESe trata de un sistema incompatible, no tiene solución.Se trata de dos rectas paralelas.

Tareas 08-01-14: todos los ejercicios que faltan del 6, empleando los tres métodos de resolución desistemas de ecuaciones lineales.7 Intenta resolver los siguientes sistemas y señala si son compatibles determinados o

indeterminados.

b2x � 6y � 2

x � 3y � 1

Elegimos el método de igualación.Elegimos la incógnita "x" para despejarla en las dos ecuaciones.

2x � 6y � 2

x � 3y � 1�

2x � 2 � 6y

x � 1 � 3y�

x �2 � 6y

2x � 1 � 3y

Igualamos las dos expresiones obtenidas para que nos quede:2 � 6y

2� 1 � 3y �

� 2 � 6y � �1 � 3y� � 2 �

� 2 � 6y � 2 � 6y �

� 2 � 2 � 6y � 6y �

� 0 � 0 CIERTOEl sistema es compatible indeterminado; es decir, se trata de la misma recta, por lo que tienen

24

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infinitos puntos en comúnTareas 08-01-14: todos los ejercicios que faltan del 7, por los tres métodos distintos.8 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método que prefieras, indicando en cada

caso si el sistema es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado.

d6x � 8y � 14

3x � 4y � 6

Elegimos el método de reducción:Ahora tomamos como referencia la "x"; multiplicamos por 2 la segunda ecuación:

6x � 8y � 14

�3x � 4y � 6�2�

6x � 8y � 14

6x � 8y � 12

Ahora si restamos en columna nos queda: 0x � 0y � 2 � 0 � 2IMPOSIBLE!!!!!El sistema es incompatible: se trata de dos rectas paralelas.

Tareas 08-01-14: todos los ejercicios que faltan del 8 por tres métodos distintos.Tareas 19-12-12: 9,10,11,12,13

PROBLEMAS CON ENUNCIADOS1 Pepa tiene 5 años más que su hermano Enrique, y entre los dos suman 21 años. ¿Cuál es la edad

de cada uno?

Llamamosedad de Pepa � x

edad de Enrique � y

1. � Pepa tiene 5 años más que su hermano Enrique� x � 5 � y� los dos suman 21 años� x � y � 21

El sistema me queda:x � y � 5

x � y � 21

Aplicamos el método de sustitución; sustituimos el valor de "x" en la segunda ecuación:y � 5 � y � 21 �

� 2y � 21� 5 �

� y � 162

� 8

Sustituir este valor de "y" para hallar el correspondiente de "x": x � 8 � 5 � 13Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x,y� � �13,8�

Las edades sonedad de Pepa � 13 años

edad de Enrique � 8 años

2 La semana pasada, dos entradas para el cine y una caja de palomitas nos costaron 10 euros.Hoy, por cuatro entradas y tres cajas de palomitas hemos pagado 22 euros. ¿Cuánto cuestauna entrada?¿Y una caja de palomitas?

PLANTEAMIENTO

Los precios de cada cosa sonentradas � x

palomitas � y

� dos entradas para el cine y una caja de palomitas nos costaron 10 euros� 2x � y � 10� cuatro entradas y tres cajas de palomitas hemos pagado 22 euros� 4x � 3y � 22

RESOLUCIÓN

Por el método de igualación se resuelve el sistema2x � y � 10

4x � 3y � 22

Elegimos una variable, por ejemplo la "y" para despejarla en las dos ecuaciones:

25

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y � 10� 2x

3y � 22� 4x�

y � 10� 2x

y � 22� 4x3

Igualamos las dos expresiones obtenidas para obtener una ecuación de 1º grado en x:

10� 2x � 22� 4x3

� �10� 2x�3 � 22� 4x �

� 30� 6x � 22� 4x �

� 4x � 6x � 22� 30 �

� �2x � �8 �

� x � �8�2

� 4

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:y � 10� 2 � 4 � 10� 8 � 2Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x,y� � �4,2�.

SOLUCIÓN

Los precios de cada cosa sonentradas � 4 euros

palomitas � 2 euros

Tareas 09-01-2014: 9,10,11,12,13 de la página 1133 Mezclando aceite de oliva a 4.30 euros/litro, con otra clase de aceite de inferior calidad, a 2.80

euros/litro, se han obtenido 500 litros de mezcla de calidad intermedia que resulta a 3.40euros/litro. ¿Cuántos litros de aceite de cada clase se han utilizado?

PLANTEAMIENTO

Los litros de cada aceite sonaceite de oliva caro � x

aceite de oliva barato � y

� han obtenido 500 litros de mezcla de calidad intermedia� x � y � 500� aceite de oliva a 4.30 euros/litro, con otra clase de aceite de inferior calidad, a 2.80

euros/litro, se han obtenido 500 litros de mezcla de calidad intermedia que resulta a 3.40euros/litro.(Ahora hay que relacionar en una misma ecuación los litros y precios delcomienzo con los litros y precios del final.)� 4.3x � 2.8y � 3.4 � 500

RESOLUCIÓN

Por el método de reducción se resuelve el sistema:

x � y � 500

4.3x � 2.8y � 3.4 � 500�

x � y � 500

43x � 28y � 34 � 500�

�x � y � 500

43x � 28y � 17000

Elegimos la "y" para multiplicar por 28 la primera ecuación:

�x � y � 500�28

43x � 28y � 17000�

28x � 28y � 500� 28

43x � 28y � 17000�

�28x � 28y � 14000

43x � 28y � 17000

Aquí se resta en columna para que nos quede:�15x � �3000�

� x � �3000�15

� 200

Sustituimos este valor de "x" para hallar el correspondiente valor de "y":200� y � 500 �

� y � 500� 200 � 300

26

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Se trata de un sistema compatible determinado con solución �x,y� � �200,300�

SOLUCIÓN

Los litros de cada aceite sonoliva � 200 l

mezcla � 300 l

4.6 Sucesiones1. Determina cuáles de las siguientes colecciones numéricas son sucesiones:

a. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.No se trata de una sucesión pues termina después del 9; en realidad son los diez dígitos que seutilizan en el sistema decimal.b 3,3,6,9,15,24, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si se trata de una sucesión pues con los puntos suspensivos podemos continuar escribiendonúmeros ordenados.Es una sucesión dada mediante una ley de recurrencia; "cada término se obtiene sumando losdos anteriores". Indudablemente, hay que dar los dos primeros términos.c �0,2,4,6,8�

No es una sucesión pues sólo se trata de los cinco dígitos pares del sistema de numeracióndecimal.d 10,20,30,40,50,60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si se trata de una sucesión pues tenemos los puntos suspensivos que me dejan continuar lacolección ordenada de números. Se trataría de los sucesivos múltiplos de 10.

2 Escribe los cuatro términos siguientes de estas sucesiones:a. 3,3,6,9,15,24, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a7 � 15� 24 � 39a8 � 39� 24 � 63a9 � 63� 39 � 102a10 � 63� 102 � 165Se construye de forma recurrente:

Tenemos quea1 � 3

a2 � 3

a3 � 3 � 3 � 6a4 � 3 � 6 � 9a5 � 6 � 9 � 15a6 � 15� 9 � 24Cada término es la suma de los dos anteriores.

La fórmula general sería

a1 � 3

a2 � 3

an�2 � an � an�1

b 10,20,30,40,50,60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a7 � 70a8 � 80a9 � 90a10 � 100Se trata de los múltiplos de 10.El término general an � n � 10Así:a1 � 10 � 1 � 10a2 � 20 � 2 � 10a3 � 30 � 3 � 10a4 � 40 � 4 � 10

27

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a5 � 50 � 5 � 10a6 � 60 � 6 � 10¿Cuál es el término décimo tercero?a13 � 13 � 10 � 130¿Cuál es el término la posición 543?a543 � 543� 10 � 5430c 1,4,9,16,25, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a6 � 36 � 62

a7 � 49 � 72

a8 � 64 � 82

a9 � 81 � 92

Se trata de los cuadrados de los números naturales.El término general an � n2

Así:a1 � 1 � 12

a2 � 4 � 22

a3 � 9 � 32

a4 � 16 � 42

a5 � 25 � 52

¿Cuál es el término décimo tercero?a13 � 132 � 169d 1,5,9,13,17, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a6 � 21a7 � 25a8 � 29a9 � 33Se trata de una progresión aritmética pues cada término se obtiene sumando al anterior unacantidad fija llamada diferencia d � 4Es decir;a1 � 1 � 1 � 0 � 4a2 � 5 � 1 � 4 � 1 � 1 � 4a3 � 9 � 5 � 4 � 1 � 4 � 4 � 1 � 2 � 4a4 � 13 � 9 � 4 � 1 � 2 � 4 � 4 � 1 � 3 � 4a5 � 17 � 13� 4 � 1 � 3 � 4 � 4 � 1 � 4 � 4a6 � 21 � 17� 4 � 1 � 4 � 4 � 4 � 1 � 5 � 4Por lo tanto, el término decimo tercero será:a13 � 1 � 12 � 4 � 49De igual forma, el término que ocupa el lugar 1021 será:a1021 � 1 � 1020� 4 � 4081El término general an � 1 � �n � 1� � 4 � 1 � 4n � 4 � 4n � 3

31 Escribe los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:a. an � n � 2

a1 � 1 � 2 � 3a2 � 2 � 2 � 4a3 � 3 � 2 � 5a4 � 4 � 2 � 6a5 � 5 � 2 � 7

b. an � n3

a1 � 13 � 1a2 � 23 � 8a3 � 33 � 27

28

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a4 � 43 � 64a5 � 53 � 125

c. an � 3n � 2a1 � 3 � 1 � 2 � 3 � 2 � 1a2 � 3 � 2 � 2 � 6 � 2 � 4a3 � 3 � 3 � 2 � 9 � 2 � 7a4 � 3 � 4 � 2 � 12� 2 � 10a5 � 3 � 5 � 2 � 15� 2 � 13

32 Escribe los tres términos siguientes de las sucesiones:a. 1,3,5,7,9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11,13,15,17Se trata de los números impares.

b. 2,4,6,8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10,12,14,16,18Se trata de los números pares

c. 2,5,8,11, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14,17,20,23,

Tareas 15-01-12: ejercicios 1,2,3,4,5,6,7 de la página 11533 Calcula los términos tercero y décimo de la sucesión cuyo término general es bn � n � 3n2

término tercero� b3 � 3 � 3 � 32 � 3 � 3 � 9 � 3 � 27 � �24término décimo� b10 � 10� 3 � 102 � 10� 3 � 100 � 10� 300 � �290

34 En la sucesión de término general an � 10n � 3 halla los términos primero, quinto y décimotercero.término primero� a1 � 10 � 1 � 3 � 10� 3 � 7término quinto� a5 � 10 � 5 � 3 � 50� 3 � 47término décimo tercero� a13 � 10 � 13� 3 � 130� 3 � 127

4.7 Progresiones aritméticas y geométricas .EjemploDetermina cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas o geométricas. Caso deserlo, escribe su término general.1. 1,3,6,10,15,21, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se cumple que:a2 � 1 � 2 � 3a3 � 3 � 3 � 6a4 � 6 � 4 � 10a5 � 10� 5 � 15No es ni una ni otra pues ni sumamos siempre la misma cantidad ni multiplicamos siempre porla misma cantidad.

2. 3,6,9,12,15,18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .Se cumple que:b2 � 3 � 3 � 6b3 � 6 � 3 � 9b4 � 9 � 3 � 12b5 � 12� 3 � 15b6 � 15� 3 � 18Son todos los múltiplos de 3.Se trata de una progresión aritmética pues siempre vamos sumando tres al término anterior; ladiferencia es d � 3¿Cuál es su término general?bn � b1 � �n � 1� � d � 3 � �n � 1� � 3 � 3 � 3n � 3 � 3n

3. 5,3,1,�1,�3,�5,�7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

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Se cumple que:c2 � 5 � 2 � 5 � ��2� � 3c3 � 3 � 2 � 3 � ��2� � 1c4 � 1 � 2 � 1 � ��2� � � 1c5 � �1 � 2 � �1 � ��2� � � 3Se trata de una progresión aritméticas pues siempre vamos sumando menos dos al términoanterior; la diferencia es d � �2¿Cuál es su término general?cn � c1 � �n � 1� � d � 5 � �n � 1� � ��2� � 5 � 2n � 2 � 7 � 2n

4. 1,2,�4,�8,16,32,�64,�128,256. . . . . . . . . . . . . . . . .Se cumple que:d2 � 1 � 2 � 2d3 � 2 � ��2� � � 4d4 � ��4� � 2 � � 8d5 � ��8� � ��2� � 16d6 � 16 � 2 � 32No se trata de una progresión geométrica pues no siempre se multiplica por el mismo número.

5. 5,20,80,320,1280,5120. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Se cumple que:e2 � 5 � 4 � 20e3 � 20 � 4 � 80e4 � 80 � 4 � 320e5 � 320� 4 � 1280e6 � 1280� 4 � 5120Se trata de una progresión geométrica pues siempre multiplicamos el término anterior por 4; larazón es r � 4¿Cuál es su término general?en � e1 � rn�1 � 5 � 4n�1

6. 32,16,8,4,2,1,12

, 14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Se cumple que:

f2 � 32� 2 � 32 � 12

� 16

f3 � 16� 2 � 16 � 12

� 8

f4 � 8 � 2 � 8 � 12

� 4

f5 � 4 � 2 � 4 � 12

� 2

f6 � 2 � 2 � 2 � 12

� 1

f7 � 1 � 2 � 1 � 12

� 12

Se trata de una progresión geométrica pues siempre multiplicamos el término anterior por 12

; la

razón es r � 12

¿Cuál es su término general?

fn � f1 � rn�1 � 32 � 12

n�1

35 Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética:25,20,15,10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Para empezar la diferencia es d � �5, pues se cumple que:a2 � 25� ��5� � 20a3 � 20� ��5� � 15a4 � 15� ��5� � 10El término general será:

30

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an � a1 � �n � 1� � d � 25� �n � 1���5� � 25� 5n � 5 � 30� 5n36 Calcula el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 4 y el segundo

término es 16.El término general es an � a1 � �n � 1� � dSe cumple que a2 � a1 � 4 �

� 16 � a1 � 4 �

� a1 � 16� 4 � 12Por lo que an � a1 � �n � 1� � d � 12� �n � 1� � 4 � 12� 4n � 4 � 8 � 4n

37 Encuentra el término general de la progresión aritmética: 6,4,2,0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Para empezar la diferencia es d � �2, pues se cumple que:a2 � 6 � ��2� � 4a3 � 4 � ��2� � 2a4 � 2 � ��2� � 0El término general será:an � a1 � �n � 1� � d � 6 � �n � 1���2� � 6 � 2n � 2 � 8 � 2n

38 Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y elquinto 17.a1,a2 � 8,a3,a4,a5 � 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Se cumple que a5 � a2 � d � d � d � a2 � 3d �

� a5 � a2 � �5 � 2�dPor lo tanto; 17 � 8 � 3d �

� 3d � 17� 8 �

� d � 93

� 3

39 Averigua el término general de la progresión aritmética:8,15,22,29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Para empezar la diferencia es d � 7, pues se cumple que:a2 � 8 � 7 � 15a3 � 15� 7 � 22a4 � 22� 7 � 29El término general será:an � a1 � �n � 1� � d � 8 � �n � 1� � 7 � 8 � 7n � 7 � 1 � 7n

40 Calcula los tres términos siguientes de las progresiones geométricas:a. 1,3,9,27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a5 � 27 � 3 � 81a6 � 81 � 3 � 243a7 � 243� 3 � 729Para empezar la razón es r � 3, pues se cumple que:a2 � 1 � 3 � 3a3 � 3 � 3 � 9a4 � 9 � 3 � 27El término general será:an � a1 � rn�1 � 1 � 3n�1 � 3n�1

El término décimo será:a10 � 310�1 � 39 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 19683

b. 1, 23

, 49

, 827

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b5 � 827

� 23

� 1681

b6 � 1681

� 23

� 32243

b7 � 32243

� 23

� 64729

Para empezar la razón es r � 23

, pues se cumple que:

31

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b2 � 1 � 23

� 23

b3 � 23

� 23

� 49

b4 � 49

� 23

� 827

El término general será:

bn � b1 � rn�1 � 1 � 23

n�1� 2

3

n�1

El término decimo cuarto será b14 � 23

14�1� 2

3

13�

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 23

� 81921594323

c. 32

, 94

, 278

, 8116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c5 � 24332

c6 � 72964

c7 � 2187128

Para empezar la razón es r � 32

, pues se cumple que:

c2 � 32

� 32

� 94

c3 � 94

� 32

� 278

c4 � 278

� 32

� 8116

El término general será:

cn � c1 � rn�1 � 32

� 32

n�1� 3

2

1�n�1� 3

2

n

El término decimo quinto sería c15 � 32

15�

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 32

� 1434890732768

41 Hallar el cuarto término de la progresión geométrica2,6,18. . . . . . . . . . . . . . . . . .a4 � 18 � 3 � 54Para empezar la razón es r � 3, pues se cumple que:a2 � 2 � 3 � 6a3 � 6 � 3 � 18El término general será:an � a1 � rn�1 � 2 � 3n�1

El término decimo noveno sería a19 � 2 � 318 �

� 2 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 �

� 774840978Tareas 20-01-2014: todos los ejercicios de la página 117

HOJA DE PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CONSISTEMAS DE ECUACIONES

98 Calcula dos números tales que el doble del primero más el doble del segundo sea 141, y que elprimero más el segundo sea 150.

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es uno de los números

y es el otro de los números

Tenemos las condiciones siguientes:� el doble del primero más el segundo sea 141� 2x � y � 141� el primero más el doble del segundo sea 150� x � 2y � 150

32

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RESOLUCIÓN

2x � y � 141

x � 2y � 150

Aplicamos el método de sustitución: elegimos la variable x en la segunda ecuación y ladespejamos:x � 150� 2ySustituimos este valor de x en la primera ecuación:2�150� 2y� � y � 141 �

� 300� 4y � y � 141 �

� �3y � 141� 300 �

� y � �159�3

� 53

Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 150� 2 � 53 � 44Es un sistema compatible determinado con solución única �44,53�

SOLUCIÓN

Los números son 44 y 53.Tareas 21-01-2014: 99 y 100 aplicando el método de sustitución101 Actualmente la edad de una abuelo es el cuádruple de la de su nieto, pero dentro de 10 años

será sólo el triple. ¿Cuál es la edad actual de ambos?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es la edad del abuelo ahora

y es la edad del nieto ahora

Tenemos la siguiente tabla:

edad actual edad dentro de diez años

abuelo x x � 10

nieto y y � 10

y la siguientes relaciones:� Actualmente la edad de una abuelo es el cuádruple de la de su nieto� x � 4y� dentro de 10 años será sólo el triple� x � 10 � 3�y � 10�

RESOLUCIÓN

x � 4y

x � 10 � 3�y � 10�

Aplicamos el método de igualación: despejamos la variable x en las dos ecuaciones:

x � 4y

x � �10� 3�y � 10�

Igualamos la dos expresiones de x obtenidas:4y � �10� 3�y � 10� �

� 4y � �10� 3y � 30 �

� 4y � 3y � 20 �

� y � 20Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente de x;x � 4 � 20 � 80Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �80,20�

SOLUCIÓN

El abuelo tiene 80 años y el nieto 20.

33

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Tareas 21-01-2014: 103 y 102 por el método de igualación.104 Por tres cuadernos y dos bolígrafos he pagado 5 euros y 10 céntimos, y por cuatro cuadernos y

un bolígrafo, 5 euros y 55 céntimos. ¿Cuánto cuestan cada cuaderno y cada bolígrado?

PLANTEAMIENTO

Llamamosx es el precio de un cuadero

y es el precio de un bolígrado

Tenemos las siguientes relaciones:� tres cuadernos y dos bolígrafos he pagado 5 euros y 10 céntimos� 3x � 2y � 5.10� por cuatro cuadernos y un bolígrafo, 5 euros y 55 céntimos� 4x � y � 5.55

RESOLUCIÓN

3x � 2y � 5.10

4x � y � 5.55

Aplicamos el método de reducción. Elegimos la y; para multiplicar por �2 la segunda ecuación:

3x � 2y � 5.10

�4x � y � 5.55���2��

3x � 2y � 5.10

�8x � 2y � �11.1

Así, sumando en cada columna, nos queda:�5x � �6 �

� x � �6�5

� 1. 2

Para hallar el correspondiente valor de y, lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones:4 � 1.2� y � 5.55�

� y � 5.55� 4.8 � 0.75Se trata de un sistema compatible determinado con solución única �1.2,0.75�

SOLUCIÓN

El cuaderno cuesta 1.2 euros y el bolígrafo 0.75 euros.Tareas 21-01-2014: 105 y 106 por el método de reducción.

Tareas 22-10-2014: métodos sustitución igualación reducción

nº de problema 107,110,113 108,111,115 109,112,116

107 Calcula las medidas de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide16 centímetros menos que la suma de los lados iguales y que el perímetro del triángulo es de136 centímetros.

y � y � 16 � x

y � y � x � 136

108 En un taller de cuero, Inés se hace una mochila y varios monederos y carteras para regalar asus amigos. Al final del curso ha hecho 17 objetos de cuero. Si se hace el triple de monederosque de carteras, ¿Cuántos monederos y cuántas carteras ha hecho?

x � y � 1 � 17

3x � y

109 El grupo de música de Iván da un concierto con un repertorio de 19 canciones, dos de lascuáles son versiones de grupos españoles. El resto del repertorio son canciones compuestaspor Iván y versiones de grupos extranjeros. Hay tres canciones más de Iván que versiones.¿Cuántas canciones ha compuesto Iván?

x � y � 2 � 19

x � y � 3

110 Nacho se ha ido de viaje a Perú, donde ha estado 5 días más que en su viaje a la India. Encada uno de los sitios ha hecho una media diaria de 15 fotos. Si en total tiene 435 fotos,¿Cuántos días ha estado en Perú?

34

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x � 5 � y

15x � 15y � 435

111 Alberto quiere saltar en paracaídas. Pregunta en dos escuelas, y en una le dicen que conparacaídas abierto se vuelan 3

8del recorrido, y en la otra, 3

7. En la primera escuela se salta

desde 500 metros más arriba que en la segunda. Si la distancia recorrida con el paracaídasabierto es la misma, ¿Cuál es la altura del salto en cada una?

38

x � 37

y

x � 500 � y

112 La edad de Felipe es cuatro años menos que el doble de la edad de Guillermo. Dentro decuatro años, la cuarta parte de la edad de Felipe más la tercera de la Guillermo

HOJA DE SUCESIONES36 Escribe los tres primeros términos de la sucesión cuyo término general es el siguiente:

a. an � ��3�n

a1 � ��3�1 � � 3a2 � ��3�2 � ��3���3� � 9a3 � ��3�3 � ��3���3���3� � � 27

b. bn � n � 12n

b1 � 1 � 12 � 1

� 1

b2 � 2 � 12 � 2

� 34

b3 � 3 � 12 � 3

� 23

Tareas 23-01-2014: 3739 Halla el término general de estas sucesiones.

a. 3,6,9,12, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1º � 3 � 1 � 32º � 6 � 2 � 33º � 9 � 3 � 34º � 12 � 4 � 3Entonces el término general es an � 3n

b. 5,8,11,14, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1º � 5 � 3 � 1 � 22º � 8 � 3 � 2 � 23º � 11 � 3 � 3 � 24º � 14 � 3 � 4 � 2Entonces el término general es bn � 3n � 2

c. 1, 12

, 14

, 18

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1º � 1 � 12

1�1� 1

2

0

2º � 12

� 12

2�1� 1

2

1

3º � 14

� 12

� 12

� 12

3�1� 1

2

2

4º � 18

� 12

� 12

� 12

� 12

4�1� 1

2

3

Entonces el término general es cn � 12

n�1

d. �5,25,�125,625, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1º � �5 � ��5�1

2º � 25 � ��5�2

3º � �125 � ��5�3

35

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4º � 625 � ��5�4

Entonces el término general es dn � ��5�n

Tareas 23-01-2014: 4042 Indica cuáles de las siguientes sucesiones son recurrentes:

a. 1,2,2,4,8,32,256,8192, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a1 � 1a2 � 2a3 � 2 � 1 � 2 � a1 � a2

a4 � 4 � 2 � 2 � a2 � a3

a5 � 8 � 2 � 4 � a3 � a4

a6 � 32 � 4 � 8 � a4 � a5

a7 � 256 � 8 � 32 � a5 � a6

Generalizando tenemos que el término general de la sucesión es:an � an�1 � an�2 siendo a1 � 1 y a2 � 2

b. 1,0,1,0,1,0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .No es una sucesión recurrente, dado que el valor de un término cualquiera nodepende de los valores de los términos anteriores a el.

Esa2n�1 � 1

a2n � 0

Tareas 23/01/2014: todos los ejercicios que faltan del 4243 Escribe los 5 primeros terminos de las sucesiones recurrentes que se indican.

d dn � dn�1 � dn�2 donde d1 � �1,d2 � �2d3 � d3�1 � d3�2 � d2 � d1 � �2 � ��1� � � 1d4 � d4�1 � d4�2 � d3 � d2 � �1 � ��2� � 1d5 � d5�1 � d5�2 � d4 � d3 � 1 � ��1� � 2

Tareas 27/01/2014: todos los ejercicios que faltan del 4344 Escribe una sucesión recurrente en la que sus términos vayan alternando el signo.

Podríamos considerar la sucesión recurrente definida por la siguiente ley.a1 � �2an � ��2� � an�1

Calculamos algunos términos de esta sucesión:a2 � ��2�a2�1 � ��2�a1 � ��2���2� � 4a3 � ��2�a3�1 � ��2�a2 � ��2� � 4 � � 8a4 � ��2�a4�1 � ��2�a3 � ��2� � ��8� � 16a5 � ��2�a5�1 � ��2�a4 � ��2� � 16 � � 32

Tareas 27/01/2014: 45,4647 Halla el término general de las siguientes sucesiones recurrentes.

d 1,1,2,3,7,22,155,3411, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Se cumple que:� 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 2� 1 � 2 � 1 � 2 � 1 � 3� 2 � 3 � 1 � 6 � 1 � 7� 3 � 7 � 1 � 21� 1 � 22� 7 � 22� 1 � 154� 1 � 155� 22 � 155� 1 � 3410� 1 � 3411

La sucesión viene dada por dn � dn�2 � dn�1 � 1 con d1 � 1,d2 � 1Tareas 27/01/2014: todos los ejercicios que faltan del 4749 Averigua cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas y, en caso

afirmativo, halla la diferencia y el término siguiente de la progresión.c an � 5 � 2n

a1 � 5 � 21 � 5 � 2 � 10

36

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a2 � 5 � 22 � 5 � 4 � 20a3 � 5 � 23 � 5 � 8 � 40a4 � 5 � 24 � 5 � 16 � 80a5 � 5 � 25 � 5 � 32 � 160Esto no es una progresión aritmética, pues no vas sumando siempre la misma cantidad.

Tareas 28-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 4951 Halla el término general de las progresiones aritméticas que tienen estas características.

f f1 � 77 y d � 3fn � f1 � �n � 1�d � 77� �n � 1�3 � 77� 3n � 3 � 3n � 74

Tareas 28-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 5152 Halla el término general de las siguientes progresiones aritméticas

e �100,0,100, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Se cumple que:� 0 � ��100� � 100� 100� 0 � 100

Entonces d � 100Entonces el término general es:en � e1 � �n � 1�d � �100� �n � 1�100 � �100� 100n � 100 � 100n � 200

Tareas 28-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 5254 Halla el término a100 de una progresión aritmética de la que se conoce que a1 � �3 y d � 2

El término general de la progresión es:an � a1 � �n � 1�d � �3 � �n � 1�2 � �3 � 2n � 2 � 2n � 5Así que a100 � 2 � 100� 5 � 200� 5 � 195

Tareas 28-01-2014: 55,56,5857 Halla el término a101 de la progresión aritmética tal que a2 � �18 y d � 2

Hemos de calcular a1 � a2 � d � �18� 2 � � 20Calculamos el término general:an � a1 � �n � 1�d � �20� �n � 1�2 � �20� 2n � 2 � 2n � 22Finalmente es a101 � 2 � 101� 22 � 202� 22 � 180

71 Averigua cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y, en casoafirmativo, halla la razón y el término siguiente de la progresión.

b 1, 43

,2, 165

, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculamos los cocientes de un término entre el anterior:43

� 1 � 43

2 � 43

� 32

165

� 2 � 85

Como en cada uno vamos cambiando de resultado, no se trata de una progresióngeométrica.

Tareas 29-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 7173 Halla el término general de las progresiones geométricas que tienen estas características.

b a1 � 6 y r � �2Será an � a1 � rn�1 � 6 � ��2�n�1

Por ejemplo algunos términos calculados serían:� a12 � 6 � ��2�12�1 � 6 � ��2�11 � 6 � ��2048� � � 12288� a17 � 6 � ��2�17�1 � 6 � ��2�16 � 6 � 65536� 393216

Tareas 29-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 73Tareas 29-01-2014: 7476 Halla los cuatro primeros términos de la progresión geométrica con las siguientes

características.b a2 � 7 y r � 7

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a1 �a2r � 7

7� 1

a2 � a1 � r � 1 � 7 � 7a3 � a2 � r � 7 � 7 � 49a4 � a3 � r � 49 � 7 � 343El término general sería an � a1 � rn�1 � 1 � 7n�1 � 7n�1

Tareas 29-01-2014: todos los ejercicios que faltan del 7677 Halla el término a10 de la progresión geométrica en la que a2 � 1 y r � 2.

a1 �a2r � 1

2El término general sería an � a1 � rn�1 � 1

2� 2n�1 � 2n�1

2� 2n�1�1 � 2n�2

Entonces a10 � 210�2 � 28 � 25679 Halla el término general de las siguientes progresiones geométricas.

a. a15 � 64 y a9 � 4096Se cumple que a15 � a9 � r15�9 �

� 64 � 4096� r6 �

� r6 � 644096

� 164

� r � 6164

�6 1

6 64� 1

2

Por otro lado, el término general sería an � a1 � rn�1 � a1 � 12

n�1

En particular, a9 � a1 � 12

n�1

Tareas 14–0-2013: página 127 ejercicios 10,11

PÁGINA 127 EJERCICIO 10

a)3x � 4y � 1

�x � 2y � 1, Solution is: �x � 3,y � 2�

b)2x � y � 14

3x � 3y � 3, Solution is: �x � 5,y � �4�

c)�2x � 3y � 14

3x � y � 1, Solution is: �x � �1,y � 4�

d)4x � 5y � �2

�x � 3y � �3, Solution is: �x � �3,y � �2�

e)x � 2y � 27

�3x � y � �11, Solution is: �x � 7,y � 10�

f)3x � 2y � 5

�2x � 4y � �2, Solution is: x � 2,y � 1

2

g)5x � y � �1

10x � 2y � 10, Solution is: x � 2

5,y � �3

h)2x � 5y � 8

3x � y � 1, Solution is: x � 13

17,y � � 22

17

i)4x � 2y � 3

3x � 5y � 11, Solution is: x � 37

26,y � � 35

26

12 Si en mi cartera llevo un total de 2300 euros en billetes de 50 y 100 euros, y tengo cinco billetesmás de 100 euros que de 50 euros, ¿cuántos billetes tengo de cada clase?

38

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Llamamosx al número de billetes de 50

y al número de billetes de 100

Así las condiciones del problema quedan resumidas matemáticamente como:� total de 2300 euros en billetes de 50 y 100 euros� 50x � 100y � 2300� cinco billetes más de 100 euros que de 50 euros� y � x � 5

Nos queda el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

50x � 100y � 2300

y � x � 5

Se resuelve por el método de sustitución; sustituimos el valor de y de la segunda ecuación en la primera.

50x � 100�x � 5� � 2300� 50x � 100x � 500 � 2300� 150x � 1800� x � 1800150

� 12Se sustituye este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:y � 12� 5 � 17

Tenemos12 de billetes de 50

17 billetes de 100

13 En una urna tenemos 32 bolas rojas y blancas. Si extraemos dos bolas rojas, el número deblancas es el doble que el número de rojas que quedan. ¿Cuántas bolas tenemos inicialmentede cada color?

Llamamosx al número de bolas rojas

y al número de bolas blancas

Así las condiciones del problema quedan resumidas matemáticamente como:� tenemos 32 bolas rojas y blancas� x � y � 32� Si extraemos dos bolas rojas, el número de blancas es el doble que el número de rojas que

quedan� 2�x � 2� � yNos queda el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

x � y � 32

2�x � 2� � y

Se resuelve por el método de sustitución; sustituimos el valor de y de la segunda ecuación en la primera.

x � 2�x � 2� � 32 � x � 2x � 4 � 32 � 3x � 32� 4 � x � 363

� 12

Se sustituye este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:2�12� 2� � y � y � 2 � 10 � 20

Tenemos12 bolas rojas

20 bolas blancas

39