Tema 5. Analisis de problemas [Modo de compatibilidad]

Introducción a la Economía de la Empresa

Tema 5. Análisis de problemas y toma de decisiones

‐ Introducción ‐ La modelización‐ Ambientes de decisión

‐ Certeza‐ RiesgoRiesgo‐ Incertidumbre Estructurada‐ Incertidumbre no estructurada

‐ Criterios de decisión en contexto de incertidumbreCriterios de decisión en contexto de incertidumbre‐ Laplace‐ Optimista‐ Pesimista‐ Hurwicz‐ Savare

‐ Probabilidad

1‐ Análisis Bayesiano


5.1 IntroducciónLa adopción de decisiones tiene tanta importancia en el ámbito empresarialLa adopción de decisiones tiene tanta importancia en el ámbito empresarial

que se ha definido a la empresa como centro de decisiones voluntariastomadas en un entorno incierto.

En el transcurso de la historia el hombre ha tomado las decisiones basándoseEn el transcurso de la historia, el hombre ha tomado las decisiones basándoseen la experiencia, en la intuición, en el sentido común, y en la repetición defórmulas que funcionaron bien en el pasado.

D d l i t bi l t i l l t d d i iDado el creciente cambio en el entorno empresarial, la toma de decisiones resulta cada vez más compleja. Por ello, como en otras áreas de la ciencia económica, la toma de decisiones se realiza en base a distintos modelos.

E h l lid d l j d l hEn muchos casos la realidad es tan compleja que, para comprenderla, hay quesimplificarla, tomando de ellas aquellos aspectos que resultan relevantespara el análisis de que se trate y relegando los que resultan accesorios. Deacuerdo con esto un modelo es una representación simplificada de unaacuerdo con esto, un modelo, es una representación simplificada de unaparte de la realidad.

El principal objetivo de un modelo es permitir una mejor comprensión yd i ió d l lid d t E t j ió d l

2

descripción de la realidad que representa. Esta mejor compresión de larealidad permite tomarmejores decisiones.


Un modelo económicoSupuestos:1. En la economía hay una única empresa que produce un bien.2. Este bien, es a la vez un bien de consumo y un bien de capital.3. La empresa es precio aceptante en el mercado de factores y el mercado de productos. Toma,

precios y salarios como dados4. Para producir las empresas utilizan capital y trabajo.5. Los consumidores alquilan el capital a las empresas a un coste de r.6. Asumimos que el objetivo de la empresa es maximizar beneficios

capitalcapitaltetrabajadorsalarioproducciónprecioBeneficio cos capitalcapitaltetrabajadorsalarioproducciónprecioBeneficio cos

LkrLwklqpBMaximizar )()(),(

L;0

LB ;0

wLqp

q

3[Ecuación 1] w

Lqp


Un modelo económicoBeneficio

Bmax

L*

L (trabajo)

Una solución del problema particular del modelo planteado

L

kL1. Función de producción,2. Precio de los factores:3. Stock de capital:

kLq ,10p 5w

100k

4


Un modelo económicoS tit d [E ió 1]Sustituyendo en [Ecuación 1]:

wLqp

5100110 L5105

: Cantidad demandada de trabajo

L 52

10L

L5105

100* L : Cantidad demandada de trabajo¿Como afecta a la cantidad demandada de trabajo el establecimiento de cotizaciones a

la seguridad social?

100L

LkrLSSwklqpBMaximizar )())1((),(

Bcpo:

Nota: SS representa el porcentaje de cotizaciones a la seguridad social

;0LB

5

Nota: SS representa el porcentaje de cotizaciones a la seguridad social


;0)1( SSwLqpL

)1( SSwLqp

Si SS=10%, ¿Cuál será ahora la cantidad demandada de trabajo por parte de la empresa

%)101(51002110

L

L%)101(10

: Cantidad demandada de trabajo6.82* L

6


5.2 Ambientes de decisiónLa toma de decisiones es tanto más sencilla cuanto mayor sea la información de que se

dispone. La toma de decisiones se hace más compleja cuando no sabemos concerteza lo que va a ocurrir.

El nivel de información determina el tipo de ambiente de la decisión. Ambientes depdecisión:

Certeza: El ambiente de certeza es aquel en el que el decisor conoce con absolutaseguridad los estados de la naturaleza que van a presentarse.g q p

Riesgo: Se denomina ambiente de riesgo a aquel en el que el decisor no sabe concerteza qué estados de la naturaleza se presentarán, pero si conoce cuales puedenpresentarse y la probabilidad que tiene cada uno de ellos (por ejemplo, sabe que lapresentarse y la probabilidad que tiene cada uno de ellos (por ejemplo, sabe que lademanda puede ser de 150.000 unidades al año, con una probabilidad del 25%, ode 75.000 con una probabilidad del 75%, y sabe que hay una probabilidad del 40%de que tenga competencia fuerte y un 60% de que no tenga competencia).q g p y q g p )

Incertidumbre estructurada. El ambiente de incertidumbre estructurada es aquel en quese conocen los estados de la naturaleza, pero no las probabilidades asignadas acada uno de esos estados.

7

cada uno de esos estados.Incertidumbre no estructurada. Es aquel en el que no se conocen ni los estados de la

naturaleza ni las probabilidades.


5.2.1 Criterios de decisión en contextos de incertidumbre

Si la incertidumbre no estructurada, ni se puede obtener mayor información, y ha de tomarse una decisión, ésta habrá de basarse en la intuición.

Si la incertidumbre estructurada, la decisión continúa incorporando una carga de subjetividad muy elevada. Pero en este caso la toma de decisiones se puede realizar utilizando distintos criterios:

Laplace Laplace Optimista Pesimista Optimismo parcial Mínimo Pesar (Savage)

8


Criterio de Laplace

El criterio de laplace se llama también racionalista o criterio de igual verosimilitud.Parte del postulado de Bayes según el cual, si no se conocen las probabilidades asociadas

a cada uno de los estados de la naturaleza no hay razón para pensar que uno tengaa cada uno de los estados de la naturaleza no hay razón para pensar que uno tengamás probabilidades que otro por ello se calcula la media aritmética de cada una delas decisiones que se pueden tomar y se elige aquella que le corresponda elresultado medio más elevado En el caso de que todos los resultados sean negativosresultado medio más elevado. En el caso de que todos los resultados sean negativosse elige el menos desfavorable.

TABLA 1Decisiones alternativas S1 S2 S3

Estados de la Naturaleza

alternativas S1 S2 S3

E1 60 50 40E2 10 40 70

9


Criterio de Laplace

Media aritmética de la decisión E1.

503

4050601

E

Media aritmética de la decisión E2.

40704010 403

7040102

E

Utilizando el criterio de Laplace se tomaría la decisión E1.

10


Criterio Optimista

Es el criterio que elegiría una persona, que pensara que cualquiera que fuese su decisión, el estado que se presentará será el más favorable.

Por ello, cuando los resultados son positivos, se le denomina criterio maxi‐Por ello, cuando los resultados son positivos, se le denomina criterio maximax. Para cada decisión se analizan los posibles resultados, y se toma aquella decisión que en el caso más optimista ofrezca mejores resultadosresultados.

Utilizando los datos de la tabla 1, ¿Cuál será la decisión que corresponda al criterio optimista?

Si elige E sucederá lo más favorable (S ) y ganará 60 u mSi elige E1., sucederá lo más favorable (S1) y ganará 60 u.m.Si elige E2., sucederá lo más favorable (S3) y ganará 70 u.m.

11Luego con este criterio eligirá E2, 70 > 60


Criterio pesimista o de Wold

Es el que seguiría una persona que pensara que cualquiera que fuese suelección, el estado de la naturaleza que se presentará será el menosfavorable.

Utilizando los datos de la tabla 1, ¿Cuál será la decisión que corresponda alcriterio pesimista?criterio pesimista?

‐ Si toma la decisión E1 ocurrirá lo menos favorable, es decir S3, y ganará40.

‐ Si toma la decisión E2 ocurrirá lo más desfavorable, es decir S3, y ganará10.Bajo este criterio la decisión será E ya que 40>10Bajo este criterio la decisión será E1, ya que 40>10

Cuando los resultados sean desfavorables la decisión optima será mini‐

12max, la menor perdida entre las mayores pérdidas.


Criterio de optimismo parcialE t it i tit i t l it i ti i t i i tEste criterio constituye un compromiso entre los criterios optimista y pesimista,

mediante la introducción de un coeficiente de optimismo que denotamos por , comprendido entre 0 y 1, y de su complemento a la unidad que es el denominado coeficiente de pesimismo (1‐ ).

El mejor de los resultados de cada estrategia se pondera con el coeficiente de

El mejor de los resultados de cada estrategia se pondera con el coeficiente de optimismo , en tanto que el peor de los resultados se pondera con el coeficiente pesimista (1‐ ).

á á ó

Utilizando los datos de la tabla 1, cuál será la decisión que corresponde al criterio de optimismo parcial? (suponed que alpha vale un 60%).

Si se elige E1 lo mejor que puede ocurrir es S1 y lo peor es S3 :

13Resultado: 40)1()60(1 E


Criterio de optimismo parcial

Si se elige E2 lo mejor que puede ocurrir es S3 y lo peor es S1 :

5240)6.0()60(6.01 E

2 3 1

Resultado: 10)1()70( E

4810)6.01()70(6.02 E

10)1()70(2 E

Si los resultados son favorables la decisión que tomaría con este criterio es E1. Si 1. los resultados fuesen desfavorables la decisión que se tomaría sería E2.

14


Criterio de mínimo pesarEste criterio lo siguen quienes tienen aversión a arrepentirse porEste criterio lo siguen quienes tienen aversión a arrepentirse por

equivocarse. Formalmente ha de partirse de la matriz de pesares.Según este criterio la decisión optima es elegir el menor entre los máximos

pesares.

Construimos primero la matriz de pesares Veamos como se construye estaConstruimos primero la matriz de pesares. Veamos como se construye estamatriz.

Si elige E1 y ocurre S1, su pesar es cero, ha ocurrido lo mejor que podríapasar dado que ha elegido E1. Si elige E2, y ocurre S1, su pesar es 50,que se calcula como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 10, yque se calcula como la diferencia entre lo que gana con E2, que es 10, ylo que habría ganada si hubiese tomado la decisión E1, que es 60.

15


Criterio de mínimo pesar

S1 S2 S3

E1 0

Si elige E oc rre S s pesar es cero ha oc rrido lo mejor q e podría pasar

E2 50

Si elige E1 y ocurre S2, su pesar es cero, ha ocurrido lo mejor que podría pasardado que ha elegido E1. Si elige E2, y ocurre S2, su pesar es 10, que se calculacomo la diferencia entre lo que gana con E2, que es 40, y lo que habríaganada si hubiese tomado la decisión E1, que es 50.

S1 S2 S3

E1 0 0

E2 50 10

16


Criterio de mínimo pesar

Si elige E1 y ocurre S3, su pesar es 30, (70‐40). Si elige E2, y ocurre S3, su pesar g 1 y 3, p , ( ) g 2, y 3, pcero, ha ocurrido lo mejor dado que ha elegido E2.

M t i d

S1 S2 S3

Matriz de pesares

E1 0 0 30

E2 50 10 0

Si toma la decisión E1, el máximo pesar es de 30. Si toma la decisión E2, elmáximo pesar es de 50 Siguiendo el criterio de Savage la decisiónmáximo pesar es de 50. Siguiendo el criterio de Savage, la decisiónóptima es tomar la decisión E1, a la que corresponde el menor entre losmáximos pesares.

17


5.2.2 Decisiones en contexto de riesgo

El estudio de decisiones en contexto de RIESGO precisa tener conocimientos básicos de probabilidad.

A continuación estudiamos algunos conceptos básicos de PROBABILIDAD

Conforme a la definición de Laplace, si de un total de n casos, todosigualmente factibles, un suceso S puede presentarse en h de los casos,la probabilidad de ocurrencia de un suceso S, que denotamos por P(S),es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casosposibles.

nhSP )(

18


Ejemplo 1. Lanzamiento de una moneda una vez Calcular la probabilidad de sacar unaLanzamiento de una moneda una vez. Calcular la probabilidad de sacar una

cara.

21)( caraSP

Ejemplo 2. L i t d d d C l l l b bilid d d iLanzamiento de un dado. Calcular la probabilidad de sacar un seis.

1)( seisunsacarSP

Ejemplo 3.

6)( seisunsacarSP

Tenemos una cesta con 3 bolas negras y 7 bolas blancas. S= sacar una bola negra.

3)( blb lSP1910

3)( blancabolaunasacarSP


Probabilidad de un suceso compuestoProbabilidad de un suceso compuestoSean S y T dos sucesos INDEPENDIENTES, la probabilidad de que ambos sucesos

ocurran conjuntamente, que denotamos por se calcula como el d d l b bilid d i l d S d T

)( TSP producto de las probabilidades marginales de S y de T.

)()()( TPSPTSP

Donde es la probabilidad de que ocurra el suceso S y es la probabilidad de que ocurra el suceso T.

)(SP )(TP

Sean S y T dos sucesos DEPENDIENTES, la probabilidad de que ambos sucesos ocurran conjuntamente, se calcula como:

)/()()( STPSPTSP

)/()()( TSPTPTSP 20

)/()()( TSPTPTSP


: Probabilidad de que ocurra el suceso S condicionada a que ha)/( TSP q qocurrido el suceso T.

: Probabilidad de que ocurra el suceso T condicionada a que haocurrido el suceso S

)/( STPocurrido el suceso S

Cuando dos sucesos son independientes, la probabilidad condicionada esigual a la probabilidad marginal.

)()/( SPTSP )()/( TPSTP

Ejemplo 4.Tenemos una urna con 5 bolas, 3 negras y 2 blancas. Sea el suceso S: “sacarg y

una bola negra en la primera extracción” el suceso T: “sacar una bolanegra en la segunda extracción”.

21


......continúa ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de que saquemos dos bolas negras seguidas, es decir, cuál es la¿Cuál es la probabilidad de que saquemos dos bolas negras seguidas, es decir, cuál es la

probabilidad de que ocurra el suceso S y el suceso T?

Para calcular esta probabilidad es necesario saber si las extracciones de las bolas son con o?????)( TSP

Para calcular esta probabilidad es necesario saber si las extracciones de las bolas son con osin reemplazamiento ya que ello determina si ambos sucesos son o noindependientes. Analizamos los dos casos posibles.

Caso 1. NO HAY REEMPLAZAMIENTO. En este caso los dos sucesos son DEPENDIENTES y por tanto la probabilidad conjunta se calcula como:

)/()()( STPSPTSP )/()()( STPSPTSP

;5/3)( SP ;4/2)/( STP103

206

42

53)( TSP

22

102045


......continúa ejemplo 4.

Caso 2. HAY REEMPLAZAMIENTO.En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES y por tanto laEn este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES y por tanto laprobabilidad conjunta se calcula como el producto de las probabilidadesmarginales.

)()()( TPSPTSP )()()( TPSPTSP

3 3)(TP53)( SP 5

)( TP

259

53

53)( TSP

23


Probabilidad de UNIÓN ENTRE SUCESOS.Dados dos sucesos, S y T, la probabilidad de que ocurra o bien el suceso S o bien

el suceso T viene dada por la siguiente expresión:

)()()()( SSS

Ejemplo 5.

)()()()( TSPTPSPTSP

Tenemos una urna con 5 bolas, 3 negras y 2 blancas. Sea el suceso S: “sacar una bola negra en la primera extracción” el suceso T “ b l l d ió ”T: “sacar una bola negra en la segunda extracción”.

¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una bola negra en la primera¿Cuál es la probabilidad de que saquemos una bola negra en la primera extracción o que saquemos una bola negra en la segunda, es decir de que ocurra el suceso S o el suceso T?

24


......continúa ejemplo 5. Caso 1. NO HAY REEMPLAZAMIENTO. En este caso los dos sucesos son DEPENDIENTES.

)()()()( TSPTPSPTSP

44416)32()25()34(323)( TSP

Caso 2. HAY REEMPLAZAMIENTO.

5452020)()()(

1045)(

TSP

En este caso los dos sucesos son INDEPENDIENTES.

21)9()35()35(933 2521

25)9()35()35(

259

53

53)(

TSP

25


El TEOREMA DE BAYES nos dice lo siguiente:Tenemos una serie de sucesos disjuntos que no pueden ocurrir de

f i l á ) S1 S2 S d d T dforma simultánea), S1, S2, ....Sn, y dado un suceso T, que puedeproducirse conjuntamente con cada uno de los sucesosanteriores, entonces la probabilidad del suceso T se puedecalcular como:

(1)

)(...)()()( 21 TSPTSPTSPTP n

)/()()/()()/()()( 2211 STPSPSTPSPSTPSPTP (1)Teniendo en cuenta que la probabilidad conjunta de dos sucesos se

puede calcular como el producto de probabilidades

)/()(...)/()()/()()( 2211 nn STPSPSTPSPSTPSPTP

condicionadas:

Y sabiendo que:

)/()()/()( TSPTPSTPSP iii

Y sabiendo que:)(

)()/()/(TP

SPSTPTSP iii

26


Un ejemplo:T=“sacar cara al lanzar una moneda”S1=“Sacar un uno al lazar un dado”S1 Sacar un uno al lazar un dadoS2=“Sacar un dos al lazar un dado”.......S =“Sacar un seis al lazar un dado”S6= Sacar un seis al lazar un dadoS1, S2, S3, S4, S5, S6: son sucesos disjuntos. Si lanzas un dado una

vez, o bien sacas un uno, o un dos, o un tres, ..etc, pero no puedes sacar conjuntamente un uno y un dos.p j y

Nos preguntan: ¿cual es la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara?.

111)1( SP1262

)1( ScaraP

)6(...)2()1()( ScaraPScaraPScaraPcaraP

21

121

121

121

121

121

121)( caraP

27


Variables aleatoriasSe dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certezaSe dice que una variables es aleatoria cuando no se sabe con certeza

el valor que tomará, sino solo los valores que puede tomar (orango de valores en los que se puede mover) y la probabilidadde que tome esos valores (o la probabilidad de que tome unde que tome esos valores (o la probabilidad de que tome unvalor en un intervalo definido).

Hay dos tipos de variables aleatorias: Discretas y ContinuasSe dice que una variable aleatoria es discreta cuando el número de

valores que puede tomar es finito.Se dice que una variable aleatoria es continua cuando esa variableSe dice que una variable aleatoria es continua, cuando esa variable

puede tomar un número infinito de valores.La inflación, la tasa de crecimiento del consumo, la inversión y la

producción, los rendimientos de activos en bolsa, los cambios enlos tipos de interés, la duración de un determinado proceso deproducción, el valor de las ventas, son ejemplos de variables

28

p , , j paleatorias continuas


Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretas

Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito de valores.Al conjunto de valores que puede tomar una determinada variable aleatoria y j q p y

sus respectivas probabilidades se le denomina distribución de probabilidad.

En el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguienteEn el ejemplo (1), la distribución de probabilidad es la siguiente

Valores posibles

Probabilidadposibles

0 1/16 = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) Prob. Suceso 1(S1)

1 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S1, S2, S3, S41 4/16 (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) 1, 2, 3, 4

2 6/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+... Prob. S6, S7, S8, S9, S10, S11

3 4/16 = (1/16)+(1/16)+(1/16)+(1/16) Prob. S12, S13, S14, S15

294 1/16 = (1/16) Prob. Suceso 16(S16)


La distribución de probabilidad se suele representar por medio de und d á l áHISTOGRAMA, es decir, mediante rectángulos cuyas áreas son

proporcionales a los tamaños de las probabilidades que representan.

Histograma

0.375

0.35

0.40

0.25 0.25

0.20

0.25

0.30

bilid

ades

0.0625 0.0625

0.05

0.10

0.15

Prob

ab

0.000 1 2 3 4

Valores posibles

30



La distribución de probabilidad de una variable nos permite conocer laprobabilidad asignada a los distintos valores que puede tomar una variable.Además, la distribución de probabilidad nos permite conocer la probabilidadde que una variable sea inferior a un determinado valor, o, quetome valores en un determinado intervalo .

En el ejemplo (1) podemos conoce la p obabilidad de q e la a iable tome

)3( xP)42( xP

En el ejemplo (1), podemos conocer la probabilidad de que la variable x tome un valor menor o igual que 3:

)3()2()1()0()3( xPxPxPxPxP

o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4

1615

164

166

164

161)3( xP

o la probabilidad de que teme un valor entre 2 y 4, .

)4()3()2()42( xPxPxPxP

111463116

11161

164

166)42( xP



Momentos de la distribución de Probabilidad• Esperanza Matemática ( media, o valor esperado)• Varianza• Desviación típica

Esperanza matemática (E(x))La esperanza matemática de una variable discreta, es una media ponderada de

los valores que puede tomar esa variable utilizando como coeficientes de óponderación sus probabilidades.

Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores: { } y sus probabilidades son { }

La esperanza matemática se calcula como:nxxxx ,..,, 321 npppp ,..,, 321

32nn pxpxpxpxxE ...)( 332211


Distribución de probabilidad. Variables aleatorias discretasVariables aleatorias discretas

El valor esperado de una variable, es el valor alrededor del cuál la variable toma distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala distintos valores.. Se pude decir, que es el valor de referencia que señala donde se encuentra centrada la distribución.

Ejemplo (3)Sean x e y dos variables aleatorias cuyas distribuciones de probabilidad vienen y y p

dadas en las tablas 1 y 2 respectivamente.

Tabla 1Valores posibles

Probabilidad

Tabla 2

Valores posibles

Probabilidad

3 3/10

Tabla 1 p2 3/10

3 2/103 3/10

4 4/10

5 3/10

/

4 1/10

5 2/10

33

5 3/106 2/10



Varianza de una variable aleatoria discretaEs la esperanza matemática de los cuadrados de las desviaciones de los valores

posibles respecto a su mediaposibles respecto a su media

Sea x una variable aleatoria discreta que toma los siguientes valores: { } b bilid d { } { } y sus probabilidades son { }

La varianza se calcula como:

nxxxx ,..,, 321 npppp ,..,, 321

La desviación típica es:

nn pxxpxxpxxpxx 23

232

221

21

2 )(...)()()(

nn pxxpxxpxxpxx 23

232

221

21 )(...)()()(

34



Tanto la varianza como la desviación típica nos informan sobre la distribución de probabilidad en el sentido de que nos dicen cuandistribución de probabilidad, en el sentido de que nos dicen cuan dispersos están los datos respecto a la media.

Valores pequeños de sigma indican concentración de resultados respecto a su media. Valores grandes de sigma corresponden a distribuciones más dispersasdistribuciones más dispersas.

Cuando sigma es pequeño, puede decirse que hay una probabilidad muy elevada de que la variable tome un valor muy próximo a su valor esperado. Si sigma es grande, habrá una posibilidad elevada de que la variable se desvíe al alza o a la baja.

35

q j



Utilizando los datos del ejercicio 3, calcular:

1. La esperanza matemática de x e y2. La varianza de x e y3. Histograma de x e y

Esperanza matemática de x e y4)10/5(5)10/4(4)10/3(3)( xE

8.3)10/2(6)10/2(5)10/1(4)10/2(3)10/3(2)( yE

Varianza de x e y6.0

106

103)45(

104)44(

103)43( 2222 x

36



36.2102)8.36(

102)8.35(

101)8.34(

102)8.33(

103)8.32( 222222 x

Histograma, x Histograma, y

0.3

0.35

0.4

0.45

ad

0.25

0.3

0.35

ad0.1

0.15

0.2

0.25

Proa

bilid

a

0 05

0.1

0.15

0.2

Proa

bilid

a

0

0.05

3 4 5Valores posibles

0

0.05

2 3 4 5 6Valores posibles

37


Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuasVariables aleatorias continuasSe dice que una variable aleatoria es continua, cuando en un rango de valores

determinado puede tomar infinitos valores.En el caso de variables continuas, la probabilidad de que dicha variable tome un

valor concreto es infinitamente pequeña, casi cero. Por eso, en el caso deeste tipo de variables, no nos interesas tanto saber la probabilidad de quetome un valor concreto, sino la probabilidad de que esa variable tome unvalor en un determinado intervalo o sea inferior a un cierto valor.

En el caso de variables continuas la distribución de probabilidad o función deEn el caso de variables continuas, la distribución de probabilidad o función dedensidad, nos dice cuál es la probabilidad de que la variable x sea inferior aun determinado valor que denotamos por a.

Sea f(x) la función de densidad de la variable x. Dicha variable toma valores enel siguiente rango de [a, b]. La probabilidad de que dicha variable tome unvalor por debajo de c, perteneciente a ese intervalo, vienen dada por:

38c

adxxfcxP )()(


Una de las distribuciones de probabilidad más utilizada en la NORMAL.Características de la NORMAL:• Es simétrica y tiene forma acampanada. También se llama campana de

Gauss• El área correspondiente a cada posible valor de la variable es infinitesimal;

es decir, que la probabilidad de que la variable tome un valor concreto es cero.

• La probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en un cierto intervalo finito es también una cantidad finita e igual al área existente bajo intervalo finito, es también una cantidad finita e igual al área existente bajo la campana en ese intervalo

• El rango de fluctuación de las variables con distribución normal es +/-infinito El área total debajo de la campana vale unoinfinito. El área total debajo de la campana vale uno.

• La esperanza matemática de la variable habrá de encontrarse en el centro de la distribución, y dado que esta es simétrica, y que su área total es igual a uno, tanto el área a la izquierda de su valor esperado como el área a su derecha vale 0.5

• Se trata de un tipo de distribución que queda perfectamente descrita con solo el conocimiento de su esperanza matemática o media y su varianza.

39


La distribuciones NORMAL.

-infinito + infinitoa b

La probabilidad de que x tome un valor en el intervalo [a, b], es el área rayada de la figura arriba representada, y se calcula como:calcula como:

)()()( axPbxPbxaP

b

dxxfbxaP )()(

40

a

dxxfbxaP )()(


Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuasVariables aleatorias continuasEn el caso de variables continuas también podemos construir un histograma.Para ello dividimos el rango de valores que pude tomar la variable en distintos

segmentos y calculamos para cada uno de ellos la frecuencia relativa, esdecir, el porcentaje de datos que toma esa variable en cada segmento.

Ejemplo (1).Tasa de crecimiento del IPI de 50

60EEUU: Tasa de crecimiento del IPI

Estados Unidos.

I fl ió di 3 09%30

40

roba

bilid

ad

Inflación media: 3.09%Desviación típica: 2.937

10

20

Pr

41-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

valores posibles


Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuasVariables aleatorias continuasEjemplo (2). Tasa de crecimiento de las ventas al por menor. Para ello dividimos el rango de valores que pude tomar la variable en

distintos segmentos y calculamos para cada uno de ellos lafrecuencia relativa, es decir, el porcentaje de datos que toma esavariable en cada segmentovariable en cada segmento

30

35

40EEUU: Tasa de crecimeinto de las ventas totales

Inflación media: 5.76%Desviación típica: 2.13 20

25

30

Pro

babi

lidad

5

10

15P

42-2 0 2 4 6 8 10 12

0

valores posibles


Distribución de probabilidad. Variables aleatorias continuas

Cuando una variable se distribuye normal, con esperanza yvarianza, , se denota de la siguiente forma:

2

),(~ Nx

En el caso particular en que la media es cero, y la varianza es uno,se dice que la distribución es Normal Estándar.

La distribución de la Normal Estandarizada está tabulada (existenunas tablas estadísticas al final del capitulo) con las que se puedecalcular la probabilidad de que la variable x tome un valorcomprendido en cualquier intervalo que se deseecomprendido en cualquier intervalo que se desee.

43


Cómo leer la información que aparece en tabla. En el interior apareceCómo leer la información que aparece en tabla. En el interior aparecela probabilidad.

variable x tome un Tablas de la Normal TipificadaProbabilidad de que la

variable x tome un valor entre 0 y 0.27

0 1 2 3 4 5 6 70.00.10.2 0.106

Probablidad de que la variable

0.2 0.1060.30.40.5 0.19850.6

Probablidad de que la variable tome un x tome un valor entre 0 y 1.25

0.70.80.91.0 0.3531.1

Probabilidad de que la variable x tome un

1.21.3

44

variable x tome un valor entre 0 y 0.52


Si una variable se distribuye normal, con media y varianza podemos conocer su distribución de probabilidad tipificando la variable

2

podemos conocer su distribución de probabilidad tipificando la variable. Para tipificar una variable basta con restarle su media y dividir esa diferencia por la desviación típica.

x

Se puede demostrar que la variable que hemos obtenido, al tipificar tiene una media de cero y varianza igual a uno.

x

Sea vamos a calcular la probabilidad de que dicha variable tome un valor mayor a 3206.

)386,2600(~ Nx

????)3206( xP

Primero: tipificamos la variable . 3862600 x

45

386


Segundo: de la expresión anterior (1) despejamos el valor de x

(2) 3862600 x

Tercero: planteamos la pregunta que nos hacen:(3)

)3206( xP

Cuarto: Sustituimos en (3) el valor de x obtenido en (2):

???)32063862600( P ???)32063862600( P

???)386

26003206( P

Quinto: Buscamos en las tablas de la normal estándar

)571(1)571( PP

46

)57.1(1)57.1( PP


Tenemos que calcular la probabilidad de que la normal estándar sea inferior a 1.57. e o a .5 .

)57.1(1)57.1( PP

En la tabla de la Normal Estándar tenemos la probabilidad de que la Normal tome un valor entre 0 y 1.57. Dicha probabilidad es de 0.4418.

Sabemos además que la probabilidad de que la variable tome un valor por debajo de 0 es igual a 0.5. Luego sabemos que la probabilidad de que tome un valor por debajo de 1 57 es deprobabilidad de que tome un valor por debajo de 1.57 es de 0.9418.

9418.04418.05.0)57.1( P

í b l b bilid d d l i bl l

0582.09418.01)57.1( P

47

Así, sabemos que la probabilidad de que la variable x tome un valor mayor a 3206 es igual a 0.0582.


Un intervalo de confianza a un nivel de significación , nos da los puntos entre los cuales la variable en cuestión tomará valores con una probabilidad igual

p

los cuales la variable en cuestión tomará valores con una probabilidad igual a .1

Para el caso anterior, vamos a construir un intervalo de confianza a un nivel de significación del 5%. Para ello, buscamos dos valores, [a, b] tales que:

%51( bxaP

Dado que la variable x se distribuye normal, sabemos que: %51( bxaP

%95)()()( bxPbxPbxbP

Sabemos también que la probabilidad de que x tome un valor por encima o por debajo de b es igual a 2.5%. De ello se deduce que:

%5.47%5.21)( bxP

%95)2600( bxbP

48

%95)386

( bbP

Introducción a la Economía de la Empresap

No sabemos cuál es el valor de b. Para conocerlo, tenemos que tipificar la variable x.

3862600 x

Y sustituimos en la expresión anterior:386

%5.47%5.21)( bxP

%5.47)3862600( bP

Buscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la

%5.47)3862600( bP

Buscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la izquierda de la distribución el 47.5% de los datos. Dicho valor es 1.96

49

Introducción a la Economía de la Empresap

Buscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la izquierdaBuscamos en la tabla de la Normal estándar aquel valor que deje a la izquierda de la distribución el 47.5% de los datos.

%5.47)( * zP

Dicho valor es 1.96, es decir, 96.1* z

Una vez conocido podemos calcular b.*z

3862600* bz *3862600 zb

Así, el intervalo de confianza para la variable x es (1843.44, 3356.56), se ha calculado como:

))386961(2600)386961(2600(

50

))38696.1(2600,)38696.1(2600(

Tema 5. Analisis de problemas [Modo de compatibilidad]

Documents

Transcript of Tema 5. Analisis de problemas [Modo de compatibilidad]