TEMA 5: TEMA 5: DIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓNTEMA 5: TEMA 5: DIFERENCIACIÓNDIFERENCIACIÓN

• La derivada y su interpretación geométrica y La derivada y su interpretación geométrica y económicaeconómica• Propiedades de la derivadaPropiedades de la derivada• La regla de la cadenaLa regla de la cadena• Teoremas de Rolle y del Valor MedioTeoremas de Rolle y del Valor Medio• Regla de l’HôpitalRegla de l’Hôpital• Derivadas sucesivasDerivadas sucesivas• Polinomio de TaylorPolinomio de Taylor• Extremos relativosExtremos relativos• Concavidad y ConvexidadConcavidad y Convexidad

La derivada y su interpretación geométrica y económica

• Definición. Dada una función f : D y un punto a D, se dice que f es derivable en el punto a si existe

En este caso dicho límite se denota por f’(a) y se dice que es la derivada de f en a. La derivada de f en a se puede expresar de distintas formas:

limh 0

f(a h) f(a)

h

df(a)

dxfx

' (a) f '(a) limh 0

f(a h) f(a)

hlim

x a

f(x) f(a)

x a

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

a+h

f(a+h)

a

f(a)

f(x)

h

f(a+h)-f(a)

f’(a)=m= pendiente de la recta tangente a f(x) en P(a,f(a)) es igual a la tg, siendo el ángulo formado por la recta tangente con el eje OX.

y=f(a)+m(x-a)

TASAS DE CAMBIO Y SU INTERPRETACIÓN ECONÓMICA

  

Sea la función y = f(x), y supongamos que x toma los valores a and a+h. Entonces, el cambio en el valor de la función (incremento de f) es  f(a) = f(a+h) – f(a) La tasa de cambio media de f en el intervalo entre a y a+h es 

 La tasa de cambio instantánea de f en a es f’(a) 

La tasa de cambio proporcional de f en a is f’(a)/f(a). Esta tasa es conocida también como

tasa de cambio relativa.

f(a)

h

f(a h) f(a)

h

Derivadas

f(x)= c, f‘(x)=0; f(x)=x, f’(x)=1 f(x)=a.x, f’(x)=a

f(x)=xn f’(x)= n.xn-1 f(x)=ex f’(x)= ex f(x)= ax f’(x)=ax.ln a

f(x)=logax f’(x)= (1/x)logae

f(x)= sen x f’(x)=cos x f(x) = cos x f’(x) = -sen x

f(x) = tagx f’(x)=1/(cos2x) = 1 + tag2x

f(x) =cotagxf’(x)=-1/(sen2x) = -(1+cotag2x)

f(x)= arccosxf’(x)=-1/(1- x2)1/2

f(x)=arctg x f’(x)=1/(1+x2)

f(x)= arcsenxf’(x)=1/(1- x2)1/2

f(x)=g(u) con u=h(x)f’(x)=g’(u).h’(x)

Algebra de DerivadasDadas dos funciones f , g:D derivables en D, se verifica que

1. f+g es derivable en D y (f+g)’(x)= f’(x)+g’(x)

2. f.g es derivable en D y (f.g)’(x)= f’(x).g(x)+f(x).g’(x)

3. (f/g) es derivable en D, si g(x)0, xD y (f/g)’(x)=(f’(x).g(x)-f(x).g’(x))/(g(x)2)

4. f(x) es derivable en D y (f(x))’= f’(x)

5. Regla de la cadena: Si f(x) es derivable en a y g(x) es derivable en f(a), (gof)(x) es derivable en a y se verifica

(gof)’(a)=g’(f(a)).f’(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplos de funciones compuestas derivablesSi u = u(x) es una función de x, entonces

f(x)=u f’(x)=u’;

f(x)=a.u f’(x)=a.u’f(x)=un f’(x)= n.un-1u’f(x)=eu f’(x)= euu’; f(x)=au f’(x)=u’.au.ln af(x)=logau f’(x)= (u’/u)logaef(x)= sen u f’(x)=u’cos uf(x) = cos u f’(x) = -u’.sen u

f(x)= tag u f’(x)= u’(1+tag2u)=u’/(cos2u)

f(x)=arctg u f’(x)=u’/(1+u2)

2 2

' '( ) arcsin '( ) ( ) arccos '( )

1 1

u uf x u f x f x u f x

u u

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA

• Si C(x) es el coste de producir x unidades, C’(x) es el coste marginal (en x)

•Si R(x) es el ingreso por vender x unidades, R’(x) es el ingreso marginal (en x)

•Si (x) es el beneficio por producir (y vender) x unidades, ’(x) es el beneficio marginal.

•Enn general en Economía, Marginal = Derivada.

•La propensión marginal al consumo es la derivada de la función consumo con respecto a la renta.

•El producto marginal (o productividad) del trabajo es la derivada de la función de produción con respecto al trabajo.

•A veces se aproxima C’(x) C(x+1)-C(x)

•La elasticidad de f con respecto a x es

Elxf(x)

x

f(x)f '(x)

FUNCIONES MONÓTONAS. CARACTERIZACIÓN

Dada una función f: D derivable en D, se verifica que:

1. f’(x) 0 en D si y solo si f es creciente en D.

2. f’(x) 0 en D si y solo si f es decreciente en D.

3. f’(x) =0 en D si y solo si f es constante en D.

4. f’(x) >0 en D si y solo si f es estrictamente creciente en D.

5. f’(x) <0 en D si y solo si f es estrictamente decreciente en D.

Proposición.

Dada una función f: D derivable en aD, entonces f es continua en a.

Teorema de RolleDada una función f: [a,b] derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica queSi f(a) = f(b), entonces existe un punto interior c, por los menos, en el que f’(c) = 0.

Teorema del Valor MedioDada una función f: [a,b] derivable en (a,b) y continua en los extremos a y b, se verifica que existe un punto c(a,b) tal que

f(b) - f(a) = f’(c).(b-a)

Teorema del valor medio generalizadoDadas dos funciones f, g: [a,b] derivables en (a,b), continuas en los extremos a y b, y tales que no existe ningún punto x del interior del intervalo en el que f’(x) y g’(x) sean ambas infinitas, se verifica que existe algún punto c interior al intervalo donde

g’(c)[f(b) - f(a)] = f’(c).[g(b)-g(a)]

Si g(x)= x, se obtiene el Teorema anterior

APROXIMACIÓN LINEAL Y DIFERENCIAL

Sea una función f(x) derivable en x=a. La tangente a la gráfica en el punto (a,f(a)) tiene por ecuación

  y=f(a)+f’(a)(x-a)

 Si aproximamos la gráfica de f por su recta tangente en x=a, estamos haciendo una aproximación lineal en f de modo que

  f(x) f(a)+f’(a)(x-a) (x próximo a a)

x

f(a)f(x)

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Sea una función derivable y=f(x), y denotemos por dx un incremento arbitrario de la variable x. Llamaremos diferencial de f a la expresión f’(x)dx, y la denotamos por dy (or df)

df(x)= dy= f’(x)dx ≈f(x+dx)-f(x)

Idea intuitiva: Vease la aproximación lineal.

Reglas para el cálculo diferencial

d(af+bg)=adf+adg

d(f.g)=df.g+f.dg…..

DERIVACIÓN IMPLICITA

Si dos variables x e y están relacionadas por una ecuación, para hallar y’(x):

  1-       Derivar cada lado de la ecuación c.r.a. x considerando y como función de x

 2- Resolver la ecuación resultante respecto a y’.

Derivadas de orden superior

Dada una función f: D derivable en D, se puede considerar la función derivada primera de f

f’: D /xf’(x)

Del mismo modo, si f’ es derivable en D, se denomina derivada segunda a la función

f’’=(f’)’ D / x(f’(x))’

Sucesivamente, se define la derivada n-ésima de f, si existe, como

f (n = (f(n-1))’ :D /x (f(n-1 ( x) )’

INDETERMINACIONES. REGLA DE L’HÔPITAL

En el estudio de un límite cuando x tiene a a de un cociente en el que el numerador y el denominador tienden a 0, escribimos

 

Este límite es una Indeterminación del tipo 0/0. (a puede ser sustituido por a+, a-,.)

Regla de L’Hôpital (versión simple)

Si f y g son diferenciables en a, con g(a)=f(a)=0, y g’(a)0, then

 

 

limx a

f(x)

g(x)

0

0

limx a

f(x)

g(x)

f '(a)

g'(a)

Teorema: Regla de L’Hôpital (tipo 0/0)

  Supongamos dos funciones f y g diferenciables en (,) que contine al punto a, excepto posibiblemente en a, y supongamos que f(x) y g(x) ambas tienden a 0 cuando x tiende a a. Si g’(x)0 para todo xa en (,), y si

con L finito, L = +, L=-, entonces

 

Teorema: Regla de L’Hôpital (otros tipos de indeterminaciones)

 La regla de L’Hôpital se puede extender a otros casos. Por ejemplo:

•  a puede tomar los valores .

•  a puede ser un punto extremo del intervalo (,).

• La regla también se verifica cuando la indeterminación es del tipo /.  

limx a

f '(x)

g'(x)L

limx a

f(x)

g(x)lim

x a

f '(x)

g'(x)L

FORMULA DE TAYLOR

Intuición: Recordar la fórmula de la recta tangente a la función f en un punto a

y=f(a)+ f’(a)(x-a)

Esta línea esta tan cerca de la función como se quiera si se considera un x suficientemente cercano a a.

 Formula de Taylor

 Supongamos f es n+1 veces diferenciable en un intervalo que contiene a (a-h,a+h). Entonces, si x (a-h,a+h), f(x) puede escribirse como

 

 donde Rn+1(x) es el Resto de Taylor, y viene dado por

 

 para algún número real c entre x y a.

f(x) f(a) f '(a)

1!(x a)

f ' '(a)

2!(x a)2 ...

f (n (a)

n!(x a)n Rn1(x)

Rn 1(x) f (n1(c)

n 1!(x a)n1

Esto significa que

 

 

 

 Cuanto mayor es n, mejor es la aproximación

 

Si a=0, la fórmula de Taylor es conocida como Fórmula de McLaurin

 

 

 

 

f(x) f(a) f '(a)

1!(x a)

f ' '(a)

2!(x a)2 ...

f (n (a)

n!(x a)n

f(x) f(0) f '(0)

1!x

f ' '(0)

2!x ...

f (n (0)

n!xn Rn 1(x)

PUNTOS EXTREMOS (OPTIMOS)

 Sea f: D una función. Diremos que

 c D es un punto máximo global de f f(x) f(c) para todo x en D

c D es un punto mínimo global de f f(c) f(x) para todo x en D

 Si el valor de f en c es estrictamente mayor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto máximo global estricto.

 Si el valor de f en c es estrictamente menor que en cualquier otro punto de D, entonces c es un punto mínimo global estricto.

• Si el valor de f en c es el mayor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto máximo local.

• c es un punto máximo local si exite un intervalo (,) alrededor de c tal que f(x) f(c) para todo x en (,) que esté en el dominio D.

• Si el valor de f en c es el menor de todos los puntos de un entorno de c entonces c es un punto mínimo local.

• c es un punto mínimo local si exite un intervalo (,) alrededor de c tal que f(c) f(x) para todo x en (,) que esté en el dominio D..

Teorema

 Sea f una función diferenciable en un conjunto I y sea c un punto interior de I – es decir, no un punto frontera de I. Una condición necesaria para que x=c sea un punto máximo o mínimo de f en I es que x=c sea un punto estacionario de f, es decir

f’(x) = 0

Test para Max/min con la primera derivada.

 Si f’(x) 0 para cx, y f’(x)0 para xc , entonces x = c es punto máximo de f.

  Si f’(x) 0 para xc, y f’(x)0 para cx , entonces x = c es un punto mínimo de f.

 

a

f(x)

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Definición

Dada una función f: D , y un punto a D,

Se dice que f es concava en a si y sólo si

f(x) f(a)+f’(a)(x-a)

Se dice que f es convexa en a si y sólo si

f(x) f(a)+f’(a)(x-a)

Proposición

Dada f: D dos veces diferenciable en D,

f’’(x) es la derivada de f’(x). Se verifica que

f’’(x)0 en D f’ es creciente en D f es convexa en D

f’’(x)0 en D f’ es decreciente en D f es concava en D

a

f(x)

Representación Gráfica de una Función y=f(x)

1. Dominio de la Función f(x)

2. Cortes con los ejes

Corte a OX: se hace y=0, se calculan los correspondientes valores de x

 Corte a OY: se hace x=0, se calculan los correspondientes valores de f(x)

3. Simetrías

Respecto del eje OY: f(x)=f(-x) xDominio

Respecto del origen: f(x)=-f(-x) xDominio

4. Periodicidad

Funciones trigonométricas, etc....

 5. Cálculo de y’=f’(x)

Valores de x tales que f’(x)=0

Valores de x tales que f’(x)>0 (intervalos de crecimiento)

Valores de x tales que f’(x)<0 (intervalos de decrecimiento) Si f’(x)=0, f’(x+h)>0, f’(x-h)<0 entonces en (x, f(x)) mínimo

Si f’(x)=0, f’(x+h)<0, f’(x+h)>0 entonces en (x,f(x)) máximo

 

6. Cálculo de y’’=f’’(x)

Valores de x tales que f’’(x)>0 (intervalos de convexidad)

Valores de x tales que f’’(x)<0 (intervalos de concavidad)

Valor de f’’(x) en los puntos hallados en 3.1

f’’(x)>0 mínimos f’’(x)<0 máximos

7. Cálculo del valor de la ordenada en los máximos y los mínimos

8. Cálculo de los x tales f’’(x)=0

Si sig(f’’(x+h))sig(f’’(x-h)) para 0<h< , hay punto de inflexión

9. Cálculo de f’’’(x)

Si f’’’(x)0 para los valores hallados en (8), hay punto de inflexión

 10. Asíntotas

Verticales: las rectas x=a tales que lim f(x) = cuando xa

 Horizontales: y=b, tales que lim f(x)=b cuando x

 Oblicuas: y=mx+n tal que

m=lim (f(x)/x) cuando x

n=lim (f(x)-mx) cuando x

11. Regiones / GRAFICA