TEMA 5 Flujo Potencial
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TEMA 5: FLUJO POTENCIAL ECUACIÓN DE BERNOUILLI El estudio del flujo sin fricción a través de un tubo de corriente infinitesimal, como muestra la figura 4.1a, proporciona una relación muy utilizada entre la presión, la velocidad y la altura, que se denomina ecuación de Bernouilli. Fig. 4.1 Ecuación de Bernouilli para flujos sin fricción a lo largo de una línea de corriente: (a) fuerzas y flujos, (b) resultante de las fuerzas de presión después de retar una presión p uniforme. El volumen de control analizado coincide con un tubo de corriente infinitesimal de área variable ܣሺݏሻ y longitud ݏ, donde ݏrepresenta la dirección de la línea de corriente. Las propiedades ሺ, ,ߩሻ pueden variar con ݏy con el tiempo, pero consideraremos que son constantes en la sección transversal, la cual es suficientemente pequeña. El tubo de corriente está inclinado un ángulo arbitrario ߠ, de forma que la variación de altura entre las secciones es ݖൌ ݏ ݏߠ. La figura muestra una fricción inevitable en las paredes del tubo, que despreciamos, además en el límite →ܣ0 el tubo de corriente coincide con la línea de corriente. La ecuación de Bernouilli se aplica a lo largo de una línea de corriente en un flujo no viscoso. Aplicamos la conservación de la masa en el volumen de control ݐቆන ߩ ቇሶ ௦ െ ሶ ௧ ൌ 0ൎ ߩ ݐ ሶ ሶ ൌ ܣߩ ݕ ൌ ܣ →ݏሶ ൌሺܣߩሻ ൌ െ ߩ ݐܣ ݏEscribimos ahora la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en la dirección de la corriente ܨ௦ ൌ ݐቆන ߩ ቇ ሺሶ ሻ ௦ െ ሺሶ ሻ ௧. ൎ ݐሺߩሻ ܣ ݏሺሶ ሻ
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TEMA 5: FLUJO POTENCIAL
ECUACIÓN DE BERNOUILLI
El estudio del flujo sin fricción a través de un tubo de corriente infinitesimal, como muestra la
figura 4.1a, proporciona una relación muy utilizada entre la presión, la velocidad y la altura, que
se denomina ecuación de Bernouilli.
Fig. 4.1 Ecuación de Bernouilli para flujos sin fricción a lo largo de una línea de corriente: (a) fuerzas y
flujos, (b) resultante de las fuerzas de presión después de retar una presión p uniforme.
El volumen de control analizado coincide con un tubo de corriente infinitesimal de área variable
y longitud , donde representa la dirección de la línea de corriente. Las propiedades
, , pueden variar con y con el tiempo, pero consideraremos que son constantes en la
sección transversal, la cual es suficientemente pequeña. El tubo de corriente está inclinado un
ángulo arbitrario , de forma que la variación de altura entre las secciones es . La
figura muestra una fricción inevitable en las paredes del tubo, que despreciamos, además en el
límite → 0 el tubo de corriente coincide con la línea de corriente.
La ecuación de Bernouilli se aplica a lo largo de una línea de corriente en un flujo no viscoso.
Aplicamos la conservación de la masa en el volumen de control
0
→
Escribimos ahora la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento en la dirección de
la corriente
.
Si despreciamos los esfuerzos tangenciales en las paredes (flujo sin fricción), los términos de
fuerza se deben sólo a la presión y la gravedad. La fuerza de gravedad en la dirección de la
corriente es la componente del peso del fluido contenido en el volumen de control.
,
La fuerza resultante de presión es ,
Sustituimos estos dos términos en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
De la ecuación de conservación de masa utilizamos y .
Sustituimos en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento
0
Hemos llegado así a la ecuación de Bernouilli para flujo no estacionario sin fricción a lo largo de
una línea de corriente. Esta ecuación se puede integrar entre dos puntos 1 y 2 a lo largo de una
línea de corriente
1
20
Si consideramos el caso estacionario 0 e incompresible, densidad constante, la
ecuación de Bernouilli queda de la forma
1
20
1
2
1
2.
Esta es pues la ecuación de Bernouilli para un flujo estacionario incompresible y sin fricción a lo
largo de una línea de corriente. Esta ecuación está relacionada con la ecuación de la
conservación de la energía en régimen estacionario. Recordamos que la ecuación de
conservación de la energía para un flujo en un tubo de corriente con una entrada y una salida
era de la forma
2 2
2 2
Esta relación es mucho más general que la ecuación de Bernouilli, ya que permite tener en
cuenta la fricción, la transferencia de calor, el trabajo mecánico y el trabajo viscoso, pero
implica una simplificación importante; asumir constantes las propiedades del flujo en la entrada
y salida del circuito.
La ecuación de Bernouilli en aplicable en las siguientes condiciones:
flujo estacionario;
incompresible, aceptable si el número de Mach es inferior a 0.3;
sin fricción;
flujo a lo largo de una línea de corriente;
sin intercambio de trabajo ni transferencia de calor entre los dos puntos considerados;
Es importante destacar que líneas de corriente distintas pueden tener diferentes “constantes de
Bernouilli” , dependiendo de las condiciones del flujo.
En la obtención de la ecuación de Bernouilli no se consideran tampoco transferencia de calor o
trabajo. La razón básica de estas restricciones es que en fluidos reales los intercambios de
calor y trabajo están ligados a efectos de fricción, lo que invalida la hipótesis de flujo sin
fricción. Estos efectos termodinámicos son tenidos en cuenta en la ecuación de la energía en
un flujo estacionario.
A continuación se muestran algunas limitaciones prácticas del uso de la ecuación de Bernouilli.
Fig. 4.2 Ilustración de las zonas de validez o no validez de la ecuación de Bernouilli: (a) modelo en un
túnel aerodinámico, (b) hélice, (c) chimenea
Una interpretación visual muy útil de la ecuación de Bernouilli se obtiene representando dos
líneas de flujo. La línea de nivel de energía (LNE), también conocida como línea de cargas o
alturas totales que muestra la altura de la “constante de Bernouilli” . En un flujo
sin fricción y sin aplicación de calor o trabajo, la línea es una línea de nivel constante. La línea
de altura motriz (LAM), también conocida como línea de cargas o alturas piezométricas, indica
el nivel correspondiente a la altura geométrica más la de presión , esto es la LNE menos
la altura de velocidad . La LAM es la altura a la que subiría el líquido en un tubo piezométrico
incorporado al flujo. En el flujo en un canal abierto, la LAM es la superficie libre del agua.
Fig. 4.3 Líneas de nivel de energía y línea de altura motriz para flujo sin fricción en un conducto
La figura anterior muestra las líneas LNE y LAM para un flujo sin fricción en un conducto. Los
tubos piezométricos de las secciones 1 y 2 miden la carga de la presión estática , y por
tanto la LAM. Los tubos de pitot de presión de remanso miden la altura total , que
corresponde a la LNE. En este caso particular la LEN es constante y la LAN asciende lo que
indica que la velocidad está disminuyendo. En condiciones más generales la LEN disminuirá
lentamente debido a las pérdidas por fricción, y descenderá bruscamente por pérdidas
localizadas (una válvula u obstrucción) o debido a la extracción de trabajo (en una turbina). La
LEN sólo puede ascender si se comunica trabajo (como en una bomba o una hélice). La LAM
sigue el comportamiento de la LEN respecto a pérdidas y trabajo motor y asciende o desciende
al disminuir o aumentar la velocidad, respectivamente.
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PERFILES
Una de las aplicaciones básicas de la mecánica de fluidos se refiere al estudio de las denominadas
superficies sustentadoras. Típicamente, una superficie sustentadora está constituido por un cuerpo fino
currentiforme (perfil) que se enfrenta al fluido con un pequeño ángulo de ataque o de incidencia1.
Ejemplos de superficies sustentadoras son el ala de un avión, el timón y las palas de la hélice de un
buque, la quilla de un velero o una vela en ceñida.
La característica principal de este tipo de cuerpos es que su enfrentamiento a una corriente de fluido
provoca la aparición de una fuerza, que puede ser descompuesta en dos componentes. Una en la
dirección perpendicular al flujo (dirección de avance del perfil) que se denomina sustentación (lift) y otra
en la dirección del flujo (resistencia o drag).
En la Figura 1 se muestra el esquema de funcionamiento de un perfil de cuerda C, en donde debido a
un flujo de velocidad U, con un ángulo de ataque α, se desarrolla una fuerza F que se puede
descomponer en la sustentación L y en la resistencia D (la longitud l se denomina cuerda del perfil).
Figura 1. Esquema de funcionamiento de un perfil.
Es posible explicar de una manera intuitiva la aparición de la fuerza de sustentación en un perfil, con una
cierta inclinación, enfrentado a una corriente uniforme, a partir del estudio de la asimetría del flujo que
aparece. Dada su forma y teniendo en cuenta la continuidad (conservación de masa) del fluido, las
partículas de la parte superior del perfil (cara de succión) deben ir más rápido que las partículas de la
parte inferior donde su recorrido es menor (cara de presión). Esta aceleración se traduce en que hay
menor presión en la parte superior que en la inferior y esta diferencia de presiones es la que provoca la
sustentación. La justificación de este fenómeno puede hacerse con mayor sentido físico basándose en la
ecuación de Bernoulli.
En efecto, aunque la ecuación de Bernoulli es sólo aplicable a los fluidos ideales, resulta muy útil para
analizar algunos problemas en los que el fenómeno de turbulencia es poco significativo o está muy
localizado. Si nos fijamos en la Figura 2, podemos observar el flujo típico alrededor de un perfil con un
ángulo de ataque pequeño, obtenido mediante el trazado de líneas de corriente en un experimento. Es
1 La mayoría de los perfiles utilizados en ingeniería naval son simétricos, aunque su inclinación (ángulo
de ataque) lo hace aparecer no simétrico frente a un flujo uniforme.
evidente que en estos casos, el flujo potencial representa con bastante aproximación la realidad2. Algo
similar ocurre por ejemplo en el flujo en toberas o jets.
Figura 2. Ensayo experimental del flujo alrededor de un perfil
En casos como este, es posible calcular la distribución de presión sobre un perfil, una vez conocida la
velocidad y viceversa3, a través de la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia..
Como última conclusión, baste confirmar que la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.,
justifica la aparición del fenómeno de sustentación en los perfiles, pues vincula la aceleración del fluido
con una depresión (a mayor velocidad, menor presión y viceversa).
FLUJO ALREDEDOR DE UN PERFIL
El flujo habitual de un fluido que circula alrededor de un perfil, puede dividirse en diversas regiones, de
manera similar a como se presentó en el análisis del flujo alrededor de una carena (ver ¡Error! No se
encuentra el origen de la referencia.).
En general, existirá una zona exterior en la que los efectos de la viscosidad son despreciables y una zona
cercana al perfil y que se extenderá aguas abajo del mismo en la estos efectos serán importantes, tal y
como se muestra en la Figura 3. En el caso de los perfiles, la zona ocupada por la capa límite (la zona
de transición entre el flujo cerca del perfil y el flujo exterior), aunque dependiente del número de
Reynolds, es en la práctica muy delgada. Es habitual que su valor en el borde de salida del flujo sea del
orden del 3‐5% de la cuerda del perfil. Sin embargo, las fuerzas que actúan sobre el perfil dependen de
2 No ocurre así si se aumenta suficientemente el ángulo de ataque.
3 La constante que aparece en la ecuación de Bernoulli puede calcularse si avanzamos aguas arriba por
una línea de corriente, hasta encontrar el flujo no perturbado. Como esa constante es la misma para
cada línea de corriente, y como en esa zona la presión es la hidrostática, podemos escribir la igualdad:
21
2u p gz
Donde g es la aceleración de la gravedad y z la profundidad de la línea de corriente aguas arriba.
manera muy importante de cómo se desarrolle esta capa a lo largo del perfil. Por otra parte, este
desarrollo depende de la distribución de presión sobre el perfil, y en particular sobre los gradientes de
presión a lo largo de la cuerda. Se suele hablar de gradientes de presión favorables, cuando la presión
disminuye a lo largo de la cuerda, facilitando la aceleración del flujo. A la inversa se denominan
gradientes de presión desfavorables a los que se oponen a la dirección de avance del flujo.
Es importante remarcar que la distribución de presión depende de manera muy importante de cómo se
desarrolla el flujo exterior a la capa límite.
Si pasamos a describir el flujo habitual en la capa límite, podemos decir que, cerca del borde de entrada
del flujo en el perfil, la capa límite se muestra ordenada, siguiendo un flujo laminar, pero rápidamente
se alcanza una zona de transición, a partir de la cual el movimiento del flujo se vuelve errático, dando
lugar a un flujo turbulento. En una zona importante del perfil, este flujo turbulento continúa, en
promedio, siguiendo la superficie del perfil.
Los gradientes de presión favorables ayudan a retrasar el punto de transición del flujo laminar al
turbulento, mientras que los gradientes de presión desfavorables, facilitan que esta transición aparezca
rápidamente.
Figura 3. Regiones de flujo laminar y turbulento alrededor de un perfil.
A medida que avanzamos en dirección del fluido, el flujo turbulento continúa desarrollándose y se llega
a un momento en que pequeños gradientes desfavorables provocan la aparición de un flujo en sentido
opuesto, y con él la aparición del fenómeno de separación. A medida que se avanza en la cuerda, el flujo
se hace más sensible a separarse, de manera que pequeños gradientes desfavorables son capaces de
provocar este fenómeno. Por el contrario, cerca del borde de entrada4 del perfil son necesarios grandes
gradientes para provocar la aparición de separación. Por otra parte, es importante hacer notar que, ante
gradientes lo suficientemente intensos, es posible la aparición de separación incluso en la zona de flujo
laminar. Pero, afortunadamente, en esos casos es posible que ante gradientes favorables, el flujo se
reacople, apareciendo una burbuja de flujo separado entre el punto de separación y el de
reacoplamiento.
El aumento de empuje que se produce al incrementar el ángulo de ataque o la curvatura del perfil,
provoca el aumento de los gradientes favorables en la zona cercana al borde de ataque del perfil y en
cierto momento la aparición de una burbuja de flujo desprendido. Si continuamos el incremento, la
longitud de la burbuja de separación aumenta, y llega un momento en que se funde con la zona de
Di ió d l Fl j Estela
(Flujo desprendido)
l j l i
Flujo turbulento
separación del borde de salida. Durante este proceso el empuje llega a tomar un valor máximo, a partir
del cual disminuye. En paralelo, la resistencia aumenta de manera drástica (se dice que el perfil entra en
pérdida).
CURVA CARACTERÍSTICA DE UN PERFIL
Los valores de las resistencia y sustentación de un perfil dependen del número de Reynolds (calculado
con la cuerda del perfil) y del ángulo de ataque del caso. La variación de estos valores, suele
representarse en curvas como la que se muestra en la Figura 4 y en la Figura 6. En cada una de ellas podemos ver tres curvas características de un mismo perfil que se corresponden a otros tantos números
de Reynolds. Las curvas representan la variación del coeficiente de sustentación CL y del coeficiente de
resistencia CD. Estos coeficientes se definen por:
2 2,
1 1l l2 2L D
L DC C
U U ,
Figura 4. Curva característica del coeficiente de
sustentación de un perfil (Rn1 > Rn2 > Rn3).
Como puede verse, las curvas que aparecen en la Figura 4 tienen un comportamiento prácticamente
lineal para pequeños ángulos de ataque (por lo que se puede suponer que, en esa zona la sustentación
depende únicamente del ángulo de ataque y no es sensible a variaciones del número de Reynolds),
siendo la pendiente de la curva una característica propia del perfil.
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-30 -20 -10 0 10 20 30
CL
Ángulo de Ataque (grados)
Rn 1
Rn 2
Rn 3a
Figura 5. Evolución del coeficiente de sustentación
de una sección NACA2412 (resultados de Javafoil).
Sin embargo cuando el ángulo de ataque o incidencia aumenta (los valores habituales están alrededor
de los 15º), el perfil se opone cada vez más al avance del fluido y se propicia la aparición de fenómenos
turbulentos y la separación del flujo.
Figura 6. Curva característica del coeficiente de
resistencia de un perfil (Rn1 > Rn2 > Rn3).
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-30 -20 -10 0 10 20 30
CD
Ángulo de Ataque
Rn 1
Rn 2
Rn 3
A partir de ese punto el aumento del coeficiente de sustentación con el ángulo de ataque es cada vez
menor, hasta llegar a un punto (ángulo de pérdida) en el que el perfil comienza a perder sustentación de
manera muy rápida.
La elección/diseño de un perfil óptimo ha de tener en cuenta el desarrollo de una distribución de
presión adecuada que permita un adecuado crecimiento de la capa límite a lo largo de la cuerda. El
objetivo final será la optimización de la extensión del flujo laminar sobre la superficie de succión,
mediante el desarrollo de gradientes de presión favorables, a la vez que retrasar la aparición de la
separación, limitando los valores de los gradientes de presión negativos [1].
Por otra parte, la elección de un perfil u otro para una aplicación concreta, debe tener en cuenta los
siguientes puntos:
1. Para ser efectivo, cualquier perfil debería trabajar con ángulos de ataque menores que el
ángulo de pérdida. El rango de ángulos de ataque para los cuales el comportamiento del
perfil es satisfactorio es mayor para perfiles anchos con radios de curvatura mayores en el
borde de ataque.
2. La resistencia del perfil es mínima cuando opera cerca de su ángulo de ataque ideal. El
ángulo de ataque ideal se incrementa a medida que aumenta la curvatura del perfil,
aumentando paralelamente el empuje generado para el ángulo de ataque ideal.
3. El número de Reynolds de operación debe ser adecuado al perfil en cuestión. En general,
los perfiles sólo son adecuados para trabajar en un rango de números de Reynolds, que se
corresponde con los datos disponibles en las curvas características.
4. En operación normal, la sustentación del perfil es la fuerza útil, mientras que la resistencia
es el precio que hay que pagar para conseguir ese empuje. Por ello, un posible criterio de
elección sería aquel perfil, cuya relación CL/CD fuera mayor en el rango de operación.
5. El valor de la sustentación en el punto de diseño debe ser suficiente para una correcta
operación.
PERFILES TÍPICOS
Entre los perfiles más sencillos que se pueden utilizar están los que se construyen mediante un
segmento de círculo, elipse o parábola que define la cara de succión, mientras que la cara de presión es
recta y coincide con la cuerda. Este tipo de perfiles pueden utilizarse en las palas de las hélices de los
buques en las secciones más alejadas del eje debido a tener una distribución de presión en la cara de
succión más uniforme y disminuye el peligro de cavitación.
Sin embargo, los perfiles más conocidos fueron desarrollados a partir de los años treinta por la National
Advisory Committee for Aeronautics (NACA), más tarde conocida como NASA, que se embarcó en una
serie de ensayos en perfiles definidos de forma sistemática y racional. Muchos de estos perfiles NACA
siguen usándose en la actualidad [2].
Una de las familias más usadas son los perfiles NACA de la serie 6 de perfiles de flujo laminar,
desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial. Un ejemplo puede ser el perfil NACA 65‐218. El primer
dígito indica la serie; el segundo, el punto de mínima presión definido como en décimos de la cuerda
medida desde el borde de entrada4; el tercero, es el coeficiente de sustentación de diseño dividido por
diez y los dos últimos dígitos dan el máximo espesor en tanto por ciento de la cuerda5.
Durante los años setenta, la NASA desarrolló una serie de perfiles de baja velocidad con un
comportamiento superior a los perfiles NACA anteriores. Estas nuevas series fueron diseñadas con
ordenador basándose en técnicas numéricas.
4 El borde de entrada (leading edge) es el extremo del perfil por donde incide el flujo, mientras que se
denomina borde de salida (trailing edge) al extremo opuesto por donde escapa el flujo.
5 Si el coeficiente de sustentación de diseño o la posición del máximo espesor no son valores enteros,
estas cantidades se muestran entre paréntesis.
FLUJOS IRROTACIONALES Y NO VISCOSOS
Cuando el flujo es no viscoso e irrotacional, la ecuación de la cantidad de movimiento se
reduce a la ecuación de Euler:
La aceleración es de la forma:
1
2
Donde es la vorticidad del fluido.
Reorganizamos la ecuación, dividimos por la densidad o multiplicamos por un vector
desplazamiento arbitrario dr .
1
2
10
El sumando 0 se anula en las condiciones siguientes:
1. La velocidad es cero, que es el caso trivial, no hay flujo (hidrostática).
2. es cero, caso irrotacional.
3. es perpendicular a : este flujo es bastante peculiar y resulta poco común.
4. es paralelo a : integramos a lo largo de una línea de corriente.
Si integramos a lo largo de una línea de corriente, en un flujo compresible no viscoso, y
tomamos por conveniencia , la ecuación anterior queda de la forma
1
20
2
1 122
12
2
2
10
2
1zzgVV
dpds
t
V
Siendo ds el elemento diferencial de longitud a lo largo de la línea de corriente. Esta ecuación
es la ecuación de Bernoulli para flujo no estacionario y no viscoso a lo largo de una línea de
corriente. Para flujo incompresible estacionario se reduce a
teconsgzVp
tan2
1 2
La constante puede variar de una línea de corriente a otra, a menos que el flujo sea también
irrotacional, 0 , en cuyo caso la constante será la misma en todo el campo fluido.
Mostramos una corriente libre que se aproxima a dos cuerpos próximos entre sí,, creando un
flujo “interno” entre ellos y un flujo “externo” por encima y por debajo de ellos. En la parte frontal
de los cuerpos hay una región de gradiente favorable (la presión disminuye a lo largo de la
superficie) y la capa límite, que estará adherida, será delgada.
Fig. 4.4 Acoplamiento entre las regiones viscosas y no viscosas de un flujo. La teoría potencial no es
aplicable a la zona de capa límite
En los flujos internos, las capas límite crecen desde las paredes, y al encontrarse desaparece
el núcleo no viscoso. La teoría no viscosa debe funcionar bien en los flujos externos,
especialmente cerca de la parte frontal del cuerpo, hasta que el gradiente de presiones a lo
largo de la superficie se vuelve adverso (la presión aumenta) y la capa límite se desprende. La
corriente desprendida deflecta y modifica las líneas de corriente del flujo exterior no viscoso,
que interacciona fuertemente con el flujo viscoso cerca de la pared.
POTENCIAL DE VELOCIDADES
Si el flujo es irrotacional, se puede demostrar que la velocidad se puede igualar al gradiente de
una función escalar.
Si 0 entonces , donde ),,,( tzyx recibe el nombre de potencial de
velocidades.
zw
yv
xu
;;
En este caso, la ecuación de continuidad 0, se convierte en la ecuación de Laplace para
.
0
Las líneas o superficies constante se denominan líneas o superficies equipotenciales del
flujo.
Si el flujo es irrotacional,la ecuación de Bernoulli no estacionaria se simplifica utilizando el
potencial de velocidades.
ϕ
A lo largo de cualquier dirección arbitraria la ecuación de Bernouilli para movimiento irroracional
no estacionario, incompresible queda de la forma.
1
2. | |
Las condiciones de contorno para la ecuación son:
Contornos exteriores, , , conocidos
Componente de velocidad normal al contorno de la superficie del cuerpo, nula
0
Integrar la ecuación de Laplace, con valores conocidos para la derivada de en el contorno, es
mucho más sencillo que utilizar directamente las ecuaciones completas de Navier-Stokes. Hay
muchas técnicas para encontrar las funciones potenciales que satisfacen la ecuación de
Laplace, incluyendo la superposición de funciones elementales, los métodos numéricos
mediante diferencias finitas, elementos finitos y elementos de contorno. Habiendo determinado
, , , mediante alguno de estos procedimientos, se determina por derivación.
REPASO DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE CORRIENTE
Si el flujo está descrito sólo por dos coordenadas, existe también la función de corriente .
Para el flujo plano incompresible en coordenadas cartesianas , , la forma apropiada es
La condición de irrotacionalidad nos lleva de nuevo a la ecuación de Laplace, en este caso
para la función de corriente.
. : 0
0
Las condiciones de contorno son de nuevo velocidad conocida en la corriente libre y flujo nulo a
través de cualquier superficie sólida.
Corriente exterior: , conocidas
Superficies sólidas:
La última condición se puede interpretar como que cualquier línea constante puede
interpretarse como la pared de un cuerpo.
Si un flujo es irrotacional y puede describirse mediante sólo dos coordenadas, existen tanto la
función de corriente como el potencial de velocidades , y las líneas de corriente y
equipotenciales son ortogonales entre sí excepto en los puntos de remanso, donde u y v son
cero. Por ejemplo, para el flujo incompresible en el plano xy , tendíamos
yzv
xyu
;
Las relaciones anteriores implican la ortogonalidad entre las líneas de corriente y las
equipotenciales.
Una vez determinadas, cualquier conjunto de líneas puede considerarse como las líneas
equipotenciales, y las otras serán líneas de corriente. Ambos conjuntos de líneas son
soluciones de la ecuación de Laplace y pueden intercambiarse sus papeles.
Fig. 4.5 Las líneas de corriente y equipotenciales son ortogonales y pueden invertirse sus papeles si los
resultados son útiles: (a) flujo no viscoso típico, (b) lo mismo que (a) pero con los papeles invertidos
Muchas de estas soluciones conviene escribirlas utilizando coordenadas polares , . Las
expresiones para las componentes de la velocidad en función de las derivadas de y
adoptan ahora la forma:
1
1
Y la ecuación de Laplace se describe como
1 10
GENERACIÓN DE ROTACIONALIDAD
Un flujo inicialmente irrotacional puede llegar a ser rotacional si:
1- Hay fuerzas viscosas apreciables inducidas por chorros, estelas o paredes sólidas. En
este caso la ecuación de Bernouilli no es válida en estas regiones viscosas.
2- Hay gradientes de entropía originados por ondas de choque curvadas.
3- Hay gradientes de densidad originados por estratificación más que por gradiente de
presión.
4- Hay efectos no inerciales importantes tales como la rotación de la tierra.
En los casos 2 y 4 la ecuación de Bernouilli sigue siendo válida a lo largo de una línea de
corriente si la fricción es despreciable.
El caso 1, se da cerca de superficies sólidas, donde la condición de no deslizamiento crea una
capa límite a través de la cual la velocidad cae a cero (la velocidad será cero en la superficie de
contacto con el cuerpo), y en chorros y estelas, donde corrientes con distintas velocidades
aparecen separadas por una capa delgada de cortadura muy intensa.
Los flujos internos, como en tubos y conductos, son principalmente viscosos, pues las capas
límite de las paredes crecen hasta extenderse a todo el conducto. La ecuación de Bernouilli no
es válida en estos flujo, a menos que se modifique incluyendo los efectos de las pérdidas
viscosas.
Fig. 4. 6 Modelos típicos de flujo que muestran las regiones viscosas acopladas a regiones no viscosas:
(a) flujo subsónico alrededor de un cuerpo: flujo no viscoso e irrotacional fuera de la capa límite y la
estela, (b) flujo supersónico alrededor de un cuerpo: flujo rotacional no viscoso fuera de la capa límite y la
estela
Los flujos externos, como el flujo alrededor de cuerpos sumergidos en una corriente, son
parcialmente viscosos y parcialmente no viscosos; las dos regiones se acoplan en el borde de
la capa de cortadura o capa límite. Se muestran dos ejemplos en la figura 4.6. La figura 4.6a
muestra un flujo subsónico alrededor de un cuerpo. La corriente incidente uniforme es
irrotacional, pues el rotor de una constante es cero, pero los esfuerzos viscosos originan una
capa de cortadura en torno y aguas abajo del cuerpo. En términos generales, la capa límite es
laminar, cerca del borde de ataque del cuerpo y turbulenta en la parte posterior. Generalmente
aparece una región desprendida cerca del borde de salida, seguida de una estela turbulenta no
estacionaria, que se extiende lejos aguas abajo.
La figura 4.6b muestra un flujo supersónico alrededor de un cuerpo con borde de ataque
redondeado. Generalmente se forma una onda de choque curvada en la parte delantera, y el
flujo aguas abajo es rotacional debido a los gradientes de entropía. En este caso la zona de
separación es pequeña o inexistente, y la estela es generalmente más delgada.
FLUJOS POTENCIALES PLANOS, SOLUCIONES ELEMENTALES
Ahora estudiaremos algunos flujos incompresibles no viscosos que poseen función de corriente
y potencial de velocidades. Se pueden obtener muchas soluciones haciendo uso de la
superposición de funciones. Así que empezaremos buscando las soluciones para flujos
elementales.
Cada uno de los tres flujos elementales es irrotacional e incompresible, por tanto, satisface las
dos ecuaciones de “flujo potencial”, 0 y 0 . Como ambas son ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales lineales, cualquier suma de tales soluciones básicas, es
una solución. Algunas de estas composiciones de soluciones resultan muy interesantes y
prácticas.
CORRIENTE UNIFORME UNIDIMENSIONAL
Tenemos una corriente uniforme en la dirección del eje x, , esta corriente posee una
función de corriente y un potencial de velocidades, por lo que puede ser descrita como
0
Se puede integrar cada expresión y despreciar las constantes de integración, lo cual no afecta
a las velocidades del flujo (ya que el flujo se obtiene derivando o , al derivar se pierden las
constantes).
Así, para una corriente uniforme tenemos .
Las líneas de corriente son líneas rectas horizontales (y=cte.) y las líneas equipotenciales son
verticales (x=cte.), ortogonales a las líneas de corriente como era de esperar.
Fig. 4.7 Corriente uniforme unidimensional. Las líneas sólidas son líneas de corriente y las discontinuas
son líneas equipotenciales.
FUENTE O SUMIDERO BIDIMENSIONAL EN EL ORIGEN
Fig. 4.8 Fuente. Las líneas sólidas son líneas de corriente y las discontinuas equipotenciales
Supongamos que el eje z (que se adentra en el papel) fuese una tubería delgada a través de la
cual fluye un caudal total uniformemente largo de su longitud . Fijando la atención en el
plano xy, se vería un flujo radial hacia fuera o fuente. Es conveniente tratar el problema en
coordenadas polares. Considerando que no existe velocidad circunferencial, para cualquier
radio r, la velocidad es
2
1 0
1
Integrando, descartando las constantes de integración, se obtienen las funciones para este flujo
radial simple:
Fuente o sumidero:
Donde / 2 es una constante, positiva para una fuente y negativa para un sumidero.
Las líneas de corriente son rectas radiales ( constante) y las líneas equipotenciales son
circunferencias ( constante).
TORBELLINO IRROTACIONAL EN EL ORIGEN
Fig. 4.9 Torbellino. Las líneas sólidas son líneas de corriente y las discontinuas son equipotenciales
Un torbellino bidimensional en el origen es un movimiento estacionario puramente circulatorio,
solamente y 0. Se puede demostrar que sólo una función es irrotacional,
es decir, 0 y / , donde es una constante. Para este flujo, llamado en
ocasiones vórtice libre, la función de corriente y el potencial de velocidades se obtienen de
01
1
Integrando, se determinan las funciones apropiadas
Donde es una constante llamada intensidad del torbellino. Las líneas de corriente son
círculos ( constante) y las líneas equipotenciales son rectas radiales ( constante). El flujo
originado al vaciarse un depósito por un orificio inferior central responde aproximadamente al
patrón del torbellino potencial.
El flujo inducido por un torbellino bidimensional es irrotacional en toda partes, excepto en el
origen, donde la vorticidad es infinita. Esto significa que una cierta integral de línea
denominada circulación Γ no se anula cuando se integra a lo largo de un circuito que encierra el
núcleo del torbellino.
La circulación se define como la integral a lo largo de una curva cerrada , en el sentido
contrario al de las agujas del reloj, de la componente de la velocidad tangente a la curva por la
longitud del arco del elemento de curva:
Γ
De la definición de , para un flujo irrotacional, así que generalmente Γ
en un flujo irrotacional sería igual al valor final menos el inicial de . Puesto que la integral es
cerrada, empezamos y acabamos en el mismo punto, por lo que se obtendría Γ 0, pero no
para un torbellino al ser , ya que cada vez que da una vuelta completa se incrementa
en 2 , de manera que en la curva que encierra el torbellino se cumple
Γ 2
En general Γ es igual a la suma algebraica de las intensidades de todos los torbellinos que hay
en la región interior de la curva cerrada. Una región de circulación finita en una corriente está
sometida a una fuerza de sustentación proporcional a y Γ.
Si no hay torbellinos en el campo fluido, la circulación será cero alrededor de cualquier curva
cerrada que encierre un número arbitrario de fuentes y sumideros.
SUPERPOSICIÓN DE FLUJOS PLANOS ELEMENTALES
Ahora podemos construir una variedad de flujos potenciales interesantes, sin más que sumar
los potenciales de velocidad y las funciones de corriente de corrientes uniformes, fuentes,
sumideros y torbellinos. La superposición es válida porque las ecuaciones básicas 0 y
., son lineales.
SUMIDERO MÁS TORBELLINO EN EL ORIGEN
Cuando se superponen un sumidero y un torbellino, ambos centrados en el origen, la
composición de función de corriente y potencial de velocidad resultante es
Fig. 4.10 Superposición de un sumidero más un torbellino. Simula un tornado
La representación está formada por dos familias de espirales logarítmicas ortogonales. Este
patrón es una simulación bastante realista de un tornado (donde el sumidero asciende según el
eje z en la atmósfera) o bien en el torbellino que se forma en el vaciado rápido de una bañera.
CORRIENTE UNIFORME MÁS FUENTE EN EL ORIGEN: CUERPO SEMIINFINITO DE
RANKINE
Si enfrentamos una corriente uniforme en la dirección x frente a una fuente aislada, aparece
una forma de cuerpo semiinfinito. Si la fuente se posiciona en el origen, la superposición de
funciones de corriente resultante es, expresada en coordenadas polares
Fig. 4.11 La superposición de una corriente uniforme más una fuente forma un cuerpo semiinfinito de
Rankine.
En la familia de curvas, puede apreciarse una forma curva, más o menos elíptica, como si
fuese el contorno de un cuerpo semiinfinito, que recibe el nombre de cuerpo semiinfinito de
Rankine. La forma del cuerpo se corresponde con las líneas de corriente particulares ∓ .
La anchura media del cuerpo es, a una cierta distancia aguas abajo igual a / .
La superficie superior puede trazarse a partir de la expresión
La nariz del cuerpo, es un punto de estancamiento, 0, y está situado en , , 0 ,
donde / .
FILA INFINITA DE TORBELLINOS
Consideramos una fila infinita de torbellinos de la misma intensidad equiespaciados una
distancia .
Fig. 4.12 Fila de torbellinos
El torbellino tiene por función de corriente , de modo que la función de corriente
de la fila infinita es
Puede demostrarse que esta suma infinita de logaritmos es equivalente a la función
1
2
1
2
2 2
A continuación se muestran las líneas de corriente
Fig. 4.13 Líneas de corriente para una fila de torbellinos
Se observa la configuración llamada ojo de gato, con celdas de recirculación que rodean a los
torbellinos individuales. Por encima de los ojos de gato, el flujo es hacia la izquierda y por
debajo es hacia la derecha. Además estos flujos hacia izquierda y derecha se hacen uniformes
para | | ≫
| |≫
∓
El signo más corresponde al flujo por debajo de la fila y el menos por encima. Podemos
representar las corrientes uniformes
Fig. 4.14 Flujo de la fila de torbellinos visto desde lejos
Este efecto está inducido por torbellinos, en este ejemplo no hay corriente uniforme hacia la
fila.
CAPA DE TORBELLINOS
Si observamos la fila infinita de torbellinos desde lejos, lo que se ve son las corrientes
uniformes hacia la derecha, por arriba, y hacia la izquierda, por abajo y los torbellinos parecen
estar tan próximos los unos a los otros que se ven como una capa de torbellinos contínua. La
intensidad de la capa se define como
2
En el caso más general puede variar con . La circulación alrededor de cualquier curva
cerrada que encierre una longitud de la capa, será
Γ2
Donde los subíndices y significan inferior y superior, respectivamente. Por tanto, la
intensidad de la capa es la circulación de la capa por unida de longitud Γ/ . Cuando una
capa de torbellinos está inmersa en una corriente uniforme, es proporcional a la sustentación,
por unidad de longitud de cualquier superficie que rodee la capa.
No hay velocidad perpendicular a la capa en la superficie de la misma, por tanto, una capa de
torbellinos puede simular un cuerpo delgado, como una placa o un perfil delgado. Esta es la
base de la teoría de perfiles delgados que se utiliza por ejemplo en la modelización del flujo
alrededor de las velas.
DOBLETE
Cuando nos situamos lejos del par fuente-sumidero.
Fig. 4.15 Flujo potencial debido a una fuente más un sumidero de igual intensidad. Las líneas sólidas son
líneas de corriente y las discontinuas son equipotenciales
El patrón de flujo comienza a parecerse a una familia de círculos tangentes en el origen.
Fig. 4.16 Un doblete, o par fuente sumidero, constituye el caso límite de la figura anterior vista desde
lejos. Las líneas de corriente son círculos tangentes al eje x en el origen.
En este límite, en el que la distancia se hace muy pequeña, la configuración se llama doblete.
La función de corriente para esta configuración es
El parámetro se denomina intensidad del doblete.
Las líneas de corriente son círculos con centro en el eje y tangentes en el origen y se rigen
por la ecuación
2 2
El potencial de velocidad es y las líneas equipotenciales cumplen
2 2
Las líneas equipotenciales son círculos tangentes en el origen con sus centros en el eje x. Se
obtienen girando 90º en el sentido de las agujas del reloj la figura anterior, de manera que son
perpendiculares a las líneas de corriente.
FLUJO ALREDEDOR DE UN CILINDRO CON CIRCULACIÓN
La función de corriente para el flujo alrededor de un cilindro circular con circulación centrado en
el origen es la de una corriente uniforme más un doblete y un torbellino situados en el origen.
Dibujamos las líneas de corriente para cuatro valores distintos de la intensidad adimensional
del torbellino / .
Fig. 4.17 Flujo alrededor de un cilindro circular con circulación para valores de / . (a) 0.0, (b) 1.0,
(c) 2.0 y (d) 3.0
En todos los casos, la línea 0 corresponde al círculo de radio , esto es, al cuerpo de
forma cilíndrica. Cuando la circulación Γ 2 aumenta, crece la velocidad en la parte inferior
del cilindro y decrece en la parte superior. Las componentes de la velocidad están dadas por
1cos 1
sen 1
La velocidad en la superficie es tangencial
0 2 sen
Para valores pequeños de hay dos puntos de remanso sobre la superficie del cilindro,
situados en los ángulos en los que se cumple 0. Se ha de cumplir por tanto
.
El caso (a) de la figura anterior corresponde a 0, 0 180°, esto es un flujo no viscoso
doblemente simétrico alrededor de un cilindro circular con circulación. El caso (b) corresponde
a 1, 30 150°, y el caso (c) corresponde al caso límite 2, en que los dos
puntos de remanso coinciden en el punto más alto del cilindro, 90°.
Para 2 la ecuación no es válida, y sólo hay un punto de remanso fuera
del cilindro, como en el caso (d) de la figura.
Para los casos (b) a (d) de flujos alrededor de cilindros hay una fuerza vertical hacia abajo, o
sustentación negativa, denominada efecto Magnus-Robins,que es proporcional a la velocidad
de la corriente uniforme y a la intensidad del torbellino. Del esquema de las líneas de corriente
se deduce que la velocidad en la parte superior del cilindro es menor que en la parte inferior, y
según la ecuación de Bernouilli, la presión es más alta en la parte superior que en la inferior, lo
que explica que exista esta fuerza hacia abajo. Por supuesto, estas fuerzas no son viscosas, ya
que la teoría utilizada es no viscosa.
La velocidad en la superficie es
0 2 sen
Así para la línea de corriente que entra se ha de cumplir la ecuación de Bernouilli
1
2
1
22 sen
De manera que podemos encontrar la presión en la superficie
1
21 4 4
y es la presión de la corriente incidente. Si es la anchura del cilindro
perpendicular al papel, la resistencia D es la integral sobre la superficie de la componente
horizontal de las fuerzas de presión:
Donde 1 4 4 y si resolvemos la integral obtenemos
ó 0. Este es un caso particular de la paradoja de D’Alembert: “ De
acuerdo con la teoría no viscosa, cualquier cuerpo de forma arbitraria inmerso en una corriente
uniforme no tiene resistencia”.
D’Alembert publicó este resultado en 1752, indicando él mismo que no concordaba con lo que
ocurría en los flujos de fluidos reales. Esta desafortunada paradoja dio pie a una reacción
exagerada y todos rechazaron las teorías no viscosas, hasta que Prandtl, en 1904, mostró cuál
era el efecto, tan importante en el flujo, de la delgada capa límite viscosa en la parte posterior
del cuerpo.
La sustentación perpendicular a la corriente incidente, tomada positiva hacia arriba, está
dada por la integral de las fuerzas verticales de presión:
Al igual que antes, sustituimos y como la integral entre 0 y 2π de cualquier potencia
impar de es cero, la integral se reduce a
1
2
4 2
Γ
Esta ecuación fue generalizada por W.M. Kutta en 1902 e independientemente por N.
Joukowski en 1906, de la siguiente forma:
“De acuerdo con la teoría no viscosa, la sustentación por unidad de envergadura de un cilindro
de forma arbitraria inmerso en una corriente uniforme es igual a Γ, donde Γ es la circulación
total alrededor del cuerpo. La dirección de la sustentación se obtiene girando 90º la dirección
de la corriente incidente, en el sentido opuesto a la circulación.”
El problema principal del análisis de perfiles consiste en determinar la circulación Γ como
función de la forma y orientación de los mismos.
Los flujos analizados en la figura anterior son matemáticos, un doblete y un torbellino situado
en el mismo punto, más una corriente uniforme. Pero se podría conseguir un modelo para su
representación física haciendo girar un cilindro en una corriente. La condición de no
deslizamiento en un fluido viscoso obliga al fluido en contacto a moverse tangencialmente con
la velocidad , consiguiendo una circulación neta Γ.
APLICACIÓN AL ESTUDIO DE PERFILES
La anterior teoría puede aplicarse al estudio de perfiles, para determinar la circulación en
función de la forma del perfil y del ángulo de ataque de la corriente incidente .
CONDICIÓN DE KUTTA
Aunque la forma del perfil y el ángulo de ataque sean conocidos, la solución proporcionada por
la teoría potencial no es única, se puede encontrar una familia infinita de soluciones, cada una
de ellas correspondiente a un valor de Γ. En la siguiente figura mostramos tres soluciones para
la corriente alrededor de un perfil que son matemáticamente aceptables.
4.18 La condición de Kutta simula de forma apropiada el flujo alrededor de un perfil; (a) circulación menor
de la necesaria, el punto de remanso posterior está en la superficie superior, (b) circulación excesiva, el
punto de remanso posterior está en la superficie inferior, (c) circulación correcta, la condición de Kutta
implica que la corriente abandona el borde de salida suavemente.
En el caso (c), que cumple la condición de Kutta, los flujos superior e inferior se encuentran y
abandonan el borde de salida suavemente. Si el borde de salida es ligeramente redondeado,
habrá allí un punto de remanso. Si el borde de salida es afilado, como en la mayoría de los
perfiles, las velocidades del fluido en las superficies superior e inferior deben ser iguales al
abandonar el perfil. Este razonamiento físico proporciona el valor apropiado de Γ y se atribuye
generalmente a W. M. Kutta, de ahí el nombre de condición de Kutta. El valor correcto de la
circulación Γ depende de la velocidad incidente, del ángulo de ataque y de la forma del
perfil.
PLACA PLANA
Analizamos el perfil más sencillo, una placa plana, para resolver el problema utilizamos la capa
de torbellinos. Suponemos que la placa se puede modelar como una capa de torbellinos de
intensidad variable . La corriente libre forma un ángulo de ataque con la cuerda de la
placa.
Fig. 4. 19 Solución para la placa plana con ángulo de ataque utilizando la capa de torbellinos.
De manera experimental se sabe que la placa se sustentará, sabemos que la sustentación es
hacia arriba, por lo que la circulación ha de ser en sentido horario. (Recordamos: La dirección
de la sustentación se obtiene girando 90º la dirección de la corriente incidente, en el sentido
opuesto a la circulación).
La capa de torbellinos debe originar un flujo hacia la derecha en la superficie
superior, e igual y en sentido contrario en la superficie inferior.
Se puede calcular la sustentación total sumando la intensidad de la capa de torbellinos sobre
todo el perfil. Para un perfil de anchura b:
Γ γ x dx
Una forma alternativa de determinar la sustentación es a partir del coeficiente adimensional de
presión en las superficies superior e inferior:
,
,
12
1,
La última igualdad se obtiene utilizando la ecuación de Bernouilli. El cuadrado de la velocidad
en la superficie se obtiene combinando la corriente uniforme y las componentes de la velocidad
debidas a la capa de torbellinos.
, ∓ ∓ 2 1 ∓2
La sustentación es la integral de la diferencia de presiones extendida a toda la longitud del
perfil supuesto de anchura b:
12
2
La intensidad de la capa se determina de la condición de que la velocidad normal es
cero en 0, ya que representa una placa sólida o superficie de corriente. La velocidad
normal en el punto inducida por toda la capa es:
2
La corriente uniforme induce una velocidad normal constante en cada punto de la capa dada
por
Para que la velocidad normal en la superficie sea nula, se ha de cumplir que la suma de las
velocidades normales inducidas por la capa y por la corriente, sea igual a cero:
0 →2
2
La integral debe resolverse para con la condición de Kutta 0 (La condición de Kutta
recordamos que impone que en el borde de salida la velocidad en la superficie superior ha de
ser igual a la velocidad en la parte inferior).
El resultado final que se obtiene, después de muchos cálculos, es:
2 1/
De manera que el coeficiente de presión en la superficie, queda de la forma:
,∓2 1
/
Dibujamos los coeficientes de presión en función de la posición en la placa.
Fig. 4. 20 Coeficiente teórico de presión sobre las superficies superior e inferior
Observamos que en la superficie superior la presión aumenta continuamente con , hay un
gradiente adverso de presión.
Representamos la velocidad en la superficie superior para varios
ángulos de ataque:
Fig. 4.21 Velocidad en la superficie superior, donde los puntos D indican
el punto de desprendimiento de la capa límite laminar
Se observa que para ángulos de ataque por encima de 5°, la contribución de la capa es
alrededor de 20% de , por lo que se viola la ley de pequeñas perturbaciones. En la figura
también se muestran los puntos de desprendimiento calculados por el método de Thwaites, y
se observa que a mayores ángulos de ataque, antes se produce el desprendimiento. La
predicción, aproximadamente correcta, es que la placa plana sufre un desprendimiento masivo
en la superficie superior que provoca la entrada en pérdida para 6°.
El coeficiente de sustentación del perfil
2 4 1/
2 2
También es interesante el coeficiente de momento alrededor del borde de ataque (BA) del
perfil, considerado positivo en el sentido de las agujas del reloj:
12
2
1
4
Por lo tanto el centro de presiones (CP), o posición de la sustentación resultante, está situado
en el punto un cuarto de la cuerda, independientemente de cuál sea el ángulo de ataque.
1
4
ANÁLISIS NUMÉRICO
Cuando el flujo potencial presenta geometrías complicadas o condiciones de corriente
inusuales, el método clásico de superposición de flujos resulta poco atractivo. En este caso el
enfoque más apropiado es utilizando el análisis numérico, del que existen, al menos, tres
métodos distintos:
1- El método de los elementos finitos (FEM, Finite Element Method)
El método de elementos finitos se puede aplicar a todos los tipos de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales, tanto lineales como no lineales, de la física y la
ingeniería. El dominio computacional se divide en pequeñas regiones, o celdas,
típicamente con forma de triángulo o cuadrilátero. Las celdas se definen utilizando un
número finito de nodos donde queremos calcular las variables de campo, como la
temperatura, la velocidad, presión, función de corriente, etc. La solución en cada celda
se aproxima por una combinación algebraica de los valores nodales locales. A
continuación se integran estas funciones aproximadas sobre la celda y se minimiza el
error, para lo que suelen utilizarse funciones de peso. Se obtiene así un conjunto de N
ecuaciones algebraicas para los N valores nodales incógnita. Las ecuaciones nodales
se deben resolver de forma simultánea, invirtiendo una matriz o mediante iteración.
2- El método de diferencias finitas (FDM, Finite Difference Method)
La idea de este método es aproximar las derivadas parciales que aparecen en la
ecuación física por “diferencias” entre los valores de la solución en una serie de nodos
separados entre sí, una cierta distancia finita, si bien los nodos no tienen que estar
equiespaciados. La ecuación original en derivadas parciales se sustituye así por una
serie de ecuaciones algebraicas para los valores nodales. Para el flujo potencial (no
viscoso), estas ecuaciones algebraicas son lineales, pero en general, para el flujo
viscoso son no lineales. Finalmente para obtener los valores nodales se debe iterar o
invertir una matriz.
Como ejemplo podemos escribir la ecuación de Laplace para la función de corriente
haciendo uso del método de diferencias finitas.
0
Primero dividimos el capo fluido utilizando nodos equiespaciados.
Fig. 4.22 Definición esquemática de una malla rectangular de diferencias finitas para un
problema bidimensional.
Las derivadas se escriben utilizando una aproximación algebraica:
Δ , ,
Δ
1
∆ , ,
, Δ ,
Δ
1
∆ , ,
1
Δ
Δ , ,
Δ
, Δ ,
Δ
1
∆ , , ,
1
Δ
, Δ ,
Δ
, , Δ
Δ
1
∆ , , ,
De manera que la ecuación de Laplace se transforma en una ecuación algebraica
lineal.
1
∆ , , ,
1
∆ , , , 0
Si la malla es cuadrada Δ Δ
1
4 , , , , ,
Este modelo en diferencias finitas de la ecuación de Laplace indica que cada valor
nodal de la función de corriente , es una combinación lineal de las funciones de
corriente de sus cuatro vecinos más próximos.
El error numérico en relación a la solución exacta de la ecuación de Laplace es
proporcional al cuadrado del tamaño de la celda computacional.
La resolución del sistema de ecuaciones o la iteración se puede programar usando
cualquier lenguaje de programación.
3- A. Métodos integrales de singularidades distribuidas
B. El método de los elementos de contorno
Esta es una técnica relativamente nueva para la resolución de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales es el método de los elementos de contorno (BEM, Boundary
Element Method). En este método no existen elementos interiores, todos los nodos se
sitúan en la frontera del dominio.
Fig. 4.23 Elementos de contorno de intensidad constante para flujo potencial plano
Cada elemento es una pequeña región del contorno que rodea al nodo
correspondiente, cuya “intensidad” puede ser constante o variable.
Cada elemento tiene una intensidad distinta y representa la distancia desde
dicho elemento hasta cualquier otro punto del campo fluido. Sumando los efectos de
todos los elementos e imponiendo las condiciones de contorno apropiadas se obtiene
la solución final del problema de flujo potencial.
ALAS DE ALARGAMIENTO FINITO
4.24 Perfil típico grueso y con curvatura
Los resultados previos de la teoría de perfiles son válidos para alas bidimensionales o de
alargamiento infinito. Pero todas las alas reales tienen extremos y son, por tanto, de
envergadura finita o relación de aspecto RA finito, definido como
Siendo la envergadura o distancia entre extremos o puntas del ala y es el área de la
forma en planta del ala vista desde arriba. Los coeficientes de sustentación y resistencia de un
ala de alargamiento finito dependen fuertemente de la relación de aspecto y muy poco del área
de la forma en planta.
4.25 Teoría de la línea sustentadora para alas finitas: (a) sistema de torbellinos real en la estela de un ala;
(b) simulación del sistema de torbellinos “ligados” al ala; (c) velocidad vertical inducida en el ala debida a
un elemento infinitesimal de torbellinos desprendidos
Los torbellinos no pueden terminar en el fluido; o bien se extienden hasta los contornos o bien
forman un circuito cerrado. La figura 4.25a muestra cómo los torbellinos que proporcionan la
circulación alrededor del ala se curvan aguas abajo en los extremos de un ala de alargamiento
finito, alineándose con la corriente para unirse lejos aguas abajo formando un torbellino de
arranque.
Fig. 4.26 Etapas del desarrollo de la sustentación: (a) sin sustentación (b) el borde de salida afilado
induce la separación y se forma un torbellino de arranque: sustentación pequeña (c) el flujo arrastra el
torbellino de arranque, el flujo en el borde de salida es suave (d) el torbellino de arranque arrastrado
aguas abajo
Los torbellinos de mayor intensidad se desprenden de los extremos, pero algunos se
desprenden del interior del ala, como muestra esquemáticamente la figura 4.25b. La circulación
efectiva Γ de los torbellinos desprendidos es cero en los bordes y, generalmente, tiene un
máximo en el plano central, o raíz del ala. En 1918 Prandtl modeló este flujo de forma
satisfactoria reemplazando el ala por una línea sustentadora y una capa semiinfinita de
torbellinos de intensidad , como en la figura 4.25c. Cada torbellino elemental
induce una velocidad vertical dada por
4
En el punto de la línea sustentadora. El factor 4 es causa de que los torbellinos se extienden
desde 0 hasta ∞.
La velocidad total descendente inducida por el sistema completo de torbellinos
desprendidos es
1
4
Cuando esta velocidad vertical se suma vectorialmente con la corriente incidente , el ángulo
de ataque efectivo en esta sección del ala es
Tomando la aproximación ≪ .
La teoría de Prandtl de la línea sustentadora para alas de alargamiento finito:
Γ1
4
Que es una ecuación integrodiferencial para Γ con las condiciones Γ Γ 0.
Una vez que se ha resuelto esta ecuación, la sustentación del ala y la resistencia inducida
están dadas por
Γ Γ
Tenemos aquí un caso en el que la resitencia no es nula en un flujo no viscoso, debido a que la
velocidad vertical hace que la sustentación se incline hacia atrás un ángulo de modo que
proporciona una componente de resistencia paralela a la dirección de la corriente incidente,
.
La solución más sencilla se da en el caso de un ala de forma en planta elíptica y sin torsión,
dada por la función 1/
.
El área y alargamiento del ala son
C1
4
4
La distribución de circulación es pues
Γ Γ 12
/
La sustituimos en Γ e integramos, de manera que se
obtiene Γ/
donde es constante a lo largo del ala sin torsión.
La sustentación para el ala elíptica es:
1
4/ 1 2/
2
1 2/
Si generalizamos esto a un ala finita gruesa con curvatura y de forma en plana
aproximadamente elíptica, tenemos:
2
1 2/
2
EJEMPLO: ANÁLISIS NUMÉRICO DE VELAS.
El problema de las velas es tridimensional, para resolverlo se utiliza el denominado método de
los paneles. En este método se discretizan las geometrías, en nuestro caso las velas, y se
distribuyen elementos singulares en la superficie.
El método más económico, computacionalmente hablando, para resolver el problema de una
superficie fina sustentable es utilizar como elemento singular los anillos de vórtice.
Primero se discretiza la geometría por medio de elementos o paneles cuadriláteros con sus
nodos colocados sobre la superficie y luego se distribuyen sobre ella los elementos singulares.
Como la superficie de la vela es fina, consideraremos un espesor nulo, por lo que usaremos los
mismos elementos para la cara de succión y la de presión, y esto se puede lograr gracias al
empleo de singularidades tipo vórtice o dobletes.
Fig. 4.27
Cada anillo de vórtice está formado por cuatro segmentos de vórtice, por lo que la velocidad
inducida en un punto P por cada anillo se puede calcular sumando las velocidades inducidas
en este punto, por cada uno de los segmentos que forman el anillo.
El cuerpo se discretiza en paneles y la estela en paneles. Se considera que en cada
punto P sólo influyen los paneles que se encuentran a más de 2.5-5 veces la diagonal de un
panel.
Con el método de los paneles obtenemos el campo de velocidades como si todo el fluido fuera
potencial.
ANEXO: MANUAL DE USUARIO DE JAVAFOIL
Javafoil es un programa de uso libre para cálculo de perfiles, basado en:
Resolución numérica del flujo potencial mediante un método de paneles de alto orden
Resolución numérica de las ecuaciones de capa límite (método integral)
La herramienta está disponible en: http://www.mh-aerotools.de/airfoils/javafoil.htm
Javafoil se presenta en un entorno de una única ventana, con diversas páginas o “tabs”, que se
describen a continuación.
OPTIONS CARD
This card offers some information about your Java system and it contains a combo box to select
a different country setting. The country setting also affects the decimal separator.Initially, the
language will be selected automagically, based on your system settings (or according to your
command line parameters). The default language is English, but if you prefer your native
language, contact me by eMail to receive a file with the character strings to translate.
You can save and restore the current state of JavaFoil to revert later to a previous project
(see security settings).
Also you can specify some properties of the fluid where you want the airfoil to operate. The
KINEMATIC VISCOSITY is needed for the calculation of the local Reynolds number and the SPEED OF
SOUND is needed for the Mach number. Currently, these parameters are currently only required
for the Aircraft card.
The aspect ratio is used for an approximate correction of the results on the Polar and Aircraft
cards for a finite wing. First the 3D lift coefficient CL is determined by adapting the 2D Cl. Mach
number and aspect ratio are taken into account. Then the 3D drag coefficient CD is calculated
by adding the induced drag coefficient for a wing with elliptical lift distribution to the Cd of the
airfoil.
Finally, the scripting facility can be used to automate simple command sequences.
GEOMETRY CARD
The Geometry card is used to prepare the coordinates of your current airfoil. This is the geometry which is used by all tools in JavaFoil.
It shows a list of coordinates and a plot of the resulting airfoil shape. You can enter or paste arbitrary coordinates into this field and press the "Update View" button to copy the coordinates into the working airfoil. Remember that the coordinates must be ordered trailing edge > upper > nose > lower > trailing edge.
Additionally it contains options to create standard airfoils from several families, namely:
4-digit series, like NACA 2415, based on o maximum thickness and its x/c location o maximum camber and its x/c location
5 digit series like NACA 23015, based on o maximum thickness and its x/c location o design lift coefficient o x/c location of maximum camber
16-series like NACA 16-412, based on o maximum thickness and its x/c location o design lift coefficient
6-series like NACA 64-412, based on o maximum thickness and its x/c location o design lift coefficient o camber line specification (a=...) o A-Modification
Note that the 6-series sections are only approximated, for correct data use tables from NACA reports.
TsAGI "B" series airfoils, based on o maximum thickness
NPL "EC", "EH" series airfoils, based on o maximum thickness and its x/c location o maximum camber and its x/c location
symmetrical Circular Arc airfoils, based on o maximum thickness
symmetrical Double Wedge airfoils, based on
o maximum thickness and its x/c location Cambered Plate airfoils, based on
o maximum thickness o maximum camber and its x/c location
Van de Vooren conformal mapping airfoil, based on o maximum thickness o trailing edge angle
Newman airfoil, based on o maximum thickness
Helmbold-Keine airfoil, based on o maximum thickness and its x/c location o trailing edge angel o radius at center of airfoil o leading edge radius
Note that only a subset of possible parameters leads to reasonable shapes.
Note about all x-y graphs:
1. You can copy most of the graphs to the clipboard or save them to a file in AutoCad DXF, Adobe Illustrator encapsulated Postscript or SVG vector graphics format by pressing the right mouse button while the mouse pointer is located over the graph (context menu). Paste the test into a text editor, save as filename.dxf, .eps/.ai or .svg and import into your favorite graphics, CAD or word processing program.
2. If you have allowed the applet to write files, or if you run JavaFoil standalone, you can also export the graphics directly to a file, without using the clipboard.
3. Additionally, you can import numerical data into a graph to enhance it. For example you can import test results into the the polar plot for comparison. Import works only, if the graph already contains some data, so that the axis system is already set up. The data is lost when the graph is cleared for a new calculation, though.
MODIFY CARD
Here you find tools to modify the geometry of the current airfoil.
You can create a new distribution of points, change the camber and the thickness or deflect a plain flap. A scaling and rotating option is also available to transform the airfoil. The result of any
modification is shown at the bottom of the card and is also transferred back to the Geometry card. Each transformation is executed when you press the button to the left of the corresponding text entry field.
Before a modification is performed JavaFoil saves a copy of the current geometry on top of a stack and you can either use the "Undo" button to back up to the previous configuration or select the desired configuration from the combo box. It is recommended to enter a name which reflects your modification before pushing the "Modify" button (e.g. "NACA 0010 / F+10" for a 10° flap deflection). To reduce memory overhead, the number of undo steps is currently limited to 10. Each additional modification will drop one saved geometry from the bottom of the stack.
Changing the Number of Points You can increase or decrease the number of points of the selected airfoil element. If you specify a negative number of points, JavaFoil uses a special tight spline curve which produces an almost linear interpolation between the given coordinate points.
Deflection of a simple Flap
Uses the given a flap chord and deflection angle (positive = trailing edge down) to rotate the coordinate points covered by the flap. No points are added to the convex side of the airfoil, so any initially coarse distribution might lead to a poor representation of the flapped airfoil. Also some points on the concave side are deleted if they would move inside of the flapped airfoil.
Modification of Thickness and Camber
Creates a new shape based on the camber distribution and the thickness distribution of the current airfoil. Both distributions are derived by analysis of the y-coordinates for a given x station - the thickness distribution is not applied at right angles to the camber line. This will introduce a small error where the camber line has a larger inclination. The extracted distributions are then scaled with the ratio of prescribed to current maximum value. The x-axis is defined to be the straight line from the trailing edge to the coordinate point having the largest distance to the trailing edge.
Scaling
Scaling is always performed with respect to the origin of the coordinate system (0/0). X and Y coordinates are multiplied with the given factor.
Trailing Edge Gap
The upper and lower surface of the airfoil are rotated around the leading edge point to open or close the trailing edge.
Rotation and Translation x/y
Allows arbitrary modifications to the position of the airfoil. Duplicate
Creates a copy of the selected airfoil element. You have to move and/or rotate it afterwards so that it does not overlap its parent.
Delete
Deletes the selected airfoil element. Flip Y
Mirrors the selected airfoil element along the x-axis (upside down transformation). Copy (Text)
Copies a text buffer to the clipboard if your system security settings allow this. The buffer contains the coordinates of the camber distribution (xc/yc) and the coordinates of the thickness distribution (xt/yt) for the current airfoil.
Notes:
1. Changes to the camber are performed by scaling an existing camber line. Thus it is not possible to camber a symmetrical airfoil, as this would additionally require the specification of a camber line shape.
2. Changes act on the selected airfoil element(s) (in case of multi-element airfoils).
DESIGN CARD
This card can be used to design an airfoil based on a prescribed target pressure (coefficient) distribution. Such a method is called "inverse design" - the geometry of the airfoil is a result of the given pressure distribution.
Pressing the "Setup" button initializes the design procedure by copying the current airfoil. This airfoil is then analyzed at the given angle of attack and produces an initial target pressure distribution.
Now you can modify this pressure distribution either by using a smooth distortion of the target Cp or in a single point mode. Simply grab a point on the target distribution and drag it up or down to modify the curve.
After you are satisfied with the target Cp-distribution, you can run several design cycles and check the result. The current solution is overlaid on the previous results to allow for convergence check.
You can "Redraw" the screen to clear the intermediate results.
Instead of viewing the Cp-distribution in the usual way Cp=f(x/c) you can "unfold" the distribution by plotting Cp=f(s). Here s is the arc length measured along the airfoil surface (the order is upper surface, nose, lower surface). This representation makes it easier to modify the leading edge region. When this viewing mode is active, a slider can be used to enlarge the leading edge or trailing edge regions.
A relaxation factor helps to stabilize the procedure and to smooth the geometry changes - usually a value between 10% and 25% is sufficient.
Typically, the number of design steps should be between 10 and 50 steps. You can repeat the design until JavaFoil has reached the target.
The analysis takes into account the effects of ground proximity as well as multiple elements. Note that the design procedure only acts on the first element of multiple elements. You have to change the order on the Geometry card if you want to design another element.
If you want to define the target pressure distribution by numbers, you can use the "Details..." button to open a window where you can enter or paste x/c, y/c, Cp triples. From these data,JavaFoil only reads the Cp values, changing x/c or y/c will have no effect.
Notes:
1. When "symmetric Cp modification" is checked, the Cp curves for upper and lower surfaces are modified in the same manner. This results in a global modification of the airfoil thickness.
2. When "anti-symmetric Cp modification" is checked, the Cp curves for upper and lower surfaces are modified with reversed signs. This results in a global modification of the airfoil camber.
3. When none of both options is checked, you can modify the Cp values for single points, which is useful for smoothing wavy airfoils.
4. The method is not foolproof and may diverge if the changes are too large. Problems may occur if modifications close to the leading and trailing edges are performed. This is because the stagnation point region is very sensitive to small changes in overall circulation.
5. The tool tries to translate any arbitrary Cp-distribution into a shape. If the target distribution is "ill posed", it may happen that no shape exists which creates such a distribution!
6. Markers on the airfoil shape indicate the results of the boundary layer analysis: green: transition, red: separation.
VELOCITY CARD
This card can be used to calculate the velocity distribution on the surface of the airfoil for
several angles of attack. As usual, all angles are counted from the x-axis of the airfoil.
The graph shows the velocity on both sides of the airfoil and can be used to smooth airfoils. If
the velocity distributions show wiggles and zig-zag waves, any subsequent boundary layer
analysis on the Polars card will probably create unrealistic results. To smooth an airfoil, go back
to the Geometry card and change single y-coordinate values or use the Design card to modify
the velocity distribution directly. Then re-analyze. Yes, this is slow, but possible and probably
better than an automatic global smoother which would smooth over the whole airfoil.
You can display either the distribution of the local velocity v/V or the resulting local pressure
coefficient Cp. If a Mach number other than zero is specified on the Options card, the critical
velocity ratio V* respectively the critical pressure coefficient Cp* is plotted also. The distributions
are corrected for compressibility effects by the Karman-Tsien rule, but one must be aware of the
fact that such corrections are valid only for Mach numbers below approximately 0.7.
Notes:
1. The Mach number from the Options card will be used for a compressibility correction on all cards. The corrections work reasonably well for Mach numbers below 0.75. If supersonic flow occurs somewhere on the airfoil surface, the code will not fail, but you would need a different type of analysis code for transonic and supersonic flow.
2. The table in the upper right of the card lists force and moment coefficients which are determined for the Reynolds number taken from the boundary layer card. However, the velocity distribution shown is for the inviscid flow. i.e. will not be affected by Reynolds number.
3. The table also shows the critical Mach number for each angle of attack. If the onset flow exceeds this Mach number, supersonic flow will occur somewhere on the airfoil. This Mach number is also known as the "Critical Mach number". As usual you can copy it using the context menu.
FLOW FIELD CARD
If you want to get an impression of how the flow around the airfoil looks like, this card is for you. The panel analysis method works with the surface of an airfoil only, but when the surface velocity has been determined, potential flow theory can be used to calculate the flow velocity and direction anywhere in space.
You can specify a regular x-y grid and an angle of attack. After solving for the surface velocity distribution, an evaluation is performed for each point on the grid.
The buttons in the control bar at the bottom of the card perform the following actions:
Analyze It! performs the analysis of the flow field at all grid points plus any additional post-processing like streamlines or iso-Cp lines.
Print...
Sends a copy of the picture to the printer, if your system security settings allow this. Save...
Creates a text buffer which contains the coordinates and the velocity vector for each grid point (x, y, vx, vy and v). This text buffer is saved to a file if your system security settings allow this. The format is suitable for the commercial plotting programTecplot™ (by Amtec Corp.).
Copy (Text)
Like the Save... command, but the text buffer is copied to the clipboard if your system security settings allow this.
You can select from the following display options:
tufts ... shows a black "tuft" at each grid point, which is aligned with the local flow direction.
colored cells ... colors a rectangle around each grid point according to the local pressure. This makes for a nice picture of the pressure field around the airfoil and shows how far the pressure is changed due to the airfoil.
iso Cp ... plots lines of constant pressure, like altitude lines on a map. Cp-Vectors ... plots pressure vectors normal to the airfoil surface. stream lines ... black stream lines are drawn starting at the left border. The result
resembles the injection of smoke into a wind tunnel. timed stream lines ... the stream lines are dashed to show the distance traveled during
equal time intervals. Models something like a pulsed smoke generator. You will notice that particles arriving side by side at the leading edge will NOT meet again at the trailing edge.
higher accuracy ... this option controls the calculation of the stream lines only. When selected, a 4th order Runge-Kutta scheme and a smaller time step are used, otherwise simple forward differencing is employed. The results are more accurate in regions where the streamlines are highly curved - calculation time is increased by a factor of 5, though.
Notes:
1. As each evaluation can be time consuming, it is recommended to start with the coarse default grid and refine depending on the power of your computer and the amount of time you wish to spend.
2. The rectangular grid is simply placed on top of the airfoil. It is not adapted to the airfoil shape. While interior points are excluded in the calculation, a coarse grid will create a rough outline of the airfoil only.
3. The graph shows, how the airfoil affects the whole flow field, not only the immediate neighborhood of the section.
BOUNDARY LAYER CARD
This card is a source of information for the experts. It shows all important boundary layer
parameters like thickness and shape functions. Additional parameters are available in the
listings. A fixed transition location can be defined on the Polars card (see below).
POLARS CARD
When you have created or imported a sufficient smooth airfoil shape, you can calculate lift and
drag on this card.
After specification of the desired Reynolds number and angle of attack range as well as
selecting a surface roughness you can start the analysis. For each Reynolds number / angle of
attack condition, JavaFoil will first calculate the velocity distribution and then perform a
boundary layer analysis. The resulting lift, drag and moment coefficients as well as location of
transition and separation will be presented in graphs and tables. A transition strip can be
simulated by specifying a transition location x/c for both sides of the airfoil (the default setting of
100% corresponds to natural transition).
REFERENCIAS
1. Sailing Yatch Design. Practice/Theory. Edited by A. Claughton, J. Wellicome & A. Shenoi. Addison Wesley Longman, Lmtd. 1998.
2. I.H Abbot y A.E. Doenhoff. Theory of Wing Sections. McGraw-Hill Book Company, Inc. 1949.
3. R. A. Royce. A Rational Prismatic Hull Approach for Planing Hull Analysis. SNAME Meeting. Cleveland (Ohio). January 1994.
4. F. M. White. Mecánica de Fluidos. Mc. Graw Hill (2008)
