Tema 5: Magnetostática en el vacío

5.0 Introducción. Campo magnético y fuentes de campo.

5.1 Campo creado por cargas puntuales en movimiento: Ley de Biot y Savart

5.2 Ley de Ampere y Ley de Gauss para el campo magnético

5.3 Movimiento de cargas en un campo magnético

5.4 Fuerza magnética sobre una corriente

22/11/2012 C. Masoller, AF 2012

5.0 Introducción. Campo magnético y fuentes de campo.

• Algunos materiales son “imanes” naturales que tienen la propiedad de atraer piezas de hierro.

• Todo imán tiene un dos polos (norte y sur) donde la fuerza ejercida por el imán es máxima.

• Polos iguales de dos imanes se repelen y polos distintos se atraen. • La Tierra es un imán natural con polos magnéticos muy próximos a los

polos geográficos (uso de imanes en la navegación desde siglo XII). • El campo magnético terrestre nos protege del viento solar. • Los polos magnéticos siempre se presentan por parejas (no se han

encontrado “monopolos” magnéticos). • Los imanes crean campos magnéticos (son fuentes de

campo magnético).

Limaduras de hierro alrededor de una esfera imantada

uniformemente

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Otra fuente de campo magnético son las cargas en movimiento (las corrientes)

Experimento de Oersted (1820): cuando por el alambre no circula corriente, la aguja de la brújula apunta al norte, al pasar corriente, la aguja se desvía en dirección del campo magnético resultante.

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Líneas de campo magnético

• Indican la dirección del campo magnético

• La densidad de líneas indica la intensidad del campo

• En cada punto las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza magnética sobre una carga móvil en ese punto (veremos mas adelante).

• Las líneas de campo magnético son siempre cerradas.

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5.1 Campo creado por cargas puntuales en movimiento: Ley de Biot y Savart

2

0ˆ

4 r

rvqB

0 es la permeabilidad del vacío

Tm/A 104 7

0

Campo en el punto P creado por una partícula puntual

Unidad de campo magnético: Tesla T = N/(Am) También: Gauss G = 10-4 T Campo magnético terrestre: 0.25 – 0.65 G

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Ley de Biot y Savart: campo creado por una corriente

Campo en el punto P1 creado por una corriente:

lIdAdlJdVJdVqvqvNvqi

ii

3

0

3

0

44 r

rldIdV

r

rJB

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Dirección y sentido: regla de la mano derecha

Problema 9.1: Campo creado por un conductor rectilíneo

3

0

4 r

rldIBd

2

0

2

0 cos

4

sin

4 r

dxI

r

dxIdB

222 /costan

ry

ydyddxyx

y

dI

ry

drIdB

cos

4

cos

4

0

2

2

0

y

IB 120 sinsin

4

Conductor infinito: 0

1

0

2 90 ,90

y

IB

2

0

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2

1

dBB

Líneas de campo magnético creado por un conductor infinito

r

IB

2

0

r

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Problema 9.2: campo en el eje creado por una espira

3

0

4 r

rldIBd

iR

dlIB ˆ

4 2

0

1) En el centro:

iR

IB ˆ

2

0

2) En P (en el eje):

sin

4sin

2

0

r

dlIdBdBB xx

sindBdBrBd x

rld

2

0

4 r

dlIdB

3

2

0

2

0

2

2

4 r

RI

r

R

r

RIBx

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0 yy dBB (por simetría)

= I R2 = I Área = momento magnético de la espira

2/322

2

0

2 xR

RIBx

3

0

3

2

0 2

42 xx

RIBx

lejos : x >> R

Líneas de campo magnético:

Líneas de campo creado por una espira de corriente visualizadas mediante limaduras de hierro.

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Problema 9.2 (continuación): campo en el eje creado por una espira, lejos de la espira

Analogía del campo creado por un dipolo magnético y por un dipolo eléctrico (visto en tema 3) lejos del dipolo

Magnético Eléctrico 3

0 2

4 rBx

3

02

cos

r

pEr

p

Líneas de campo: Afuera del dipolo las líneas son iguales, pero “dentro” del dipolo (entre las cargas y adentro de la espira) las líneas de campo son opuestas.

El campo creado por un dipolo disminuye como 1/r3.

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Campo magnético creado por una corriente que circula por un solenoide

Un anillo: 2 anillos (la corriente circula en el mismo sentido)

N anillos (solenoide): campo casi uniforme en el interior

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Campo magnético en el eje de un solenoide

2/322

2

0

2 xR

RIBx

Campo en P creado una espira en x:

N: numero de espiras L: longitud del solenoide n=N/L

2/322

2

0

2 xR

RIndxdBx

b

a

b

a

xx

xR

dxRIndBB

2/322

2

0

2

P

2222

0

2 aR

a

bR

bInBx

Solenoide infinito: InBx 0

di = I n dx

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5.2 Ley de Ampere y Ley de Gauss para el campo magnético

00ˆ BdAnBS

m

No existen monopolos

(cargas) magnéticos.

ABB

0

0 A

S

m dAnB ˆ

Flujo magnético que atraviesa una superficie S.

Unidad de flujo magnético: weber. 1 Wb = 1 T m2

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A es el potencial vector magnético. Esta definido a menos del gradiente de una función arbitraria 0 f

BAfAABfAA

'''

Ley de Ampere Forma integral de la Ley de Ampere, válida solo para corrientes estacionarias.

enc

C

IldB 0

Donde Ienc es la corriente que atraviesa la superficie S limitada por la curva C.

S

enc dAnJI ˆ

SC

dAnBldB ˆ

Teorema de Stokes

SS

dAnJdAnB ˆˆ0

(S cualquiera) JB

0

Forma diferencial de la Ley de Ampere, también vale solo para corrientes estacionarias.

Ejemplo: campo magnético creado por un cable infinito

r

IBIldB

C

2

00

00 0 JB

0

tJ

Para corrientes NO estacionarias la divergencia de J no es cero.

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Aplicación de la Ley de Ampere: campo magnético en el interior de un alambre

de radio R que transporta una corriente I uniformemente distribuida

2

2

00

2r

R

I

rBIldB enc

C

si r R

2

0

2 R

IrB

r

IBRr

2 : 0

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Campo magnético en el interior de un solenoide circular (toroide)

N: numero de espiras

enc

C

IldB 0

0

2

0

0

Bbr

r

NIBbra

Bar

C: curva cerrada representada por la línea punteada

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Potencial vector magnético

JB

0

AB

JA

0 AAA

2

Como el potencial vector esta definido a menos del gradiente de una función arbitraria, se puede elegir esa función para que

AAA

20

JA

0

2

zz

yy

xx

JA

JA

JA

0

2

0

2

0

2

Para el potencial eléctrico vimos que:

0

2

V

r

dVV

04

1

JA

0

2

r

dVJA

4

0

lIdAdlJdVJ

r

ldIA

4

0

Para un cable:

0 A

Para el potencial vector tenemos que:

Resumen de ecuaciones

r

ldIA

4

0

JA

0

2

AB

3

0

3

0

44 r

rldIdV

r

rJB

r

dVJA

4

0

JB

0

0 B

• Fuerza magnética sobre una carga de prueba móvil en ausencia de campo eléctrico:

BvqF

• Esta ecuación permite definir el campo B en un punto del espacio (así como F=q E define el campo eléctrico).

• Cuando hay también un campo eléctrico la fuerza total sobre una carga de prueba es la Fuerza de Lorentz:

BvEqF

5.3 Movimiento de cargas en un campo magnético

Propiedades de la fuerza magnética

BvqF

La fuerza magnética no realiza trabajo sobre la carga y no cambia su energía cinética.

La fuerza es central, si B es constante, el módulo de la fuerza también y el movimiento de la carga es un MCU

vF

mavBqF r

vm

2

qB

mvr Radio de

Larmor

qB

m

v

rT

22 Período de Ciclotrón

m

qB

Tf

2

1

m

qBf 2 Frecuencia

de Ciclotrón

Movimiento en un campo magnético uniforme

Trayectorias de dos partículas

que poseen distinto mv/q

Trayectoria de una partícula cuando su

velocidad inicial tiene una componente en

dirección de B

Ciclotrón • Acelerador de partículas cargadas que usa el efecto combinado de B y E. Las

partículas se mueven en el interior de un campo B producido por dos grandes bobinas y cruzan varias veces una región donde hay V que las acelera.

qB

mvr

2

2mvK

m

rBqK

222

2

1

Sincrotrón ALBA Jornada de Puertas Abiertas - 15 de

diciembre de 2012 de 10:00 a 17:00 H

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Interior del sarcófago donde se encuentran los anillos

El record mundial de acelerador de partículas a mayor energía es el Large Hadron Collider (LHC, CERN, en la frontera entre Suiza y Francia) que acelera partículas a 7 TeV

¿Como funciona ALBA? http://www.cells.es/AboutUs/WhatIs

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The electrons are maintained in a circular ring by magnetic field and produce X-Rays tangentially to their trajectory. These X-Rays are used by several beamlines located around the storage ring to analyse samples for many domains of interest.

Ejemplo: selector de velocidades

BvEqF

BvqEq

B

Ev

Las partículas con esta velocidad no se desvían.

Ejemplo: método de Thomson (1887) para medir el cociente q/m de una partícula

Las partículas (e.g., electrones) parten del cátodo C (que esta a potencial negativo respecto a las rendijas A y B), pasan a través de las rendijas y inciden sobre una pantalla fosforescente S. La velocidad inicial de los electrones, v0, se puede determinar con un campo magnético B v0, y se ajusta B hasta que el haz no se desvía. Luego se “apaga” el campo magnético. Conocido v0, q/m se puede calcular a partir de:

B

Ev 0 2

2

1212

1tvtayy yy

mqEay /

011 / vxt

1tav yy

022 / vxt

Ejemplo: espectrómetro de masas

Dispositivo para medir las masas de los isótopos (e.g. 24Mg, 25Mg, 26Mg). Pueden medir masas con gran precisión (dispositivo original diseñado en 1919 tenia una precisión de 1 en 10000). Magnitudes conocidas: r, V, B. Incógnita: m/q

Asumiendo que las partículas parten de la fuente en reposo:

Vqmv 2

2

1

qB

mvr

2

2

m

qBrv

V

rB

q

m

2

22

(la energía cinética es igual a la pérdida de energía potencial)

Fuente

Movimiento en un campo magnético no uniforme

Botella magnética: campo muy intenso en los extremos y menos en el centro. Las partículas quedan atrapadas entre los puntos P1 y P2 y se mueven en espiral, hacia adelante y hacia atrás.

La descripción general del movimiento suele ser complicada (el movimiento puede ser caótico).

Cinturones de Van Allen

Los cinturones internos (1.2-3 RT) y cinturones externos (3-7 RT) contienen partículas cargadas atrapadas por el campo magnético terrestre. Cinturón exterior: electrones de alta energía (0.1–10 MeV). Cinturones interiores: electrones (keV) y protones de alta energía (>100 MeV). El campo magnético en el cinturón interior es mas fuerte que en el cinturón exterior. Los cinturones fueron descubiertos por las misiones Explorer 1 y Explorer 3 dirigidas por J. Van Allen en 1958. También confinan antipartículas.

qB

mvr

La NASA envió el 30 de agosto 2012 una misión para el estudio de los cinturones de Van Allen.

Cinturones de Júpiter Fuente: Wikipedia

Efecto Hall (1879)

BwvwEV dHH

La fuerza magnética es hacia arriba si la corriente es hacia la derecha.

Se puede usar para medir un campo magnético o una corriente. Ejemplo: una cinta conductora de ancho 2 cm esta en un campo de 0.8 T. El voltaje Hall medido es 0.64 V. Calcular la velocidad de desplazamiento de los electrones Resp: 4x10-5 m/s

Efecto Hall cuántico en semiconductores a bajas temperaturas (Premio Nobel 1985) Además Efecto Hall Cuantico Fraccionario (fracciones racionales, Premio Nobel 1998).

)(wtqnvJAI d n=numero de cargas por unidad de volumen; t = ancho de la cinta.

qnt

BIVH

5.4 Fuerza magnética sobre una corriente

i

ii BvqF

dlAnBvqFd d

donde n es la densidad de partículas por unidad de volumen y vd la velocidad de desplazamiento media.

• La densidad de carga es = q n, el elemento de volumen es dV = A dl.

dl

• La densidad de corriente es: dvJ

• Fuerza magnética sobre un conjunto de cargas

• Sobre un trozo de conductor de longitud dl:

dVBvFd d

dVBJFd

dVBJF

Fuerza sobre un elemento de corriente

• Sobre un hilo que transporta una corriente I (J=I/A): lIdlJAddVJ

BldIF

dVBJFd

BlIdFd

Ejemplo: Un segmento de cable de 3 mm de longitud transporta una corriente de 3A en dirección +x y se encuentra en el interior de un campo magnético de 0.02T cuya dirección es paralela al plano xy y forma un ángulo 30 con el eje x. ¿cuanto vale la fuerza magnética? Resp: 9x10-5 N perpendicular al plano.

Ejemplo: fuerza sobre un cable semicircular

BldIF

jdlidlld ˆcosˆsin

Rddl jRIBF ˆ 2

kBB ˆ

0

ˆ cosˆ sin ijBRdIF

Momento sobre una espira en un campo magnético

• Una espira que transporta una corriente en un campo B uniforme experimenta un par de fuerzas que tienden que gire alineándose tal que la normal es // al campo.

sin)(

sin

bIaB

FbM

BldIF

21 IaBFF

• Las fuerzas sobre los otros dos lados (b) están contenidas en el plano de la espira por lo que no producen momento.

• A = área = ab. Si hay N espiras

• Momento dipolar magnético de la espira:

• Momento sobre la espira

(el momento de un par no depende del punto de aplicación)

Ba

sinˆ BBn

sinBNAIM

nNAI ˆ

BM

Ejemplo: momento dipolar magnético de un disco no conductor con densidad de carga que gira con velocidad

angular

nAI ˆ

Para un anillo de área A por el que circula una corriente I:

Dividimos el disco en pequeños añillos:

rdrT

dqdI

2

2

dIrAdId 2 rdrrd 2

4

4

0

2 Rrdrr

R

4

4R

El momento que hace un campo magnético B sobre el disco es: BM

Ejemplo: ¿cual es el mínimo valor de la corriente para que el borde de la espira se levante?

O iBB ˆ

k BM

jBM ˆ

jRmgkmgiRgmGOM mg

Oˆ ˆˆ

i

kj

RmgB RB

mg

AB

RmgI

gm

Fuerza entre dos conductores

R

IB

2

0 BldIF

R

II

L

F

2 210

Fuerza por unidad de longitud. De atracción si los conductores transportan corrientes en el mismo sentido, de repulsión si tienen sentidos opuestos.

Esta ecuación se usa para definir el Ampere: corriente que tiene que circular cuando los conductores están separados 1 m para que la fuerza por unidad de longitud sea 210-7N.

Balanza de corriente

Se puede usar para calibrar un amperímetro o para pesar pesos pequeños.