TEMA 5: VECTORES (ENUNCIADOS)

EJERCICIO 1:

Estudiar para qué valores de k los vectores son linealmente independientes [1 punto]

EJERCICIO 2:

Sea una base ortonormal, hallar todos los vectores que son ortogonales a y a que tengan módulo 1. [1,5 puntos]

EJERCICIO 3:

Nos dan los vectores , hallar:i) Valor absoluto del producto mixto de y dar su significado

geométrico. [1 punto]ii) Ángulo que forman . [0,5 puntos]iii) Razonar si forman base y, en caso afirmativo, hallar las

coordenadas de (1,2,0) en dicha base. [1 punto]

EJERCICIO 4:

Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores , ,

. [0,75 puntos]

EJERCICIO 5:

Se sabe que el producto mixto vale 3 y que el módulo del vector es 1. Se pide:i) Hallar razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D sabiendo que , y [1,5 puntos].ii) Hallar razonadamente la longitud de la altura de dicho tetraedro que une el vértice B con la cara ACD [1 punto]

TEMA 5: VECTORES (ENUNCIADOS Y SOLUCIONES)

EJERCICIO 1:

Estudiar para qué valores de k los vectores son linealmente independientes [1 punto]

SOLUCIÓN:

Para que los vectores sean linealmente independientes:

es decir, los vectores son linealmente

independientes .

EJERCICIO 2:

Sea una base ortonormal, hallar todos los vectores que son ortogonales a y a que tengan módulo 1. [1,5 puntos]

SOLUCIÓN:

Sean los vectores de la base ortonormal y

las coordenadas de los vectores buscados respecto a la base . Se tiene:

luego .Y como

Por tanto: y

EJERCICIO 3:

Nos dan los vectores , hallar:iv) Valor absoluto del producto mixto de y dar su significado

geométrico. [1 punto]v) Ángulo que forman . [0,5 puntos]vi) Razonar si forman base y, en caso afirmativo, hallar las

coordenadas de (1,2,0) en dicha base. [1 punto]

SOLUCIÓN:

i)

Significado geométrico: el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son a, b y c es de 4 u3.

ii) Sea el ángulo que forman los vectores b y c. Se tiene:

iii) Puesto que su producto mixto es distinto de 0, los vectores son linealmente independientes y por tanto forman una base del espacio vectorial tridimensional.

Sean las coordenadas del vector respecto a la base

:

y, por tanto es:

EJERCICIO 4:

Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores , ,

. [0,75 puntos]

SOLUCIÓN:

Puesto que los vectores son

linealmente independientes.

EJERCICIO 5:

Se sabe que el producto mixto vale 3 y que el módulo del vector es 1. Se pide:i) Hallar razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A, B, C y D sabiendo que , y [1,5 puntos].ii) Hallar razonadamente la longitud de la altura de dicho tetraedro que une el vértice B con la cara ACD [1 punto]

SOLUCIÓN:

i)

ii)

Por otra parte: