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Stackelberg Sindicatos y empresas Negociación El problema del Rey Salomón El Teorema del mal hijo

Tema 6: Aplicaciones IIMicroeconomía Avanzada II

Iñigo Iturbe-Ormaeche

U. de Alicante

2008-09


Stackelberg

Sindicatos y empresas

Negociación

El problema del Rey Salomón

El Teorema del mal hijo


Modelo de Stackelberg

� Es un modelo de oligopolio (hay varias empresas) y lasempresas deciden su producción (como en Cournot)

� La diferencia con Cournot es que ahora hay una asimetríaentre los competidores. Uno de ellos (�el líder�) elige suproducción antes que los demás

� Lo modelamos como un juego en dos etapas:

1. El líder decide su producción

2. Las demás empresas (�seguidoras�) determinansimultáneamente su producción, conociendo la produccióndel líder


Caso lineal

� Nos centramos en el caso lineal. Hay 2 empresas con losmismos costes ci (qi ) = cqi , para i = 1, 2

� La demanda también es lineal, P(Q) = M � dQ, dondeQ = q1 + q2. Suponemos M > c � 0 y d > 0

� La empresa 1 es la líder y la 2 es la seguidora� Vamos a ver cuáles son los espacios de estrategias


Ejemplo sencillo

� Supongamos que la empresa 1 sólo puede producir trescantidades diferentes. En concreto, supongamos queS1 = f100, 150, 300g

� Respecto a la empresa 2, sabemos que cuando decide suproducción, ya conoce lo que va a hacer la empresa 1. Por lotanto, una estrategia de la empresa 2 debe especi�car cuántoproducirá para cada posible elección de la empresa 1

� Si la empresa 1 puede producir 100, 150, o 300, unaestrategia de la empresa 2 debe especi�car cuánto producirási la 1 produce 100, cuánto producirá si la 1 produce 150y cuánto producirá si la 1 produce 300

� Volvemos al caso general en el que la empresa 1 puede elegircualquier cantidad positiva. Es decir, S1 = [0,+∞)


Conjunto de estrategias del seguidor

� Una estrategia de la empresa 2 debe especi�car cúantoproducirá para cada posible producción de la 1. Para describiresto necesitamos especi�car una función

� Por ejemplo, una estrategia de la empresa 2 puede ser:

q2 =�200� 10q1 para q1 � 20

0 para q1 > 20

� Otra estrategia de la empresa 2 puede ser producir 200 si la 1produce más de 100, y producir 150 si la 1 produce menos de100


Equilibrio perfecto en subjuegos

� Buscamos un equilibrio perfecto en subjuegos aplicando lainducción hacia atrás

� La empresa 2 observa q1. Elige la cantidad q2 que maximiza:

m«axq2(M � dQ)q2 � cq2

� La condición de primer orden es:

M � dq1 � 2dq2 = c

� La mejor respuesta de la empresa 2 es:

q�2 (q1) =M � c � dq1

2d


Decisión del líder

� La empresa 1 anticipa que la empresa 2 usará su mejorrespuesta. Por lo tanto, la empresa 1 elige q1 que maximice:

P(q1 + q�2 (q1))q1 � cq1

� Es decir, el líder maximiza:�M � d

�q1 +

M � c � dq12d

��q1 � cq1

=

�M � c2

� d2q1

�q1

� Resolviendo obtenemos:

q�1 =M � c2d


Equilibrio

� Hay un único equilibrio perfecto en subjuegos. En dichoequilibrio, la estrategia de la empresa 1 es:

q�1 =M � c2d

� La estrategia de la empresa 2 en el equilibrio es:

q�2 (q1) =M � c � dq1

2d

� La producción de la empresa 2 en el equilibrio es:

q�2 (q�1 ) =

M � c � dq�12d

=M � c4d

� IMPORTANTE: Diferenciar en el caso de la empresa 2 entrela estrategia de equilibrio y la producción en el equilibrio


Comparación con Cournot

� En el equilibrio de Cournot qC1 = qC2 =(M�c )3d . Por lo tanto,

QC = 2(M�c )3d y PC = M+2c

3 . Finalmente, calculamos losbene�cios:

πC1 = πC2 =(M � c)29d

� En el equilibrio de Stackelberg, q�1 =M�c2d y q�2 =

M�c4d . La

producción total es Q� = 3(M�c )4d y el precio es P� = M+3c

4 .Los bene�cios son:

π�1 =(M � c)28d

π�2 =(M � c)216d


Comparación con Cournot II� El líder obtiene un bene�cio mayor que en Cournot. Esto sedebe a que tiene una ventaja al ser el primero en decidir

� Una vez que el líder ha decidido su producción, si el seguidorse desvía y elije una cantidad diferente de su mejor respuestase perjudicaría a si mismo

� Por ejemplo, si produce más que en su mejor respuesta, elprecio se reduce lo que hace que bajen los bene�cios

� El seguidor podría anunciar al líder antes del comienzo deljuego que, a no ser que el líder elija la producción delequilibrio de Cournot, va a elegir una cantidad que reduzcatremendamente los bene�cios del líder. Por ejemplo,imaginemos que le anuncia que va a seguir la estrategia:

q2 = s2(q1) =

((M�c )3d si q1 =

(M�c )3d

Md si q1 6= (M�c )

3d


Amenazas no creíbles

� La situación en la que la empresa líder elige q1 =(M�c )3d y la

empresa 2 usa la estrategia de arriba, ¿es un equilibrio deNash?

� Pero, ¿es creíble la amenaza? Si lo fuera, lo óptimo para ellíder sería elegir q1 =

(M�c )3d

� No obstante, la amenaza no es creíble ya que en caso deejecutarla el seguidor saldría también perjudicado. Una vezque el líder ha elegido su estrategia, el seguidor obtiene unbene�cio mayor si actúa de acuerdo a su función de mejorrespuesta (su función de reacción). Por lo tanto, la amenazano es creíble

� ¿Y si las empresas se enfrentan a un juego in�nito?


Negociación colectiva

� En una economía hay un sindicato y una empresa. El sindicatoes el único proveedor de empleo y tiene poder exclusivo sobreel salario. Por su parte, la empresa es quien decide la cantidadde trabajo

� El objetivo del sindicato es maximizar wL, donde w es elsalario y L la cantidad de trabajo que emplea la empresa

� La empresa sólo usa trabajo en la producción. Su objetivo eselegir el nivel de empleo L que maximiza su bene�cio:

m«axL

π(w , L) � pf (L)� wL,

donde p es el precio de venta de su producto y f (L) es lafunción de producción de la empresa

� Suponemos que f (L) es creciente y cóncava. Para simpli�car,�jamos p � 1


Estructura del juego

� El juego transcurre de la siguiente manera1. El sindicato �ja un salario w2. La empresa toma w como dado y elige L3. Los pagos son wL para el sindicato y π(w , L) para la empresa

� Resolvemos el juego usando la inducción hacia atrás, por loque empezamos por la decisión de la empresa


Segunda etapa

� En la segunda etapa la empresa toma w como dado y decideL que maximiza su bene�cio. La cpo es:

f 0(L) = w .

� De ahí obtenemos la mejor respuesta de la empresa, L�(w).Nos indica la cantidad óptima de trabajo que empleará laempresa para cada posible salario que �je el sindicato

� Si aplicamos el teorema de la función implícita a la cpo:

∂L�(w)∂w

=1

f 00(L)< 0,

lo que signi�ca que la empresa reduce la cantidad de trabajocuando el salario aumenta


Mejor respuesta de la empresa


Primera etapa

� El sindicato anticipa que la empresa va a contratar de acuerdoa L�(w). Por tanto, el sindicato elige w para maximizar:

m«axw

wL�(w)

� La cpo es:

L�(w) + w∂L�(w)

∂w= 0

� La solución de este problema es w �. Grá�camente, lo quehace el sindicato es elegir el punto de L�(w) en el quemaximiza su objetivo wL

� Por lo tanto, el equilibrio de Nash es (w �, L�(w)), y lacantidad de empleo es L�(w �)


Representación grá�ca del equilibrio


Ine�ciencia del equilibrio


Dividir 1 euro

� Dos individuos tienen 1 euro y deben decidir cómo se loreparten. Se han puesto de acuerdo en dedicar a lo sumo 3días a negociar

� El primer día el jugador 1 hará una oferta. El jugador 2 puedeaceptar la oferta o volver con una contraoferta al díasiguiente. El jugador 1 puede aceptar la contraoferta o volverel tercer día con una oferta �nal. Si no se pueden poner deacuerdo en 3 días, ambos reciben cero

� Vamos a suponer que el jugador 1 descuenta los pagos futurosa la tasa α por día, mientras que el jugador 2 los descuenta ala tasa β por día. Es decir, 1 euro mañana para el jugador 1equivale a recibir α euros hoy

� Para analizar el juego empezamos por el �nal, justo antes delúltimo día


De atrás adelante

� El tercer día, lo óptimo para el jugador 1 es ofrecer al 2 lamínima cantidad que éste puede aceptar, esto es, 0. Por lotanto, si el juego dura 3 días, el jugador 1 acabaríaquedándose con todo el euro y el 2 se quedaría sin nada

� Ahora vamos al día anterior, que es cuando el 2 es quienpropone. El 2 se da cuenta de que el 1 se puede asegurar 1euro en el último día con sólo rechazar las ofertas del 2. Como1 euro en el periodo siguiente es equivalente a α euros de esteperiodo, cualquier oferta por debajo de α euros será rechazadapor el 1

� Para el 2 es mejor 1� α ahora que 0 en el periodo siguiente.Entonces propondrá dar α al jugador 1, quien aceptará. Portanto, si el juego acaba en el segundo día, el 1 se queda con αy el 2 con 1� α


Primera etapa

� El primer día es el 1 quien hace las ofertas� El 1 se da cuenta de que el 2 puede conseguir 1� α con sóloesperar hasta el día siguiente. El 1 debe ofrecer al 2 al menosuna cantidad equivalente hoy a recibir 1� α mañana

� En concreto, le ofrece β(1� α) y el 2 lo acepta

� El resultado �nal es que el juego acaba el primer díarecibiendo el jugador 1 la cantidad 1� β(1� α) y el jugador 2la cantidad β(1� α)

� Es importante ver que, a pesar de que hay 3 días, en elprimero se acaba la negociación ya que el 2 aceptainmediatamente la oferta del 1

� Este juego se puede extender a cualquier número de días n.Obviamente el resultado se hace más complicado


In�nitos periodos

� Supongamos que n tiende a in�nito. La interpretación es queno hay un periodo �nal a la negociación

� El reparto que surge del EPS (no lo vamos a probar) es:

Pago del 1 =1� β

1� αβ

Pago del 2 =β(1� α)

1� αβ

� Vemos que si α = 1 y β < 1, el 1 se lleva todo. Si β = 1 yα < 1, ahora es el 2 el que se lleva todo. ¿Por qué?


El problema

� Dos individuos reclaman un bien indivisible y un árbitro debedecidir a quién de los dos se le asigna

� El árbitro sabe que uno de los dos valora el objeto más que elotro y su interés es asignárselo a esa persona. El problema esque no sabe quién de los dos lo valora más

� Los individuos sí que saben quien es el que más lo valora� Además el árbitro quiere conseguir su objetivo sin recibir nadaa cambio y sin penalizar a ninguno de los dos

� ¿Qué puede hacer el árbitro para conseguir que se lo llevequien más lo valora?

� Lo que va a hacer el árbitro es diseñar un mecanismo que lepermita identi�car a la persona que más valora el objeto


Ejemplo sencillo

� Suponemos que el conjunto de valoraciones posible es fV , vg,donde V > v . El plani�cador conoce los valores V y v perono sabe qué individuo tiene la valoración V

� El plani�cador va a usar el siguiente mecanismo que consta dedos etapas

1. Etapa 1: El individuo 1 debe decir si su valoración es la másalta (acción A) o no (acción B). Si elige B, el jugador 2 recibeel bien. Si elige A, se pasa a la siguiente etapa

2. Etapa 2. El individuo 2 debe decir si acepta (acción B�) o no(acción A�) que el individuo 1 tiene la valoración más alta. Sielige B�, el jugador 1 recibe el objeto. Si elige A�, es el jugador2 quien recibe el objeto a cambio de un pago α, dondev < α < V . Además el jugador 1 debe pagar δ > 0


El 1 tiene la valoración alta V


Equilibrio perfecto

� En la segunda etapa, el jugador 2 (que es quien valora menosel objeto) pre�ere elegir B�, es decir, aceptar que es el 1 quientiene la valoración más alta, ya que 0 > v � α

� En la primera etapa, el 1 anticipa que el 2 elegirá B�, por loque a su vez elige A, es decir, dice que es él quien tiene lavaloración más alta

� Como vemos, en el equilibrio es el 1 quien recibe el objeto.Además nadie tiene que pagar nada


El 2 tiene la valoración alta V


Caso general

� Ahora el conjunto de valoraciones puede contener más de dosvalores, aunque sigue siendo �nito. Por ejemplo:

V = f1, 3, 7, 14g

� Hay 2 individuos y cada uno conoce su propia valoraciónvi 2 V y la del contrario vj 2 V . Suponemos que v1 6= v2

� De�nimos η como la distancia mínima entre dos valoraciones:

η = m«¬nfj v � v 0 j: v , v 0 2 V , v 6= v 0g

� En el ejemplo de arriba, η = 2

� Vamos a usar un mecanismo en 5 etapas


Mecanismo

� Etapa 1. El individuo 1 debe decir si su valoración es la másalta (acción A) o no (acción B). Si elige B, el jugador 2 recibeel bien. Si elige A, se pasa a la siguiente etapa

� Etapa 2. El individuo 2 debe decir si acepta (acción B�) o no(acción A�) que el individuo 1 tiene la valoración más alta. Sielige B�, el jugador 1 recibe el objeto. Si elige A�, se pasa a lasiguiente etapa, y cada jugador debe pagar al árbitro lacantidad η/4 (que ya no se devuelve)

� Etapa 3. El individuo 1 anuncia una puja ρ1 2 V� Etapa 4. Conocido el valor ρ1, el individuo 2 anuncia su propiapuja ρ2 2 V

� Etapa 5. El árbitro entrega el objeto al individuo que hayahecho la puja más alta. En caso de empate, se asigna alindividuo 1. El que obtiene el bien tiene que pagarθ = m«axfρ1, ρ2g � η/2


Forma extensiva del caso general


Etapa 4

� Los espacios de estrategias son S1 = fA,Bg � V yS2 = fA0,B 0g � fr : V �! V g

� De�nimos ϕ(v) = m«¬nfv 0 2 V : v 0 > vg. Esto es, lavaloración inmediatamente más alta que v

� Vamos a buscar el EPS empezando por la etapa 4� El individuo 2 observa que el individuo 1 ha pujado ρ1 ¿Quées óptimo para el 2?

� Hay dos casos, dependiendo de si v2 es menor o mayor que ρ1


Etapa 4 (CASO 1)� CASO 1: v2 � ρ1. Aquí la puja del 1 ha sido muy elevada� Si el individuo 2 puja ρ2 � ρ1, pierde la subasta y obtiene�η/4

� Si el individuo 2 puja ρ2 > ρ1, gana la subasta (pagandoρ2 � η/2) y obtiene:

v2 � (ρ2 � η/2)� η/4 = v2 � ρ2 + η/4

� Como v2 � ρ1, para ganar la subasta debe pujar al menosϕ(v2). Es decir, ρ2 � ϕ(v2), o �ρ2 � �ϕ(v2). Entonces,tenemos que:

v2 � ρ2 + η/4 � v2 � ϕ(v2) + η/4 � �η + η/4 = �3η/4,

ya que ϕ(v2)� v2 � η, o v2 � ϕ(v2) � �η

� En total, su mejor respuesta r �(ρ1) � ρ1. Es decir, si v2 � ρ1,el individuo 2 pre�ere perder la subasta


Etapa 4 (CASO 2)

� CASO 2: v2 > ρ1� Si el individuo 2 puja ρ2 � ρ1, pierde la subasta y obtiene�η/4

� Si el individuo 2 puja ρ2 > ρ1, gana la subasta y obtienev2 � ρ2 + η/4. Esto es máximo cuando ρ2 = ϕ(ρ1), es decir,cuando hace la mínima puja ganadora. Obtendríav2 � ϕ(ρ1) + η/4

� Como v2 � ϕ(ρ1) + η/4 � η/4 > �η/4, ahora pre�ereganar la subasta, y su mejor respuesta es r �(ρ1) = ϕ(ρ1)

� Ahora pasamos a analizar la etapa 3, en la que el individuo 1anticipa que el individuo 2 seguirá r �(ρ1)


Etapa 3

� En la etapa 3 el individuo 1 debe pensar qué puja haceanticipando que el 2 va a reaccionar de acuerdo a r �(ρ1). Enconcreto, debe decidir si su puja es mayor o igual que v2, loque le permitiría ganar la subasta ya que el 2 no va a pujarpor encima, o si por el contrario su puja es menor que v2, conlo que anticipa que el 2 ganará

� Es decir, su elección se limita a decidir si ρ1 � v2 o si, por elcontrario, ρ1 < v2

� En el primer caso, lo mejor es pujar ρ1 = v2, con lo queganaría v1 � v2 + η/4. En el segundo caso obtiene �η/4. Denuevo hay dos casos, dependiendo de quien tiene la valoraciónmás alta


El 1 tiene la valoración más alta

� En el caso en que v1 > v2, vemos que v1 � v2 + η/4 > 0, y el1 pre�ere ganar la subasta pujando ρ�1 = v2

� En la etapa 2 ambos individuos anticipan que, si se va a lasubasta la ganará el jugador 1 haciendo una puja ρ�1 = v2

� Entonces, el 2 preferirá no ir a la subasta, es decir, elegirá B�� En la etapa 1, el individuo 1 anticipa que el 2 no querrá ir a lasubasta por lo que elegirá A. Es decir, el 1 empieza diciendoque su valoración es la más alta

� En resumen, con v1 > v2, un EPS es [(A, v2), (B 0, r �(�))], y elindividuo 1 obtiene el objeto inmediatamente


El 2 tiene la valoración más alta

� Cuando v1 < v2 vemos quev1 � v2 + η/4 � �η + η/4 = �3η/4 < �η/4. Por lo tantoρ�1 < v2, ya que el 1 pre�ere ahora no ganar la subasta

� En la etapa 2, los individuos anticipan que, si se va a lasubasta, el jugador 1 no la querrá ganar

� Como ρ�1 < v2, v2 � ϕ(ρ�1) + η/4 > 0. Esto quiere decir queel 2 querrá ir a la subasta, ya que la va a ganar, por lo queelegirá A�

� El 1 anticipa esto y elige B, revelando que su valoración es lamás baja

� Cuando v1 < v2, el EPS es [(A0, ρ�1), (B, r�(�))], y el individuo

2 obtiene el objeto inmediatamente


Conclusión

� En resumen, tanto si es el 1 como si es el 2 quien más valorael objeto, en cualquier EPS del juego el bien se adjudica alindividuo con la valoración más alta, sin que al �nal sepenalice a ningún jugador

� En ninguno de los dos casos se llega a la fase de subasta, yaque antes los individuos revelan quien es el que tiene lavaloración más alta


Padre e hijo (Gary Becker)

� Un padre y un hijo participan en el juego siguiente. Primero elhijo elige una acción A � 0, que resulta en un ingreso para él,IH (A), y en un ingreso para el padre, IP (A). Por ejemplo,podríamos pensar que A es la educación que adquiere el hijo

� Suponemos que IH (A) y IP (A) son ambas estrictamentecóncavas y tienen un máximo en AH > 0 y AP > 0,respectivamente

� Posteriormente, el padre observa IH y IP y escoge quéherencia B le deja al hijo (positiva o negativa)

� La utilidad del hijo es U(IH + B). Es decir, el hijo es�egoista�

� La utilidad del padre es V (IP � B) + kU(IH + B), con k > 0.Es decir, el padre es �altruista�

� Suponemos que U y V son estrictamente crecientes yestrictamente cóncavas


Segunda etapa (el padre)

� Vamos a probar que, en el equilibrio, el hijo escoge el valor deA que maximiza el ingreso agregado de la familia,IH (A) + IP (A), a pesar de ser egoista

� Cuando el padre toma su decisión (la herencia) el valor de Aestá dado, ya que el hijo lo ha elegido con anterioridad. Elpadre resuelve:

m«axBV (IP (A)� B) + kU(IH (A) + B)

� La cpo del padre es:

�V 0(IP (A)� B�) + kU 0(IH (A) + B�) = 0,

de donde obtenemos B�(A), la mejor respuesta del padre


Primera etapa (el hijo)

� El hijo anticipa la respuesta óptima de su padre B�(A), yresuelve:

m«axAU(IH (A) + B

�(A))

� La cpo del hijo es:

U 0(IH (A�) + B�(A�))� (I 0H (A�) + B�0(A�)) = 0

� Como U 0 > 0, la cpo del hijo es I 0H (A�) + B�0(A�) = 0. ¿Qué

hace el hijo si B�0(A�) = 0?� Aplicando el Teorema de la función implícita en la cpo delpadre:

B�0(A�) = �"�V 00I 0P + kU 00I

0H

V 00 + kU 00

#


Equilibrio

� Si sustituimos en la cpo del hijo:

I 0H (A�) + B�0(A�) = I 0H (A

�) +V 00I

0P � kU 00I

0H

V 00 + kU 00=

V 00I0H + V

00I0P

V 00 + kU 00=

V 00

V 00 + kU 00(I 0H + I

0P ) = 0

� Es decir, elige A� tal que I 0H + I0P = 0. A pesar de que el hijo

es completamente egoista, elige A� que maximiza el bienestarde la familia

� El padre ha conseguido dar los incentivos apropiados al hijo, alhacer depender la herencia del valor de A

� Según esto, ¿cuál sería el momento apropiado para dar laherencia al hijo?

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