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Tema 6-B:
Colisiones*
Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 6BProf.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
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Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
*Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez
Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 6B
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Índice
Introducción.
Conservación de 𝑝.
Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Introducción
Normalmente, no conocemos la evolución
temporal de las fuerzas en las colisiones.
Eso dificulta su análisis a partir de la 2ª ley
de Newton.
Considerando el sistema formado por las
partículas involucradas en la colisión,
podemos usar que la cantidad de
movimiento se conserva en ausencia de
fuerzas externas: 𝑝𝑖 = 𝑝𝑓
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Índice
Introducción.
Conservación de 𝑝.
Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Conservación de 𝒑
Sabemos que 𝑝inicial = 𝑝final
Si lo aplicamos al ejemplo de la figura:
𝑚𝐴 𝑣𝐴 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴′ + 𝑚𝐵 𝑣𝐵′
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Índice
Introducción.
Conservación de 𝑝.
Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Conservación de 𝐾.
Clasificación de las colisiones.
A diferencia de la cantidad de movimiento, la energía
cinética, 𝐾, no siempre se conserva en las colisiones.
Podemos clasificarlas en:
Colisiones elásticas: 𝐾 se conserva.
Colisiones inelásticas: 𝐾 no se conserva, sino
que una parte se disipa.
Colisiones perfectamente inelásticas: las
partículas quedan unidas tras la colisión. Es el
caso de máxima disipación de la energía
cinética.
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Conservación de 𝐾.
Clasificación de las colisiones.
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Índice
Introducción.
Conservación de 𝑝.
Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Coeficiente de restitución
Se define el coeficiente de restitución, 𝐶𝑅, como:
𝐶𝑅 = −𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓
𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖
En general, 0 ≤ 𝐶𝑅 ≤ 1
Para las colisiones elásticas, 𝐶𝑅 = 1
Para las perfectamente inelásticas, 𝐶𝑅 = 0
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Índice
Introducción.
Conservación de 𝑝.
Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Colisiones elásticas en una dimensión (I)
Se conservan tanto 𝑝 como 𝐾:
𝑚1𝑣1,𝑖 + 𝑚2𝑣2,𝑖 = 𝑚1𝑣1,𝑓 + 𝑚2𝑣2,𝑓 (1)
12𝑚1𝑣1,𝑖
2 + 12𝑚2𝑣2,𝑖
2= 1
2𝑚1𝑣1,𝑓
2+ 1
2𝑚2𝑣2,𝑓
2(2)
De (1), 𝑚1 𝑣1,𝑓 − 𝑣1,𝑖 = −𝑚2 𝑣2,𝑓 − 𝑣2,𝑖
De (2), 𝑚1 𝑣1,𝑓
2− 𝑣1,𝑖
2= −𝑚2 𝑣2,𝑓
2− 𝑣2,𝑖
2
𝑚1 𝑣1,𝑓 − 𝑣1,𝑖 𝑣1,𝑓 + 𝑣1,𝑖 = −𝑚2 𝑣2,𝑓 − 𝑣2,𝑖 𝑣2,𝑓 + 𝑣2,𝑖
Combinándolas: 𝑣1,𝑓 + 𝑣1,𝑖 = 𝑣2,𝑓 + 𝑣2,𝑖 3
𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖 = − 𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓
Las velocidades relativas son iguales y opuestas.
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Colisiones elásticas en una
dimensión (II)
Hemos visto que 𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖 = − 𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓
Podemos comprobar que 𝐶𝑅 = 1. En efecto,
𝐶𝑅 = −𝑣2,𝑓 − 𝑣1,𝑓
𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖=
𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖
𝑣2,𝑖 − 𝑣1,𝑖= 1
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Colisiones elásticas en una
dimensión (III)
Conociendo 𝑣1,𝑖 y 𝑣2,𝑖 podemos obtener 𝑣1𝑓 y 𝑣2,𝑓:
Partimos de las expresiones (1) y (3):𝑚1𝑣1,𝑖 + 𝑚2𝑣2,𝑖 = 𝑚1𝑣1,𝑓 + 𝑚2𝑣2,𝑓
𝑣1,𝑓 + 𝑣1,𝑖 = 𝑣2,𝑓 + 𝑣2,𝑖
Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas.
Resolviendo:
𝑣1,𝑓 = 𝑚1−𝑚2𝑚1+𝑚2
𝑣1,𝑖 + 2𝑚2𝑚1+𝑚2
𝑣2,𝑖
𝑣2,𝑓 = 2𝑚1𝑚1+𝑚2
𝑣1,𝑖 + 𝑚2−𝑚1𝑚1+𝑚2
𝑣2,𝑖
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Colisiones elásticas en una
dimensión (IV)
Algunos casos particulares:
(a) Masas iguales, 𝑚1 = 𝑚2: 𝑣1,𝑓 = 𝑣2,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 = 𝑣1,𝑖
Las partículas intercambian sus velocidades.
𝑚𝐴 = 𝑚𝐵
𝑣𝐴′ = 𝑣𝐵
𝑣𝐵′ = 𝑣𝐴15
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Colisiones elásticas en una
dimensión (V)
(b) 𝑚2 en reposo:
𝑣1,𝑓 = 𝑚1−𝑚2𝑚1+𝑚2
𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 = 2𝑚1𝑚1+𝑚2
𝑣1,𝑖
(b.1) 𝑚1 = 𝑚2:
𝑣1,𝑓 = 0 ; 𝑣2,𝑓 = 𝑣1,𝑖
O sea, la primera partícula se queda
parada tras el choque, y la segunda
sale a la velocidad que llevaba la
primera antes del choque.16
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Colisiones elásticas en una dimensión (VI)
(b) 𝑚2 en reposo:
𝑣1,𝑓 = 𝑚1−𝑚2𝑚1+𝑚2
𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 = 2𝑚1𝑚1+𝑚2
𝑣1,𝑖
(b.2) Para 𝑚1 ≫ 𝑚2 (objeto muy pesado
colisiona con blanco ligero):
𝑣1,𝑓 ≈ 𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 ≈ 2𝑣1,𝑖
Ej: Átomo de U (238 u) contra uno de H (1 u)
(b.3) Para 𝑚1 ≪ 𝑚2 (objeto ligero colisiona
con blanco muy pesado):
𝑣1,𝑓 ≈ −𝑣1,𝑖 ; 𝑣2,𝑓 ≈ 0
Ej: Pelota de ping-pong contra bola de bolos
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Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Colisiones perfectamente
inelásticas en una dimensión (I)
𝑚1𝑣1,𝑖 + 𝑚2𝑣2,𝑖 = 𝑚1 + 𝑚2 𝑣𝑓
𝑣𝑓 =𝑚1𝑣1 + 𝑚2𝑣2
𝑚1 + 𝑚2
Dos vagones iguales
que acaban unidos, a
la misma velocidad, 𝑣′:
𝑣′ =𝑚𝐴𝑣𝐴
2𝑚𝐴=
𝑣𝐴
2= 12 m/s
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Conservación de 𝑝.
Conservación de 𝐾. Clasificación de las
colisiones.
Coeficiente de restitución.
Colisiones elásticas en una dimensión.
Colisiones perfectamente inelásticas en
una dimensión.
Colisiones en dos dimensiones.
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Colisiones en dos dimensiones
Para las colisiones en un plano, la conservación de
la cantidad de movimiento se escribe:
𝑚1𝑣1,𝑖𝑥 + 𝑚2𝑣2,𝑖𝑥 = 𝑚1𝑣1,𝑓𝑥 + 𝑚2𝑣2,𝑓𝑥
𝑚1𝑣1,𝑖𝑦 + 𝑚2𝑣2,𝑖𝑦 = 𝑚1𝑣1,𝑓𝑦 + 𝑚2𝑣2,𝑓𝑦
Para el caso de la figura (colisión no frontal):𝑚1𝑣1,𝑖 = 𝑚1𝑣1,𝑓 cos 𝜃1 + 𝑚2𝑣2,𝑓 cos 𝜃2
0 = 𝑚1𝑣1,𝑓 sin 𝜃1 − 𝑚2𝑣2,𝑓 sin 𝜃2
Si además es elástica, se cumple:12𝑚1𝑣1,𝑖
2= 1
2𝑚1𝑣1,𝑓
2+ 1
2𝑚2𝑣2,𝑓
2
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