Tema 6 Decisiones de consumidores y productores en los supuestos de temporalidad y riesgo.

Tema 6Decisiones de

consumidores y productores en los supuestos

de temporalidad y riesgo

Decisiones de consumidores y productores en los supuestos

de temporalidad y riesgo

2

Introducción• La elección en condiciones de certidumbre

es razonablemente directa.

• ¿Cómo escogemos cuando variables que se conocen con seguridad, como por ejemplo la renta y los precios, son inciertas? Es decir, ¿cómo hacer elecciones que conllevan cierto grado de riesgo?

3

La descripción del riesgo• Para describir cuantitativamente el riesgo,

debemos conocer:

1) Todos los resultados posibles.

2) La probabilidad de que se produzca cada resultado.

4

La descripción del riesgo• Interpretación de la probabilidad:

– Posibilidad de que se produzca un determinado resultado.

5

La descripción del riesgo

• Interpretación de la probabilidad– Interpretación objetiva:

• se basa en la frecuencia con que tienden a ocurrir ciertos acontecimientos.

6

La descripción del riesgo• Interpretación de la probabilidad

– Interpretación subjetiva:• Se basa en los juicios de valor o en la experiencia de

una persona, pero no necesariamente en la frecuencia con que se ha producido realmente un determinado resultado en el pasado:

– Información diferente o habilidades diferentes para procesar la misma información pueden influir en la probabilidad subjetiva.

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La descripción del riesgo• Valor esperado

– Media de los valores correspondientes a todos los resultados posibles ponderada por las probabilidades.

• Las probabilidades de cada resultado se utilizan como ponderaciones.

• El valor esperado mide la tendencia central, es decir, el rendimiento o el valor que esperamos en promedio.

8

La descripción del riesgo• Ejemplo:

– Inversión en prospecciones petrolíferas:– Dos resultados posibles:

• Éxito: el precio de stock crece de 30 dólares a 40 por acción.

• Fracaso: el precio de stock cae de 30 dólares a 20 por acción.

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La descripción del riesgo• Ejemplo:

– Probabilidad objetiva:• 100 exploraciones, 25 éxitos y 75 fallos.

• Probabilidad de éxito (Pr) = 1/4 y la probabilidad de fracaso = 3/4.

10


• Ejemplo:

Pr(éxito)(40$/acción)+Pr(fracaso)(20$/acción) Valoresperado

(20$/acción)43)(40$/acción41

25$/acción

Valor esperadoValor esperado

Valoresperado

Valoresperado

11

La descripción del riesgo– Si hay dos resultados posibles que tienen

unos rendimientos de X1 y X2,

– las probabilidades de cada resultado vienen dadas por Pr1 y Pr2.

12

La descripción del riesgo• En términos generales, el valor esperado

es:

nn2211 XPr...XPrXPr E(X)

13

La descripción del riesgo• Variabilidad

– Grado en que pueden variar los posibles resultados de un acontecimiento incierto.

14

• Mientras que los valores esperados son iguales, la variabilidad no lo es.

• Cuanto mayor sea la variabilidad de los valores esperados, mayor riesgo.

• Desviación:

– Diferencia entre el rendimiento esperado y el real.


15

• Las diferencias negativas deben corregirse.

• La desviación típica mide la raíz cuadrada de la media del cuadrado de las desviaciones de los resultados con respecto a su valor esperado.

VariabilidadVariabilidad


16


• La ecuación de la desviación típica es la siguiente:

222

211 )(Pr)(Pr XEXXEX

VariabilidadVariabilidad

17

La descripción del riesgo• La desviación típica se aplica cuando hay

muchos resultados en lugar de dos.

18


• Las rentas del primer empleo van desde 1.000 dólares hasta 2.000 en incrementos de 100 y todas son igualmente probables.

EjemploEjemplo

19


• Las rentas del segundo empleo van desde 1.300 dólares hasta 1.700 en incrementos de 100 dólares y también son todas ellas igualmente probables.

EjemploEjemplo

20

Las probabilidades de los resultados de dos empleos

Renta

0,1

1.000$ 1.500$ 2.000$

0,2

Empleo 2

Empleo 1

El empleo 1 tiene una dispersión mayor

y una desviación típica mayor que la de los rendimientos

correspondientes al Empleo 2.

Probabilidad

21

La descripción del riesgo• Las probabilidades de los resultados de

los dos empleos cuya probabilidad es diferente:

– Empleo 1: mayor dispersión y mayor desviación típica.

– Distribuciones piramidales: los rendimientos extremos son menos probables.

22

La descripción del riesgo• La toma de decisiones:

– Quien rechace el riesgo elegirá el Empleo 2: la misma renta esperada que en el Empleo 1 con menos riesgos.

– Supongamos que aumentamos cada uno de los rendimientos del primer empleo en 100 dólares. En este caso, los rendimientos esperados pasan de 1.500 dólares a 1.600.

23

Resultados cuya probabilidad es diferente

Empleo 1

Empleo 2

La distribución de los rendimientos correspondientes

al Empleo 1 tiene una dispersión mayor y una desviación típica mayor

que la distribución de los rendimientos correspondientes

al Empleo 2.

Renta

0,1

1.000$ 1.500$ 2.000$

0,2

Probabilidad

24

Las rentas de los empleos de ventas modificadas ($)

Recuerde: la desviación típica es la raíz cuadrada de la media del cuadrado de las desviaciones de los resultados con respecto a su valor esperado.

Empleo 1 2.100 250.000 1.100 250.000 1.600 500

Empleo 2 1.510 100 510 980.100 1.500 99,50

Cuadrados de Cuadrados de Renta Desviación Resultado 1 las desviaciones Resultado 2 las desviaciones esperada típica

25


• Empleo 1: la renta esperada es igual a 1.600 dólares y la desviación típica es igual a 500 dólares.

• Empleo 2: la renta esperada es igual a 1.500 dólares y la desviación típica es igual a 99,50 dólares.

• ¿Qué trabajo aceptaríamos?– ¿El que ofrece mayor renta esperada o el que ofrece

menor riesgo?

La toma de decisionesLa toma de decisiones

26

Las preferencias por el riesgo

• La elección entre opciones arriesgadas– Supongamos:

• el consumo de un único bien.

• que los consumidores conocen todas las probabilidades.

• que los rendimientos se miden en términos de utilidad.

• que se da la función de la utilidad.

27


• Una persona gana 15.000 dólares y recibe una utilidad de 13 dólares por su trabajo.

• Esta persona está considerando la posibilidad de aceptar un nuevo empleo más arriesgado.

EjemploEjemplo

28


– Tiene una probabilidad de 0,50 de aumentar su renta hasta 30.000 dólares, y un 0,50 de reducirla hasta 10.000 dólares.

– Para evaluar el empleo debe calcular el valor esperado de la renta resultante.

EjemploEjemplo

29


• La utilidad esperada es la suma de las utilidades correspondientes a todos los resultados posibles, ponderada por la probabilidad de que se produzca cada resultado.

EjemploEjemplo

30


• La utilidad esperada se puede representar de la siguiente forma:– E(u) = (1/2)u(10.000$) + (1/2)u(30.000$)

= 0,5(10) + 0,5(18)

= 14– La utilidad esperada de 14 es mayor que la

utilidad inicial de 13. Por tanto, se prefiere el nuevo empleo arriesgado al inicial.

EjemploEjemplo

31


• Diferentes preferencias por el riesgo:– Una persona puede ser renuente al riesgo,

neutral ante el riesgo, o amante del riesgo.

32


• Diferentes preferencias por el riesgo– Renuente al riesgo: Persona que prefiere una

renta segura a una renta arriesgada que tenga el mismo valor esperado.

– Una persona es renuente al riesgo si su renta tiene una utilidad marginal decreciente.

• La contratación de seguros denota una conducta renuente al riesgo.

33


• Ejemplo:– Una persona puede tener un empleo que

garantice una renta de 20.000 dólares con una probabilidad del 100 por ciento y una utilidad de 16.

– Esta persona podría tener un empleo con una probabilidad de 0,5 de ganar 30.000 dólares y 0,5 de ganar 10.000 dólares.

Renuente al riesgoRenuente al riesgo

34


• Renta esperada= (0,5)(30.000$) +

(0,5)(10.000$)

= 20.000 $


35


• La renta esperada de ambos empleos es la misma, pero esta persona renuente al riesgo elegirá el empleo actual.


36


• La utilidad esperada del nuevo empleo se calcula de la siguiente forma:

– E(u) = (1/2)u (10.000$) + (1/2)u(30.000$)

– E(u) = (0,5)(10) + (0,5)(18) = 14

• La utilidad esperada del empleo 1 es 16, que es

mayor que la del empleo 2, siendo ésta de 14.


37


• Esta persona podría mantener su empleo actual, ya que le proporciona mayor utilidad que el empleo arriesgado.

• En este caso, se la clasificaría como renuente al riesgo.


38

Renta (1.000$)

Utilidad

El consumidor es renuenteal riesgo porque preferiríauna renta segura de 20.000dólares a una apuesta en la

que la probabilidad de ganar 10.000 dólares es de 0,5

y ganar 30.000 es de 0,5.

E

10

10 15 20

1314

16

18

0 16 30

AB

C

D



39


• Una persona es neutral ante el riesgo cuando muestra indiferencia entre una renta segura y una renta insegura que tiene el mismo valor esperado.

Neutral ante el riesgoNeutral ante el riesgo

40

Renta (1.000$)10 20

Utilidad

0 30

6A

E

C

12

18

El consumidor es neutralante el riesgo y es

indiferente entre los acontecimientos seguros y los inciertos que tienen la misma renta esperada.


Neutral ante el riesgoNeutral ante el riesgo

41


• Una persona es amante del riesgo cuando prefiere una renta arriesgada a una renta segura que tenga el mismo valor esperado.– Ejemplos: las apuestas y algunas actividades

delictivas.

Amante del riesgoAmante del riesgo

42

Renta (1.000$)

Utilidad

0

3

10 20 30

A

E

C8

18El consumidor es amante del riesgo porque prefiere

la apuesta a la rentasegura.


Amante del riesgoAmante del riesgo

43


• La prima por el riesgo es la cantidad de dinero que está dispuesta a pagar una persona renuente al riesgo para evitarlo.

La prima por el riesgoLa prima por el riesgo

44


• Ejemplo:– Una persona tiene una probabilidad de 0,5

de ganar 30.000 dólares y una probabilidad de 0,5 de ganar 10.000 dólares (la renta esperada es igual a 20.000 dólares).

– La utilidad esperada de estos dos resultados se calcula de la siguiente forma:

• E(u) = 0,5(18) + 0,5(10) = 14


45


• Pregunta:

– ¿Cuánto pagaría esta persona por evitar el riesgo?


46

Renta (1.000$)

Utilidad

0 10 16

En este caso, la prima por el riesgo es de 4.000dólares porque una renta

segurade 16.000 le reportala misma utilidad esperadaque una renta inciertaque

tiene un valor esperadode 20.000.

10

18

30 40

20

14

A

CE

G

20

F

Prima por el riesgo



47


• La variabilidad de los rendimientos potenciales aumenta la prima por el riesgo.

• Ejemplo:– Un empleo tiene una probabilidad de 0,5 de

tener una renta de 40.000 dólares (20 unidades de utilidad) y una probabilidad de 0,5 de obtener una renta de 0 (utilidad de 0).

Aversión al riesgo y curvas de indiferenciaAversión al riesgo y curvas de indiferencia

48


• Ejemplo:– La renta esperada sigue siendo 20.000

dólares, pero la utilidad esperada se reduce a 10.

– Utilidad esperada = 0,5u($) + 0,5u(40.000$)

= 0 + 0,5(20) = 10

Aversión al riesgo y curvas de indiferencia Aversión al riesgo y curvas de indiferencia

49


• Ejemplo:– La renta segura de 20.000 dólares tiene una

utilidad de 16.– Si una persona tiene que adoptar la nueva

posición, su utilidad pierde 6 unidades.


50


• Ejemplo:– La prima por el riesgo es de 10.000 dólares.

Esta persona está dispuesta a renunciar a 10.000 dólares de su renta esperada de 20.000 para tener la misma utilidad esperada que con un trabajo arriesgado.


51


• En general, se puede decir que cuanto mayor es la variabilidad, mayor es la prima por el riesgo.

Aversión al riesgo y curvas de indiferenciaAversión al riesgo y curvas de indiferencia

52


• Las combinaciones de renta esperada y desviación típica de la renta que reportan al individuo la misma cantidad de utilidad.

Curva de indiferenciaCurva de indiferencia

53

Aversión al riesgo y curvas de indiferencia

Desviación típica de la renta

Renta esperada

Una persona que es muyrenuente al riesgo: un aumento de la desviación típica de la renta de estapersona exige un gran aumento de la renta esperada para que su bienestar no varíe.

U1

U2

U3

54

Aversión al riesgo y curvas de indiferencia

Desviación típica de la renta

Rentaesperada

Una persona que sólo es algo renuente al riesgo:un aumento de la desviación típica de la renta sólo exige un pequeño aumento de la renta esperada para que su bienestar no varíe.

U1

U2

U3

55

La reducción del riesgo• Tres medidas que toman normalmente los

consumidores y los directivos para reducir los riesgos:

1) La diversificación.

2) El seguro.

3) La obtención de más información.

56

La reducción del riesgo• La diversificación:

– Supongamos que una empresa tiene la opción de vender aparatos de aire acondicionado, estufas, o ambos.

– La probabilidad de que el año sea caluroso o frío es de 0,5.

– La empresa puede minimizar el riesgo mediante la diversificación.

57

La reducción del riesgo

• Si la empresa sólo vende aparatos de aire acondicionado o estufas, su renta real será de 12.000 dólares o de 30.000.

• Su renta esperada será:– 1/2(12.000$) + 1/2(30.000$) = 21.000$

DiversificaciónDiversificación

58


• Si la empresa reparte por igual su tiempo entre los dos bienes, las ventas serán la mitad de los valores originales.


59


• Si hace calor, la empresa obtendrá 15.000 dólares por la venta de aparatos de aire acondicionado y 6.000 por la venta de estufas, o 21.000 dólares independientemente del tiempo que haga.

• Si hace frío, la empresa obtendrá una renta esperada de 6.000 dólares por la venta de aparatos de aire acondicionado y 15.000 por la de estufas, o 21.000 independientemente del tiempo que haga.


60


• Con la diversificación, la renta esperada es de 21.000 dólares sin ningún riesgo.


61


• Las empresas pueden reducir el riesgo diversificando entre diversas actividades cuyos resultados no estén estrechamente relacionados.


62


• Preguntas:

– ¿Cómo puede la diversificación reducir el riesgo de la inversión en la bolsa de valores?

– ¿Puede eliminar la diversificación el riesgo de la inversión en la bolsa de valores?

La bolsa de valoresLa bolsa de valores

63


• Las personas renuentes al riesgo están dispuestas a pagar para evitarlo.

• Si el coste del seguro es igual a la pérdida esperada, las personas renuentes al riesgo compran suficiente seguro para poder recuperar totalmente cualquier pérdida económica que sufran.

El seguroEl seguro

64

La decisión de asegurarse

No 40.000 50.000 49.000 9.055

Sí 49.000 49.000 49.000 0

Seguro Robo Ausencia de robo Riqueza Desviación(Pr = 0,1) (Pr = 0,9) esperada típica

65


• Mientras que la riqueza esperada sea la misma, la utilidad esperada del seguro es mayor porque la utilidad marginal en caso de pérdida es mayor que en el caso de ausencia de pérdida.

• La compra de un seguro transfiere riqueza e incrementa la utilidad esperada.

El seguroEl seguro

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• Aunque un solo acontecimiento sea aleatorio y en gran medida impredecible, es posible predecir el resultado medio de muchos acontecimientos parecidos.

La ley de los grandes númerosLa ley de los grandes números

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• Ejemplos:– Cuando tiramos una moneda al aire, no podemos

predecir si saldrá cara o cruz, pero sabemos que cuando se tiran muchas, alrededor de la mitad sale cara y la otra mitad cruz.

– No podemos predecir si un coductor tendrá un accidente, pero podemos saber cuántos accidentes tendrá un gran número de conductores.

La ley de los grandes númerosLa ley de los grandes números

68

El valor del seguro de titularidad cuando se adquiere una vivienda

– El precio de una vivienda es de 200.000 dólares.

– Hay un 5 por ciento de probabilidades de que el vendedor no sea el propietario de la casa.

EjemploEjemplo

69


• Un comprador neutral ante el riesgo pagaría por la propiedad:

EjemploEjemplo

(0,95[200.000$]+0,05[0]) = 190.000

70


• Un comprador renuente al riesgo ofrecería mucho menos por la propiedad.

• Para reducir el riesgo, el seguro de titularidad aumenta el valor de la vivienda mucho más que el de la prima.

EjemploEjemplo

71


• El valor de una información completa:

– La diferencia entre el valor esperado de una opción cuando la información es completa y el valor esperado cuando es incompleta.

El valor de la informaciónEl valor de la información

72


• Supongamos que el gerente de una tienda debe decidir el número de trajes que va a pedir para la temporada de otoño:– 100 trajes cuestan 180 dólares por traje.– 50 trajes cuestan 200 dólares por traje.– El precio de los trajes es 300 dólares cada

uno.


73


• Supongamos que el gerente de una tienda tiene que decidir cuántos trajes va a pedir para la temporada de otoño:– Los trajes que no se han vendido se pueden

devolver, pero sólo por la mitad de lo que pagamos por ellos.

– La probabilidad de vender 50 trajes es de 0,5.


74

La decisión de asegurarse

1. Comprar 50 trajes 5.000 5.000 5.000

2. Comprar 100 trajes 1.500 12000 6.750

Beneficios Ventas de 50 Ventas de 100 esperados

75

La reducción del riesgo• Con información incompleta:

– Una persona neutral ante el riesgo compraría 100 trajes.

– Una persona renuente al riesgo compraría 50 trajes.

76


• El valor esperado con información completa es de 8.500 dólares.

– 8.500 = 0,5(5.000) + 0,5(12.000)

• El valor esperado con incertidumbre (la compra de 100 trajes) es de 6.750 dólares.


77


• El valor de la información completa es de 1.750 dólares o la diferencia entre el valor esperado con información completa y el valor esperado con incertidumbre. Puede merecer la pena invertir en un estudio de marketing que proporcione una predicción mejor de las ventas del próximo año.


78

• El consumo per cápita de leche ha disminuido con el paso de los años.

• Los productores de leche han buscado nuevas estrategias de ventas para fomentar el consumo de leche.


El valor de la información: un ejemploEl valor de la información: un ejemplo

79

• Las investigaciones demuestran que:– La demanda de leche sigue un patrón

estacional, en el que la demanda es mayor en primavera.

– La elasticidad-precio de la demanda de leche es negativa pero baja.

– La elasticidad-renta es positiva y alta.



80

• La publicidad de la leche influye más en las ventas durante la primavera.

• Aplicando los datos de la publicidad al área metropolitana de Nueva York, se observa un aumento de las ventas en 4 millones de dólares y de los beneficios en un 9 por ciento.

• El coste de la información es relativamente bajo y su valor es significativo.



81

• Los activos

– Algo que proporciona una corriente de dinero o de servicios a su propietario.

• La corriente monetaria que recibe una persona que posee un activo puede adoptar la forma de un pago explícito (dividendos) o implícito (ganancia de capital).

La demanda de activos arriesgados

82

• Ganancia de capital

– Un aumento del valor de un activo, mientras que una disminución del valor de un activo es una pérdida de capital.


83


• Activo arriesgado

– Proporciona una corriente incierta de dinero o de servicios a su propietario.

– Ejemplos:• alquiler de apartamentos, ganancias de capital,

bonos de sociedades, acciones.

Activos arriesgados y activos sin riesgosActivos arriesgados y activos sin riesgos

84


• Activos sin riesgos

– Activos que generan una corriente de dinero o de servicios que se conoce con seguridad.

– Ejemplos:• bonos del Estado a corto plazo, libretas de

ahorro de los bancos y certificados de depósito a corto plazo.

Activos arriesgados y activos sin riesgosActivos arriesgados y activos sin riesgos

85


• Los rendimientos de los activos:– Rendimiento de un activo:

• Corriente monetaria total que genera un activo en porcentaje de su precio.

– Rendimiento real de un activo:• Rendimiento simple (o nominal) de un activo

menos la tasa de inflación.

86


• Rendimiento de un activo:

Precio de compra

Corriente monetaria Rendimiento

de un activo

%101.000$/año100$/año

Precio de un bono

Flujo Rendimiento

de un activo

87


• Rendimientos esperados:

– Rendimiento que debe generar un activo en promedio.

Rendimientos esperados y rendimientos realesRendimientos esperados y rendimientos reales

88


• Rendimiento efectivo:

– Rendimiento que genera un activo.


89

Las inversiones: el riesgo y el rendimiento, Estados Unidos (1926-1999)

Acciones ordinarias (S&P 500) 9,5 20,2

Bonos de sociedades a largo plazo 2,7 8,3

Letras del Tesoro de EE.UU. 0,6 3,2

RiesgoTasa real de desviación

rendimiento (%) típica (%)

90


• Cuanto mayor es el rendimiento esperado de una inversión, mayor es el riesgo que entraña.

• El inversor renuente al riesgo debe sopesar el rendimiento esperado y el riesgo.


91


• Supongamos que una persona quiere invertir sus ahorros en dos activos: letras del Tesoro y acciones:– Letras del Tesoro (casi exentas de riesgo) frente

a acciones (arriesgadas).– Re = el rendimiento exento de riesgo de las

letras del Tesoro.• El rendimiento esperado es igual al rendimiento real

cuando no hay riesgo.

La disyuntiva entre el riesgo y el rendimientoLa disyuntiva entre el riesgo y el rendimiento

92


• Supongamos que una persona quiere invertir sus ahorros en dos activos: letras del Tesoro y acciones:– Rm = rendimiento esperado de la inversión en

el mercado de valores.– rm = el rendimiento real de la inversión en el

mercado de valores.


93


• En el momento de tomar la decisión de invertir, conocemos el conjunto de resultados posibles y la probabilidad de cada uno, pero no sabemos cuál se producirá.


94


• El activo arriesgado tendrá un rendimiento mayor que el activo exento de riesgo (Rm > Re).

• De lo contrario, los inversores renuentes al riesgo sólo comprarían letras del Tesoro.


95


• ¿Cómo debe invertir el inversor sus ahorros?

b = proporción de los ahorros que invierte en la bolsa de valores.

1 - b = proporción que destina la compra de letras del Tesoro.

La cartera de inversiónLa cartera de inversión

96


• Rendimiento esperado:

Rc: media ponderada del rendimiento esperado de los dos activos.

Rc = bRm + (1-b)Re


97


• Rendimiento esperado:

Si Rm = 12%, Re = 4%, y b = 1/2

Rc = 1/2(0,12) + 1/2(0,04) = 8%


98


• Pregunta:

– ¿Cuál es el grado de riesgo de esta cartera?


99


• El riesgo (desviación típica) de la cartera de inversión es la proporción de la cartera invertida en el activo arriesgado multiplicada por la desviación típica de ese activo:

mc b


100


• Elección de la proporción b:

emc RbbRR )1(

)( emec RRbRR

El problema de elección del inversorEl problema de elección del inversor

101


• Elección de la proporción b:

cm

emec

RRRR

)(

mcb /

El problema de elección del inversorEl problema de elección del inversor

102


• Observaciones:

1) La ecuación final:

es una recta presupuestaria porque describe la disyuntiva entre el riesgo

y el rendimiento esperado .

Riesgo y recta presupuestariaRiesgo y recta presupuestaria

σc

σm

emec

)R(RRR

)( c )c(R

103


• Observaciones:

2) Es la ecuación de una línea recta:

3)

constantes. son y ,R ,R mem

Pendiente = (Rm Rf)/ m


σc

σm

emec

)R(RRR

104


• Observaciones:

3) El rendimiento esperado de la cartera Rc aumenta a medida que aumenta el riesgo.

4) La pendiente es el precio del riesgo o riesgo adicional que debe correr un inversor para obtener un rendimiento esperado mayor.


105

La elección entre el riesgo y el rendimiento

0

Desviación típicadel rendimiento, c

Rendimientoesperado Rc

U2 es la mejor elección ya que proporciona el

mayor rendimiento para un riesgo determinado y es tangente a la recta

presupuestaria.

Rf

Recta presupuestaria

m

Rm

R*

U2U1

U3

106

Re

Rectapresupuestaria

Las elecciones de dos inversores distintos

0

Rendimientoesperado, Rc

Dada la misma rectapresupuestaria, el inversor A elige

bajo rendimiento-bajo riesgo, mientras

que el inversor B escoge alto

rendimiento-alto riesgo.

UA

RA

A

UB

RB

m

Rm

BDesviación típicadel rendimiento, c

Tema 6 Decisiones de consumidores y productores en los supuestos de temporalidad y riesgo.

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