Tema 6. Integración

6.1 Cálculo de primitivas.

6.2 Área e integral definida.6.2 Área e integral definida.

6.3 El Teorema fundamental del cálculo

6.4 Área de una región entre dos curvas.

6.5 Cálculo de volúmenes.

6.6 Longitud de arco y superficie de revolución.

1E.U.Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Electricidad, Electrónica y Mecánica. Curso 2007-08.

6.1 Cálculo de primitivas

D fi i ió

Una función es una primitiva de la función , si para todo del dominio

de se verifica que '( ) ( ).

F f x

f F x f x=

Definición

Una función es una primitiva de en un intervalo cada una de lasF f I

Teorema

Una función es una primitiva de en un intervalo , cada una de las

funciones , tales que ( ) ( ) , también es una primtiva de .

F f I

G G x F x C f= +

El símbolo ( ) representa al conjunto de todas las primitivas de , y se f x dx f∫Definición

denomina integral indefinida de .

( ) ( )

f

f x dx F x C= +

∫

∫

2

Reglas básicas de integración

( ) ( )Kf x dx K f x dx=∫ ∫

g g

( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±

∫ ∫

∫ ∫ ∫( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫1nx +

, 11

n xdx x C x dx C n

n= + = + ≠ −

+∫ ∫d

ln x xdxx C e dx e C

x= + = +∫ ∫

sen cos cos senx dx x C x dx x C= − + = +∫ ∫3

tg ln cos cotg ln senx dx x C x dx x C= − + = +∫ ∫

2 2sec tg cosec cotg x dx x C x dx x C= + = − +∫ ∫

sec tg sec cosec cotg cosecx x dx x C x x dx x C= + = − +∫ ∫

2arcsen arctg

dx dxx C x C= + = +∫ ∫ 22

arcsen arctg11

1

x C x Cxx

d

+ ++−

∫ ∫

2 22 2

1arctgarcsen

dx xdx x CC a x a aaa x= += + +−

∫∫

4

Mét d d tit ió ( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C= +∫Método de sustitución ( ( )) ( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C= +∫Si ( ) se tiene ( ) ( )u g x f u du F u C= = +∫

Integrales de funciones racionales( )

( )

P xdx

Q x∫ Descomposición en fracciones simples

Integración por partes udv uv vdu= −∫ ∫, sen , cos

|| , sen , cos

n ax n n

n ax

x e dx x ax dx x ax dx

u x dv e dx ax dx ax dx= =

∫ ∫ ∫

ln , arcsen , arctg

ln , arcsen , arctg ||

n n n

n

x ax dx x ax dx x ax dx

u ax ax ax dv x dx= =∫ ∫ ∫

ln , arcsen , arctg || u ax ax ax dv x dx

sen , cos , ax axe bx dx e bx dx∫ ∫5

sen , cos || axu bx bx dv e dx= =

∫ ∫

Integrales trigonométricasg g

sen( )sen( ) , sen( )cos( ) , cos( ) cos( ) . mx nx dx mx nx dx mx nx dx∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

Integrales de funciones racionales de senos y cosenosg y

R(sen , cos ) x x dx∫1) R impar en seno: R( sen ,cos ) R(sen ,cos ) cos .x x x x x t− = − ⇒ =

2) R impar en coseno: R(sen , cos ) R(sen ,cos ) sen .

3) R par en seno y coseno: R( sen , cos ) R(sen ,cos ) tg

x x x x x t

x x x x x t

− = − ⇒ =

− − = ⇒ =) p y ( ) ( ) g

4) Ninguno de los casos anteriores tg 2

xt⇒ =

6

Integrales de funciones racionales de senos y cosenosg y

2 2 2 2

tg

1 1sen cos 1 tg 1 cos

x t

x x x x

=

+ = ⇒ + = ⇒ =2 2

2

sen cos 1 tg 1 coscos 1

x x x xx t

+ ⇒ + ⇒+

22 2 2

2sen 1 cos 1 sen

1

tx x x

t= − = ⇒ =

+

2

1tg artg

1x t x t dx dt

t= ⇒ = ⇒ =

+1 t+

7

Integrales de funciones racionales de senos y cosenosg y

2

2 2 2 2

tg

cos sen 1 tg 1

x

x x x

t

t

=

2 2 22 2 2 2

2 2 2

cos sen 1 tg 1cos cos

cos sen 1 tg 1x x x

tx x

t

− − −= = ⇒ =

+ + +

2 2 22 2 2 2

2 2 2

2 sen cos 2tg 2sen sen

cos sen 1 tg 1

x x x

x x x

tx x

t= = ⇒ =

+ + +2 2 2cos sen 1 tg 1

22

t

d d

+ + +

2 2tg 2 arctg

1x t x t dx dt

t= ⇒ = ⇒ =

+

8

Á6.2 Área e integral definida

R

y=f(x)y

R

0 a b xb

f continua en [a,b], f(x)≥ 0. Región R: f, eje x, x=a, x=b.

Se divide [a,b] en subintervalos, de longitud ∆x=(b-a)/n.

( ), 0,...,

0( ) 1( ) 2( ) ( )ix a i x i n

a a x a x a x a n x b

= + ∆ == + ∆ < + ∆ < + ∆ < < + ∆ =L14243 14243 14243

9

0 1 2x x x2 2 2

1( ) valor minimo de en [ , ]1i i if m f x x

i−= ⎫⎬

1

1

1,...( ) valor maximo de en [ , ]

i i i

i i i

i nf M f x x−

=⎬= ⎭

Rf(mi)

f(Mi)

f(m ) ∆x ≤ f(M ) ∆xR

a bx x

f(mi) ∆x ≤ f(Mi) ∆x

Para cada i=1,...,n

a bxi-1 xi

n

∑

n

1

Suma superior: S( ) ( )ii

n f M x=

= ∆∑

1

Suma inferior: ( ) ( )ii

s n f m x=

= ∆∑

lim ( ) lim ( )s n S n=Teoremaa bxi-1 xi

10 continua en [ , ], ( ) 0f a b f x ≥

( ) ( )n n→∞ →∞

1Para todo tal que [ , ] : lim ( ) lim ( ) lim ( )n

i i i i ic c x x f c x s n S n− → → →∈ ∆ = =∑

Teorema

1n n n

i→∞ →∞ →∞

=∑

n

1

= lim ( )in

i

A f c x→∞

=

∆∑Área de la región R :

f(ci)

R

a bxi-1 xi

ci

11

S d fi id [ ] i ió d [ ]f b b b∆ 0 1 2Sea definida en [ , ], una partición de [ , ] : nf a b a b a x x x x b∆ = < < < < =L

b0a x=1x 2x 3x 1nx − nx b=

n

[ ]11

Si , , ( ) se llama asociada a .n

i i i ii

c x x f c x−=

∈ ∆ ∆∑ Suma de Riemman

Nota a) Se llama norma de una partición ∆ a la longitud del mayor subintervalo, y se denota por || ∆||.

b) Si n es el número de subintervalos de una partición: (b-a)/ || ∆|| ≤ n, y se cumple que si || ∆||→0 entonces n →∞.

12

c) Si la partición ∆ es regular (todos los subintervalos son iguales): || ∆||= (b-a)/n

01

Si está definida en [ , ] y existe el límite lim ( ) se dice quen

i ii

f a b f c x∆ →

∆∑

Definición

1

es en [ , ]. El valor de este límite se llama

de entre y , y se denota

i

f integrable a b integral definida

f a b

=

por: ( ) lim ( )nb

i if x dx f c x= ∆∑∫de entre y , y se denota f a b0

1

por: ( ) lim ( )i iai

f x dx f c x∆ →

=

∆∑∫

Teorema

Si es continua en [ , ], entonces es integrable en [ , ].f a b a b

Teorema

Si es continua y no negativa en [ , ], el área de la región R, limitada f a b

Teorema

por la gráfica de , el eje , y las rectas , es:

Área ( )b

a

f x x a x b

f x dx

= =

= ∫

13

1: Usando sumas de Riemann calcula xdx∫Ejemplo

0: Usando sumas de Riemann, calcula .xdx∫Ejemplo

f es continua en [0,1], f(x)≥ 0

Consideramos una partición ∆ regular:

1, 0 ( ) , 0,..., .i

ix x i x i n∆ = = + ∆ = =

0 1 2

, ( ) , , ,

0 1

i

n

n nx x x x= < < < < =L

iTomamos ci como punto terminal derecho de cada subintervalo: .

i

ic

n=

1 1 1n n n i1

0 01 1 1

1 1 lim ( ) lim lim

1 1 1 1 1

n n n

i i in n

i i i

n

ixdx f c x c

n n n

n n

→∞ →∞∆ →= = =

= ∆ = =

+ +⎛ ⎞

∑ ∑ ∑∫

∑2 21

1 1 1 1 1 = lim = lim lim

2 2 2n n ni

n ni n

n n n→∞ →∞ →∞=

+ +⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

N C f( ) 0 [0 1] l l á b j l di h i l

14

Nota: Como f(x)≥ 0 en [0,1] este valor representa el área bajo la curva en dicho intervalo.

Nota :

Si es una función acotada en [ , ] con un número finito de puntos de

discontinuidad, entonces es integrable en [ , ].

f a b

a b

Nota :

En particular las funciones continuas a trozos son integrables.

Definición

a) Si está definida en , ( ) 0a

af x a f x dx= =∫

b) Si es integrable en [ ] ( ) ( )a b

f a b f x dx f x dx∫ ∫b) Si es integrable en [ , ], ( ) ( )b a

f a b f x dx f x dx= −∫ ∫

15

Propiedades

1.- Si es integrable en [ , ], [ , ] y [ , ], entonces :f a b a c c b y=f(x)

Propiedades

( ) ( ) ( )b c b

a a cf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

a bc

y f(x)

2.- Si , son integrables en [ , ] y , son constantes, la funciónf g a b h k, g [ , ] y , ,

es integrable en dicho intervalo.

( )( ) ( ) ( )b b b

f g

hf kg

hf kg x dx h f x dx k g x dx

±

± = ±∫ ∫ ∫

b

∫

( )( ) ( ) ( )a a a

f g f g∫ ∫ ∫

3.- Si es integrable en [ , ] y ( ) 0, ( ) 0b

af a b f x f x dx≥ ≥∫

16

4.- Si , son integrables en [ , ] y ( ) ( ) para todo [ , ], b b

f g a b f x g x x a b≤ ∈

∫ ∫ ( ) ( )a a

f x dx g x dx≤∫ ∫

5.- Si es integrable en [ , ] entonces | | también lo es, y se cumplef a b f

a) ( ) ( ) b) ( ) ( )b b b b

a a a af x dx f x dx f x dx f x dx≤ ≤∫ ∫ ∫ ∫

a⎧ ∫02 ( ) , si es par 6.- Sea integrable en [ , ], ( )

0 , si es impar

aa

a

f x dx ff a a f x dx

f−

⎧⎪− =⎨⎪⎩

∫∫

17

6.3 El teorema fundamental del Cálculo

Teorema (del valor medio para integrales)

Si es continua en [ , ] entonces existe

[ ] tal que ( ) ( )( )b

f a b

c a b f x dx f c b a∈ =∫

Teorema (del valor medio para integrales)f(c)

[ , ] tal que ( ) ( )( )a

c a b f x dx f c b a∈ = −∫a bc

Si es continua en [ , ] el valor medio de en [ , ] es

1 b

f a b f a b

∫

Definición

1 ( )

-

b

af x dx

b a ∫

f(M)f(m)

f(M)

18a b a b

Si es continua en un intervalo abierto y , entonces para todo

ifi ( ) ( )x

f I a I

dI f d f

∈

∫

Teorema fundamental del Cálculo

se verifica: ( ) ( ).a

x I f t dt f xdx

∈ =∫

a x2

2x

∫1x

∫

a x1

2

2 ( ) ( )x

aA x f t dt= ∫

1

1 ( ) ( )x

aA x f t dt= ∫

( )= ( )x

aA x f t dt∫ ( ) = ( )

dA x f x

dx⇒

19

b

∫

Regla de Barrow

Si es continua en [ , ] entonces ( ) ( ) ( ),

siendo cualquier primitiva de de .

b

af a b f x dx F b F a

F f

= −∫

Si ( ) tiene derivada continua en [ , ] y es continua en el u g x a b=Cambio de variable

( )

( )

recorrido de , entonces

( ( )) ( ) ( )b g b

a g a

g

f g x g x dx f u du=∫ ∫ ( )a g a∫ ∫

20

6.4 Área de una región entre dos curvas

Si f i [ b] l á d l ió li i d di h

6.4 Área de una región entre dos curvas

Si f es continua en [a,b] el área de la región limitada por dicha curva, el eje x y las rectas x=a y x=b es:

y=f(x) y=f(x)

a ba b a ba ba b a b

y=f(x)

( )b

aA f x dx= ∫

21

Área de una región entre dos curvas

Si f y g son continuas en [a,b] y f(x) ≥ g(x), el área de la región limitada por l áfi d di h f i l t blas gráficas de dichas funciones y las rectas x=a y x=b es:

( )( ) ( )b

A f d∫ ( ) ( ) ( )a

A f x g x dx= −∫

f(x)f(x)∆xi

g(x)a

b

f(x)

ab

g(x)

a b g(x)

g(x)

22Ancho: ∆xi

Alto: f(xi)-g(xi)RectánguloRepresentativo: ( )

01

lim ( ) ( )n

i i ii

A f x g x x∆ →

=

= − ∆∑

6.5 Cálculo volúmenes

Método de discos: giro sobre el eje x

Si y=f(x) es continua en [a b] el volumen del sólido generado al girar la regiónSi y f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas x=a y x=b, alrededor del eje x es :

( )2( )

bV f x dxπ= ∫

2

( )( )a

V f x dxπ∫

∆x

yy

f(x)( )2

( )i i iV f x xπ∆ = ∆∆xi

f(xi)

a b∆xi xx

( )2

0lim ( )

n

i iV f x xπ∆ →

= ∆∑ ( )2( )

bV f x dxπ= ∫

23

01i

∆ →=

( )( )a

f∫

Método de discos: eje de giro horizontalMétodo de discos: eje de giro horizontal

Si y=f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de f la recta y=d y las rectas x=a y x=b alrededor de lalimitada por la gráfica de f, la recta y=d y las rectas x=a y x=b, alrededor de la recta y=d es :

( )2( )

b

aV R x dxπ= ∫

f(x)

( )a∫

f(x)yyy

∆xi

d ddR(xi)= f(xi)-d

∆xi ∆xi

ab

( )2( )V R∆ ∆

ab

xxx

24

( )2( )i i iV R x xπ∆ = ∆

Método de discos: giro sobre el eje y

Si x=g(y) es continua en [c,d] el el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de g, el eje y y las rectas y=c e y=d, alrededor del eje y es :

( )2( )

d

cV g y dyπ= ∫

∆d∆y

yy

( )2( )i i iV g y yπ∆ = ∆

g(yi)

∆yi

c

∆yi

( )x g y=

xx

( )2lim ( )

n

i iV g y yπ= ∆∑ ( )2( )

dV g y dyπ= ∫

25

( )0

1

( )i ii

g y y∆ →

=∑ ( )( )

cg y y∫

Método de discos: eje de giro verticalMétodo de discos: eje de giro vertical

Si x=g(y) es continua en [c,d] el el volumen del sólido generado al girar la región limitada por la gráfica de g, recta x=a, las rectas y=c e y=d, alrededor de la recta p g g, , y y ,x=a es :

( )2( )

d

cV R y dyπ= ∫

d

yy

x=g(y)R(y )=g(y ) a

∆yi

d∆yi

R(yi)=g(yi)-ac

x=a x=axx

( )2( )i i iV R y yπ∆ = ∆

x=a x=a

26

( )

Método de arandelas: giro sobre el eje xMétodo de arandelas:

Si f(x) y g(x) son continuas en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dichas curvas y las rectas x=a y x=b alrededor del eje x es:

giro sobre el eje x

región limitada por dichas curvas, y las rectas x=a y x=b, alrededor del eje x es:

( ) ( )2 2( ) ( )

bV f x g x dxπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ ( ) ( )( ) ( )

aV f x g x dxπ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫

f( )y y

f(x)∆xi

g(x)

ab

x x

27V(sólido con agujero) = V(sólido macizo) – V(agujero)

Método de arandelas: giro sobre el eje yMétodo de arandelas: giro sobre el eje y

Si h(y) y k(y) son continuas en [c,d] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dichas curvas, y las rectas y=c e y=d, alrededor del eje y es:p , y y y , j y

( ) ( )2 2( ) ( )

d

cV h y k y dyπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ ( ) ( )

c ⎣ ⎦∫

d

yy

h(y)

∆yi

d

k(y)c

xx

28

Método de capas: giro sobre eje y

Si y=f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dicha curva, el eje x y las rectas x=a y x=b, alrededor del eje y es :

b2 ( )

b

aV xf x dxπ= ∫

y yyy

( )if x

y=f(x)

x

∆xi

xx∆xa b x

ix

01

lim 2 ( )n

i i ii

V x f x xπ∆ →

=

= ∆∑∆xi

f(xi)b

∫ 292π xi

2 ( )i i i iV x f x xπ∆ = ∆2 ( )

b

axf x dxπ= ∫

Método de capas: eje de giro vertical

Si y=f(x) es continua en [a,b] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dicha curva, el eje x y las rectas x=a y x=b, alrededor de la recta x=d es :

b

∫y=f(x)

2 ( ) ( )b

aV R x f x dxπ= ∫

y f(x)

∆xi

yy

a b da b

R(xi)=d-xi

d

2 ( ) ( )i i i iV R x f x xπ∆ = ∆

d xx

01

lim 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )n b

i i i ai

V R x f x x R x f x dxπ π∆ →

=

= ∆ =∑ ∫30

1i=

Método de capas: giro sobre un eje horizontal

Si x=h(y) es continua en [c,d] el volumen del sólido generado al girar la región limitada por dicha curva, el eje y y las rectas y=c e y=d, alrededor de la recta y=e es :

2 ( ) ( )d

cV R y h y dyπ= ∫

x=h(y)

∆d

y y

∆yi

c R(yi)=yi-e

e

x x

31

Volumen de sólidos de secciones conocidas

1.- Sección de Área A(x), perpendicular al eje x.( )i i iV A x x∆ = ∆

y

( )b

aV A x dx= ∫ ix∆

x

2.- Sección de Área A(y), perpendicular al eje y.y

( )d

cV A y dy= ∫

( )V A∆ ∆

y

∆c∫ ( )i i iV A y y∆ = ∆

x

iy∆

32

6 6 Longitud de arco ∆sy

( )2a) ( ) 1 '( )

b

ay f x s f x dx= ⇒ = +∫

6.6 Longitud de arco

∆xi

∆yi

∆siy

a∫

( ) ( )2 2s x y∆ ∆ + ∆

a bxi-1 xi

( ) ( )i i is x y∆ = ∆ + ∆

i d i bl ( ) l d lf b b

x

1 1 .

es continua en [ , ] y derivable en ( , ), por el teorema del

valor medio existe ( , ), ( ) ( ) '( )i i i i i i i

f a b a b

c x x f x f x f c x− −∈ − = ∆

( ) ( ) ( )2 2 2

. .'( ) 1 '( )i i i i i is x f c x f c x∆ = ∆ + ∆ = + ∆

[ ] ( )22

01

lim 1 '( ) 1 '( )n b

i i ai

s f c x f x dx∆ →

=

= + ∆ = +∑ ∫

33( )2

b) ( ) 1 '( )d

cx g y s g y dy= ⇒ = +∫

S fi i d l ióSuperficies de revolución

( )2b

∫ ( )2 a) giro eje : 2 ( ) 1 '( )

ax S f x f x dxπ= +∫

∆si

∆x

∆yi

a bxi-1 xi a b

34

Á gÁrea lateral del cono: gS=πrg

r

r2r1Á l t l d l t d ( )S l r rπ + 21

l

x

lr

Área lateral del tronco de cono: 1 2( )S l r rπ= +

l2 1r r

x l x=

+1

2 1

lrx

r r⇒ =

−

2 1 2 2 1( ) ( )S r l x r x r l r r x

lr

π π π π= + − = + −

12 2 1 2 1

2 1

1 2

( )

= ( )

lrr l r r r l lr

r r

l r r

π π π π

π

= + − = +−

+

35

1 2( )

S fi i d l ióSuperficies de revolución

( )2b) giro eje : 2 1 '( )

by S x f x dxπ +∫ ( ) b) giro eje : 2 1 '( )

ay S x f x dxπ= +∫

∆x

∆y∆si

a bxi-1 xi a b

36