TEMA 6 – LA SEMEJANZA Y SUS APLICACIONES

6.1 FIGURAS SEMEJANTES 4º 6.1.1 DEFINICIÓN 4º

Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma: - Los ángulos correspondientes son todos iguales. - Los segmentos correspondientes son proporcionales. La razón de

proporcionalidad se llama razón de semejanza 4º 6.1.2 FIGURAS SEMEJANTES EN LA VIDA CORRIENTE 4º • Fotografías

• Maquetas de monumentos, copias de cuadros famosos, reproducciones de coches,....

• Planos y mapas 4º 6.1.3 ESCALAS 4º Escala es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano,

maqueta) y la correspondiente longitud de la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Se denota 1:a y significa que una unidad del plano corresponde a “a” unidades de la realidad.

4º 6.1.4 RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS Y ENTRE LOS VOLÚMENES La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la

razón de semejanza. La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. Por tanto, si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k2 y la razón entre sus volúmenes k3.

6.2 RECTÁNGULOS DE PROPORCIONES INTERESANTES 4º 6.2.1 UNA HOJA DE PAPEL A-4 Las hojas de papel que utilizamos habitualmente (A-4) tienen una curiosa

propiedad: si la partimos por la mitad, cada uno de los dos trozos es semejante a la hoja inicial.

4º 6.2.2 RECTÁNGULO ÁUREO Si en el rectángulo áureo suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda es

semejante al inicial.

6.3 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 4º 6.3.1 INTRODUCCIÓN 4º Sirve para averiguar si dos figuras son semejantes, porque cualquier figura se

puede descomponer en triángulos (si la figura tiene lados curvos, la descomposición será sólo aproximada).

4º 6.3.2 TEOREMA DE THALES 4º Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los

segmentos que determinan en ellas son proporcionales:

'C'B

'B'A

BC

AB =

4º También ocurre el recíproco: si los segmentos AB y BC son proporcionales a

A’B’ y B’C’ , y las rectas a y b son paralelas, entonces, la recta c es paralela a ellas.

4º 6.3.3 TRIÁNGULOS SEMEJANTES 4º Dos tr iángulos semejantes tienen:

• Sus lados proporcionales: c

c=

b

b=

a

a = r = razón de semejanza

• Sus ángulos, respectivamente iguales: Â = Â’ ; B = B’ ; C = C’ 4º 6.3.4 TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES 4º Los triángulos están en posición de Thales si :

• Tienen un ángulo común • Los lados opuestos al ángulo común son paralelos Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande. Dos triángulos en posición de Thales son semejantes.

4º 6.3.5 CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Se llama cr iter io de semejanza de dos triángulos a un conjunto de condiciones

tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes:

4º PRIMER CRITERIO : Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de

ángulos respectivamente iguales:  = ´, B = B´ (C = C´)

A B

a

A´ B´ C´

C

b c

r

s

4º SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si sus lados son

proporcionales: c

c=

b

b=

a

a

4º TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual

y los lados que lo forman son proporcionales. A = A´ c

c=

b

b

6.4 LA SEMEJANZA DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 4º 6.4.1 CRITERIO DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 4º Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen igual uno de sus ángulos

agudos. 4º 6.4.2 CONSECUENCIAS DEL CRITERIO DE SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 4º Todos los triángulos obtenidos al trazar perpendiculares a algunos de los lados

de un triángulo son semejantes. 4º En un triángulo, la altura sobre la hipotenusa determina dos triángulos

semejantes al original. 4º 6.4.3 TEOREMA DEL CATETO 4º El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección

de dicho cateto sobre la hipotenusa b2 = a.m c2 = a.n

4º 6.4.4 ALTURA 4º El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos

segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa. h2 = m.n

6.5 HOMOTECIA Y SEMEJANZA 4º 6.5.1 DEFINICIÓN DE HOMOTECIA 4º La homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón

de semejanza es igual a la razón de homotecia. Si dos figuras son homóticas, sus segmentos correspondientes son paralelos.

b

m

a

c

n

h

n m

TEMA 6 – SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS ESCALAS EJERCICIO 1 : En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala está hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad? Solución

Calculamos la escala: Altura en la foto de María 2,5 1Escala

Altura real de María 167,5 67 La escala es 1:67.

Calculamos la altura real de Fernando: Altura real 67 · 2,7 180,9 cm

EJERCICIO 2 : Una empresa de construcción ha realizado la maqueta a escala 1:90 de un nuevo edificio de telefonía móvil, con forma de pirámide cuadrangular. En la maqueta, la altura de la pirámide es de 5,3 dm y el lado de la planta es de 2,4 dm. Calcula el volumen real del edificio expresando en metros cúbicos el resultado. Solución:

1El volumen de una pirámide es Área de la base Altura.3

Calculamos la altura en la realidad: Altura real 5,3 · 90 477 dm Calculamos el área de la base en la realidad, aplicando que la razón entre las áreas de dos figuras

semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza: 2 2Maqueta 2,4 5,76 dmÁrea de la base

Real A

Razón de semejanza 90 2 2 2Luego: 90 90 5,76 46656 dm5,76

A A

Finalmente, sustituyendo en la fórmula del volumen, se obtiene:

3 3REAL

1 46656 477 7418304 dm 7418,304 m3

V

EJERCICIO 3 : Lorena presenta este plano de su cocina junto con el tendedero a una empresa de reformas. ¿De qué superficie dispondrá si decide unir la cocina y el tendedero?

Solución: Medimos en el plano las dimensiones correspondientes:

Largo 7,4 cm Largo 3,5 cmCocina Tendedero

Ancho 3,4 cm Ancho 1,3 cm

Calculamos las dimensiones reales sabiendo que el plano está realizado a escala 1:50:

Largo 7,4 50 370 cm 3,7 mCocina Área 3,7 1,7 6,29 m

Ancho 3,4 50 170 cm 1,7 m

2Largo 3,5 50 175 cm 1,75 m

Tendedero Área 1,75 0,65 1,14 mAncho 1,3 50 65 cm 0,65 m

Área total disponible 6,29 1,14 7,43 m2

EJERCICIO 4 : Se quiere enmarcar una fotografía de dimensiones 6 cm 11 cm. Calcula las dimensiones del marco para que la razón entre el área del marco y el área de la fotografía sea 25/16. Solución

2

Llamamos área del marco 25 por ser la fotografía y el marco 66 16 Área fotografía 66 cm

semejante

x x

25s, y la razón entre sus áreas, .16

25 25 5De la igualdad se deduce que la razón de semejanza es .

66 16 16 4x

Dimensiones del marco: 5 30 5 556 7,5 cm 11 13,75 cm.4 4 4 4

EJERCICIO 5 : En un mapa, de escala 1:250 000, la distancia entre dos pueblos es de 1,3 cm. a ¿Cuál es la distancia real entre ambos pueblos? b ¿Cuál sería la distancia en ese mapa, entre otros dos pueblos que en la realidad distan 15 km? Solución

Distancia mapaa) Distancia real 1,3 250000 325000 cm 3,25 km

Escala

En la realidad están separados 3,25 km.

1500000b) Distancia mapa Escala Distancia real 6 cm250000

En el mapa, los dos pueblos están separados 6 cm. EJERCICIO 6 : Marcos ha realizado este plano de su habitación a escala 1:50. Calcula el área de la habitación y las dimensiones de la cama. Solución

Dimensiones en el plano de la habitación:

Largo 6,5 cm Ancho 6,3 cm Dimensiones reales de la habitación: Largo 6,5 · 50 325 cm 3,25 m Ancho 6,3 · 50 315 cm 3,15 m Área de la habitación 3,25 · 3,15 10,24 m2

Dimensiones en el plano de la cama: Largo 3,8 cm Ancho 2,7 cm En la realidad, las dimensiones de la cama serán: Largo 3,8 · 50 190 cm 1,9 m Ancho 2,7 · 50 135 cm 1,35 m

EJERCICIO 7 : En un mapa, dos poblaciones aparecen separadas 7,5 cm. ¿Cuál será la escala de ese mapa si la distancia real entre ambas poblaciones es de 153 km? En ese mismo mapa, ¿cuál sería la distancia real entre dos poblaciones que distan 12,25 cm? Solución

En este mapa, 7,5 cm representan 153 km reales. 7,5 cm 153 km 15 300 000 cm Distancia mapa 7,5 1EscalaDistancia real 15300000 2040000

La escala es 1:2 040 000.

Si en el mapa hay dos poblaciones que distan 12,25 cm, la distancia real será: 12,25 · 2 040 000 24 990 000 cm 249,9 km PROBLEMAS EJERCICIO 8 : Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 116 cm del borde, desde una altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina? Solución: Hacemos un dibujo que refleje la situación:

x profundidad de la piscina Los triángulos ABC y CDE son semejantes (sus ángulos son iguales).

Luego: 2,3 2,3 1,74 3,45 m1,16 1,74 1,16

x x La profundidad de la piscina es de 3,45 m.

EJERCICIO 9 : Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la proyección de un lado sobre el lado mayor hipotenusa miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente. Calcula el perímetro del parterre. Solución: Dibujamos un triángulo rectángulo y ponemos los datos en él:

Hemos de calcular x, y, z. Por el teorema de la altura, calculamos x: 15,32 8,1 · x 234,09 8,1 · x x 28,9 m Calculamos y, z usando el teorema del cateto:

2 2 2

2 2 2

8,1 28,9 8,1 8,1 37 299,728,9 28,9 8,1 28,9 37 1069,3

z z zy y y

Luego: z 17,31 m, y 32,7 m Así, el perímetro del parterre será: 17,31 32,7 37 87,01 m

EJERCICIO 10 : Calcula la altura de una casa sabiendo que en un determinado momento del día proyecta una sombra de 3,5 m y una persona que mide 1,87 m tiene, en ese mismo instante, una sombra de 85 cm. Solución La casa y la persona forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos.

x altura de la casa

Por la semejanza de triángulos, se tiene:

3,5 3,5 1,87 7,7 m es la altura de la casa.1,87 0,85 0,85

x x

EJERCICIO 11 : Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que está en el portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué distancia está Cristina del quiosco?

Solución Según el dibujo, las visuales desde donde está Cristina a las farmacias forman un ángulo de 90. Pongamos los datos en el triángulo:

Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:

2 2

2 2

18,05 21,25 383,56 19,58 m3,2 21,25 68 y 8,25 m

x x xy y

Cristina está más cerca de la farmacia 2. Calculamos h usando el teorema de la altura:h2 18,05 · 3,2 h2 57,76 h 7,6 m

Cristina está a 7,6 m del quiosco.

EJERCICIO 12 : En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente. Calcula las dimensiones del rectángulo. Solución Hacemos un dibujo que represente la situación:

Los triángulos ABC y CDE son semejantes (están en posición de Tales).

5 7Luego 7 5 7 2 7 35 10 17 35 2,06 cm7 2

a a a a a aa a

Las dimensiones del rectángulo son, aproximadamente, 2,06 y 4,12 cm. EJERCICIO 13 : Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:

a ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo? b ¿Qué distancia separa ambas casas? Solución

Necesitamos calcular x e y: Para calcular x lo más rápido es calcular el valor de la hipotenusa, que llamaremos z, aplicando el

teorema del cateto: 7,52 4,5 · z 56,25 4,5 · z z 12,5 km Así, la distancia entre ambas casas es de 12,5 km.

Calculamos y aplicando, de nuevo, el teorema del cateto: 2 2 2 212,5 4,5 12,5 8 12,5 100 10 kmy x z y y y y

Entre la casa de Víctor y el polideportivo hay 10 km. EJERCICIO 14 : El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A. . Calcula la longitud del circuito sabiendo que 5 km y la distancia de al albergueAC B es de 2,4 km.

Solución

El objetivo es calcular y .AB BC

Empezamos por calcular x aplicando el teorema de la altura: 2,42 x · 5 x 5,76 5x x2

x2 5x 5,76 0 3,2

5 25 23,04 5 1,96 5 1,42 2 1

1,8x

Si 3,2 5 5 3,2 1,8Si 1,8 5 5 1,8 3,2

x xx x

Tenemos pues, según el dibujo, que x 1,8 km y 5 x 3,2 km.

Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:2 2

2 2

1,8 5 9 3km3,2 5 16 4km

y y yz z z

La longitud del circuito será 3 4 5 12 km.

EJERCICIO 15 : Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90). Solución Hacemos una representación del problema:

Aplicando el teorema del cateto, calculamos x e y: 2 2

2 2

6,1 2,5 15,25 3,91km6,1 3,6 21,96 4,69 km

x x xy y y

El barco se encuentra a 3,91 km de un muelle y a 4,69 km del otro. Calculamos la distancia del barco a la playa, aplicando el teorema de la altura: h2 2,5 · 3,6

h2 9 h 3 km La distancia del barco a al playa es de 3 km

EJERCICIO 16 : Dos caminos paralelos se unen entre sí por dos puentes, que a su vez se cortan en el punto O. Teniendo en cuenta las medidas de la figura, calcula la longitud de los dos puentes.

Solución La longitud de un puente será x 10,2; la del otro, y 6,5; por tanto, el objetivo está en calcular el valor de x e y. Los triángulos que se forman son semejantes (sus tres ángulos son iguales) y son:

Se cumple, pues, la proporcionalidad entre lados respectivos:

15,9 10,2 10,6 10,2 6,8 m10,6 15,9

15,9 15,9 6,5 9,75 m10,6 6,5 10,6

xx

y y

Las longitudes de los puentes son: 6,8 10,2 17 m y 9,75 6,5 16,25 m. EJERCICIO 17 : Entre Sergio, de 152 cm de altura, y un árbol, hay un pequeño charco en el que se refleja su copa. Calcula la altura de dicho árbol sabiendo que las distancias que separan a Sergio del lugar de reflejo en el charco y del árbol son de 3,2 m y 10,7 m, respectivamente. Solución Hacemos una representación del problema llamando x a la altura del árbol:

Los dos triángulos rectángulos que se obtienen son semejantes (sus ángulos son iguales),

Luego: 7,5 3,56 Por tanto, la altura del árbol es de 3,56 m.

1,52 3,2x x

EJERCICIO 18 : Una torre mide 100 m de altura. En un determinado momento del día, una vara vertical de 40 cm arroja una sombra de 60 cm. ¿Cuánto medirá la sombra proyectada en ese instante por la torre? Solución La torre y la vara forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes por ser los rayos del sol, en cada momento, paralelos.

Por la semejanza de triángulos se obtiene:

100 100 0,6 150 Por tanto, la sombra de la torre mide 150 m.0,4 0,6 0,4

x x

EJERCICIO 19 : Para medir la altura de una montaña, Pedro, de 182 cm de altura, se sitúa a 2,3 m de un árbol de 3,32 m situado entre él y la montaña de forma que su copa, la cima de dicha montaña y los ojos de Pedro se encuentran en línea. Sabiendo que Pedro se encuentra a 138 m del pie de la montaña, calcula la altura de la montaña. Solución Hacemos una representación del problema:

En la figura tenemos dos triángulos semejantes.

138 1,5 138Luego: 901,5 2,3 2,3x x

La altura de la montaña será: x 1,82 90 1,82 91,82 m EJERCICIO 20 : Calcula la altura de un edificio que proyecta una sombra de 47 m en el mismo momento que la sombra de Alberto, de altura 1,80 m, mide 3 m. Solución Alberto y el edificio forman con su sombra un triángulo rectángulo; ambos triángulos son semejantes pues los rayos del sol, en cada momento, son paralelos.

47 1,8 47Por la semejanza de triángulos se tiene: 28,2

1,8 3 3x x

El edificio mide 28,2 m de altura.

EJERCICIO 21 : Se quiere enterrar un cable por el exterior de un terreno triangular de vértices A, B, C, . .rectángulo en Se sabe que 35,36 m y la altura sobre es 15,6 cm.B AC AC Calcula la cantidad de cable que se necesita y cuánto costará, sabiendo que el precio es de 0,3 €/m. Solución

El objetivo es calcular x e y; calculamos previamente a y b, usando el teorema de la altura:

2

2 2 215,6 15,6 35,36 243,36 35,36 35,36 243,36 035,36

a b a a a a a ab a

26 9,3635,36 276,8896 35,36 16,64

2 29,36 26

ba

b

Observando el dibujo, tomamos a 9,36 m y b 26 m. Calculamos x e y aplicando el teorema del cateto:

2 2 2

2 2 2

35,36 9,36 35,36 330,969635,36 26 35,36 919,36

x a x xy b y y

Luego, x 18,19 m e y 30,32 m.

La cantidad de cable que se necesita coincidirá con el perímetro del triángulo: 18,19 30,32 35,36 83,87 m Y su coste será 83,87 · 0,3 25,16 € EJERCICIO 22 : Calcula el perímetro y el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la altura y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa son de 2 cm y 2,5 cm, respectivamente. Solución:

Necesitamos calcular el valor de x, y, z. Calculamos x aplicando el teorema de la altura:22 x · 2,5 4 x · 2,5 x 1,6 cm Calculamos y y z aplicando el teorema del cateto:

2 2 2

2 2 2

1,6 1,6 2,5 1,6 4,1 6,562,5 1,6 2,5 2,5 4,1 10,25

y y yz z z

Luego, y 2,56 cm y z 3,2 cm.

Por tanto: Perímetro 2,56 3,2 4,1 9,86 cm 24,1 2Área 4,1 cm2

AREAS Y VOLÚMENES EJERCICIO 23 : Un arquitecto ha hecho una maqueta a escala 1:100 de un edificio destinado a oficinas, con forma de cubo cuya arista mide 70 m. Calcula la superficie de la planta y el volumen que el edificio tendrá en la maqueta. Solución Calculamos la longitud, L; de la arista en la maqueta:

700070 m 7000 cm longitud Longitud real escala 70 cm100

L

Luego: Area de la planta 70 · 70 4 900 cm2 0,49 m2 Volumen del edificio 703 343 000 cm3 0,343 m3

EJERCICIO 24 : Los lados de dos pentágonos regulares miden 7 cm y 5 cm, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo calcula la razón de semejanza entre sus áreas. Solución Sí son semejantes. Por ser pentágonos regulares, todos sus lados y sus ángulos medirán lo

7mismo, luego la razón de semejanza será siempre la misma, .5

La razón de semejanza entre sus áreas será igual al cuadrado de la razón de semejanza, 27 49es decir, será .

5 25

EJERCICIO 25 : Un rectángulo tiene dimensiones 3 cm 6 cm. Calcula el área y las dimensiones de

otro 9rectángulo semejante a él, sabiendo que la razón entre sus áreas es de .4

Solución

22Área del rectángulo conocido 3 6 18 cm 9 18 9 40,5 cm

18 4 4Área del rectángulo que nos pidenx x

x

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Por

tanto: 9 3Razón de semejanza 4 2

Luego las dimensiones del rectángulo que nos piden son: 3 9 3 183 4,5 cm 6 9 cm2 2 2 2

CUESTIONES EJERCICIO 26 : ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? Razona la respuesta: a Dos triángulos equiláteros son siempre semejantes. b

Los triángulos AOC A’OB’ y A’’OB’’ no son semejantes. c El valor de x es de 4 cm.

Solución a Verdadero. En un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales, 60. b) Falso. Los tres triángulos tienen dos ángulos iguales, el de 90° y el ángulo , luego son O semejantes. c Verdadero. Los dos triángulos que se forman están en posición de Tales, luego:

2 2 3 4 cm1,5 3 1,5

x x

EJERCICIO 27 : Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones: a En dos triángulos semejantes, la razón de dos alturas correspondientes es igual a la razón de

semejanza. b ABC es semejante a CDE.

c En dos triángulos isósceles, el ángulo que forman sus dos lados iguales coincide (70), pero los triángulos no son semejantes.

Solución a Verdadero. Dibujamos dos triángulos y trazamos la misma altura en ambos:

ABC y ABC son semejantes A A. ABD y ABD serán semejantes por tener dos ángulos iguales, que son A y D 90.

Luego, sus lados han de ser proporcionales. Así: razón de semejanzaBD ABB D A B

Luego la razón entre dos alturas correspondientes será igual a la razón de semejanza. b Falso. Sus lados no son proporcionales.

15 10 93 2 2

A simple vista se ve que uno es isósceles y otro no.

c Falso. En ambos triángulos los ángulos van a coincidir.

180 70110 110 55

2

En ambos triángulos, los ángulos son de 70, 55 y 55.

EJERCICIO 28 : Explica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a Dos triángulos rectángulos isósceles son siempre semejantes. b Si unimos los puntos medios de un cuadrado obtenemos otro cuadrado que no es semejante al

anterior. c

Los triángulos ABC y CDE son semejantes.

Solución a Verdadero. Por ser rectángulo, un ángulo será de 90. Luego, 90. Por ser isósceles, , es

decir, 45.

Todos los triángulos rectángulos isósceles serán semejantes, por tener los ángulos respectivos iguales: 90, 45 y 45.

b

Falso. La razón de semejanza entre los lados de dos cuadrados es siempre la misma,

, según la figura.ab

c Verdadero. Los tres ángulos son iguales en ambos: 180 115 21 44 Los ángulos son pues de 115, 21 y 44.

EJERCICIO 29 : Razona las siguientes afirmaciones, indicando si son ciertas o no. a Dos triángulos rectángulos son siempre semejantes. b Los triángulos ABC y ABD están en posición de Tales.

c Los triángulos ABC y A’B’D’ con C = C’, AC = 6 cm, BC = 8 cm, A’B’ = 9 cm y

B’C’ = 12 cm son semejantes. Solución a Falso. Tendrían el ángulo recto igual, pero necesitaríamos que los catetos fueran proporcionales entre

ambos triángulos, o bien que uno de los ángulos agudos coincidiera en los dos triángulos. b Falso. Tienen un ángulo en común, pero los lados opuestos a este ángulo no son paralelos. c

9 12 1,56 8 Verdadero. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman esos lados es igual.

EJERCICIO 30 : Indica, explicando el motivo, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a El triángulo de lados 3, 5 y 7 cm es semejante a otro de lados 7,5; 12,5 y 16,8 cm. b El triángulo ABD es semejante al triángulo ABC.

c Dos antenas verticales y paralelas forman con sus sombras dos triángulos que están en posición

de Tales se suponen antenas de distintas alturas. Solución

a Falso. Los lados no son proporcionales: 7,5 12,5 16,83 5 7

b Verdadero. Colocamos los dos triángulos rectángulos por separado:

34,56 14,4 2,414,4 6

Son semejantes porque tienen un ángulo igual el de 90 y los lados de ese ángulo son proporcionales. c Verdadero. Hagamos un dibujo que represente la situación:

Se forman dos triángulos rectángulos, con un ángulo común y los lados opuestos a éste ángulo son paralelos. Por tanto, están en posición de Tales.

EJERCICIOS – TEMA 6 – SEMEJANZAS EJERCICIO 1 : ¿Qué altura alcanza sobre una pared una escalera de 4,5 m de larga que se apoya en el suelo a una distancia de 230 cm de la pared? EJERCICIO 2 : Un globo cautivo se sujeta al suelo con un cable de 100 m de largo. Si el viento lo ha alejado 60 m de la vertical sobre el amarre, ¿A qué altura se encuentra el globo? EJERCICIO 3 : Dos centímetros de un mapa equivalen a medio kilómetro sobre el terreno. a) ¿Cuál es la escala del mapa? b) Dos puntos del mapa distan en la realidad 35 Km. ¿Qué distancia los separará en el mapa? EJERCICIO 4 : En un triángulo rectángulo las medidas de los lados son 3, 4 y 5 cm respectivamente. ¿Cuál debe ser el perímetro de un triángulo mayor semejante al anterior cuya razón de semejanza es 3? EJERCICIO 5 : Si quieres dibujar a escala el mecanismo de un reloj de pulsera, ¿qué escala debes utilizar 20:1 o 1:100? Razona la respuesta. EJERCICIO 6 : Si tienes dos mapas de carreteras a las escalas 1:25.000 y 1:10.000 ¿en cuál de los dos se apreciarán más detalles? Razona la respuesta. EJERCICIO 7 : Halla la altura de un edificio que proyecta una sombra de 35 m cuando el ángulo de inclinación de los rayos del Sol es de 45º. EJERCICIO 8 : Una maqueta de un vagón de tren está hecha a escala 1:180. Si mide 7 cm de largo, 2 cm de ancho y 2,5 cm de alto. ¿Cuál es el volumen del vagón en la realidad? EJERCICIO 9 : Halla la altura de la torreta eléctrica en la figura: EJERCICIO 10 : Dos pentágonos semejantes tienen áreas de 7 y 49 cm2 respectivamente. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados? EJERCICIO 11 : El volumen de dos cubos es de 1 y 1.000 cm3 respectivamente. Calcula la razón de semejanza y la arista de cada uno de ellos. EJERCICIO 12 : El perímetro de una figura es de 43 cm. Si dibujamos otra semejante 5 veces mayor. ¿Cuál es su perímetro?. EJERCICIO 13 : En un plano a escala 1:500 dos puntos están separados 7 cm. Calcula la distancia que los separa en la realidad.

20 m 3 m

1,5 m

EJERCICIO 14 : En un mapa de carreteras de la provincia de Toledo, la distancia entre Toledo capital y Torrijos es de 12 cm. Teniendo en cuenta que la carretera es casi una línea recta y que se puede circular a 100 Km/h, ¿Cuánto se tardaría en ir de una ciudad a la otra? La escala es 1:200.000 EJERCICIO 15 : Eva quiere hacer un plano de su vivienda, que tiene una planta rectangular de 10 m de ancha por 15 m de larga. Para ello dispone de una cartulina de 30 cm por 20 cm. ¿Cuál sería la escala más adecuada para dibujar su plano? EJERCICIO 16 : Los alumnos de 4º de ESO se han ido de viaje de fin de estudios a Egipto. En una de las excursiones les surge el problema de calcular la altura de un obelisco. Miguel que mide 1,7 m proyecta una sombra de 3 m y el obelisco, en ese mismo instante proyecta una sombra de 18 m. ¿Cuál es su altura? EJERCICIO 17 : Un rectángulo mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho. ¿Cuál es el perímetro y el área de otro semejante cuyos lados miden el triple? EJERCICIO 18 : En el álbum de fotografías hay una en la que estás tú con tu amigo de primaria. En ese tiempo tu altura era de 1 m y en la fotografía, tu altura es de 7 cm y la de tu amigo de 6 cm. ¿Cuál era su altura en aquel tiempo? EJERCICIO 19 : Dos botellas de agua son semejantes y una es el doble que la otra. Si el volumen de la pequeña es de 0,5 dm3, ¿Cuál es el volumen de la grande? EJERCICIO 20 : Las medidas de un edificio en un dibujo a escala 1:50 son 20 cm de ancho por 15 cm de largo por 12 cm de altura. Queremos hacer una maqueta a una escala de 1:200. ¿Qué medidas tendrá el edificio en la realidad? ¿Y en la maqueta? EJERCICIO 21 : Un cubo tiene de área 25 cm2. Calcula su área si la arista aumenta el doble. EJERCICIO 22 : Un cubo de arista 1 dm tiene de volumen 1 litro. ¿Qué volumen tendrá un cubo de 2 dm de arista? EJERCICIO 23 :Verdadero o falso: a) Los dos triángulos isósceles son semejantes b) Los dos triángulos rectángulos son Semejantes. c) El ángulo  mide 50º d) El valor de x es 9 2,5 cm

2 Â 3 5 cm 3 cm

10 x

12

50º

80º

50º

40º

50º

EJERCICIO 24 : Verdadero o falso a) Dos triángulos equiláteros no son semejantes b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera son semejantes c) Un triángulo T con ángulos 80º y 90º es semejante a un triángulo T’ con ángulos 100º y 70º d) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes. e) Un triángulo rectángulo con un ángulo de 30º es semejante a otro triángulo rectángulo con un

ángulo de 60º. EJERCICIO 25 : Calcula el valor de x, en el caso que puedas 20 m

x 10 m 8 m 15 m 6 m 19 m x EJERCICIO 26 : Explica por qué no hay un triángulo de lados enteros, y más pequeño, semejante a otro de lados 25, 10 y 8. EJERCICIO 27 : Di, con los datos que se indican, en qué casos son semejantes los triángulos ABC y MNP a) A = 53º B= 72º M = 72º N = 55º b) a = 10 b = 12 c = 14 m = 25 n = 35 p = 20 c) A = 51º C= 37º P = 62º N = 26º d) a = 24 b= 18 c = 12 m = 28 n = 14 p = 21 EJERCICIO 28 : La base de un triángulo isósceles mide 10 cm y los lados iguales miden 13 cm. Halla los lados de un triángulo semejante cuya base mida 14 cm. EJERCICIO 29 : Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes y la razón de semejanza entre el segundo y el primero es de 4/3. Sabiendo que a = 18, b = 21 y c = 15, calcula los lados de A’B’C’. EJERCICIO 30 : Dados los triángulos A’ A 14,7 cm 7 cm 6,3 cm 3 cm

C H B C’ H’ B’ 9 cm 21 cm

a) Comprueba que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes b) ¿Son semejantes los dos triángulos rectángulos AHB y A’H’B’? c) Comprueba que la razón de los perímetros es igual a la razón de semejanza EJERCICIO 31 : Los lados de un triángulo T miden 10 cm, 14 cm y 12 cm. Otro triángulo T’ es semejante a éste y la razón de semejanza entre T’ y T es 7/2, ¿Cuánto mide el perímetro de T’? ¿Puedes calcularlo sin hallar sus lados? EJERCICIO 32 : Un hoja de papel tiene unas dimensiones de 420 x 297 milímetros. Si la doblas por la mitas obtienes dos rectángulos. Comprueba que no son semejantes al folio inicial, pero por muy poco.

EJERCICIO 33 : Las dimensiones de los negativos de una máquina fotográfica son 17 x 13 mm. a) Si una foto de esa máquina tiene 15 cm de ancho, ¿Cuánto mide de largo? b) ¿Puede obtenerse de esa máquina una foto de 30 x 16 cm? EJERCICIO 34 : Comprueba que los dos rectángulos son semejantes. ¿Cuánto mide AB D C 15 21

18 A B EJERCICIO 35 : La base y la altura de un triángulo miden, 6 y 12 cm respectivamente. Un triángulo semejante a éste tiene un área 16 veces mayor. Calcula la base y la altura homólogas. EJERCICIO 36 : En los muelles del Sena, en París, venden reproducciones de la Torre Eiffel que pesan 1,5 Kg y están elaboradas con el mismo material que la auténtica. Un folleto turístico indica que la Torre tiene 321 m de altura y pesa 7 millones de kilos. ¿Cuánto medirá la altura de la reproducción? EJERCICIO 37 : Indica, en cada caso, si tienen la misma forma las cajas de cartón cuyas medidas son: a) 10 x 12 x 14 y 25 x 30 x 35 b) 26 x 18 x 12 y 10 x 22 x 15 EJERCICIO 38 : Una lata cilíndrica de fabada, que se anuncia para dos raciones, tiene un radio de 5 cm y una altura de 15 cm. Otra lata de tamaño familiar, semejante a la anterior se anuncia para 6 personas. ¿Qué volumen y qué dimensiones deberá tener? ¿Qué relación existe entre las superficies de hojalata de una y otra lata? EJERCICIO 39 : Un tetraedro regular tiene una arista de 3 cm. ¿Qué arista y que superficie tiene otro tetraedro que tenga un volumen 8 veces mayor?