Tema 6: Respuesta frecuencial de sistemas lineales · 2018. 8. 3. · 32 Interpretación...
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Tema 6: Respuesta frecuencialde sistemas lineales
Teoría de SistemasY Control Automático
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2
Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
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Introducciónn Objetivo:
n Herramienta de análisis de sistemas (Análisis frecuencial)¨ Desarrollo en series y transformada de Fourier
n Señal de entrada muy frecuente en ingeniería¨ Sistemas eléctricos
n Régimen senoidal permanenten Transitoriosn Efectos de variaciones de cargan Armónicos en red
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Introducción¨ Sistemas mecánicos
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5
Introducción
n Sistemas electrónicos¨ Filtros
Filtro π
Filtro Butterworth
ConversorAC/DCBuck-boost
Oscilador en puente de Wien
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6
Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
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7
Respuesta frecuencial de sistemas linealesn Salida en régimen permanente ante una entrada sinusoidal
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8
Respuesta frecuencial de sistemas lineales
n Antitransformando
n Asumiendo que el sistema alcanza un régimen permanente
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9
Respuesta frecuencial de sistemas linealesn Calculando los coeficientes se tiene
de donde se deduce que
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Respuesta frecuencial de sistemas linealesn Sustituyendo se llega a
n De donde se obtiene que
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Respuesta temporal
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Ejemplo
n Sistema de primer orden
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Ejemplon Aborsor de vibraciones
¨ Balance al cuerpo de masa Mc
¨ Balance al cuerpo de masa Ma
xa(t)
Ka
K B
Mc
Ma
xc(t)
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Ejemplo
n Para una vibración de frecuencia
n El cuerpo auxiliar haceque para una cierta frecuenciael otro cuerpo no vibre.
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Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
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Transformación de Fouriern Sea una señal periódica de período T, entonces se puede
descomponer en suma de señales sinusoidales (armónicos)
siendo
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Ejemplo 1
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
n Señal en escalón unitario
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Ejemplo 2n Señal en rampa de pendiente 1
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
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Ejemplo 3n Señal impulsional de amplitud 1
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html
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Interpretación frecuencial de la respuesta de sistemas lineales
n Sea un sistema lineal excitado con una entrada periódica
n La respuesta será
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Ejemplon Respuesta en escalón de período 20 de un sistema de
primer orden
1 3 5 7 9 11 13 15 17 190
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cu
|G(j wi)|
cy
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22
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 1
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23
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 2
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24
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 3
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25
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 4
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26
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 5
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27
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 6
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28
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 7
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29
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 8
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30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 9
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31
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Salida hasta el armónico 10
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32
Interpretación frecuencial de la respuesta de sistemas lineales
n Se observa que los armónicos de las señales decaen con el orden del armónico.¨ Armónicos muy atenuados aportan poco a la
señal¨ Se puede definir una frecuencia a partir de la
cual los armónicos aportan poco a la señal.¨ Esta frecuencia se denomina ancho de banda¨ Es una medida de la rapidez de la señal
n Los sistemas dinámicos tienden a atenuar las altas frecuencias (armónicos de alto orden)¨ Se puede definir un ancho de banda como
una medida de su rapidez
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cu
|G(j wi)|
cy
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33
Transformada de Fouriern En el caso en que las señales no sean periódicas (T→∞)
la descomposición en serie se convierte en
¨ Relación con la transformada de Laplace
¨ Infinitos armónicos (definidos para toda frecuencia)
¨ Ancho de banda: rango de frecuencias de armónicossignificativos
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia w (rad/s)
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Índice
n Introducciónn Respuesta de un sistema lineal a señales
sinusoidalesn Transformación de Fouriern Representación gráfica de la respuesta
frecuencial¨ Diagrama de Nyquist¨ Diagrama de Bode
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35
Representaciones gráficas
n Objetivo: representar gráficamente¨ Diagrama de Bode:
2 Gráficas escalares en escala semilogarítmica
n Módulo
n Argumento
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Magn
itude
(dB)
10-2 10-1 100 101 102 103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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36
Representaciones gráficas
n Objetivo: representar gráficamente¨ Diagrama de Nyquist
n Representación en polaresn Cada punto es un valor de G(jw) para cierta frecuencia wn Curva parametrizada
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
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Diagrama de Bode
n Expresar el sistema en Forma de Bode
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Diagrama de Boden Cálculo de G(jw)
n Cálculo del módulo
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39
Diagrama de Bode
n Cálculo del argumento
Propiedad Aditiva:El Bode se calcula sumando el diagrama de cada
uno de sus factores
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40
Bode de la Ganancia
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41
Bode de un Cero de fase mínima
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42
Bode de un Cero de fase no mínima
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Bode de un integrador
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Bode de un derivador
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Bode de un polo estable
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46
Bode de un polo inestable
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47
Bode de un Polo Complejo
• Depende de d• El módulo presenta un máximo para d≤0.707
Pico de Resonancia
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48
Bode de un Polo Complejo
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49
Ejemplo 1
10-2 110-3 10 102 rad/s10-1
20
-20
m1
m2
G(jω)
0s
s5.21
10)G(+
=
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50
Ejemplo 1
0º
- 90ºf2
f1
G(jω)
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51
Ejemplo 1
0º
- 90ºf2
f1
G(jω)
0º
- 90ºf2
f1
G(jω)G(jω)
10-2 110-3 10 102 rad/s10-1
20
-20
m1
m2
G(jω)
0
10-2 110-3 10 102 rad/s10-110-2 110-3 10 102 rad/s10-1
20
-20
m1
m2
G(jω)G(jω)
0
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52
Ejemplo 2
m1m3
G(jω)
0
m2
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
)10(1)G(ss
s+
=
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53
Ejemplo 2
0º
-90º
f3
f1
G(jω)
f2
-180º
10-2 1 10 103 rad/s
10-1 102
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54
Ejemplo 3
m1m3
G(jω)
200
-20
m2
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
m4
)100()1()G(
++
=ssss
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55
Ejemplo 3
0º
-90º f2
f1
G(jω)
10-2 1 10 103 rad/s10-1 102
90º
f3
f4
0º
-90º f2
f1
G(jω)G(jω)
10-2 1 10 103 rad/s10-1 10210-2 1 10 103 rad/s10-1 102
90º
f3
f4
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56
Ejemplo 4:
10-2 10-1 100 101 102 103-180-160-140-120-100-80-60-40-20
020
módulo asintótico de G(w*j)
10-2 10-1 100 101 102 103-270
-225
-180
-135
-90Fase de G(w*j)
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57
Ejemplo 5:
10-1 100 101 102 103-80
-60
-40
-20
0
20módulo asintótico de G(w*j)
10-1 100 101 102 103-180
-135
-90
-45
0Fase de G(w*j)
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58
Trazado de Diagrama de Nyquist
n Trazado aproximado a partir del D. Bode¨ Valores a frecuencias bajas.¨ Tendencia a frecuencias altas.¨ Puntos de corte con ejes coordenados.
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102 103
-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.06
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01