Tema 8 mate 3º

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X.MANUEL BESTEIRO ALONSO

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  • X.MANUEL BESTEIRO ALONSO

  • Recuerda (I)Dos ngulos son complementarios si suman un ngulo recto, es decir, 90.Dos ngulos son suplementarios si suman dos ngulos rectos, es decir, 180.

  • Recuerda: igualdad de ngulosSon iguales: Los ngulos de lados paralelos Los ngulos opuestos por el vrtice Los ngulos de lados perpendiculares

  • Suma de los ngulos interiores de un tringuloLa suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180.Sea traza por A una paralela a la base.

  • Suma de los ngulos interiores de un polgonoLa suma S de los ngulos interiores de un polgono vale S = 180 . (n 2)Si n es el nmero de lados, el nmero de tringulos que se forman al trazar las diagonales es n 2, por lo que tendremos:

  • Recuerda (II)Dos ngulos son opuestos por el vrtice si tienen el mismo vrtice y los lados de uno de ellos son prolongacin de los lados del otro. Dos ngulos opuestos por el vrtice son iguales.Mediatriz de un segmeno es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento

  • Recuerda (III)Bisectriz de un ngulo es la semirecta que parte del vrtice del ngulo y lo divide en dos ngulos iguales. Todos los puntos de la bisectriz equidistan de cada lado del ngulo.Teorema de Tales. Toda paralela a un lado de un tringulo, que corta a los otros dos lados, forma un tringulo semejante al primero.

  • Mediatrices y circuncentroMediatrices de un tringulo son la mediatrices de sus lados.La mediatriz m1 est formada por los puntos que equidistan de A y B.La mediatriz m2 est formada por los puntos que equidistan de B y C.La mediatriz m3 est formada por los puntos que equidistan de A y C.Luego el punto O pertenece a las tres mediatrices y equidista de A, B y C El punto donde se encuentran las tres mediatrices se llama circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vrtices.

  • Bisectrices e incentroBisectrices de un tringulo son las bisectrices de sus ngulos.La bisectriz b1 est formada por los puntos que equidistan de los lados AB yAC.La bisectriz b2 est formada por los puntos que equidistan de los lados AB y AC.La bisectriz b3 est formada por los puntos que equidistan de los lados CB y CA.Luego el punto I pertenece a las tres bisectrices y equidista de los tres lados del tringulo. El punto donde se encuentran las tres bisectrices se llama incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita, tangente a los tres lados.

  • Medianas y baricentroMedianas de un tringulo son las rectas que pasan por un vrtice y el punto medio del lado opuesto.Las medianas de un tringulo se cortan en un punto B.El punto donde se encuentran las tres medianas se llama baricentro.Cada mediana divide al tringulo en dos de igual rea.El baricentro dista el doble del vrtice que del punto medio del lado.Para conseguir colocar un tringulo en equilibrio sobre la punta de un lpiz habra que colocarlo en el punto B.

  • Alturas y ortocentroAlturas de un tringulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por los vrtices opuestos.El punto donde se encuentran las tres alturas se llama ortocentro.A, B y C son los puntos medios de los lados del tringulo A'B'C'.Por tanto las alturas de ABC son mediatrices de A'B'C.Por tanto se cortan en el punto O, que ser el circuncentro de A'B'C'.

  • Figuras semejantesDos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.Dos figuras son semejantes si sus ngulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ngulos ) se llaman homlogos.

  • Semejanza de figuras en el planoDos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.

  • La semejanza en el planoLos siguientes cuadrados son semejantes a escala 2 y 3.Si el lado del primer cuadrado vale 3 cm, los lados de los otros son 6 y 9 cm.Los permetros respectivos sern: 12 cm, 24 cm y 36 cm.Han quedado multiplicados por 2 y por 3, respectivamente, que es la razn de semejanza. Si dos figuras son semejantes con razn de semejanza k, la razn de sus permetros es k.200 % 300 %3 cm6 cm9 cmp = 4 3 = 12 cmp = 4 3 2 = 24 cmp = 4 3 3 = 36 cm

  • La semejanza en el planoLos siguientes cuadrados son semejantes a escala 2 y 3, respectivamente..Si el lado del primer cuadrado vale 3 cm, los lados de los otros son 6 y 9 cm.Las reas respectivas sern: 9 cm2, 36 cm2 y 81 cm2 .Han quedado multiplicados por 22 y por 32, respectivamente; por el cuadrado de la razn de semejanza respectiva. Si dos figuras son semejantes con razn de semejanza k, la razn de sus reas es k2.S = S k2 200 % 300 %3 cm6 cm9 cmS = 3 3 = 9 cm2S = (3 2)2 = 9 22 = 36 cm2S = (3 3)2 = 9 32 = 81 cm2

  • Tringulos semejantesDos tringulos son semejantes si tienen: los lados proporcionales y los ngulos igualesLa semejanza de tringulos se simboliza:

  • Por aplicacin del Teorema de Tales se demuestra que A'B"C" es semejante a A'B'C' y por tanto ABC y A'B'C' tambin lo sonCriterios de semejanza de tringulos (I)Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos igualesSe construye A'B"C" sobre A'B'C. Para ello: Se toma A'B" = ABPor B" se traza una paralela al lado B'C'Se puede demostrar ahora que ABC = A'B"C" Partimos de dos tringulos ABC y A'B'C' que tienen dos ngulos iguales y por lo tanto los tres.

  • Por aplicacin del Teorema de Tales se demuestra que A'B"C" es semejante a A'B'C' y por tanto ABC y A'B'C' tambin lo sonCriterios de semejanza de tringulos (II)Dos tringulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionalesSe construye A'B"C" sobre A'B'C. Para ello: Se toma A'B" = ABPor B" se traza una paralela a lado B'C'Se puede demostrar ahora que ABC = A'B"C"Partimos de dos tringulos ABC y A'B'C' que tienen los lados proporcionales.

  • Por aplicacin del Teorema de Tales se demuestra que A'B"C" es semejante a A'B'C' y por tanto ABC y A'B'C' tambin lo sonCriterios de semejanza de tringulos (III)Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ngulo comprendido igual.Se construye A'B"C" sobre A'B'C. Para ello: Se toma A'B" = ABPor B" se traza una paralela a lado B'C'Se puede demostrar ahora que ABC = A'B"C"Partimos de dos tringulos ABC y A'B'C' que tienen dos lados propocionales y los ngulos A y A' iguales

  • Teorema de TalesToda recta paralela a un lado de un tringulo, que corta a los otros dos lados, determina un tringulo semejante al grande. Los tringulos ABC y AB'C' son semejantesTringulos semejantes, aunque en el segundo caso de orientacin diferente.

  • Teorema de Talesb) Los ngulos son iguales:Construimos un tringulo ABC de lados 12 cm, 15 cm y 18 cm. Ca) Si medimos los valores de los lados de cada uno de los tringulos se observa que son proporcionales:4Los tringulos ABC y ABC son semejantes:Este resultado es vlido para cualquier recta paralela a un lado y su enunciado constituye el teorema de Tales.Toda paralela a un lado de un tringulo, que corta a los otros dos lados, determina un tringulo semejante al grande.

  • Teorema de PitgorasEn un tringulo rectngulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.Si los lados de un tringulo verifican la relacin de Pitgoras, el tringulo es rectngulo.32 + 42 = 52