Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas Matemáticas II 1.
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 1
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 2
Así como es importante estudiar otras asignaturas y otras áreas de las Matemáticas, también lo es el estudio de la Geometría.
En este tema trataremos con la Geometría Plana o Euclidiana. Esta rama de las matemáticas estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como por ejemplo el cálculo de perímetros y áreas.
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 3
Vamos a trabajar con Perímetros y Áreas
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 4
Perímetro es la medida del contorno u orilla de una figura plana.
Recuerda . . .
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 5
y Área o Superficie es la medida del espacio plano que ocupa una figura.
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 6
Perímetro = 2 a + 2 b
a
b
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Matemáticas II 7
3 cm
7 cm
(2 x 3) + (2 x 7) = 20 cm
Perímetro = 2 a + 2 b
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 8
Rectángulo
Imagina que tienes una recámara que mide 3 metros de ancho y 4 metros de largo y quieres alfombrarla. ¿Cuántos metros cuadrados necesitas?
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 9
Representemos con un dibujo la recámara.
4 m
3 m
Tomemos como unidad de comparación 1 cuadrado que mide 1 metro por lado.
1 m
1 m
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 10
9 11 12
1 2 3 4
5 6 7 8
¿Cuántos de esos cuadrados caben en ese rectángulo?
4 m
3 m
Sería lo mismo si multiplicamos 4 x 3 = 12
Entonces ya sabes que necesitas 12 m2 de alfombra.
Generalizando . . .
10
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 11
Área = base x altura
a altura
b base
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Matemáticas II 12
3 cm
7 cm
7 x 3 = 21 cm2Área = b h.
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 13
b
a
b
a
A = b x a
Paralelogramo
El área del paralelogramo es igual a la de un rectángulo de igual base y de igual altura. Se explica en la figura siguiente:
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 14
Suma de los Tres Lados
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 15
Perímetro = a + b + c
a b
c
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 16
Perímetro = a + b + c
4 cm
3 cm
5 cm
3 + 4 + 5 = 12 cm
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 17
Dado un triángulo cualquiera, se toma otro de la misma forma y tamaño y con los dos se forma un paralelogramo. Entonces el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado.
Triángulo
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 18
b
a
b
a
b
aÁrea del parelogramo = b x a
Área del triángulo = b x a 2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 19
Base por Alturaentre Dos
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 20
b
h Altura
Base
Área = b . h 2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 21
h 6 cm
b 4 cm
Área = b . h 2
4 x 62
= 12 cm2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 22
b
a
d c
Suma de los lados
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 23
a = 9 cm
b = 5 cm
Perímetro = a + b + c + d
9 + 5 + 3 + 3 = 20 cm
d =
3
cm
c = 3
cm
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 24
Para encontrar la fórmula correspondiente, basta dividir el trapecio en dos triángulos de diferente base pero misma altura y sumar las áreas de cada uno:
b x h 2
A =
B x h 2
A =hA
b
B
A = +B h
2b h
2=
B h + b h2
=( B + b ) h
2
Trapecio
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 25
h
b
B
Base menor
Base mayor
Base mayor + base menor por altura entre dos
altura
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 26
alturah
b Base menor
B Base mayor
Área = ( B + b ) h 2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 27
h
b
B= 9
= 5
= 2.5
( 9 + 5 ) 2.5 = 17.5 cm2
2
Área = ( B + b ) h 2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 28
l
l
Suma de los lados
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 29
Perímetro = l + l + l+ l = 4 l
5 cm
5 cm
5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm4 x 5 = 20
cm
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 30
l
l
Lado x lado = lado al cuadrado
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 31
Área = l . l = l 2
4 cm
4 cm
4 x 4 = 42 = 16 cm2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 32
Suma de los lados
l
l
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 33
4 cm
4 cm
Perímetro = l + l + l+ l = 4 l
4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm4 x 4 = 16
cm
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 34
D
d
Diagonal mayorDiagonal menor
Diagonal mayor por diagonal menor
entre dos
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 35
D
d
8 cm5 cm
8 x 5 = 20 cm2
2
Área = D d 2
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 36
Perímetro = n . l
l
l
l
ll
l
n = No. de lados l = medida del lado
![Page 37: Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas Matemáticas II 1.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062519/5665b4ed1a28abb57c94d334/html5/thumbnails/37.jpg)
Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 37
3 cm
Pentágono
P = 5 x 3 = 15 cmP = 5 x 3 = 15 cm
4 cm
Hexágono
P = 6 x 4 = 24 cmP = 6 x 4 = 24 cm
2 cm
Octágono
P = 8 x 2 = 16 cmP = 8 x 2 = 16 cm
![Page 38: Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas Matemáticas II 1.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062519/5665b4ed1a28abb57c94d334/html5/thumbnails/38.jpg)
Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 38
Uniendo el centro con cada uno de los vértices, un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos iguales como lados tiene. Por ejemplo, el hexágono se divide en 6 triángulos.
Polígonos Regulares
![Page 39: Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas Matemáticas II 1.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062519/5665b4ed1a28abb57c94d334/html5/thumbnails/39.jpg)
Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 39
al
A = 6 l a 2
l a 6=2
A = P a 2
Como 6 x l es igual al perímetro del hexágono, se tiene:
Donde P indica el perímetro. Procediendo de la misma manera se demuestra que, en general, el área de un polígono regular se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo entre dos.
![Page 40: Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas Matemáticas II 1.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062519/5665b4ed1a28abb57c94d334/html5/thumbnails/40.jpg)
Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 40
a
Área = P . a 2
apotema
![Page 41: Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas Matemáticas II 1.](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022062519/5665b4ed1a28abb57c94d334/html5/thumbnails/41.jpg)
Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 41
a = 2cm
Área = P . a 2
3.5 cm
(3.5 x 6) x 22
A =
422
A =
21 cm2A =
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Tema 9: Descomposición de figuras y equivalencia de áreas
Matemáticas II 42
Sugerencias y Comentarios
Elaboró: Profra. Sandra Luz García GarzaDiseño: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.
Bibliografía: Libro Para el Maestro, MatemáticasEducación Secundaria, S.E.P.