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Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 2015/16 Tema 9Prof.Dr. Emilio Gómez GonzálezDpto. Física Aplicada III, ETS Ingeniería
1
Tema 9: Movimiento
oscilatorio*
Física I
Grado en Ingeniería Electrónica,
Robótica y Mecatrónica (GIERM)
Primer Curso
*Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez/Prof.Dra. Ana M. Marco Ramírez
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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Movimiento oscilatorio
Movimiento periódico
Ejemplos:
Barcas sobre el agua
Bandera al viento
Péndulo de un reloj
Moléculas en un sólido
V e I en circuitos de corriente alterna
En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio
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Movimiento oscilatorio
Forma más básica de movimiento
oscilatorio: movimiento armónico simple
(MAS)
¿Por qué estudiar el MAS?
Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio
Aproximación válida en muchos casos de
movimiento oscilatorio
Componente básico de la ecuación del
desplazamiento de movimientos oscilatorios más
complejos
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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Representación matemática
del MAS: dinámica del MAS
Cuerpo unido a un muelle
F kx
0 0x
x• k : constante del muelle
• Signo: fuerza restauradora
F
• Segunda ley de Newton:
F ma kx kx
am
Condición de MAS
para la aceleración
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Representación matemática
del MAS
Segunda ley de Newton:
Solución:
F ma kx 2
20
d xm kx
dt
22 2
20 con:
d x kx
dt m
( ) cos( )x t A t
sen( )dx
A tdt
22 2
2cos( )
d xA t x
dt
• Comprobación:
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Representación matemática
del MAS
Significado físico de las constantes:
A Amplitud (m)
Frecuencia angular (rad/s)
Constante de fase (rad)
Determinación de A y :
( ) cos( )x t A t
(0) sen( )v A
(0) cos( )x A Dos ecuaciones
con dos incógnitas
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9
Representación matemática
del MAS: Ejemplo
x
0t
02A
(0) sen( ) 0v A 0(0) cos( )x A A
Solución:
0( ) cos( )x t A t
x
t
0
0
A A
0A
0A
0A
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Representación matemática
del MAS: Resumen
Fuerza que provoca un MAS:
Ecuación diferencial del MAS
Ecuación del MAS
F kx
22
20
d xx
dt
( ) cos( )x t A t
Ley de Hooke
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Representación del MAS:
periodo y frecuencia
Periodo (T): Tiempo necesario para cumplir
un ciclo completo
( ) ( )x t x t T
( ) cos( )x t T A t T 2T
x
t2
T
T
TUnidades:
segundos (s)
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Representación del MAS:
periodo y frecuencia
Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones
por unidad de tiempo (ciclos por segundo)
Para el resorte:
-11 Unidades: s Hz
2f
T
1 1
2
kf
T m
22
mT
k
k
m
La frecuencia
no depende de
la amplitud
Instrumentos musicales: la nota
no depende de la fuerza con que
se pulse la cuerda o la tecla del
piano.
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Representación del MAS:
aplicaciones
El hecho de que la frecuencia de las
oscilaciones del resorte no dependa de la
amplitud tiene interesantes aplicaciones:
Medida de masas a partir de periodo de
oscilación
El astronauta Alan L.
Bean midiendo su masa
durante el segundo
viaje del Skylab (1973)
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Representación del MAS:
aplicaciones
El hecho de que la frecuencia de las
oscilaciones del resorte no dependan de la
amplitud tiene interesantes aplicaciones:
Medida de masas a partir de periodo de
oscilación
Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido
no depende de la fuerza con que se pulse la
cuerda del instrumento o la tecla de un piano.
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Representación del MAS:
velocidad y aceleración
( ) sen( )dx
v t A tdt
22 2
2( ) cos( ) ( )
d xa t A t x t
dt
( ) cos( )x t A t Posición:
Velocidad:
Aceleración:maxv A
2
maxa A
(para el resorte)k
Am
(para el resorte)k
Am
El signo indica el
sentido
El signo indica el
sentido
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Representación del MAS:
velocidad y aceleración( ) cos( )x t A t
( ) sen( )v t A t
• Desfase /2 con x(t)
• Desfase /2 con v(t)
• Desfase con x(t)
cos( )2
A t
2( ) cos( )a t A t 2 cos( )A t
• Suponemos =0
A
-A
-A
A
-A2
A2
x
( )v t
( )a t
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
T
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A
-A
-A
A
-A2
A2
x
( )v t
( )a t
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
T
Representación del MAS:
velocidad y aceleración
-A2
x
x
x
x
x
0t 0v 2a A
4Tt
2Tt
v A 0a
0v 2a A
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A
-A
-A
A
-A2
A2
x
( )v t
( )a t
2T
2T
2T
32T
32T
32T
T
T
Tx
x
Representación del MAS:
velocidad y aceleración
34Tt
t T
v A 0a
0v 2a A
x
x
x
2Tt
0v 2a A
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19
Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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Energía del MAS
Si no hay rozamiento: energía mecánica
constante
Energía cinética:
Energía potencial:
cteE K U
21
2K mv
0
( ) (0)
x
muelleU x U W Fdx 0
x
Kx dx 21
2kx
21( )
2U x kx
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21
Energía del MAS
Energía mecánica:
( ) cos( )con:
( ) sen( )
x t A t
v t A t
2 21 1
2 2E mv kx
2 2 2 2 21 1sen ( ) cos ( )
2 2E mA t kA t
Usando: (para un resorte)2m k
2 2 2 2
1
1 1(sen ( ) cos ( ))
2 2E kA t t kA
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22
Energía del MAS
21
2E kA
¡ No depende de la masa !
2
max
1
2x A E U kA
2 2
max max
1 10
2 2x E K mv kA
• La energía se trasvasa
continuamente de cinética a
potencial y viceversa
K
21
2E kA
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24
Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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Supongamos muelle vertical
Definimos eje y hacia abajo
Fuerza del muelle
Sistemas oscilantes:
muelle vertical
yF kyu
y
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Añadimos una masa m
Aparece una fuerza adicional, el peso:
Se puede hallar el alargamiento del
muelle ( y0 ):
Condición de equilibrio:
Sistemas oscilantes:
muelle vertical
yP mgu
0F P
0mg ky
0
mgy
k
Puede usarse
para medir kk
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Hacemos oscilar el sistema:
Definimos:
Sistemas oscilantes:
muelle vertical
mg ky ma
0y y y
mg ky ky 2 2
2 2
d y d yma m m
dt dt
0
mgy y y y
k
2
2
d ym ky
dt
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Solución:
Sistemas oscilantes:
muelle vertical
2
2
d y ky
dt m
Ecuación diferencial
de un MAS
cos( )y A t
k
m
2; 2
mT
k
El único efecto de m es desplazar
la posición de equilibrio
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29
Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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30
Sistemas oscilantes:
péndulo simple
Objeto de masa m
Suspendido de una cuerda
ligera (mc<<m) de longitud L
Extremo superior fijo
Si lo desplazamos del
equilibrio y lo soltamos:
oscilaciones
¿Es un M.A.S.?
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Sistemas oscilantes:
péndulo simple
2
2sen
d smg m
dt usando: s L
2
2sen
dg L
dt
senmg ma
Si sen
2
2
d g
dt L
Ecuación diferencial de un MAS
Segunda Ley de Newton:
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32
Sistemas oscilantes:
péndulo simple2
2
d g
dt L
Solución:
0 cos( )t con: g
L
Periodo del péndulo simple:
22
LT
g
¡ T no depende de m !
¡ T no depende de 0 !
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Péndulo simple: aplicaciones
El hecho de que el periodo de oscilación de
un péndulo simple no dependa de la masa ni
de la amplitud (para amplitudes pequeñas)
resulta llamativo y tiene interesantes
aplicaciones:
Técnica sencilla para calcular la aceleración de
la gravedad.
Medida del tiempo: péndulo de un reloj
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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Oscilaciones amortiguadas (I)
Las oscilaciones en sistemas oscilantes
reales no son permanentes: rozamiento
Este efecto puede incluirse en los cálculos:
Segunda Ley de Newton:
constante con:
velocidad
bR bv
v
Fuerza resistiva:
Amortiguamiento lineal (muy habitual)
kx bv ma 2
2
dx d xkx b m
dt dt
k
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Oscilaciones amortiguadas (II)
2
20
d x dxm b kx
dt dt
Solución: 2( ) cos( )b
tmx t Ae t
2 2
2
0 ;2 2
k b b
m m m
Ecuación:
0
k
m
Frecuencia natural
(corresponde a b=0) 0
El sistema oscila con frecuencia menor
que si no hubiera rozamiento (b=0)
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Oscilaciones amortiguadas (III)
2( ) cos( )b
tmx t Ae t
La amplitud decrece exponencialmente
decrece más rápido cuanto mayor es b
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Oscilaciones amortiguadas (IV)
La solución propuesta es válida para
Si : el sistema no oscila
02b m 2
2
02
b
m
Sistema subamortiguado
02b m
Críticamente amortiguado
Sobreamortiguado
0( 2 )b m
0( 2 )b m
Cuanto mayor sea b
más tarda en alcanzar el
equilibrio
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Índice
Introducción: movimiento oscilatorio
Representación matemática del MASDinámica del MAS
Periodo y frecuencia
Velocidad y aceleración
Energía del MAS
Sistemas oscilantes:Muelle vertical
Péndulo simple
Oscilaciones amortiguadas
Oscilaciones forzadas: resonancia
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Oscilaciones forzadas
En un sistema amortiguado la
energía decrece con el
tiempo
Para mantener las
oscilaciones es preciso
suministrar energía de forma
continua
Esto precisa la acción de una
fuerza externa
0 cos( )eF F t
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Oscilaciones forzadas:
resonancia
Movimiento del oscilador forzado:
Estado inicial transitorio
Estado estacionario:
Oscila con e y A(e)
Energía es constante (suministrada=disipada)
Resonancia: ocurre cuando 0e
El sistema oscila con
amplitud y energía máximas
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Resonancia: ejemplo
Puente de Tacoma Narrows
• El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente
colgante de Tacoma Narrows (Washington, USA) debido
a las vibraciones provocadas por el viento.
• El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses.
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Resonancia: ejemplo
Puente de Tacoma Narrows
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Resonancia: ejemplo
Bahía de FundyLa bahía de Fundy se conoce por registrar la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros).
Se cree que el nombre “Fundy” data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo“ (río profundo).
El folklore popular afirma que las mareas son causadas por una ballena gigante que chapotea en el agua.
Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (12.4 horas).
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Resonancia: ejemplo
Bahía de Fundy
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Resumen del temaEl MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio.
La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal
La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento.
Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante.
Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas.
Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia