TEMA COMETAS, POLIGONOS Y NGULOS Definicin de la excelencia1. Establece las propiedades y caractersticas de los polgonos.2. Reconoce e identifica ngulos, vrtices y lados de los vrtices.

Punto de partida y punto de llegada.1. Lee el siguiente escrito y contestas las preguntas al final del escritoEl uso del tringulo tiene una larga historia: desempeo un papel prctico en la vida de los antiguos egipcios y chinos, pues con l se ayudaban a delimitar y medir la tierra. Tambin aparece constantemente en las formas artsticas antiguas. Hoy en da, junto con los rectngulos y los cuadrilteros, los tringulos se usan con frecuencia, entre otras cosas, en la construccin de puentes, estructuras y edificios, debido a sus propiedades de rigidez y estabilidad. Las propiedades de estas figuras se aprovechan en la carpintera.La perpendicularidad y el paralelismo se presentan en gran variedad de objetos: mesas, puertas, libros, fotografas, en los planos arquitectnicos, en los trazos de ciudades, en las vas de un tren. Un esquiador debe mantener los esqus paralelos para no caer; los cultivos se siembra en surcos paralelos, etctera.El hexgono regular aparece en la naturaleza en los panales de las abejas. El centro de gravedad, que es uno de los puntos notables del tringulo, se aplica en la fsica para localizar el punto de equilibrio de figuras poligonales; el circuncentro, otro punto notable, se requiere para ubicar, por ejemplo, estaciones de autobuses que se llama a la misma distancia de tres puntos determinados (Tomado de geometra, Morfin, Mara. Ed Mc Gram Hill)2. Cul era uno de los papeles prcticos del tringulo para los chinos y egipcios?Actualmente en qu tipo de construcciones se utilizan polgonos?En qu casos crees que se utiliza la perpendicularidad y el paralelismo para la construccin de muebles?Por qu crees que las abejas hacen sus paneles de forma hexagonal?En un tringulo cmo se le llama al punto que se encuentra a la misma distancia de los tres puntos de un tringulo?Competencias del punto de partida 1. Identificar la importancia de los polgonos en la antigedad y en la actualidad.Investigacin1. Observa el siguiente vdeo https://www.youtube.com/watch?v=aNPjzGA0Ae42. Luego del video contesta las siguientes preguntas Cul fue el propulsor del cubismo y el expresionismo abstracto? Cul fue la propiedad de las diagonales de un cuadrado que los hacan tan especiales para los griegos? Qu es un pentagrama? Dibuja un pentagrama y marca sus ngulos Qu son las poligonales? Qu es y qu significa la palabra polgono? Cmo se llama el polgono de 8 lados? Qu es un polgono cncavo y convexo? Cmo definen en el vdeo los polgonos regulares? Qu es teselar?3. Consulta sobre: Tringulos y su clasificacin ( por lados y por ngulos) Teoremas: Suma de los ngulos interiores de una tringulo. Suma de los ngulos exteriores de un tringulo. ngulo exterior de un tringulo. Lneas o rectas notables en un tringulo ( Altura, transversal de gravedad, mediana, bisectriz, simetral)4. Consulta cmo hacer una cometa, debes dar los pasos y los materiales que vas a necesitar.

Recursos de investigacin1. https://www.youtube.com/watch?v=aNPjzGA0Ae4Desarrollo de la habilidad 1. Desarrollar los ejercicios propuestos por el analista. Taller anexo. Recuerda que se deben tener en cuenta las normas de presentacin ( Enunciado, respectiva grfica, procedimiento o justificacin detallada, entre otras)Relacin1. Diseo de plano para la elaboracin de la cometa a realizar. Recuerda que debe ser a escala.

TALLER PROPUESTO

TRINGULOS

Definicin: Un tringulo es la unin de tres rectas que se cortan de dos en dos.

Teoremas1) La suma de las medidas de los ngulos interiores de un tringulo es 180. + + = 1800

2) Todo ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes.

+ +

3) La suma de las medidas de los ngulos exteriores de un tringulo es 360. ` + ` + `= 3600

EJERCICIOS

1. En la figura, DE // BC. Entonces x y es:

A) 15B) 30C) 45D) 60E) 55

2. En el tringulo ABC de la figura, la medida del ngulo es:

A) 10B) 15C) 20D) 25

E) 30

3. El valor del ngulo en el tringulo ABC de la figura es:

A) 20

B) 30C) 80D) 100E) 120

4. Al expresar en funcin de x en el tringulo ABC de la figura, se obtiene:

A) 70 + xB) 70 - xC) x 70D) 110 - x E) x + 110

5. En el tringulo ABC de la figura, el valor de x es:

A) 30B) 35C) 40D) 50E) 60

6. En el tringulo ABC de la figura, x + y es:

A) 80B) 100C) 130D) 160E) 260

7. En la figura, L1 // L2 ; L3 L1 y w = 5z. Cunto mide el ngulo x?

A) 40B) 50C) 60D) 75E) 85

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS

(I) Segn sus lados:

(a) Tringulo equiltero: Posee los tres lados congruentes.

Observacin: Como consecuencia, se puede deducir que sus tres ngulos interiores tambin son iguales, y como la suma de las medidas de los ngulos interiores es 180, entonces cada ngulo interior mide 60.

(b) Tringulo issceles: Posee dos lados congruentes.

Observacin: Los ngulos opuestos a los lados congruentes son tambin congruentes, y a estos ngulos se les llama ngulos basales.

(c) Tringulo escaleno: Posee sus tres lados de longitudes distintas.

Observacin: Los ngulos interiores del tringulo tambin poseen distinta medida.

(II) Segn sus ngulos:

(a) Tringulo acutngulo: Posee sus tres ngulos interiores agudos.

; ; agudos

(b) Tringulo obtusngulo: Posee un ngulo interior obtuso.

: obtuso

(c) Tringulo rectngulo: Posee un ngulo interior recto.

Observacin: Los lados que forman el ngulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa.

EJERCICIOS.

1) Cul de las siguientes afirmaciones es siempre falsa?. Un tringulo puede ser:

A) Issceles y RectnguloB) Issceles y ObtusnguloC) Issceles y AcutnguloD) Escaleno y ObtusnguloE) Equiltero y Obtusngulo

2) La clasificacin del tringulo de la figura, es:

A) Escaleno - Acutngulo B) Escaleno RectnguloC) Issceles AcutnguloD) Issceles ObtusnguloE) Issceles Rectngulo 3) De acuerdo al tringulo de la figura, cul de las siguientes desigualdades es siempre verdadera?

A) 2 < x < 14B) 3 < x < 13C) 4 < x < 12D) 5 < x < 11

E) 6 < x < 10

4) ABCD es un cuadrado y el tringulo ABE es equiltero, entonces el ngulo x mide:

A) 75B) 90C) 105D) 110E) 120

5) En el tringulo ACD de la figura, BC = BD y el ngulo = 30. Luego, la medida del ngulo x es:

A) 15B) 30C) 45D) 50E) 60

RECTAS NOTABLESDefinicin:

Las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas reciben el nombre de rectas notables.

Rectas notables en un tringulo

AlturaPerpendicular trazada desde un vrtice al lado opuesto.

BisectrizRayo que divide al ngulo interior en dos ngulos congruentes.

Transversalde gravedad Recta que une un vrtice con el punto medio del lado opuesto.

Simetral Recta que es perpendicular al lado del tringulo en su punto medio.

Mediana Segmento que une dos puntos medios de los lados del tringulo.

PROPIEDADES GEOMTRICAS DE LAS RECTAS NOTABLES

AlturasLas tres alturas de un tringulo se intersectan en un mismo punto, llamado ortocentro (H).

BisectricesLas tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado incentro (I), que es el centro de una circunferencia inscrita en el tringulo.

Observaciones

1) El incentro siempre queda en el interior del tringulo.

Transversales de gravedadLas tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado centro de gravedad o baricentro (G) del tringulo.

Observaciones1) Al unir el centro de gravedad del tringulo ABC con los tres vrtices del tringulo, ste queda dividido en tres tringulos congruentes (de igual rea).2) El centro de gravedad divide al tringulo ABC en seis tringulos congruentes.

SimetralesLas tres simetrales se intersectan en un mismo punto llamado circuncentro(O), que es el centro de una circunferencia circunscrita al tringulo.

MedianasPropiedades

1) ma // a , mb // b , mc // c

2) , ,

EJERCICIOS

1) En el tringulo ABC de la figura, = 100, = 110 y CD es altura. Cunto mide?

A) 30B) 40C) 50D) 60E) 70

2) En el tringulo DEF de la figura, = 130 , = 80 y EH es altura. Entonces x en funcin de y es:

A) y = xB) y = 2xC) y = 3xD) x = 4yE) y = 5x

3) En el tringulo ABC de la figura, AD es bisectriz del .Cunto mide el ngulo ADC?

A) 60B) 70C) 80D) 90E) 100

4) En el tringulo MNP de la figura, es bisectriz del ngulo MNP. Entonces z en funcin de w es:

A)

B)

C)

D)

E)

5) En el tringulo ABC de la figura, AD = CD , DBC = 50 y CD es transversal de gravedad.Cunto mide el ngulo ACD?

A) 40B) 50C) 80D) 90E) 100

6) En el tringulo MNT de la figura, MP = 8cm. QN = 12cm. PQ es mediana. Entonces MN MT es:

A) 2cm.B) 4cm.C) 6cm.D) 8cm.E)10cm.

7) En el tringulo PQR de la figura, RQ = 12cm, RE = x + 3 y DE es mediana.Cunto mide x?

A) 2cm.B) 3cm.C) 4cm.D) 5cm.E) 6cm.

8) En el tringulo ABC de la figura, EF y DG son simetrales de los lados AB y AC respectivamente; DGE = 30. Cunto mide ?

A)

B)

C)

D)

E)

9) En el tringulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si AD = 24cm.,entonces GD mide:

A) 6cm.B) 8cm.C) 12cm.D) 16cm.E) 18cm.

10) En el tringulo ABC de la figura, G es centro de gravedad. Si GD = 3x , entonces CD es:

A) 4xB) 5xC) 6xD) 7xE) 9x

11) En el tringulo DFE de la figura, H y G son los puntos medios de EF y DE respectivamente, HIEF y GJDE. Si DK + KE + KF = 54cm. , entonces KE mide:

A) 6cm. B) 9cm.C) 18cm.D) 27cm.E) 36cm.

12) Si el tringulo ABC de la figura es rectngulo en C, entonces el complemento del complemento del x mide:

A) 22B) 36C) 44D) 46E) 134

13) En el tringulo ABC de la figura, se traza la transversal DE, cunto mide el ngulo x?

A) 63B) 70C) 117D) 103E) Ninguna de las anteriores

14) El ngulo BAD es ngulo exterior del tringulo ABC. Si AE es bisectriz del ngulo BAC, entonces AEC + ACE =

A) 30B) 50C) 60D) 120E)150

15) En la figura, DAC = CAB. Entonces el x mide:

A) 80B) 100C) 110D) 120E) 140

16) En el tringulo ACD de la figura, BC = BD y el ngulo = 30. Luego, la medida del ngulo x es:

A) 15B) 30C) 45D) 50E) 60

17) En la figura, el tringulo ABC es rectngulo en C, Si 120 entonces el ngulo mide:

A) 105B) 15C) 12,5D) 10E) 8

18) En un tringulo, un ngulo interior mide 20 ms que el otro, pero 35 menos que el tercero. Cul es la diferencia entre el suplemento del menor y el complemento del mayor?

A) 150B) 145C) 140D) 120 E) 90