Tema dinamica de sistemas

1 JAQUELINE MARTINEZ CALDERON

MODELOS Y SIMULACIÓN DINAMICA DE SISTEMAS

TEMA 5

DINÁMICA DE SISTEMAS

5.1 DEFINICIÓN

La dinámica de Sistemas es un método para estudiar el comportamiento histórico de los sistemas y simular cuales

pueden ser los comportamientos futuros. En la dinámica de sistemas se combinan los conocimientos de expertos,

matemáticas y la informática.

5.1 DIAGRAMA CAUSAL

Un Diagrama Causal constituye un lenguaje sistémico adecuado para ver las diversas interrelaciones directas o

inversas que existen en una situación problema determinado.

Los diagramas causales sirven para realizar bosquejos de todos los elementos de un problema sin entrar en detalles

matemáticos del posible modelo es importante empezar a hacer versiones que poco a poco nos vayan aproximando

a la complejidad del modelo.

Empezar a definir en este punto las variables internas del sistema y aquellas otras denominadas exógenas, sobre las

que no tenemos control.

El diagrama causal es una forma de organizar y representar las diferentes teorías propuestas sobre las causas del

problema y se las utiliza en las fases de diagnostico y solución de la causa.

El diagrama causa efecto es un vehículo para ordenar en forma muy concentrada, todas las causas que

supuestamente pueden contribuir a un determinado efecto. Nos permite, lograr un conocimiento común de un

problema complejo, sin ser nunca sustituto de los datos.

Es importante ser conscientes de que los diagramas causa efecto presentan y organizan teorías. Solo cuando estas

teorías son contrastadas con datos podemos probar las causas de los fenómenos observados.

Errores comunes son construir el diagrama antes de analizar globalmente los sistemas, limitar las teorías propuestas

enmascarando involuntariamente la causa raíz, o cometer errores tanto en la relación causal como en el orden de las

teorías, suponiendo un gasto de tiempo importante.

5.1.1 TÉRMINOS RELACIONADOS CAUSA EFECTO

Un diagrama causal aparece formalizado por elementos del sistema y se establecen relaciones entre ellos, las

diferentes relaciones están representadas por flechas entre variables afectadas por ellas. Estas flechas van

acompañadas por un signo positivo o negativo que indica el tipo de influencia ejercida por una variable sobre la

otra. Un signo positivo quiere decir que un cambio en la variable origen producirá un cambio del mismo sentido en

la variable destino.

El signo negativo simboliza que el efecto producido será en sentido contrario.

A influye en B A B

1) Si se tienen dos variables A, B y si A es capaz de influenciar a B se representa la relación de la siguiente

manera:

Para denotar si la influencia causa variación en el mismo sentido, es decir si a un aumento de A se genera un

aumento de B, y si se genera una reducción, se coloca el signo positivo sobre la flecha:

A B



2) Por otro lado, si a un aumento respecto de una disminución se corresponde una disminución entonces se denota

de la siguiente manera:

Si a un aumento / disminución de A

Una disminución / aumento de B

También puede utilizarse tal relación entre en parámetro y una variable, con esto se representa que si el parámetro

variase lo haría en el sentido de la variable sobre la que actúa por Ejemplo:

Análogas consideraciones se hacen cuando un parámetro afecta negativamente a una variable:

Estos parámetros se consideran constantes dentro del contexto en que están siendo considerados, por lo tanto no

tiene un signo positivo o negativo unido a ellos:

Presa Predador

+

Aceleración de

la gravedad

Velocidad de

Caída

--- Superficie de un

Pueblo

Densidad de la

Población

Parámetro Variable

Recursos

Recursos

Inventario de Bienes

Terminados

+++

A B



5.1.2 BUCLE DE REFORZAMIENTO

Es aquel que en las interacciones son tales que cada acción incrementa a la otra.

Cualquier situación donde la acción produce un resultado que genera más de la misma acción se presenta por un

bucle de reforzamiento.

El ejemplo muestra lo que sucede en una cuenta bancaria típica.

El capital en la cuenta interactúa con la tasa de interés e incrementa el interés, el interés a su vez

incrementa con el capital.

Esta acción de reforzamiento sucede cada mes o cada periodo de capitalización del banco.

La bola de nieve rodando en la colina es señal de que el ciclo es de reforzamiento.

El pequeño gráfico a la derecha del capital indica que el crecimiento del capital es exponencial.

Ejemplos típicos son crecimiento y declinación de una población, de acciones nucleares incontrolables, corridas de

bancos, caída de bolsa de valores.

5.1.3 BUCLE DE BALANCE

Es aquel que en la acción intenta llevar a cabo 2 cosas a un acuerdo. Cualquier situación donde uno intenta resolver

un problema o lograr una meta u objetivo es la representación de los bucles de balance.

La gráfica provee la forma básica del ciclo o bucle de balance.

INT

ERÉS

CAPITAL

Tasa de Interés

+

+

GAP DIFERENCI

A

ACCIÓN

Estado Deseado

+

+

ESTADO

ACTUAL

-

7 56

121110

8 4

21

9 3



El estado deseado interactúa con el estado actual para producir una diferencia (GAP).

El GAP incrementa a la acción y la acción incrementa al estado actual. El estado actual entonces decrementa el

GAP. El pequeño reloj a la derecha entre la acción y el estado actual indica algún tiempo de demora que le toma a la

acción cambiar al estado actual. A medida que el estado actual se acerca al estado deseado el GAP se hace más y

más pequeño de manera que suma menos y menos a la acción, la cual se añade al estado actual.

Una vez que la acción a movido al estado actual a un punto donde es igual al estado deseado el GAP es cero y no

hay más adición a la acción, de manera que tampoco hay acción. La balanza en el centro del bucle es la indicación

de que se trata de un bucle de balance.

Ejemplos típicos de balance son conducir un automóvil de un lugar A a otro lugar B, desarrollar un conocimiento,

construir algo, arreglar un problema.

Para determinar si un bucle es positivo (explosivo) o negativo (depresivo), se sigue las siguientes reglas:

1. Cuando en una secuencia de realimentación solo hay signos positivos, el bucle es explosivo o positivo.

2. Cuando solo hay signos negativos, el bucle es explosivo si el número total de signos es par; y depresivo en

caso contrario.

3. Cuando hay signos positivos y negativos, el sentido del bucle es explosivo si la suma de signos negativos es

par, cualquiera sea el numero de signos en caso contrario el bucle es depresivo.

En resumen los bucles se definen como positivos y negativos cuando él numero de relaciones negativas es par,

negativas si es impar.

Los bucles negativos llevan al modelo hacia una situación estable y los positivos lo hacen inestable, con

dependencia de la situación de partida.

En realidad los sistemas contienen ambos tipos de bucles y el comportamiento final dependerá de cuál es el

dominante en un momento determinado.

5.2 SISTEMAS COMPLEJOS

1) SISTEMAS OSCILANTES:

Para que un sistema oscilante muestre este comportamiento es necesario que tenga al menos 2 niveles, que son

elementos del sistema en los que se producen acumulaciones físicas.

X

t



2) SISTEMAS SIGMOIDALES:

Son sistemas en los cuales existe un bucle positivo que actúa en un principio como dominante y hace arrancar el

sistema exponencial y que después es sustituido por otro bucle negativo que anula los efectos del anterior y

proporciona estabilidad al sistema, situándola en un valor asintóticamente.

3) SISTEMAS MULTIESTABLES:

Cuando un sistema posee múltiples bucles negativos, cualquier acción que intente modificar un elemento no se ve

contrarrestado solo por el bucle en el que se halla dicho elemento sino por todo el conjunto de bucles negativos que

actúan como su apoyo.

(+)

( - )

Empleos públicos

GAP

Desempleo máximo aceptable

Desempleo Salario medio

Renta familiar

Búsqueda de empleos

Beneficio empresas

Renta deseada

Puesto de trabajo

Beneficio deseado

+

-

(-) -

(-)

-

-

- -

-

+



5.3 FASES DEL MODELAJE DE SISTEMAS

Un modelo de dinámica de sistemas es la representación de la estructura del sistema. Una vez que el

modelo de DS es construido y las condiciones iniciales están especificadas, una computadora puede

simular el comportamiento de las diferentes variables sobre el tiempo.

Un buen modelo intenta imitar algunos aspectos de la vida real. Ya que la vida real no permite retroceder

en el tiempo y cambiar la estructura del sistema, la simulación da el poder de cambiar la estructura del

sistema su comportamiento bajo diferentes condiciones.

Para crear modelos de DS hay cuatro fases de modelaje los cuales son:

1. CONCEPTUALIZACION

- Definir el propósito del modelo

- Definir la frontera del modelo e identificar variables clave

- Describir el comportamiento o dibujar los modos de referencia de las variables clave

- Diagramar los mecanismos básicos y ciclos de realimentación del sistema (Diagrama causa-efecto)

2. FORMULACIÓN

- Convertir diagramas causa-efecto a diagramas y ecuaciones flujo-nivel (Diagramas Forrester)

- Estimar y seleccionar valores de parámetros.

3. PRUEBA

- Simular el modelo y probar la hipótesis dinámica

- Probar las suposiciones del modelo

- Probar el comportamiento del modelo y su sensitividad a perturbaciones

4. IMPLEMENTACIÓN

- Probar la respuesta del modelo a diferentes políticas o entornos

- Traducir las conclusiones del estudio a una forma accesible al usuario final

FORMULACIÓN DEL MODELO DE DINÁMICA DE SISTEMAS (DS)

Los modelos matemáticos, programables en un ordenador, están enunciados de una manera explícita,

el lenguaje matemático que se emplea para la descripción del modelo deja lugar a la ambigüedad. Un

modelo de dinámica de sistemas es más explícito que el modelo mental y, por lo tanto, puede ser

comunicado sin ambigüedad. Las hipótesis sobre las que se ha montado el modelo, así como las

interrelaciones entre los elementos que lo forman, aparecen con toda claridad en el mismo, y son

susceptibles de discusión y revisión.

Por ello la proyección futura del modelo puede hacerse de forma completamente precisa.



DIAGRAMA FLUJO-NIVEL (DS O FORRESTER)

El diagrama de flujos, es el diagrama característico de la Dinámica de sistemas. Es una traducción del

Diagrama causal a una terminología que facilita la escritura de las ecuaciones. Básicamente consiste

en la clasificación de los elementos del sistema.

- NIVEL O STOCK

Un nivel es un símbolo genérico para cualquier cosa que acumula o drena. Los niveles son

aquellos elementos que describen en cada instante la situación del modelo, presentan una cierta

estabilidad en el tiempo y varían solo en función de otros elementos denominados “flujos”. Los

niveles se representan por un rectángulo.

- FLUJO

Un flujo es la tasa de cambio de un nivel. Los flujos son elementos que pueden definirse como

funciones temporales. Puede decirse que recogen las acciones resultantes las decisiones tomadas

en el sistema, determinando las variaciones de los niveles. Las “nubes” dentro el diagrama de

flujos son niveles de contenido inagotable.

- CONVERTIDOR

Un convertidor se usa para tomar datos de entradas y manipular o convertir esa entrada en alguna

señal de salida. Estos convertidores son “variables auxiliares” y “constantes”, que son parámetros,

y permiten una visualización mejor de los aspectos que condicionan el comportamiento de los

flujos.

- CONECTOR

Un conector es una flecha que permite el paso de información o de magnitudes físicas entre

convertidores, niveles y convertidores, niveles y flujos, y convertidores y flujos.

ESTRUCTURAS GENERICAS

Nivel

Flujo



Las estructuras genéricas son estructuras simples que se presentan en muy diversas situaciones. Los

ciclos de realimentación son los elementos estructurales básicos del sistema.

REALIMENTACION LINEAL POSITIVA DE PRIMER ORDEN

Uno de los sistemas de realimentación más simple es el ciclo de realimentación positivo. La

realimentación positiva ocurre cuando el cambio se propaga a través de un sistema para producir más

cambio en la misma dirección. Este es el tipo de realimentación que produce crecimiento.

a) DIAGRAMA DEL MODELO

La figura muestra la estructura genérica de realimentación positiva de primer orden. En la ecuación de

flujo, se multiplica el nivel por la fracción componente o se divide el nivel entre la constante de

tiempo. La constante de tiempo es simplemente el reciproco de la fracción componente.

b) ECUACIONES DEL MODELO

Las ecuaciones para la estructura genérica son:

Nivel (t) = Nivel(t-dt) + (flujo) * dt

Es el stock o nivel del sistema.

Flujo = Nivel * Fracción componente

El flujo es la fracción del nivel que fluye dentro del sistema por unidad de tiempo.

Fracción componente = una constante

Es un factor de crecimiento y determina el flujo de entrada al nivel. Es la cantidad de unidades

sumadas al nivel por cada unidad ya existente en el nivel en cada ciclo.

Si en lugar de la fracción componente se tiene una constante de tiempo, las ecuaciones tendrían la

siguiente variación:

Flujo = Nivel / constante de tiempo

NivelFlujo

Fracción

componente



Constante de tiempo = una constante

Es el tiempo de ajuste para el nivel. Corresponde al tiempo por cada unidad inicial al componerse en

una nueva unidad.



. Invente un diagrama causal para el siguiente sistema:

Cuando el precio de para sube, aumenta la superficie sembrada de papas y consecuentemente la producción de este

tubérculo. Esto a su vez, supone una caída del precio. Introduzca una variable exógeno precipitaciones o lluvias,

como causante parcial de un a mayor o menor producción.

Sistema inestable.

2. Construya un diagrama causal del siguiente sistema:

Si un periódico tiene una gran difusión, insertara mucha publicidad, lo cual aumentara su difusión. Para aumentar

las ventas es muy conveniente disponer de vendedores; pero estos cuestan dinero y disminuyen los beneficios, lo

cual incide negativamente sobre la difusión.

Sistema Estable

+ Superficie sembrada

de papa demanda

Precio de papa

Producción

lluvias

+

+

+ -

- (-)

Demanda

Ventas

Producció

n

Vendedor

es

(+)

+

+

-

(-

)

Publicidad Difusió

n

Beneficio

s Gastos

(-

)

-

-

- -

+

+

+

+

(+)

+



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+ -

+

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