TEMA IV: PLASTICIDAD. DISLOCACIONES

4.1 Paradoja del límite elástico. Concepto de dislocación.

4.2 Clasificación y caracterización de las dislocaciones.

4.3 Propiedades de las dislocaciones.

4.4 Movimiento y multiplicación de dislocaciones.

4.5 Deformación en monocristales. Ley de Schmid.

4.6 Deformación en policristales.

4.7 Mecanismos de endurecimiento.

4.8 Dureza.

4.1 PARADOJA DEL LÍMITE ELÁSTICO. CONCEPTO DE DISLOCACIÓN.

Cuando se supera la tensión de límite elástico las deformaciones dejan de ser reversibles y comienza el

régimen plástico. En este tema intentaremos entender por qué sucede esto y como estas deformaciones

irreversibles tienen lugar a escala microscópica. Puesto que una deformación permanente debe conducir a una

nueva situación de equilibrio, donde los átomos se enlazan de nuevo en nuevas posiciones de equilibrio que

respeten la estructura cristalina del sólido, es evidente que este tipo de deformaciones deben producirse mediante

deslizamiento atómico y no simplemente por estiramiento de los enlaces, ya que una tracción pura de los enlaces

sería reversible hasta su rotura. Por tanto, las deformaciones plásticas no pueden ser producidas más que por

tensiones de cizalladura

4.1.1 Paradoja del límite elástico.

Consideremos pues un deslizamiento entre

planos atómicos contiguos. El incremento de

energía debido a este desplazamiento alcanza su

valor máximo a la mitad de la distancia

interatómica (x=a/2). Si se considera que la

variación de energía con la distancia es sinusoidal

entonces la tensión de recuperación interna vendrá

dada por (ver figura):

a

x

a

xsen

dx

dU x

2200

donde 0 sería la máxima tensión de cizalladura que

aguantaría el material antes de comenzar a

deformarse permanentemente (si <0 entonces el material se recupera al cesar la tensión). Por tanto, 0 será (o

estará relacionada con) la tensión de límite elástico del material. Considerando la ley de Hooke (a cizalladura):

2

200

/tan G

a

x

a

xGG

ax

Si se afinan más los cálculos usando una función más realista que la sinusoidal que hemos utilizado se

obtiene que la tensión de límite elástico teórica 3015

0

EG . Estos valores sin embargo, discrepan

tremendamente de los valores experimentales, especialmente en el caso de los metales, donde las tensiones de

límite elástico experimentales son entre 10 y 10000 veces menores que 0.

Esta discrepancia entre predicción teórica y resultados experimentales se conoce como paradoja del límite

elástico. Si el modelo anterior no conduce a resultados próximos a los reales, ¿cómo se produce realmente la

deformación plástica? En 1934 Taylor, Orowan y Polanyi desarrollan un modelo de deformación plástica que

introduce el concepto de dislocación, defectos cristalinos unidimensionales o lineales, cuya existencia se verificó

experimentalmente en 1956. Según este modelo, el valor teórico 0 sería un límite superior para la tensión de

límite elástico, que solo se alcanzaría en un cristal ideal, libre de defectos, libre de dislocaciones. En efecto, en

whiskers—cristales con forma de fibra de pequeño tamaño, muy perfectos y prácticamente libres de

dislocaciones—se ha verificado experimentalmente que su tensión de límite elástico se aproxima al valor teórico.

4.1.2 Concepto de dislocación.

¿Qué es una dislocación? Es una distorsión de la red cristalina que se limita

al entorno atómico (aunque no sólo a los primeros vecinos) de una línea (ver

figura). Es decir, se trata de un defecto cristalino de tipo lineal, unidimensional.

Las dislocaciones permiten que el deslizamiento de un plano atómicos sobre otro

se produzca gradualmente y no en bloque. De esta manera se requiere un menor

gasto de energía, ya que los enlaces se van rompiendo progresivamente en lugar

simultáneamente, y por ello también se requiere una menor tensión. En el caso

de dislocaciones en arista como la de la figura (ver tipos de dislocaciones más

abajo), la deformación se produce por sucesivos estados de compresión y

relajación de semiplanos atómicos. Por tanto, la deformación plástica elemental

se produce por movimiento de dislocaciones:

El plano sobre el que se desplaza la dislocación se denomina plano de deslizamiento. Para que la dislocación se

mueva también debe sobrepasar una cierta barrera de energía (vencer una fricción), si bien, ésta es mucho menor

que la necesaria para desplazar todo un plano atómico sobre el subyacente. La tensión de fricción de red, f,

asociada a esta barrera (que se calcula a partir de la derivada de la energía) es muy inferior a 0, y para

dislocaciones estrechas puede calcularse según la expresión (Peierls y Nabarro):

b

a

f Ge )1(

2

donde a es la distancia entre planos de deslizamiento y b la distancia de deslizamiento (es decir, el módulo del

vector de Burgers, ver más abajo). Como puede apreciarse la tensión de fricción que se opone al movimiento de

la dislocación es menor cuanto mayor es a y menor es b el deslizamiento se produce generalmente en planos

densos (separación máxima) y en direcciones densas (mínimo desplazamiento) dentro de dichos planos, como

veremos más adelante. Esta tensión de Peierls es aún superior a los valores experimentales de tensión de límite

elástico o, más correctamente, de cizalladura crítica, y. Esto es debido a que esta expresión considera que la

distorsión atómica se limita al núcleo de la dislocación, cuando en realidad abarca un mayor número de vecinos

próximos. Teniendo en cuenta esta anchura, w, de la dislocación, la tensión de fricción de red toma la expresión:

b

w

f Ge

2

de forma que esta tensión decrece al crecer la anchura de la dislocación y los valores así calculados se ajustan a

los reales. Las dislocaciones en metales son “anchas” mientras que en materiales con fuertes enlaces

direccionales (covalentes, iónicos, metales BCC) las dislocaciones son estrechas y f es grande

Por tanto, la tensión de Peierls depende de las fuerzas locales en el núcleo de la dislocación (a través de w).

Además, y aunque no aparece explícitamente recogido en las expresiones anteriores también depende de la

energía térmica disponible y por tanto de la temperatura, de forma que conforme aumenta la temperatura

disminuye la tensión de Peierls y se facilita el movimiento de las dislocaciones. Esto conduce al fenómeno de la

transición frágil-dúctil que veremos al estudiar la fractura más adelante. El efecto de la temperatura es menor

conforme aumenta la anchura de la dislocación, puesto que entonces el movimiento requiere la cooperación de

un mayor número de átomos y la probabilidad de que se produzca por fluctuación térmica es menor.

4.2 CLASIFICACIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE LAS DISLOCACIONES.

4.2.1 Tipos de dislocaciones.

La mejor forma de describir una dislocación es considerar su proceso hipotético de generación, siguiendo el

procedimiento de Volterra. Supongamos un cristal ideal que se corta según el plano de la figura, hasta la línea

AB, y que desplazamos todos los átomos situados a un lado del corte un periodo de traslación. Si volvemos a

enlazar ahora los átomos a ambos lados del corte la estructura será casi perfecta salvo en la proximidad de la

línea AB donde se encuentra deformada. Según como hayamos realizado el desplazamiento las situación varía,

pero todas estas estructuras tienen en común la presencia de un defecto lineal que se denomina dislocación. A la

línea AB se le denomina, por tanto, línea de la dislocación.

Los dos primeros casos representados corresponden a dislocaciones rectas con desplazamientos en

dirección perpendicular (dislocación en arista) o paralela (dislocación helicoidal) a la línea de la dislocación:

- Dislocaciones en arista: se localizan en la arista de un plano atómico extra y se denotan por de forma

que el trazo recto marca el plano de deslizamiento de la dislocación y el rabito de la T la posición del plano

extra. En esa dirección el cristal se encuentra localmente en compresión por la inclusión del semiplano extra,

mientras que en la opuesta el cristal está localmente en tracción (si dos dislocaciones opuestas se encuentran, se

aniquilarían entre sí).

- Dislocaciones helicoidales: reciben su nombre de la disposición de los átomos en forma de hélice

alrededor de la línea de la dislocación que se genera debido a un desplazamiento atómico paralelo a dicha línea.

Este tipo de dislocaciones puede deslizar en múltiples planos, siendo por tanto mucho más móvil que las

dislocaciones en arista.

- Dislocaciones mixtas: La mayoría de las dislocaciones reales no son de ninguno de los dos tipos

anteriores sino que se presentan en forma de líneas curvas que presentan un carácter distinto en cada punto,

dependiendo de la dirección de la línea de la dislocación en dicho punto. En el ejemplo de la figura la

dislocación es helicoidal en A y en arista en B, y tiene un carácter intermedio en el resto de puntos.

- Bucles de dislocación: Todas los tipos de dislocaciones de las figuras anteriores se han creado de forma

que emergen en las superficies del cristal. Una dislocación jamás puede terminar en el interior de un cristal, sólo

puede terminar bien en las superficies externas o bien en imperfecciones del cristal (bordes de grano, otras

dislocaciones, poros, etc.). Sin embargo, las dislocaciones pueden ser completamente interiores al cristal pero

sólo si constituyen bucles cerrados como los de la figura (para su generación siguiendo el proceso hipotético

anterior habría que realizar un corte interior al cristal). Estas dislocaciones cerradas se denominan bucles de

dislocación y bajo tensión se pueden desplazar aumentando su radio (no tienen porqué ser circulares, pueden

presentar cualquier forma, por ejemplo en la figura se muestra un bucle cuadrado ideal). En este tipo de

dislocaciones, cada segmento del bucle tiene un carácter diferente mientras que segmentos opuestos tienen el

mismo carácter pero signos opuestos.

Todos estos tipos de dislocaciones pueden provocar una misma deformación macroscópica del cristal,

aunque evidentemente cada tipo de dislocación debe deslizar en diferente dirección distinta:

Existen sin embargo otros tipos de dislocaciones en forma de bucle que no pueden desplazarse, que no

contribuyen a la deformación plástica (a baja temperatura):

- Bucles prismáticos: Se forman idealmente por desplazamientos perpendiculares a la superficie de corte

hipotética de forma que se separan ambas caras y se rellena el hueco con nuevos átomos (bucle intersticial) o

simplemente se eliminan algunos átomos (bucle lagunar). En este caso, a pesar de tratarse de un bucle cerrado

todos los segmentos tienen el mismo carácter: dislocación en arista.

Además, las dislocaciones pueden encontrarse asociadas formando una junta o límite de grano o, dicho de

otro modo, los límites de grano pueden representarse como agrupaciones de dislocaciones. Estas dislocaciones

asociadas pueden moverse de forma conjunta (movimiento cooperativo), dando lugar en el caso de

desplazamiento de dislocaciones parciales al fenómeno de maclaje (twinning), que constituye un tipo particular

de mecanismo de deformación plástica que presentan algunos cristales (p. ej. es el mecanismo dominante en Fe-

BCC a temperatura ambiente):

4.2.2 Caracterización de las dislocaciones. Vector de Burgers.

Para caracterizar de forma precisa una dislocación es necesario conocer la

línea de la dislocación y el carácter de la misma en cada punto o segmento.

Para describir la línea de dislocación basta con conocer el vector de posición de

cada uno de sus puntos, r (o la trayectoria t = dr/dr de la dislocación). Para

describir el carácter de cada segmento se utiliza el denominado vector de

Burgers, b, que marca el deslizamiento sufrido por los átomos alrededor del

corte hipotético del que hablabamos en la sección anterior.

Para determinar b se traza un circuito cerrado

alrededor de la dislocación, en un plano perpendicular

a ésta, y se compara con el mismo circuito en un

cristal perfecto (ver figura). En el caso de la

dislocación, el circuito presenta un defecto de cierre y

b sería el vector que cerraría el circuito uniendo el

punto final con el inicial. El vector de Burgers es

siempre el mismo para toda la dislocación (todos los

átomos en el corte hipotético se desplazan la misma

cantidad). Sin embargo, existe ambigüedad al definir

el sentido del vector de Burgers pues depende del

sentido en que hagamos el circuito o de la cara del

plano perpendicular que consideremos, por tanto, el

vector de Burgers es en realidad un pseudovector.

Sería deseable que dislocaciones opuestas tuvieran signos opuestos en el vector de Burgers, pero

desgraciadamente entonces los bucles de dislocación (que pueden tener caracteres opuestos en distintos

r

drdr

t =

segmentos,) no podrían caracterizarse con un único b. El convenio que se adopta para salvar la ambigüedad en la

determinación de b y del carácter de la dislocación es el siguiente:

- Se atribuye un sentido a la dislocación (arbitrario) denotado por el vector tangente, t.

- Se determina b mirando la dislocación en sentido positivo y trazando el circuito de Burgers en sentido

horario (regla del sacacorchos).

En este caso, el carácter de la dislocación en cada punto se define completamente por la relación entre t y b

en dicho punto. Es decir:

- Dos dislocaciones rectilíneas son idénticas si: (a) sus vectores t y b coinciden o (b) si t1 =-t2 y b1=-b2.

- En una dislocación helicoidal las direcciones de t y b coinciden (t || b). Si además coinciden sus sentidos

se dice que la dislocación es helicoidal izquierda y si son opuestos la dislocación es helicoidal derecha.

- En las dislocaciones en arista t es perpendicular a b (t b). La posición del plano suplementario se

obtiene haciendo b t.

El plano de deslizamiento de la dislocación esta definido por b y t, por lo tanto es único para cada

dislocación, salvo en el caso de las dislocaciones helicoidales que pueden deslizar en toda la familia o haz de

planos que contienen a su línea de dislocación, ya que t || b. Por este motivo este tipo de dislocaciones son más

móviles, ya que pueden cambiar de plano de deslizamiento durante su desplazamiento, en un fenómeno que se

denomina deslizamiento cruzado (cross-slip). El hecho de que el plano de deslizamiento de una dislocación

venga determinado por el plano de sus vectores b y t también explica porque los bucles prismáticos no pueden

deslizar, ya que al ser b perpendicular al plano de dislocación, el plano de deslizamiento sería distinto en cada

punto de la dislocación y por tanto la dislocación en su conjunto no puede deslizar por ninguno de ellos.

El vector de Burgers determina la dirección y la magnitud del desplazamiento atómico elemental que sufre

el cristal cuando la dislocación se mueve en su plano de deslizamiento. Para determinar completamente el

desplazamiento se adopta el siguiente convenio: la dirección positiva de deslizamiento de una dislocación se

obtiene girando 90º en el sentido de las agujas del reloj el vector t dentro del plano de deslizamiento. Según este

convenio, cuando la dislocación avanza en su sentido positivo, la parte del cristal situada sobre el plano de

deslizamiento se desplaza una magnitud igual en módulo, dirección y sentido a b.

Finalmente, como ya hemos comentado, las dislocaciones deben terminar en los bordes del cristal, o bien

en algún defecto, como puede ser otra dislocación. De este modo se forman nudos de dislocación (triples o de

mayor rango). Estas dislocaciones no aisladas forman una red tridimensional que se denomina red de Frank. Se

verifica que si dos líneas de dislocación L1 y L2 confluyen en L3, entonces: b3 = b1+b2.

4.3 PROPIEDADES DE LAS DISLOCACIONES.

4.3.1 Tensiones en torno a una dislocación.

Una descripción completa de las tensiones alrededor de una dislocación implicaría un conocimiento

exhaustivo de los potenciales de interacción atómicos. Sin embargo, si excluimos

el núcleo (core) de la dislocación, podemos describir el resto del material como un

medio elástico y calcular las tensiones asociadas a la dislocación, puesto que

conocemos el desplazamiento atómico, b, entorno a ella.

En el caso de las dislocaciones helicoidales el cálculo es sencillo puesto que

no involucra más que tensiones de cizalladura:

r

Gb

Gr

b

zz

22

En cambio, el campo de tensiones entrono a una dislocación en arista es mucho más complejo pues

involucra tensiones de compresión cerca del semiplano atómico extra y tracción en el lado opuesto. En este caso,

se obtiene:

222

223

)1(2)2cos2(sin

)1(2 yx

yxyGb

r

Gbx

0

)1(22coscos

)1(2

)(

)1(22cossin

)1(2

222

22

222

22

yzxz

xy

yxz

y

yx

yxxGb

r

Gb

yx

yxyGb

r

Gb

Cuando la dislocación es mixta el vector de Burgers forma un ángulo con la línea de la dislocación y el

campo de tensiones es la suma del campo correspondientes a una dislocación helicoidal, pero sustituyendo b por

bcos, más el correspondiente a una dislocación en arista sustituyendo b por bsen.

4.3.2 Energía de una dislocación.

Existe una energía elástica asociada a estos campos de tensiones, es decir, a la distorsión atómica entorno a

la dislocación. Esta energía juega un papel muy importante en el movimiento de dislocaciones y, por tanto, en el

flujo plástico pues las dislocaciones tratan siempre de minimizar su energía, reduciendo su longitud o formando

grupos de forma que se minimice la energía total del sistema. La energía de una dislocación helicoidal se obtiene

fácilmente como:

0

1

2

22

2

ln4

2 42

12

2

1 1

0

1

0r

rlGbrldr

r

GbrldrU

r

r dV

r

r dV

2ln

4

2magnitud deorden 1 de dentro

0

1

2 Gb

r

rGb

dl

dUT

donde T es la energía elástica almacenada por unidad de longitud de la dislocación (no se contabiliza la energía

del núcleo), que también se denomina tensión de línea de la dislocación. Análogamente para las dislocaciones

en arista se obtiene:

)1(2

2

GbT

de forma que las dislocaciones en arista son más energéticas que las helicoidales. Como vemos, la energía de

cualquier dislocación es proporcional a b2 y por ello es lógico que las direcciones de deslizamiento observadas

en la práctica suelen ser de máximo empaquetamiento (mínimo b). La noción de tensión de línea es importante

pues nos da una idea de la tensión necesaria para cambiar la forma de una dislocación recta a curva (por ejemplo

en un anclaje, ver más adelante) y de la resistencia que opone la dislocación a aumentar su longitud. No debemos

confundir esta tensión con la tensión de Peierls.

4.3.3 Fuerzas entre dislocaciones.

Como consecuencia del campo de tensiones que cada dislocación genera a su alrededor, cuando dos

dislocaciones están próximas se ejercen entre sí fuerzas de interacción (iguales y de signo opuesto, principio de

acción y reacción). Estas fuerzas pueden afectar a la tensión externa necesaria para desplazar las dislocaciones,

es decir, para iniciar la deformación plástica, pues estas fuerzas que se ejercen entre sí las dislocaciones han de

sumarse a la tensión externa y comparar la suma de ambas con la tensión de Peierls.

En el caso de dislocaciones helicoidales, la fuerza (por unidad de longitud) que se ejercen mutuamente dos

de éstas dislocaciones paralelas entre sí se dirige según la línea más corta que las une s, y tiene una magnitud:

r

GbFs

2

2

donde r es la distancia entre ambos puntos. Fs es repulsiva si ambas dislocaciones tienen vectores de Burgers

paralelos y atractiva si son antiparalelos. Como puede apreciarse, esta fuerza es inversamente proporcional a la

distancia entre las dislocaciones. Cuando el plano de deslizamiento de ambas dislocaciones contiene a la

dirección de la fuerza, si las dislocaciones son opuestas pueden acercarse hasta aniquilarse entre sí. Si en cambio

ambos planos son paralelos, entonces las dislocaciones se deslizarán hasta quedar una sobre la otra. De esta

forma se pueden crear asociaciones de dislocaciones como, por ejemplo, subjuntas de grano.

En cambio, las fuerzas que se ejercen entre sí dos dislocaciones en arista paralelas vienen dadas por:

xyx bF

xy bF

donde xy y x son los correspondientes valores del campo de tensiones entorno a la dislocación, y el signo

depende de que las dislocaciones sean del mismo o distinto signo (es decir, con vectores de Burgers paralelos o

antiparalelos). Nótese que si las dislocaciones son del mismo signo existe una configuración de equilibrio justo

cuando ambas se encuentran una sobre la otra (se atraen hasta esta posición siempre y cuando estén a menor

distancia que la que separa sus planos de deslizamiento, ya que en caso contrario se repelen) de esta manera se

forman los llamados límite de inclinación (tipo de subjunta de grano, ver transparencias). El movimiento

coordinado de este tipo de agrupaciones de dislocaciones, debido a la presencia de este tipo de interacciones, está

en el origen del fenómeno de maclaje. Por otro lado, cuando son de distinto signo la situación de equilibrio se

alcanza cuando las componentes de separación son iguales (x = y, de forma que si y=0 se aniquilan) y de nuevo

se pueden formar subjuntas de grano (ver transparencias).

Finalmente, cabe destacar que no existe interacción entre dislocaciones de distinto tipo (por ejemplo,

helicoidales y en arista) que tengan sus líneas paralelas entre sí.

4.3.4 Fuerza resultante sobre una dislocación

Podemos calcular la fuerza total resultante, f, que actúa sobre la

dislocación provocando su movimiento del siguiente modo (ver figura):

El trabajo externo realizado por la resultante de todas las tensiones

de cizalladura (externa, otras dislocaciones, etc.) que actúan sobre el

material entorno a la dislocación es:

bllentodesplazamifuerzaWext ·· 21

por otro lado, el trabajo interno ejercido por las fuerzas internas que se

oponen al movimiento de la dislocación viene dado por:

21int )·( lflW

siendo f la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre la dislocación de longitud l1 y siendo l2 el

desplazamiento total de la dislocación. Entonces igualando ambas expresiones se obtiene finalmente:

bf

La fuerza que actúa sobre la dislocación es siempre normal a ésta, aunque las tensiones de cizalladura que

la originan sean paralelas a la línea de dislocación como en el caso de las helicoidales.

4.4 MOVIMIENTO Y MULTIPLICACIÓN DE DISLOCACIONES.

Como ya se ha mencionado, discutiéndolo a la luz de la ecuación de Perierls o de la energía de la

dislocación el movimiento de dislocaciones tiene lugar en planos densos de la estructura atómica y,

generalmente, en direcciones también densas (existen excepciones, como veremos por ejemplo en sólidos

iónicos). El conjunto de posibles planos-direcciones de deslizamiento en un cristal se denomina conjunto de

sistemas de deslizamiento, que estudiaremos a continuación para las principales estructuras metálicas:

4.4.1 Sistemas de deslizamiento en cristales FCC.

La familia de planos densos en FCC es la {111}, que consta de 4 planos: (111)(111)(111)(111). En estos

planos, las direcciones densas son del tipo <110>. Por cada plano existen 3 direcciones densas en total. Por

ejemplo, para el plano (111) serían las direcciones [110], [011] y [101]. Por tanto, el número total de sistemas de

deslizamiento en un cristal FCC sería 3x4=12.

Según la figura, la magnitud del vector de

Burgers en un cristal FCC vendrá dada por

2222

22aaa

Rb

mientras que el vector unitario en la dirección

de deslizamiento, p. ej. [110], vendrá dado por

101

2

1

101·101

101101

por lo que finalmente b puede escribirse como:

1012

1012

1

2

aab

4.4.2 Sistemas de deslizamiento en cristales BCC.

En los cristales BCC no existen planos completamente densos, pero sí direcciones densas: las del tipo

<111>, que serán pues las direcciones de deslizamiento. Los planos de deslizamiento preferente son los del tipo

{110} que son los más densos y contienen 2

direcciones tipo <111>. Sin embargo, también se

observa en determinados materiales, y dependiendo

de la temperatura, deslizamiento de dislocaciones en

planos del tipo {112} y {123}, cada uno con una

única dirección densa <111>. El máximo número de

sistemas de deslizamiento en cristales BCC es, por

tanto, de 6x2+12x1+24x1=48.

En cuanto al vector de Burgers, su magnitud en un cristal BCC vendrá dada por

aRb2

32

mientras que el vector unitario en la dirección de deslizamiento, <111>, vendrá dado por

111

3

1

111·111

111111

por lo que finalmente b puede escribirse como: 1112

1113

1

2

3 aab

El hecho de que existan muchos planos de deslizamiento conteniendo la misma dirección de deslizamiento

facilita que las dislocaciones helicoidales puedan cambiar de plano de deslizamiento (cross slip), un mecanismo

que favorece la deformación plástica al permitir a las dislocaciones esquivar obstáculos (ver figura). Este

fenómeno se da también en otros tipos de cristales.

4.4.3 Sistemas de deslizamiento en cristales HCP.

En los cristales HCP el plano denso es el plano basal (0001), siendo las direcciones densas (son 3) en dicho

plano las del tipo <1120> (ver figura).

En cristales HCP perfectos, es decir, con c/a= 38 1.633, estos 3 sistemas de deslizamientos son los únicos

existentes y lo mismo sucede en cristales con c/a >1.633. En cambio, en cristales con c/a <1.633 los planos

basales ya no están tan separados entre sí y se pueden activar otros sistemas de deslizamiento en planos del tipo

{1010} y {1011}, aunque se mantiene la dirección de deslizamiento: del tipo <1120>. Entonces el número total

de planos de deslizamiento sería 1x3+3x1+6x1.

El reducido número de sistemas de deslizamientos en cristales HCP implica que es difícil deformar

plásticamente estos metales, especialmente los policristales donde, como veremos, las deformaciones de cada

grano deben ser compatibles con las de los vecinos. Por este motivo, para cumplir con estas ligaduras, los

cristales HCP son propensos a deformar por maclaje. Además, en general los metales HCP son más frágiles que

los BCC o FCC.

En cuanto al vector de Burgers, su magnitud en un cristal HCP es b = a y como el vector unitario en la

dirección de deslizamiento viene dado por 02113

1, finalmente b puede escribirse como:

02113

ab

En la siguiente tabla se resumen los diferentes sistemas de deslizamiento en estructuras metálicas, que

acabamos de estudiar:

4.4.4 Sistemas de deslizamiento en materiales no metálicos.

En materiales no metálicos las dislocaciones también se mueven pero la determinación de los planos de

deslizamiento no es tan trivial como en metales y ha de determinarse en cada material atendiendo a su estructura.

Por ejemplo, en materiales formados por capas débilmente ligadas entre sí como el grafito o el talco, el

deslizamiento se produce siempre en los planos de las capas. En sólidos iónicos el plano de deslizamiento viene

determinado por la minimización de la interacción electrostática entre iones. Así, en NaCl con estructura FCC

las direcciones de deslizamiento siguen siendo del tipo <110> pero los planos de deslizamiento no son {111}

sino {110} (ver figura). En la tabla se muestran los sistemas de deslizamiento más habituales en algunos

materiales cerámicos:

4.4.5 Dislocaciones parciales.

En estructuras compactas (FCC y HCP) en

ocasiones, el deslizamiento de la dislocación se

ve complicado por el camino de desplazamiento

preferido por los átomos. Por ejemplo, en la

figura se muestra un plano {111} de un cristal

FCC. El desplazamiento atómico producido por la

dislocación viene determinado por b1. Sin

embargo, al átomo individual puede resultarle

más sencillo realizar ese desplazamiento en 2

pasos (b2 + b3) de forma que no necesita pasar

“sobre” el átomo adyacente:

1216

a112

6

a101

2

a 32 bbb1

Si el deslizamiento ocurre de este modo, la dislocación se divide en dos segmentos separados que pueden

considerarse dislocaciones parciales (Schockley) puesto que sus respectivos vectores son menores que un vector

de deslizamiento completo. Cuando esta disociación de la dislocación sucede, las dos dislocaciones parciales se

repelen entre sí. En efecto, ambas tienen una componente en arista paralela a la otra que se repelen puesto que

son del mismo signo e y = 0 (ver fuerzas entre dislocaciones en arista). También existe, sin embargo, una

componente helicoidal de las dislocaciones parciales, que tiende a acercarlas puesto que son de signos opuestos.

Domina en cambio el primer tipo de fuerzas pues las componentes en arista son mayores.

Los átomos de la región situada entre ambas dislocaciones parciales han deslizado sólo parcialmente (los

situados a la derecha de L3 aún no han deslizado y los situados a la izquierda de L2 lo han hecho un periodo

completo). Estos átomos situados sobre el plano de deslizamiento se encuentran desplazados con respecto a la

capa de átomos inferior, alterando la secuencia de apilamiento: ABCA/BCABC ABCA/CABC (donde el

plano antes de / es el plano de deslizamiento). La presencia de estas faltas de apilamiento, que tienen un espesor

de varios espaciados atómicos, debe ser energéticamente más favorable que el deslizamiento directo para que la

disociación de la dislocación en 2 parciales tenga lugar. Además, dependiendo del valor de la energía asociada a

esta falta de apilamiento, la distancia entre dislocaciones parciales será mayor o menor (mayor cuanto menor sea

la energía). Las faltas de apilamiento son bastante frecuentes en FCC y HCP y bastante menos en BCC (al no ser

una estructura compacta la energía asociada a las faltas de apilamiento es mayor).

Cuando una dislocación helicoidal se disocia en parciales ya no puede cambiar de plano de deslizamiento, a

no ser que se recombinen las dislocaciones parciales, puesto que éstas tienen componentes en arista. Por tanto,

en materiales propensos a las faltas de apilamiento se disminuye su movilidad.

4.4.6 Densidad de dislocaciones. Intersección de dislocaciones.

Las dislocaciones están siempre presentes en los materiales cristalinos, formando la denomindad red de

Frank. Para cuantificar su número se define la densidad de dislocaciones, , que representa el número de

dislocaciones que cortan la unidad de área o la longitud total de dislocaciones contenida en la unidad de volumen

(en cualquier caso se mide en unidades de inverso de área, por ejemplo, cm-2

). toma valores típicos de 106-10

7

cm-2

en monocristales, 1010

-1012

cm-2

en monocristales deformados en frio y sólo en cristales excelentes,

preparados cuidadosamente, se pueden alcanzar valores tan bajos como 103-10

4 cm

-2.

Puesto que las dislocaciones en un cristal son tan numerosas, forman un bosque tan intrincado que es

inevitable que en algún momento durante su desplazamiento se topen unas con otras, especialmente si hay varios

sistemas de deslizamiento activos. Estos cruces alteran la estructura de la dislocación y, en general contribuyen a

disminuir su velocidad y movilidad aunque, como veremos, pueden dar lugar a configuraciones que permiten su

multiplicación.

Dislocaciones en arista: En la figura se muestran dos

dislocaciones en arista que se cruzan. En este primer caso

ambas tienen vectores de Burgers perpendiculares y tras el

cruce la dislocación XY sufre simplemente un alargamiento

(de magnitud b2) mientras que en la AB aparece un codo

perpendicular PP’ de magnitud b1. En este segmento PP’ el

vector de Burgers sigue siendo b2 y por tanto el carácter de la

dislocación sigue siendo en arista con b y t son tales que la

dislocación puede seguir deslizando sin problemas, no se

ralentiza su avance.

Algo similar sucede cuando ambos vectores son paralelos. En ese

caso, aparecen sendos codos en las dislocaciones, pero ahora el

carácter de las dislocaciones en estos nuevos segmentos cambia a

helicoidal. Estos segmentos tienen pues una gran movilidad y no

ralentizan el avance de la dislocación. En definitiva, en

cualquiera de los casos, los codos pueden seguir deslizando

normalmente. Por tanto, los codos creados por la intersección de

2 dislocaciones en arista no afectan al movimiento de la dislocación. Estos codos situados en el plano de

deslizamiento y que no impiden su deslizamiento reciben en inglés el nombre de kinks (pliegue, arruga).

Dislocaciones helicoidales: Cuando en la intersección se

ve involucrada alguna dislocación helicoidal, la situación

cambia. En la figura se muestra la intersección entre una

dislocación en arista y una helicoidal. Tras el cruce aparecen

sendos codos, siendo ambos de carácter en arista. El codo PP’

no impide el movimiento de la dislocación en arista, en

cambio, el QQ’ si restringe el movimiento de la helicoidal al

plano formado por su vector de Burgers y QQ’.

El obstáculo al movimiento de las dislocaciones es aún

mayor cuando 2 helicoidales se cruzan, ya que en este caso

son ambas dislocaciones las que se ven afectadas. Estos

codos situados fuera del plano de deslizamiento se

denominan en inglés jogs (saltos) y dificultan

significativamente el avance de la dislocación. En efecto, los

codos como el de la figura 3D (QQ’) sólo pueden

desplazarse en el plano formado por QQ’ y b2 (plano

QQ’YZ) mientras que el resto de la dislocación tenderá a moverse hacia DEFG.

Movimiento de subida

La única forma de que el segmento QQ’ siga el movimiento de la dislocación es mediante movimiento de

subida. El movimiento de subida (ver figura) es no conservativo y sólo es posible en dislocaciones en arista.

Además, involucra la creación y difusión de defectos puntuales (vacantes o intersticiales) y, por tanto, se trata de

un proceso térmicamente activado. En particular, si el movimiento de subida se produce por supresión de una fila

de átomos en el semiplano extra (por difusión de vacantes hacia la dislocación o bien creación de intersticiales

que difunden alejándose de la dislocación) se dice que es positivo, y si se crea una fila extra (por difusión de

intersticiales hacia la dislocación o bien creación de vacantes que difunden alejándose de la dislocación),

negativo. Puesto que el movimiento de subida involucra difusión, a bajas temperaturas es prácticamente

inexistente mientras que, como veremos, se convierte en un mecanismo de deformación dominante a altas

temperaturas. Por tanto, los codos en dislocaciones helicoidales dificultan enormemente su movimiento a baja

temperatura, obligando a la dislocación a

curvarse (a). Si se activa el mecanismo de subida

los codos van dejando tras de si un rastro de

vacantes (a). Cuando además la magnitud del

codo es mayor (debido a varias intersecciones) el

movimiento de subida se ve aún más dificultado

pues necesita de muchas más vacantes para

producirse. Si la magnitud del codo es intermedia

aparecen largos segmentos en arista paralelos que

se denominan dipolos (b) y cuando son muy

grandes, los dos segmentos helicoidales se

mueven de forma independiente después de

describir grandes curvas (c).

4.4.7 Velocidad de desplazamiento de las dislocaciones.

La velocidad de movimiento de las dislocaciones puede ser medida de forma razonable por diversas

técnicas, siempre que se garantice que las interacciones entre ellas es despreciable. El límite máximo de

velocidad viene determinado por la velocidad del sonido en el material. Para valores de tensión muy inferiores a

los que provocarían tales velocidades límites, la relación entre velocidad, v, y tensión aplicada viene dada por:

p

ovv

0

siendo p, v0 y 0 constantes de cada material. Estas constantes dependen fuertemente de la temperatura

considerada.

4.4.8 Relación entre movimiento de dislocaciones y deformación plástica.

Es importante relacionar el movimiento de dislocaciones con la deformación plástica. Consideremos un

cristal cúbico de lado L en el que se mueve una dislocación (ver figura). Cuando la

dislocación recorre una distancia x, se puede aproximar la distorsión del cristal en

esa dirección por bL

x , de forma que la deformación plástica de cizalladura

correspondiente sería:

L

b

L

x

Si en lugar de una, tenemos N dislocaciones deslizando, entonces la

deformación plástica sería:

bxL

b

L

xN

y, análogamente,

bvxb

Esta última relación es típica de los fenómenos de transporte en Física y expresa que la velocidad con que

se produce el efecto del transporte (velocidad de deformación plástica en este caso) es igual a la densidad de

partículas responsables del transporte (dislocaciones), por la capacidad de transporte de cada partícula (b en este

caso) y por la velocidad de dichas partículas. Por último, sustituyendo la expresión para la velocidad de

movimiento de dislocaciones (sección 4.3.5) se obtiene:

nnb

Relación que recordaremos al estudiar la fluencia a alta temperatura. Notar que para n =1 se obtiene la expresión

típica de un flujo viscoso Newtoniano que vimos en el tema anterior al estudiar los modelos de viscoelasticidad.

4.4.9 Multiplicación de dislocaciones.

Durante el proceso de deformación de cristales se puede observar incluso bajo

un microscopio óptico la aparición de bandas de deslizamiento. El tamaño de estas

bandas es del orden de 1 m mientras que el desplazamiento provocado por cada

dislocación, i.e. el vector de Burgers, es del orden de 0.2-0.3 nm. Esto significa que

debería haber 104 dislocaciones del mismo tipo en el mismo plano de deslizamiento

para que se produjesen dichas bandas, cosa que es muy poco probable. Por tanto,

debe existir un mecanismo de generación de dislocaciones activo, un manantial de

dislocaciones, en dichos planos concretos. Además, si no hubiera ningún manantial engendrando dislocaciones,

la deformación en frío produciría una disminución de la densidad de dislocaciones en el material, en vez del

aumento observado experimentalmente. Por consiguiente, debe existir un proceso que engendre dislocaciones y

multiplique su número, generando la elevada densidad de dislocaciones que se encuentra en los metales

deformados en frío.

El esquema mediante el cual se pueden engendrar dislocaciones a partir de las ya existentes fue propuesto

por Frank y Read, y se denomina comúnmente molino, manantial o fuente de Frank-Read. Consideremos una

línea de dislocación AB en un plano de deslizamiento que está inmovilizada, anclada, en estos extremos ya sea

por la presencia de defectos, jogs, nodos con otras dislocaciones, etc. Si una tensión de cizalla actúa en el plano

de deslizamiento, la línea de dislocación se curva por efecto de la fuerza por unidad de longitud, f =b, que

genera dicha tensión sobre la dislocación (ver sección 4.3.3) y produce deslizamiento. Calculemos la tensión

necesaria para conseguir que la dislocación adopte un cierto radio de curvatura R (ver figura):

La fuerza total sobre el segmento de dislocación viene dada por:

bRF

Rs

sbsfF

:ángulo · radioarco

Dicha fuerza está en equilibrio con la tensión de línea, 2

2GbT , de la

dislocación (ver sección 4.3.2):

TTF 2

sin2

De forma que igualando ambas expresiones y despejando se obtiene:

R

Gb

bR

T

2

El máximo de tensión de cizalladura necesaria para que continúe indefinidamente el arqueamiento de la línea de

dislocación se alcanza cuando se convierte en un semicírculo, de manera que R tenga el valor mínimo l/2. La

tensión requerida para producir esta configuración es:

l

Gbmáx

Cuando aumenta la tensión por encima de este valor crítico, la

dislocación se hace inestable y se expande indefinidamente. La

figura c) muestra el anillo expandido que empieza a replegarse

hacia atrás sobre sí mismo. En la figura d), la dislocación casi se

ha replegado sobre sí misma, y en e) las dos partes del anillo se

han unido. Esto origina un anillo completo y reproduce la línea

de dislocación original AB. Mientras continúe la tensión, el

anillo puede continuar expandiéndose sobre el plano de

deslizamiento, mientras la sección AB se endereza bajo la

influencia de la tensión aplicada y de la tensión de línea. En este

momenteo el manantial de Frank-Read se halla entonces en

condiciones de repetir el proceso. Este proceso se puede repetir

varias veces, creando en cada ocasión un anillo de dislocación

que produce el deslizamiento de un vector de Burgers a lo largo

del plano de deslizamiento. Sin embargo, una vez iniciado el

manantial, éste no produce dislocaciones indefinidamente. La retrotensión producida por el apilamiento de

dislocaciones a lo largo del plano de deslizamiento cuando la primera de ellas encuentre algún obstáculo

impermeable a su paso se opone a la tensión aplicada. Cuando la diferencia entre la tensión aplicada y la

retrotensión es menor a la tensión crítica (Apl-Ret<max) para activar el manantial, éste deja de estar activo.

Como consecuencia de este tipo de mecanismos de multiplicación de dislocaciones, a diferencia de los

defectos puntuales, no existe una relación determinada entre la densidad de dislocaciones y la temperatura. Los

materiales pueden tener densidades de dislocaciones muy diferentes dependiendo de las condiciones de

elaboración y de su historia de deformación previa.

4.5 DEFORMACIÓN EN MONOCRISTALES. LEY DE SCHMID.

4.5.1 Ley de Schmid

El deslizamiento en un monocristal puede producirse según varios sistemas de deslizamiento distintos. Cuál de

ellos se active (y a qué tensión lo hace) cuando se aplica sobre el cristal una tensión de tracción o compresión

s

f

TT

R

depende de la geometría del cristal y la orientación de éste con respecto al eje de carga (anisotropía). Según la

Ley de Schmid, “para un sistema de deslizamiento dado, el deslizamiento comienza cuando la tensión de

cizalladura resuelta, R, para dicho plano y dirección de deslizamiento, alcanza un cierto valor crítico

denominado tensión de cizalladura crítica,c”. Esta tensión de cizalladura crítica depende fundamentalmente

de la composición del cristal, de la presencia de defectos y de la temperatura (este valor puede ser tan bajo como

1 MPa). En ausencia de defectos, el valor de c coincide con el de la tensión de Peierls.

Para determinar la tensión de cizalladura resuelta para un sistema de

deslizamiento dado basta con conocer la orientación del plano y dirección de

deslizamiento con respecto al eje de aplicación de las tensiones. Para la

situación de la figura, por ejemplo, R viene dada por:

M

A

F

A

F

A

F

s

R coscoscoscos

cos

coscos

00

donde es la tensión aplicada.

El factor M = cos cos se denomina factor de Schmid, y tiene un valor máximo igual a 0.5 debido a la

relación entre los ángulos y (puede verificarse fácilmente para el caso en que las 3 direcciones sean

coplanares ya que entonces + = 90º 21

21

22)cos(cos λsenλM ). Si alguno de los dos

ángulos ( o ) es 90º entonces M = 0. Como la tensión crítica c no depende del sistema de deslizamiento, la

activación de un sistema de deslizamiento es tanto más probable cuanto mayor sea su tensión de cizalladura

resuelta, es decir, su factor de Schmid.

Invirtiendo la ecuación anterior y particularizando para el inicio de plasticidad se obtiene:

c

c

MY

2

Por tanto, la tensión de límite elástico

obtenida en un ensayo uniaxial sobre un

monocristal variará considerablemente según su

orientación (ver figura). Esto es especialmente

cierto si hay pocos sistemas de deslizamiento

disponibles (p. ej. en metales HCP), ya que

entonces se pueden producir grandes variaciones

de orientación entre el plano de deslizamiento y

el eje de carga sin que se active un nuevo

sistema de deslizamiento. En cambio, en

cristales FCC hay tantos sistemas de

deslizamiento que sólo es posible llegar a

duplicar el límite elástico por variación de la

orientación del plano de deslizamiento con

respecto al eje de tracción antes de que se active

un nuevo sistema de deslizamiento.

El valor de la tensión crítica de cizalladura en un cristal está determinado por la interacción mutua entre sus

dislocaciones y con defectos tales como vacantes, átomos intersticiales e impurezas. De hecho, se observa un

aumento en esta tensión cuando se eliminan dislocaciones del sólido, por ejemplo, mediante recocido.

Discutiremos estos mecanismos de endurecimiento al estudiar la deformación en policristales, donde el número

de mecanismos es mayor. La tensión de cizalladura crítica de un cristal es, por tanto, mayor que la que se

necesita para deslizar una dislocación aislada (tensión de Peierls), pero sustancialmente menor que la necesaria

para producir deslizamiento en una red perfecta en ausencia de dislocaciones.

A continuación os transcribo algunos ejemplos de problemas resueltos sobre lo que acabamos de explicar:

Ejemplo 1: Considera (ver figura) una tensión de tracción aplicada en dirección [100] y el sistema de

deslizamiento (111)[101̄]—Se puede verificar haciendo el producto escalar que la dirección [101̄] efectivamente

está contenida en el plano (111)—y calcula su factor de Schmid:

6

1coscos

2

1

]110[ ]100[

]110[]100[cos

3

1

]111[ ]100[

]111[]100[cos

λM

Si para este cristal, c =5 MPa, determina la tensión que necesitamos aplicar para activar ese sistema de

deslizamiento: MPa 65 M

M cccR

Ejemplo 2: Estás diseñando una pieza de una turbina a partir de un monocristal FCC. Utiliza la ley de Schmid

para determinar la tensión de cizalladura crítica que debe tener el cristal para que la pieza exhiba una tensión de

límite elástico uniaxial de 200 MPa en la dirección [331]:

Calculando los factores de Schmid correspondientes a cada sistema de deslizamiento del cristal FCC para

esa dirección de aplicación de la tensión se obtiene:

Por tanto el máximo valor del factor de Schmid es619

20M , por lo que 86200619

20 MYc MPa.

4.5.2 Ensayos uniaxiales en monocristales.

La mayoría de estudios acerca de las propiedades mecánicas de los monocristales se realizan sometiéndolos

a ensayos de deformación uniaxial. En un ensayo uniaxial convencional, el hecho de que la muestra esté fijada

por sus extremos a la cabeza de la máquina impone restricciones a la deformación de la muestra, que no puede

deformarse libremente por deslizamiento uniforme. En efecto, como

se ilustra en la figura, al deformarse el cristal, los planos de

deslizamiento giran (y cerca de las mordazas se flexionan los

escalones de deformación), tendiendo a alinearse paralelamente al eje

de carga (tanto más cuanto mayor sea la deformación de la muestra).

Así pues, conforme avanza la deformación, disminuye el valor del

factor de Schmid para el sistema de deslizamiento primario, de modo

que ha de aplicarse una carga de tracción mayor para superar el valor

de la tensión crítica de cizalla para este sistema de deslizamiento.

Pero, mientras el factor de Schmid disminuye para el sistema

primario, aumenta eventualmente para otros sistemas que giren hasta

formar aproximadamente 45º con el eje de carga. Cuando la tensión de

cizalladura resuelta sobre el nuevo sistema de deslizamiento es igual

(aproximadamente) a la tensión de cizalladura sobre el sistema

primario original, se activará un nuevo sistema de deslizamiento

(secundario), y se abandonará el primero, que tiene ahora un menor

factor de Schmid. La aparición de más de un sistema de deslizamiento

durante la deformación se denomina en general deslizamiento

múltiple.

4.5.3 Otro mecanismo de deformación plásica: el maclaje.

Otro mecanismo que puede dar lugar a deformación plástica en cristales es el maclaje o maclado. El

maclado (c) difiere del deslizamiento de dislocaciones (b)

descrito más arriba en varios aspectos fundamentales:

- En el deslizamiento, la orientación de los cristales

por encima y por debajo del plano de

deslizamiento es la misma antes y después del

deslizamiento, mientras que en el maclado se

produce una diferencia de orientación con respecto

al plano de macla, como en el movimiento de

dislocaciones parciales.

- Normalmente, el deslizamiento tiene lugar en múltiplos enteros del espaciado reticular, mientras que, en

el maclado, los movimientos de los átomos son muy inferiores a una distancia reticular.

- El deslizamiento se produce sobre planos aislados, relativamente muy dispersos en el cristal, pero en la

zona maclada de un cristal, todos los planos atómicos intervienen en la deformación.

- Las maclas se pueden producir por deformación mecánica (maclas mecánicas) o por tratamientos

térmicos (maclas de recocido).

- La deformación macroscópica por maclado es, en general, muy inferior a la deformación por

deslizamiento. En efecto, el importante papel que juegan las maclas en la deformación plástica no se

debe exclusivamente a la magnitud intrínseca de la deformación por maclado, sino a que las variaciones

de orientación resultantes pueden producir la activación de nuevos sistemas de deslizamiento con una

orientación favorable con respecto al eje de tensión. Es por esto que el maclado es importante

fundamentalmente en cristales con pocos sistemas de deslizamiento primarios—por ejemplo, las maclas

mecánicas son típicas en cristales HCP, especialmente cuando son deformados a bajas temperaturas y

altas velocidades de carga, pero muy raras en metales FCC.

- Cuando se forman maclas en el seno de un cristal, aparecen “dientes” en la región plástica de la curva

tensión-deformación.

- En cada estructura cristalina, el maclado se produce en una dirección definida sobre un plano

cristalográfico específico, y se desconoce si existe una tensión crítica de cizalla para el maclado.

4.6 DEFORMACIÓN EN POLICRISTALES.

Aunque los mecanismos de deslizamiento son los mismos en monocristales

y policristales, sus curvas tensión-deformación difieren substancialmente. En

efecto, los granos adyacentes a uno dado imponen ligaduras a su deformación

de igual forma que lo hacen las mordazas en un ensayo de tracción. Es necesario

compatibilizar los desplazamientos de los grano en las interfases, los granos

deben deformar en conjunto, acomodando las deformaciones de los vecinos o,

de lo contrario, aparecen poros y microfisuras. Por este motivo, los policristales

exhiben una mayor resistencia intrínseca a la deformación (es decir, una mayor

tensión de límite elástico) que los monocristales, ya que es

necesario activar simultáneamente varios sistemas de

deslizamiento, algunos de ellos poco favorablemente

orientados respecto a la carga aplicada.

Por otro lado, generalmente la existencia de estas

ligaduras también se traduce en una reducción de la

ductilidad. Además, el hecho de que unos granos estén más

favorablemente orientados que otros hace que el inicio del

régimen plástico no sea abrupto sino progresivo, lo que

explica la dificultad para determinar el límite elástico en las

curvas tensión-deformación correspondientes a policristales.

El incremento en el límite elástico que se aprecia en un policristal respecto del correspondiente monocristal

viene dado por el factor de Taylor, que se obtiene promediando la tensión aplicada entre todos los sistemas de

deslizamiento posibles y que resulta ser próximo a 1.5. Es decir, la tensión crítica en policristal viene dad por

c 5.1 , siendo c la tensión crítica de un monocristal del mismo material. Por tanto, la tensión de límite

elástico en policristales verifica: cY 32 .

4.7 MECANISMOS DE ENDURECIMIENTO.

El valor concreto de c, y por tanto de Y, depende de cada material, tanto de su composición como de su

microestructura e historia mecánica previa. Cada material tiene una tensión crítica (o resistencia) intrínseca, que

puede relacionarse con la tensión de Peierls, y que por tanto depende de su naturaleza química y de enlace así

como de la temperatura. Pero además, este valor crítico puede alterarse, incrementarse, con la presencia de

defectos que dificulten el deslizamiento de dislocaciones. Estos defectos actúan por tanto como mecanismos de

endurecimiento del material. El incremento de resistencia a la deformación (Y), de dureza (H), que cada tipo de

defecto proporciona al material estará relacionado con la tensión necesaria para sobrepasar esos obstáculos.

Como vimos al estudiar las fuentes Frank-Read, la tensión necesaria para superar 2 obstáculos completamente

inmóviles es l

Gbmáx . donde l es la distancia entre los obstáculos.

Entonces, podemos considerar que el incremento en tensión crítica

vendrá dada por:

L

Gb

donde L es la distancia promedio entre obstáculos. La constante de proporcionalidad en esa ecuación será mayor

cuanto más impenetrables sean los obstáculos y viceversa. Estudiaremos a continuación los diferentes

mecanismos de endurecimiento que se conocen.

4.7.1 Endurecimiento por deformación (work hardening).

Las propias dislocaciones constituyen un obstáculo para el movimiento de otras dislocaciones al generearse

jogs inmovilizados cuando se cruzan entre sí. Este mecanismo es muy efectivo para incrementar la resistencia a

la deformación plástica (Y, H) y su efecto se ve incrementado conforme aumenta la deformación plástica sufrida

por el material, puesto que aumenta la densidad de dislocaciones (siempre que

estemos a baja temperatura, es decir, si la deformación es en frío). Esta técnica se

emplea desde la antigüedad (Edad de Bronce) para mejorar las propiedades

mecánicas de los metales: doblándolos o golpeándolos con un martillo sobre un

yunque para aumentar su dureza.

Este mecanismo actúa también en monocristales donde, como se aprecia en la

figura de la derecha, al aumentar la densidad de dislocaciones, primero se observa

una fuerte caída en la resistencia a deformación plástica (si no hay dislocaciones

no se puede activar su deslizamiento), luego la resistencia aumenta conforme el

aumento de densidad comienza a dificultar el avance de las dislocaciones.

Así, en un monocristal convencional (no whisker) se aprecian 3 regiones en la curva tensión deformación a

baja temperatura (ver figura):

Fase I: Región de fácil deslizamiento. Debido a la baja concentración de

dislocaciones se producen escasos cruces y por tanto el endurecimiento es

lento.

Fase II: Región de endurecimiento lineal, más rápido, debido al continuo

incremento de la densidad de dislocaciones.

Fase III: Región de recuperación dinámica o de endurecimiento parabólico,

dónde comienzan a activarse los mecanismos de deslizamiento cruzado

(cross slip) y las dislocaciones helicoidales empiezan a evitar los obstáculos

que dificultan su movimiento haciendo más ineficiente el mecanismo de endurecimiento.

En policristales, el comportamiento observado es similar al de la fase III de monocristales. Las fases I y II

no son apreciables en estos materiales debido al gran número de sistemas de deslizamiento involucrados todos

interaccionando unos con otros desde el inicio de plasticidad. Es decir, en policristales aumenta Y pero luego no

se observa un fuerte endurecimiento por deformación (fase II, lineal), sino exclusivamente un endurecimiento

parabólico, si bien su magnitud es varias veces superior al del mismo tramo de endurecimiento parabólico en

monocristales.

Como hemos comentado, los obstáculos que se oponen al movimiento de dislocaciones en este caso son las

otras dislocaciones, los jogs que estas crean al intersecarse. Por tanto, suponiendo que todas las dislocaciones

suponen obstáculos, el espaciado promedio entre obstáculos se obtiene considerando que ≈ 1/L2. Entonces:

Gbc

Esta expresión se ha verificado experimentalmente para un gran número

de materiales, obteniéndose, por ejemplo, que en metales BCC y FCC la

constante de proporcionalidad es próxima a 0.4 y a 0.2, respectivamente.

Como ya se ha comentado, generalmente, el incremento en resistencia a

la deformación plástica lleva aparejado una disminución en la ductilidad

del material. En ocasiones, especialmente para operaciones de

conformado como la extrusión, el endurecimiento por deformación puede

ser un problema pues al acumularse la deformación se dificulta el

proceso. Para eliminar el endurecimiento del material es posible recocer

(anneal) la pieza para eliminar el exceso de dislocaciones.

4.7.2 Endurecimiento por fronteras de grano (boundary strengthening).

Las fronteras de grano no son permeables a las dislocaciones y, por

tanto, constituyen un obstáculo para su deslizamiento. Existen muchos

modelos teóricos físicamente plausibles para explicar como estos bordes de

grano endurecen el material y aquí consideraremos uno de ellos. Como ya se

discutió, algunos granos favorablemente orientados comenzarán a deformar,

generando un gran número de dislocaciones que al llegar al borde de grano se

apilarán deteniendo su avance hasta que comience la deformación en el grano

contiguo. Este inicio de plasticidad en el grano adyacente se produce cuando

la tensión que actúa sobre la frontera de grano, es decir, aproximadamente la

que actúa sobre la primera dislocación, alcanza un valor crítico *. La tensión

que actúa sobre esta dislocación se puede demostrar que es n veces el exceso de tensión de cizalladura aplicada,

c ), siendo n el número de dislocaciones apiladas. Puede demostrarse que n viene dado por:

Gb

dn c

siendo d el diámetro del grano. Por tanto,

Gb

dn

cy

cy

2

*

y finalmente se obtiene:

2/1'* dk

d

Gbyccy

o equivalentemente: 2/1

0

dk yy

Esta ecuación se conoce como ecuación de Hall-Petch y nos dice que la tensión de límite elástico es

inversamente proporcional a la raiz cuadrada del tamaño de grano. Es decir, es posible endurecer un material

policristalino simplemente reduciendo su tamaño de grano. Sin embargo, la validez de la ecuación de Hall-Petch

es limitada y deja de ser válida a valores muy pequeños del tamaño de grano (tamaño nanométrico), ya que

predice tensiones de límite elástico superiores incluso a los valores teóricos en ausencia de dislocaciones.

Otra explicación teórica para la ecuación anterior ha sido propuesta por Li, y consiste en considerar las

fronteras de grano como fuente de dislocaciones, de forma que la longitud de dislocaciones emitidas por estas

fronteras por unidad de área es constante. Entonces se verifica que la densidad de dislocaciones debidas a

fronteras de grano viene dada por d

1 , y considerando el endurecimiento por deformación asociado a estas

nuevas dislocaciones se obtiene:

dGb cycc /1

Finalmente, conviene mencionar que no todas las fronteras de granos son igualmente eficientes a la hora de

endurecer el material: los bordes de grano de ángulo pequeño son poco efectivos, mientras que las fronteras de

fase son especialmente efectivas. Además, la forma de los granos, y no sólo su tamaño medio, afecta también a

la resistencia y dureza del material.

4.7.3 Endurecimiento por solución sólida (Solid solution strengthening).

Hasta ahora hemos considerado mecanismos de endurecimiento que actúan en materiales puros. Cuando

consideramos la posibilidad de añadir nuevos componentes al material, el número de posibles mecanismos se

incrementa. En una solución sólida la microestructura no se modifica puesto que existe una única fase, pero si se

altera localmente la estructura atómica, apareciendo interacciones elásticas, eléctricas y químicas entre los

átomos de soluto y las dislocaciones. De todas estas interacciones las más

efectivas y sencillas de cuantificar son las elásticas. La introducción de un

átomo de distinto tamaño en la red la distorsiona, generando un campo de

tensiones con simetría esférica (isostático) a su alrededor. Este campo

interaccionará con el campo de tensiones de la dislocación de forma que,

por ejemplo, una dislocación en arista se verá atraída por átomos de soluto más pequeños que la red si estos se

encuentran sobre el plano de deslizamiento al permitir estos átomos relajar la distorsión atómica en torno al

plano extra, y lo mismo sucedería con un átomo grande situado bajo el plano de deslizamiento. Por el contrario,

si el átomo de soluto es mayor y se encuentra sobre el plano o si es menor pero se encuentra bajo el plano de

deslizamiento, donde las tensiones de tracción aumentarían con su presencia, la dislocación se vería repelida por

el defecto. En cualquiera de los casos, cuando la dislocación se encuentra estos obstáculos en su camino su

avance se ve dificultado (cuando ha de acercarse a los que la repelen o alejarse de los que la atraen), aunque en

general este tipo de defectos son permeables al paso de las dislocaciones.

Sin embargo, este efecto de tamaño no afectaría a las dislocaciones helicoidales puesto que el campo de

tensiones de cizalladura pura entorno a estas dislocaciones no interaccionaría con los campos isostáticos entorno

a los defectos. A pesar de todo, los átomos de soluto afectan a todo tipo de dislocaciones puesto que además del

efecto de tamaño existe un efecto debido al cambio local del módulo elástico (cambio de energía de enlace)

entorno al átomo de soluto. Este efecto puede sumarse o restarse al efecto de tamaño en dislocaciones en arista.

Por otro lado, existen defectos no esféricos,

anisótropos, como por ejemplo los creados por átomos de

soluto intersticiales o los pares Schottky o Frenkel, que

generan tensiones anisótropas, con cizalladura no nula y que

por tanto afectarían también a dislocaciones helicoidales. De

hecho, la interacción de este tipo de defectos con las

dislocaciones es muy fuerte, pudiendo ser considerados

obstáculos tan impenetrables como los jogs.

El incremento de tensión necesaria para superar todos estos nuevos obstáculos, de nuevo vendrá dada

por:L

Gbc donde la constante de proporcionalidad será pequeña si los obstáculos son débiles y mayor si

son fuertes. Si consideramos que sólo los átomos situados justo por encima y debajo del plano de deslizamiento

afectan a la dislocación, habrá 2c/a2 átomos de soluto por unidad de área (siendo c la concentración de soluto en

tanto por uno y a, el espaciado interatómico). Por lo que el espaciado entre defectos en el plano de deslizamiento

será:

c

aL

2

y finalmente se obtiene:

cGbc

siendo =0.1-0.2 para obstáculos duros (anisótropos) y < 0.01 para obstáculos blandos (isótropos). El

parámetro puede expresarse en términos de una distorsión o deformación elástica,2/3 , que tiene en

cuenta tanto el efecto de tamaño o de la anisotropía del defecto como el de cambio local de módulo elástico.

El endurecimiento por solución sólida, al ser proporcional a la raíz cuadrada de la concentración de soluto,

es un mecanismo muy efectivo para incrementar la dureza y resistencia a la deformación de materiales. Es un

hecho bien conocido que las aleaciones (bronce, plata de ley, acero, etc.) son más duras que los metales puros

que forman sus respectivas matrices. Además, al contrario que en el endurecimiento por deformación, la

inclusión de átomos de soluto no reduce necesariamente la ductilidad del material, pudiendo incluso

incrementarla dependiendo del tipo de soluto (esto sucede, por ejemplo, en los latones: aleaciones Cu-Zn).

Por otro lado, este mecanismo de endurecimiento explica por qué en determinados materiales como el

acero, se observa el fenómeno de punto de fluencia, es decir, la aparición de bandas de Lüder (ver figura, curva

A). En efecto, los átomos de soluto intersticial (N, C, etc.) sienten gran atracción por las

dislocaciones del material y durante los procesos de carburación o nitruración o

cualquier otro proceso de fabricación del material, tienden a colocarse entorno a las

dislocaciones, formando una atmósfera rica en átomos de soluto entorno a ellas. Estas

atmósferas dificultan mucho el inicio de plasticidad, anclando las dislocaciones, y es

necesario aplicar una gran tensión para romper estos anclajes, y por tanto, se registra un

valor de Y más elevado (límite elástico superior). Sin embargo, una vez se liberan las

dislocaciones de esas jaulas iniciales, la tensión necesaria para proseguir la deformación

es mucho menor, de ahí la caída en la curva hasta el denominado límite elástico

inferior. Los sucesivos máximos y mínimos que se aprecian posteriormente en la curva

marcan eventos similares que tienen lugar localmente en diferentes regiones del

material (la deformación plástica no se produce uniformemente en toda la probeta) y

cesan cuando todas las dislocaciones originales se han liberado. A partir de ese momento comienza el tramo de

endurecimiento por deformación convencional. Según lo expuesto, se explica fácilmente por qué una vez

deformada una probeta, si la ensayamos de nuevo no observaremos las aparición de bandas de Lüder (ver figura,

curva B).

4.7.4 Endurecimiento por precipitación o por partículas (Precipitation or particle hardening).

Si además de modificar la composición del material se actúa sobre la microestructura, las posibilidades de

endurecimiento se incrementan. En particular, la existencia de precipitados o partículas de una segunda fase

dispersas en una matriz puede incrementar considerablemente su tensión de límite elástico, incluso para

fracciones en volumen de fase dispersa tan bajos como 1-10%. Esto es debido a que las partículas dispersas son

mucho más impermeables a las dislocaciones que los átomos de soluto dispersos en una solución sólida.

El grado de endurecimiento que proporcionan las dispersiones de partículas o precipitados depende de una

serie de factores:

- El tamaño, r, de las partículas,

- la fracción en volumen, f, de partículas (la separación media entre partículas, L, está definida si se

conoce la fracción en volumen y el tamaño de las mismas),

- la forma de las partículas (en general las partículas no esféricas, p. ej. plaquetas o agujas, son más

efectivas a la hora de endurecer el material debido a su anisotropía) y

- la naturaleza de la interfase partícula-matriz.

Este último factor es determinante para entender el mecanismo elemental por el que se produce el

endurecimiento, así que lo analizaremos en primer lugar. La naturaleza de la interfase depende de diversos

factores, pero principalmente del tamaño de la partícula y de la forma en que estas se introducen en la matriz. Si

las partículas son introducidas por precipitación a partir

de una solución sólida sobresaturada (ver figura) y son

pequeñas (lo que se consigue para tiempos de

precipitación cortos) habitualmente las interfases serán

coherentes con la matriz. En este tipo de interfases todos

los enlaces entre partícula de precipitado y matriz se

satisfacen, se trata pues de una interfase ordenada. En

cambio, cuando la partícula precipitada aumenta

demasiado de tamaño (mucho tiempo de precipitación) o

cuando la partícula se introduce artificialmente en la

matriz (por ejemplo, por pulvimetalurgia o procesado

cerámico de polvos), la coherencia en la interfase no se

obtiene, los enlaces no se ven satisfechos y la interfase es

desordenada.

La diferencia en cuanto al endurecimiento entre

ambos tipos de interfases es que, en el primer caso, las

dislocaciones pueden continuar propagándose hacia el

interior de la partícula puesto que el plano de

deslizamiento no se interrumpe (aunque se distorsione),

mientras que en el segundo caso las dislocaciones deben esquivar las partículas curvándose entorno a ellas.

Veamos a continuación el endurecimiento que se produce en cada caso:

Partícula permeable (interfase coherente, endurecimiento por precipitación): Cuando la partícula es

permeable al paso de dislocaciones el endurecimiento puede producirse por uno o varios de los siguientes

mecanismos:

- Endurecimiento por coherencia: Es un mecanismo análogo al efecto de tamaño propio del endurecimiento

por solución sólida, es decir, la diferencia en tamaño entre precipitado y matriz genera una distorsión en la red y,

por consiguiente, un campo de tensiones que interacciona con las dislocaciones. En este caso, el incremento de

tensión crítica que se obtiene es:

b

rfG

a

aa

m

mp

c 72

3

donde f es la fracción en volumen de partículas,

m

mp

a

aa es la deformación asociada a la diferencia de

parámetros de red entre matriz, am, y partícula, ap. Esta expresión es análoga a la obtenida para endurecimiento

por solución sólida pero sustituyendo c por f, con la excepción del término r/b que aparece y que es un factor de

escala para tener en cuenta las diferencias de tamaño entre la partícula (r) y un átomo de soluto (~ b).

- Endurecimiento por módulo: las diferencias en

módulo elástico o de cizalladura entre matriz (Gm) y

precipitado (Gp) también afecta al deslizamiento de

dislocaciones (igual que en el endurecimiento por

solución sólida), al alterar la tensión de línea (T ½Gb2).

Analizando este efecto se obtiene:

b

rfG

G

GG

m

mp

c 01.02

3

con G=Gm.

- Endurecimiento químico: otra

componente de endurecimiento se asocia a la

creación de interfase extra al ser atravesada

la partícula por una dislocación. Al aumentar

la superficie de interfase aumenta su energía

superficial en 2rsb, por lo que aparece una fuerza se opone a este movimiento de la dislocación. En este caso

se obtiene que el incremento de tensión crítica asociado a este efecto viene dado por:

b

rfG

Gr

s

c

23

2

Este endurecimiento químico no es muy importante salvo cuando las partículas de precipitado son muy

pequeñas (primeros etapas de precipitación) en cuyo caso, la dependencia r-3/2

domina sobre la r1/2

.

- Otras componentes de endurecimiento: Además de la creación de interfase extra, el movimiento de la

dislocación a través de la partícula puede incrementar la energía superficial del plano de deslizamiento de otras

formas: creando faltas de apilamiento (stacking fault, SF) o alterando el orden de la estructura, mediante la

creación de fronteras de antifase (anti-phase

boundary, APB, ver figura) En estos casos se

obtiene que un incremento de tensión crítica

dado por:

b

rfG

Gb

APBc

23

Una expresión similar, pero sustituyendo SF por APB y, por supuesto, con diferente constante de

proporcionalidad sería la expresión asociada a la creación de faltas de apilamiento.

Casi todas estas expresiones que acabamos de ver (salvo el endurecimiento químico, la menos importante)

predicen una dependencia con el tamaño de partícula de r1/2

. De forma que independientemente del o los

mecanismos activos en cada material en endurecimiento por partículas sigue esta es la dependencia con r y

podemos expresarlo en general por:

b

rfGc

23

Esta dependencia es válida para r pequeños, pero para tamaños mayores

el incremento de “resistencia” de la partícula de precipitado se ve

compensado, si f es constante, por el incremento en espaciado entre las

partículas. En efecto, cuando las partículas se separan más de un cierto valor,

a las dislocaciones les resulta más fácil curvarse entre ellas que atravesarlas

(como veremos a continuación, la tensión necesaria para curvarse disminuye

con la distancia entre partícula). Esto es también lo que sucede cuando el

tamaño aumenta tanto que se pierde la coherencia en la interfase. Así, se

observa un máximo en la curva de endurecimiento al alcanzarse un cierto tamaño crítico (entorno a decenas de

nanometros) tras el cual se produce un descenso en el endurecimiento. Endurecimientos mayores se pueden

conseguir incrementando la fracción en volumen de partículas o la “resistencia” de éstas (es decir, y las

constantes de proporcionalidad) que provocan un desplazamiento de la curva. Veamos lo que sucede en estos

casos donde la dislocación no atraviesa la partícula.

Partícula impermeable (interfase incoherente, partícula excesivamente grande): Cuando la partícula es

impermeable a la dislocación, ésta debe esquivarla curvándose

como se muestra en la figura, rodeando a cada defecto y dejando a

su alrededor algún tipo de bucle de dislocación. El incremento de

tensión crítica asociado a este mecanismo se calcula como en el

caso de la fuente Frank-Read

:

f

f

r

Gb

rL

Gb L

rf

c

122

2

donde L-2r es la separación entre partículas. Esta expresión

implica que el incremento en resistencia es inversamente

proporcional al tamaño de partícula, pero crece con la fracción en volumen de partículas. Una conclusión

importante a partir de esta expresión es que una vez la partícula es suficientemente resistente a la penetración de

dislocaciones ya no tiene sentido incrementar aún más su resistencia puesto que el incremento de tensión crítica

posterior no depende de tales parámetros sino exclusivamente de r y f. Conviene notar que conforme más

dislocaciones atraviesan la partícula su tamaño efectivo va aumentando por acumulación de bucles de

dislocación a su alrededor.

Puede obtenerse de forma aproximada el tamaño de partícula óptimo por precipitación para un determinado

sistema a partir del cruce de las curvas para partículas permeable e impermeables (esto puede no ser válido para

determinados sistemas donde la curva de curvas permeables alcanzan máximos antes del cruce). En la figura se

muestran comportamientos reales de una aleación de aluminio (2014 Al-0.9%Si, 4.4% Cu, 0.8%Mg, 0.5%Mn)

para diferentes temperaturas de tratamiento en función del tiempo de tratamiento (varía r y f e incluso la forma

de los precipitados). Se aprecia que en general el endurecimiento va acompañado de un descenso en la ductilidad

(esto es una regla de oro).

En el caso de endurecimiento por partículas introducidas artificialmente, la ecuación anterior es la única

válida y por tanto, el mayor endurecimiento se obtiene cuado se disminuye el tamaño de éstas y se incrementa su

fracción en volumen.

4.7.5 Otros mecanismos de endurecimiento.

Existen otros mecanismos de endurecimiento, aunque los anteriores son los más importantes. Por ejemplo,

la presencia de tensiones residuales de origen térmico (p. ej. en las interfases de materiales laminados o en

partículas no coherentes introducidas a alta temperatura) o mecánico (entorno a punzonamientos o ensayos de

indentación) constituyen un mecanismo de endurecimiento muy importante. Estas tensiones actúan de forma

análoga a las tensiones generadas entorno a las interfases coherentes.

Por otro lado, el endurecimiento del material puede venir originado por una transmisión de las tensiones

aplicadas a componentes microestructurales más resistentes. Este es el caso en materiales compuestos reforzados

con fibras, donde son éstas las que soportan la tensión, protegiendo a la matriz, en tanto resistan las interfases.

Este tipo de refuerzo mecánico se estudia en detalle en la asignatura de materiales compuestos.

4.8 DUREZA.

A lo largo del tema hemos hablado de resistencia a la deformación plástica que medíamos en términos de la

tensión de límite elástico, resistencia a tracción, etc. Sin embargo, también hemos hablado indistintamente de

endurecimiento y mostrados resultados de una magnitud que denominamos dureza. La dureza, H, es una

magnitud muy importante para caracterizar la plasticidad de un material y mide la resistencia del material a ser

penetrado por otro que denominamos indentor, indentador o penetrador. Por tanto, esta magnitud mide la

resistencia del material a la deformación plástica localizada (es decir, por rayadura o abolladura).

Existen multitud de ensayos de indentación o dureza. El ensayo original de dureza se basaba en clasificar

los materiales según su capacidad de rayar a otros y de ser rayado por estos. Un método cualitativo para ordenar

arbitrariamente los materiales según la dureza es debido a Mohs, que sugirió una escala de 1 (talco) a 10

(diamante). Más recientemente, los ensayos de dureza se han racionalizado y permiten obtener valores

cuantitativos a partir del área de contacto (o indirectamente a partir de la profundidad de penetración, que

permite calcular el área matemáticamente) y la carga aplicada a un indentador o penetrador que se pone en

contacto con el material a ensayar. Los indentores pueden tener varias formas (esféricos, piramidales, cónicos) y

estar construidos con diferentes materiales (diamante, acero, CW, zafiro) lo que da lugar a numerosos tipos de

ensayo normalizados de dureza (Brinell, Knoop, Vickers, Rockwell, ver tabla).

Los resultados no son directamente comparables entre los

diferentes tipos de ensayos (en la figura de la página siguiente

se muestran algunas gráficas de conversión, pero no son

generales, sino sólamente válidas para aceros). Existen también

algunas relaciones que permiten correlacionar dureza y

magnitudes como la resistencia a tracción (por ejemplo, para

acerosTS=3.45 HB, donde HB es la dureza Brinell en MPa) o la

tensión de límite elástico (para metales HV = 3Y, donde HV es la

dureza Vickers) pero no son completamente generalizables a

todos los materiales

Las principales ventajas de estas técnicas con respecto a

los ensayos uniaxiales son su simplicidad, rapidez (requieren

poca preparación de la probeta, simplemente una superficie

pulida y, aunque no necesariamente, plana) y reducido coste ya

que la muestra no queda destruida, aunque sí dañada. Se trata

por tanto de un ensayo poco destructivo que permite realizar

múltiples ensayos por cada muestra, incluso si son de tamaño

reducido. Eso sí, han de tomarse ciertas precauciones relativas

al espesor de la muestra a ensayar (la profundidad de

penetración no debe superar una décima parte del espesor de la

muestra) y la distancia entre ensayos (p. ej. en ensayos Vickers la distancia entre huellas debe ser superior a 2

veces la diagonal de éstas) para evitar sentir el efecto del soporte o de la región deformada en el ensayo vecino.

Además, reduciendo el rango de cargas y profundidades de penetración (microdureza, ultramicrodureza y

nanoindentación) es posible caracterizar mecánicamente elementos microestructurales de forma individualizada

o recubrimientos muy delgados y piezas de muy reducido tamaño

(MEMS y NEMS). En este tipo de ensayos a baja carga se realiza

indentación instrumentada que, como vimos en el segundo tema,

permiten estimar también el módulo elástico, además de

determinar la dureza del material. La expresión empleada para

calcular la dureza sería:

222tan p

ttt

h

P

a

P

A

PH

con

dd hP

Phhhh t

tatp