Tema Teoria de sistemes - RUA: Principal · Sistemes dinàmics Resiliència: tendència d'un...
Transcript of Tema Teoria de sistemes - RUA: Principal · Sistemes dinàmics Resiliència: tendència d'un...
Qu
è és
un
mo
del
? Diferents…
• Perspectives
• Components
• Nivell de detall (holisme vs. reduccionisme)
Qu
è és
un
mo
del
?
• Nivell de detall (holisme vs. reduccionisme)
• Nivell de formalització
DIFERENTS OBJECTIUS
L'escolament és directament proporcional
L'escolament és directament proporcional
Tip
us
de
mo
del
s
1. Verbals (teories)
2. Gràfics
3. Matemàticsdirectament proporcional al volum de precipitació
directament proporcional al volum de precipitació
Tip
us
de
mo
del
s
3. Matemàtics
4. Informàtics
Per
a q
uè
serv
eixe
n e
ls m
od
els?
1. Comprendre millor els sistemes
2. Integrar i sintetitzar coneixements
3. Predir
4. Disposar d’eines per a la gestió i la presa de decisions
5. Explorar el comportament de sistemes en els
Per
a q
uè
serv
eixe
n e
ls m
od
els?
5. Explorar el comportament de sistemes en els quals la manipulació seria cara, lenta, de dimensions excessives o èticament reprovable
NO HI HA UN MODEL MILLOR/PITJOR
DEPÈN DELS OBJETIUS
Teo
ria
de
sist
emes
Economia – relacions comercials Ecologia – relacions mutualistes
Teo
ria
de
sist
emes
Sociologia– relacions personals
Electrònica – cara/creu
BIODIVERSITAT I FUNCIONALITAT DE L’ECOSISTEMA: ANÀLISI DE XARXES MUTUALISTES
Jordi Bascompte
Teo
ria
de
sist
emes
Pedro Jordano
Ricard V. Solé
Teo
ria
de
sist
emes
BIODIVERSITAT I FUNCIONALITAT DE L’ECOSISTEMA: COMPLEXITAT I FRAGILITAT
Nombre d’espècies
(En blanc, funcions potencials)
Teo
ria
de
sist
emes
Solé i Montoya, 2001
Nombre d’espècies
ConnectànciaTeo
ria
de
sist
emes
BIODIVERSITAT I FUNCIONALITAT DE L’ECOSISTEMA: ANÀLISI DE XARXES MUTUALISTES
Teo
ria
de
sist
emes
Teo
ria
de
sist
emes
QUANTIFICACIÓ DE LA BIODIVERSITAT
MÈTODES: ÍNDEXS DE DIVERSITAT I EQUITATIVITAT
La teoria de la informació es basa en el concepte d’entropia, formulat per C. Shannon (1948) (BellLab.) A partir d’aquesta expressió és senzill veure que hi ha una relació entreentropia, informació o diversitat i el nombre de preguntes binàries (de sí/no, 1/0) que calformular per a identificar l’estat en què es troba un objecte d’una població o grupd’observacions.
1) Tots els objectes són idèntics. No cal fer cap pregunta per a predir en quin estat es troba unobjecte concret (a quina classe pertany). H=0
2) La meitat dels objectes es troba en un estat, l’altre meitat en l’altre. Només cal fer unapregunta (ex. l’objecte es troba en l’estat 1?)… I per tant H=1
GRUP D’OBSERVACIONS
Teo
ria
de
sist
emes
3) Si es consideren quatre estats possibles, caldrà fer un mínim de dos qüestions binàries per a conèixer l’estat d’un objecte triat a l’atzar, i aleshores H=2
Qüestió binàriaESTAT 1p(a1)=1/2
ESTAT 2p(a2)=1/2
ESTAT 1p(a1)=1/4
ESTAT 2p(a2)=1/4
GRUP D’OBSERVACIONS
ESTAT 3p(a1)=1/4
ESTAT 4p(a2)=1/4
Teo
ria
de
sist
emes
Fixeu-vos que H’=0, H’=1 i H’=2 serien les estimacions de la diversitat de Shannon que calcularíem amb l’expressió H’=-SUM(pi log2 pi)) si ho haguérem calculat per a pi=1, pi=1/2 i pi=1/4 (casos 1, 2 i 3), ja que amb màxima equitativitat, H’=log2 S (on S=1, 2 i 4 estats o espècies, respectivament)
ÍNDEX DE SIMPSON
diversitat D = 1/∑(Pi2)
equitativitat Dmax = S; E = D/Dmax = (1/∑(Pi2))(1/S)
ÍNDEX DE SHANNON
QUANTIFICACIÓ DE LA BIODIVERSITAT
MÈTODES: ÍNDEXS DE DIVERSITAT I EQUITATIVITATTe
ori
a d
e si
stem
es
diversitat H = -∑(Pi log2 Pi)
equitativitat J = H/Hmax = -∑(Pi log2Pi)/log2S
Comunitats pioneres, pertorbades, contaminades, sobre-explotades 1-3
Fitoplàncton 2’5
Comunitats madures 4-5
Màxim observat 5’3
Valors típics de l’índex de Shannon
Teo
ria
de
sist
emes
SISTEMAConjunt de regles o elements que ordenats contribueixen a una finalitat
Conjunt d'elements interrelacionats
Teo
ria
de
sist
emes
Conjunt d'elements interrelacionats
MODELRepresentació formal d'un sistemaTe
ori
a d
e si
stem
es
REALITAT
SISTEMA 1 MODEL 1
Teo
ria
de
sist
emes
FINALITATS, MITJANS, IDEOLOGIA (CULTURA)
SISTEMA 2
SISTEMA 3
MODEL 2
MODEL 3Teo
ria
de
sist
emes
UTILITAT
REALISME
Sist
emes
din
àmic
sSISTEMES ESTÀTICS SISTEMES DINÀMICS
Independents del temps Funció del temps
Sist
emes
din
àmic
s
Sist
emes
din
àmic
sPROJECCIÓTendència
PREVISIÓEvolució d’un model determinista
SIMULACIONS
Sist
emes
din
àmic
s
SIMULACIONSGeneració de possibles estats del sistema (imatges) mitjançant un model, davant de diferents hipòtesis o escenaris (és a dir, davant de diferents combinacions de paràmetres, valors inicials dels nivells i evolució de variables externes)
Sist
emes
din
àmic
s
Var
iab
le Y
PREVISIÓ: Evolució model determinista
Assenyala les variables, constantsi paràmetresd’aquesta equació
Sist
emes
din
àmic
s
Var
iab
le Y
Variable X
Y = a + ebX
Sist
emes
din
àmic
s
Var
iab
le Y
SIMULACIONS: possibles estats del sistema
Escenari 2Escenari 1
Escenari 3
Sist
emes
din
àmic
s
Var
iab
le Y
Variable X
bt
tt aN
RNN
)1(1 +=+
Model discret de competència intraespecíficaDeterminisme impredictible
dinà
mic
sS
iste
mes
ESTABILITAT D'UN SISTEMA
Constància o persistència: capacitat d'un sistema de no canviar.
Resistència o inèrcia: taxa de canvi en resposta a una pressió externa. Un sistema inert és aquell capaç de resistir fluctuacions externes.
Resiliència: tendència d'un sistema a tornar a l'estat inicial
Sist
emes
din
àmic
s
Resiliència: tendència d'un sistema a tornar a l'estat inicial després d'una pertorbació.
Elasticitat i amplitud: mesures de resiliència. Elasticitat és la velocitat amb què un sistema torna a l'estat original. Amplitud és una mesura de la magnitud de la variació que pot experimentar un sistema, mantenint la seua capacitat de tornar a l'estat original.
Sist
emes
din
àmic
s
Canvi en el paràmetre: temperatura, pH...
Canvi en l'estat de la variable: densitat població,
Estat inicial Pertorbació Pertorbació inversa
Sist
emes
din
àmic
s
Canvi en l'estat de la variable: densitat població, Nº individus reproductius...
Beisner et al., 2003. Front. Ecol. Environ. 1(7)
Sist
emes
din
àmic
s
Estat inicial Pertorbació Pertorbació inversa
A l'exemple anterior es representa amb un model gràfic les variacions del flux de formigues en funció de les dimensions de la població
Sist
emes
din
àmic
s
Recordeu:Fase 1. Pels dos orificis.Fase 2. Alternativament per un o altre.Fase 3. Predominantment per un d’ells.Si
stem
es d
inàm
ics
CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS D'UN SISTEMA
•Elements (endògens/exògens)
•Relacions
•Límits
Teo
ria
de
sist
emes
CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS D'UN SISTEMA
•Elements (endògens/exògens)
•Relacions
CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS D'UN SISTEMA
•Elements (endògens/exògens)Te
ori
a d
e si
stem
es
COMPARTIMENT (pool, compartment; compartimento): material amb unes determinades característiques físiques, químiques o biològiques, sota unes determinades condicions.
FLUX (flux; flujo): quantitat de material, energia o informació transferida des d'un compartiment
Teo
ria
de
sist
emes
informació transferida des d'un compartiment (variable d'estat) a un altre per unitat de temps.
FONT (source, fuente): Origen d'un flux.
EMBORNAL (sink, sumidero): Destinació d'un flux.
BALANÇ : Revisió de les fonts i els embornals que afecten un compartiment
Teo
ria
de
sist
emes
CARACTERÍSTIQUES FUNCIONALS D'UN SISTEMA
•Vàlvules que controlen els fluxos
•Retards (efectes hereditaris, inèrcia)
•Bucles de retroalimentació, cadenes de causalitat o
Teo
ria
de
sist
emes
•Bucles de retroalimentació, cadenes de causalitat o influències circulars
Teo
ria
de
sist
emes
Dia
gram
es c
ausa
lsRelacions causals
Depressius (reguladors o estabilitzadors):
Bucles de retroalimentació
Dia
gram
es c
ausa
ls
Explosius:
Més de dos interaccionsD
iagr
ames
cau
sals Simples
Complexos o superposats
Només signes + � Explosiu
Només signes - � Explosiu (parell) o depressiu ( imparell)
Combinat � Si Σ– és parell: explosiu, imparell: depressiu
Dia
gram
es c
ausa
ls
Complexos o superposats
Combinacions complexes difícils de predir
Grafica els bucles de causalitat simple que descriuen les interaccions ecològiques a les costes de l'oest dels EUA.
Dia
gram
es c
ausa
lsD
iagr
ames
cau
sals
CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS DELSMODELS MATEMÀTICS
Elements (variables i paràmetres). Definició precisad'un element de magnitud variable en el temps.Endògens (variables dependents) i exògens (variables
Teo
ria
de
sist
emes
independents o explicatives)
Relacions. Relacions funcionals o funcions querelacionen variables i paràmetres (equacions). Xarxes.
Teo
ria
de
sist
emes
Teo
ria
de
sist
emes
VARIABLES ENDÒGENES
CARACTERÍSTIQUES ESTRUCTURALS DELS MODELS MATEMÀTICS
Teo
ria
de
sist
emes
VARIABLES EXÒGENES
PARÀMETRES
Y1=A+B X1 + C Y2
Y2 = B X2 eD
Sist
emes
din
àmic
sdY1/dt = f (X, Y, Θ)dY2/dt = f (X, Y, Θ)Y = f (X, Θ , T, Y0)
On Θ correspon a paràmetre(s) i T a temps
Y
constant
Y
lineal
Y
exponencial
Sist
emes
din
àmic
s
Temps
Y
Temps
Y
Temps
Y
Temps
Y
sigmoide
Temps
Y
oscil·latòria
Temps
Y
oscil·latòria atenuada
PROCÉS D'ORDRE ZERO: Si es tracta d'un flux d'eixida independent del volum del compartiment.
PROCÉS DE PRIMER ORDRE: Si es tracta d'un flux d'eixida proporcional a les dimensions del
Teo
ria
de
sist
emes
d'eixida proporcional a les dimensions del compartiment (F = k M)
PROCESSOS D'ORDRE 2, 3,…: F = k Mα on α>1
Teo
ria
de
sist
emes
Si considerem un procés de primer ordre, descriu gràficament en un model DISCRET l'evolució del compartiment (C) en relació al temps (t), considerant que k=0,5 i que el flux (F) és d'eixida (no hi ha flux d'entrada).
F=kMM
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
t
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
Considerant que l'entrada d'aire troposfèric a l'es tratosfera és del 75 % cada any i que l'atmosfera es comporta com un siste ma estable amb una cada any i que l'atmosfera es comporta com un siste ma estable amb una dinàmica d'ordre 1, calcula la taxa de renovació (k ) de l'aire a l'estratosfera.
En el cas continu:
lnlnln
1
tto
MtMo
t
to
Mt
Mo
toktkMoMtktM
dtkdMM
dtkM
dMMk
dt
dM
⇒⋅−⋅=−⇒=⇒
⋅=⋅⇒⋅=⇒⋅= ∫∫
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
)()(ln totkeMo
Mttotk
Mo
Mt −=⇒−=⇒
kttkee
Mo
Moe
Mo
Mt
MoMt
tktkkt 693.0693.05.0
5.0
5.0
=⇒⋅−=−⇒=⇒=⋅⇒=
⋅=
⋅−⋅−−
I la vida mitjana: K: Taxa de renovació (F/M, T-1)TMR: Temps mitjà de residència (1/k, M/F, T)
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
Considerant que l'entrada d'aire troposfèric a l'es tratosfera és del 75 % cada any i que l'atmosfera es comporta com un siste ma estable amb una dinàmica d'ordre 1, calcula la taxa de renovació (k ) de l'aire a l'estratosfera i el temps mitjà de residència (TMR).
A continuació, utilitza el model continu per a estim ar quin percentatge de les emissions que arribaren a l'estratosfera despré s de l'erupció del volcà Eyjafjallajökull (abril de 2010) quedaran allà a l' abril de 2014
Considerant que el flux d'aire troposfèric a l'estratosfera és del 75 % cada any i que l'atmosfera es comporta como un sistema estable amb una dinàmica d'ordre 1…
Calcula el temps mitjà de residència de l'aire a l'estratosfera (TMR) i la taxa de renovació (k)
Utilitza el model continu per a estimar quin percentatge de les emissions que arribaren a l'estratosfera després de l'erupció del volcà Eyjafjallajökull quedaran allà a l'abril de 2014.
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
anysTMR
anysTMRK
MF
FMTMR
_3.175.01
_75.01
75.0
1
)==
==
=
=
− 05.0
_4
3475.0*0
*
*0
*
===
=⋅=
−×−
−
eeM
M
anyst
eMM
t
ktt
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
1. Calcula la taxa de renovació del N en un llac considerant que es tracta d'un sistema estable d'ordre 1 , el llac té 10 Hm3, la concentració de N en les seues aigües és de 1 ppm i rep unes entrades anuals de 200 kg N.
Pro
cess
os
d'o
rdre
1
entrades anuals de 200 kg N.
2. Quant de temps haurà de transcórrer, després d'eliminar les fonts de N per a que els nivells de N es redueixen a un terç dels actuals?P
roce
sso
s d
'ord
re 1
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma A partir dels diagrames causals, amb un major nivell de formalització...
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
http://en.wikipedia.org/wiki/System_dynamicshttp://ssmworld.mit.edu/streams/reunion2002/forrester_20010521.html
J.W. FORRESTER
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Núvol: font/embornal, en la pràctica inesgotable.
Variable d'estat: nivell, estoc o acumulació de flux
Variable auxiliar: ajuda a explicar el valor d'un flux.
Paràmetre: taxa, magnitud constant en qualsevol dimensió.
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Variable de flux: variació de nivell, canvi en estat d'un sistema
Canal de matèria: acció d'un flux sobre un nivell en relació a la matèria
Canal d'informació: acció d'un flux sobre un nivell en relació a la informació
Retard: transmissió d' informació no immediata (període més llarg que l'escollit com a unitat temporal de l'anàlisi)
Variable exògena: independent, no es veu afectada pel sistema
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma Algunes regles
1. Canal de matèria: s'ha d'establir entre núvol i nivell, o entre nivells
2. Canal d'informació: connecta causes i efectes; mai aniran de variables endògenes a exògenes
3. Canal d'informació: no connecta
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
3. Canal d'informació: no connecta variables de flux amb variables d’estat, sinó al revés.
4. Es poden establir relacions funcionals alternatives (condicionals o de clip): Y1=f(X), Y2=f(Z), Y=MAX(Y1,Y2)
5. Quan una variable influeix sobre ella mateixa s'utilitza un símbol de retard
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Dibuixa un diagrama causal sobre algun aspecte relatiu al canvi climàtic
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma Dibuixa un diagrama causal a partir d’aquesta foto
3 4 . 2 7 L
Apertura aixeta
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
aixeta
Flux benzina
Nivelldipòsit
Diferència40 € - nivell
dipòsit
Model verbal: Aquesta xica vol omplir el seu dipòsit de benzina fins els 40 L
Anàlisi funcional del sistema
PO
BLA
CIÓ
DEFU
NC
ION
S
Taxa de d
efun
cion
s
MIGRACIONS
Anàlisi funcional del sistema
NA
IXEM
ENTS
Taxa de n
aixemen
ts
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
calor
pèrdua de calor
Factor de pèrdua
temperatura
discrepància
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
calor
generació de calor
discrepància
Temperatura desitjada
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
3 4 . 2 7 L
Ara intenta-ho amb un diagrama de Forrester
Benzinera
40 L
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Benzinera
Dipòsitcotxe
Discrepància
Model verbal: Aquesta xica vol omplir el seu dipòsit de benzina fins els 40 L
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Dibuixa un diagrama de Forrester que tinga en compte la competència intraespecífica en la natalitat
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Població A
Morts
Discrepància
KA
dNA/dt = rANA (KA-NA)/KA
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma POBLACIÓ
NAIXEMENTS
Taxa de naixements
Naixements
Població ADiscrepància
r
Competència intraespecífica (natalitat)
dNA/dt = rANA (KA-NA)/KA
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Ara intenta fer un diagrama de Forrester que tingaen compte la competència intraespecífica i la inter-específica en la natalitat
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Població A
Morts
Discrepància
KA
Població B
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma POBLACIÓ
NAIXEMENTS
Taxa de naixements
Naixements
Població ADiscrepància
r
Població B
αAB
Competència intra+interespecífica (natalitat)
dNA/dt = [rANA (KA-NA)/KA] - NBαAB
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Anàlisi funcional del sistemaA
ltres represen
tacion
s form
als: Od
um
Anàlisi funcional del sistema
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma Recopilant... Fases de la modelització
1. Descripció del sistema. Identificació dels seus elements i relacions fonamentals
2. Diagrama causal
3. Definició precisa de cada magnitud, còdec de variables
4. Diagrama de Forrester/MDS/...
1. Descripció del sistema. Identificació dels seus elements i relacions fonamentals
2. Diagrama causal
3. Definició precisa de cada magnitud, còdec de variables
4. Diagrama de Forrester/MDS/...
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
4. Diagrama de Forrester/MDS/...
5. Sistema de equacions
6. Calibratge
7. Anàlisi de sensibilitat
8. Contrastat
9. Simulació
4. Diagrama de Forrester/MDS/...
5. Sistema de equacions
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma Calibrat
Assignar valors als paràmetres i valors inicials a les variables d'estat. En ocasiones pot ser el principal objectiu de la modelització (per exemple, quan la variable dependent siga la més coneguda).
•Cerca bibliogràfica
•‘Best guess’, opinió experta...
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
•Experimentació
•Sintonització amb resultats o comportaments coneguts del model (assaig i error). Mètodes de re-mostreig (Bootstrapping, Jackknifing).
UNITAT VAR X VAR Y
1 X1 Y1
2 X2 Y2
3 X3 Y3
4 X4 Y4
MO
DEL
Mètodes de re-mostreig
CA
LIBR
AC
IÓ
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
4 X4 Y4
5 X5 Y5
6 X6 Y6
7 X7 Y7
MO
DEL
CA
LIBR
AC
IÓ
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma Anàlisi de sensibilitat
Avaluació de canvis en les variables endògenes com a conseqüència de variacions en el valor dels paràmetres.
Fase important en el procés de calibrat
Peso actual
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Contrastat
Grau d'ajust entre model i fets observats
Cóm es mesura aquest ajust?
Normes de convergència: (Yc-Yo)/Yo < εOn Yc = valor estimat o previst, Yo = valor observat i ε és l'error admissible
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
On Yc = valor estimat o previst, Yo = valor observat i ε és l'error admissible
A més, aquesta fase es pot utilitzar per a escollir el “millor” model…An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Suma de Quadrats Residual
Y D
ata
468
1012141618
Y=Yo+a*XRSS=24.4p<0.0001
Y=Yo+a*X+b*X^2+c*X^3RSS=13.8p<0.0003
Contrastat
Quan hi ha diversos models possibles... Cóm optar per un o altre?A
nàl
isi f
un
cio
nal
del
sis
tem
a
X Data
0 2 4 6 8 10 12
02
X Data
0 2 4 6 8 10 12
Y D
ata
02468
1012141618
Y=Yo+a*X+b*X^2RSS=23.9p<0.0002
Y=a*X^bRSS=24.5p<0.0001
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
Contrastat
AIC: CRITERI D'INFORMACIÓ D'AKAIKEA
nàl
isi f
un
cio
nal
del
sis
tem
a
AIC = 2k – 2 ln(L)
Nombre de paràmetres
Funció de versemblança
An
àlis
i fu
nci
on
al d
el s
iste
ma
AIC = n ln(RSS/n) + 2k + C
Es pot obviar en comparacions entre
models
Suma de quadrats residual
Nombre de mostres
RECURSOS
• Martínez, S. Requena, A. (1986). Dinámica de sistemas. 1. Simulación por ordenador. Alianza Editorial. Madrid.
• Aracil, J. i Gordillo, F. (2002). Dinámica de sistemas. Alianza Universidad Textos. Madrid.• Caselles, A. (2008). Modelización y simulación de sistemas complejos. Publicacions de la Universitat
de València. València. http://www.uv.es/~caselles/Mod1.pdf• Jorgensen, S. i Bendoricchio, G. Fundamentals of ecological modelling. 3a ed. Developments in
Environmental Modelling 21. Elsevier. Oxford.• http://www.slideshare.net/jaisraal/modelos-de-simulacion• http://www.slideshare.net/jaisraal/modelos-de-simulacion