TEMA VIII

Definición general

Clasificación

Diseño factorial A x B completamente al azar

Representación de los efectos factoriales

Modelo estructural, análisis y componentes de variación

Diseño factorial de bloques y diseño factorial de medidas repetidas

DISEÑO FACTORIAL

ESQUEMA GENERAL

Concepto

El diseño factorial, como estructura de investigación, es la combinación de dos o más diseños simples (o unifactoriales); es decir, el diseño factorial requiere la manipulación simultánea de dos o más variables independientes (llamados factores), en un mismo experimento. ..//..

En función de la cantidad de factores o variables de tratamiento, los formatos factoriales se denominan, también, diseños de tratamientos x tratamientos, tratamientos x tratamientos x tratamientos, etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.

Criterios de clasificación

Cantidad de niveles

Criterios Cantidad de combinaciones

Tipo de control

Clasificación del diseño factorial por criterio

A) Según la cantidad de niveles o valores por factor, el diseño factorial se clasifica en:

Cantidad constante Cantidad de valores

Cantidad variable

..//..

La notación del diseño es más sencilla cuando la cantidad de niveles por factor es igual (es decir, constante). Así, el diseño factorial de dos factores a dos niveles se representa por 2², el de tres factores por 23, etc. En términos generales, los diseños a dos niveles y con k factores se representan por 2k; a tres niveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc. ..//..

Cuando los factores actúan a más de dos niveles (es decir, cuando la cantidad de valores por factor es variable), el diseño se representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A su vez, cabe considerar la posibilidad que, tanto en un caso como en otro, el diseño sea balanceado (proporcionado) o no balanceado (no proporcionado); es decir, diseños con igual cantidad de sujetos por casilla y diseños con desigual cantidad de sujetos por casilla. ..//..

B) El segundo criterio hace hincapié en la cantidad de combinaciones de tratamiento realizadas o ejecutadas. Con base a este criterio, el diseño factorial se clasifican en:

Diseño factorial completo Cantidad de

combinaciones de tratamiento Diseño factorial incompleto

y fraccionado ..//..

Si el diseño factorial es completo, se realizan todas las posibles combinaciones entre los valores de las variables. Así, cada combinación de tratamientos determina un grupo experimental (grupo de tratamiento o casilla). Por ejemplo, el diseño factorial completo 2x2 determina cuatro grupos de tratamiento; un diseño 3x3 nueve grupos, etc. ..//..

Asumiendo que sólo se ejecute una parte del total de las combinaciones, el diseño factorial es incompleto o fraccionado, según el procedimiento seguido...//..

C) En función del control de variables extrañas.

Diseño factorial completamente al azar

Diseño factorial de bloques aleatorizados

Diseño factorial de CuadradoGrado de control Latino

Diseño factorial jerárquico o anidado

Diseño factorial de medidas repetidas

..//..

Según el control de los factores extraños y la reducción de la variancia del error, el diseño factorial puede ser, en primer lugar, completamente al azar; es decir, aquel formato donde sólo se aplica el azar como técnica de control y donde los grupos se forman mediante la asignación aleatoria de los sujetos. ..//..

En segundo lugar, el diseño factorial de bloques aleatorizados permite el control de una variable extraña. Según esa estrategia, cada bloque es un réplica completa del experimento, y los grupos intra bloque (dentro de cada bloque) se forman al azar. ..//..

Siguiendo con el criterio de bloques, el diseño factorial de Cuadrado Latino o de doble sistema de bloques controla dos fuentes de variación extrañas, aunque sólo se realiza una parte del total de combinaciones. ..//..

El diseño factorial jerárquico o anidado requiere la manipulación experimental de la variable y, al mismo tiempo, la anidación (o inclusión) de una variable dentro de las combinaciones de tratamientos de los factores. ..//..

Por último, el diseño factorial de medidas repetidas incorpora la técnica intra-sujeto; es decir, el sujeto actúa de control propio y recibe todas las combinaciones de tratamiento generados por la estructura factorial.

Criterios Diseño

Cantidad de valores por factor

Igual cantidad de valores: 2k, 3k, etc.

Cantidad variable: 2x3; 2x3x4, etc.

Cantidad de combinaciones de tratamientos

Diseño factorial completo

Diseño factorial incompleto y fraccionado

Grado de control

Diseño factorial completamente al azar

Diseño factorial de bloques

Diseño factorial de Cuadrado Latino

Diseño factorial jerárquico

Diseño factorial de medidas repetidas

Efectos factoriales estimables

1. Efectos simples

2. Efectos principales

3. Efectos secundarios

Efectos factoriales simples

Es posible definir el efecto factorial simple como el efecto puntual de una variable independiente o factor para cada valor de la otra.

Efectos factoriales principales

Los efectos factoriales principales, a diferencia de los simples, son el impacto global de cada factor considerado de forma independiente, es decir, el efecto global de un factor se deriva del promedio de los dos efectos simples.

Efectos factoriales secundarios

El efecto secundario o de interacción se define por la relación entre los factores o variables independientes, es decir, el efecto cruzado.

Diseño factorial al azar 2x2

Estructura del diseño

Combinación de tratamientos por grupo o casilla

Diseño factorial 2x2

A1B1 A1B2

A2B1 A2B2

Formato del diseño factorial completamente al azar

s e l e c c M i P ó n

Asignación al azar

S1 S1 S1 S1

Sn1 Sn2 Sn3 Sn4

V.E. Z1 Z2 Z3 Z4

V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2

Caso paramétrico. Ejemplo 1

Se pretende probar, en una situación de aprendizaje discriminante animal, si la magnitud del incentivo (variable incentivo) actúa según el aprendizaje sea simple o complejo (variable dificultad de aprendizaje o variable tarea). En esta hipótesis se afirma que a mayor incentivo, más acusada es la diferencia entre las dos tareas (simple o compleja) ..//..

Para ello, se registra la cantidad de discriminaciones correctas (variable dependiente) en función de un criterio general de aprendizaje, que asume como suficientes 15 ensayos. Se toma, como medida de la variable dependiente o de respuesta, la cantidad de respuestas correctas, para un máximo de 15, bajo el supuesto de que cada discriminación correcta tiene la misma dificultad de aprendizaje. ..//..

Para probar la hipótesis propuesta se asignan 32 sujetos, de una muestra experimental, a las combinaciones de tratamientos o casillas (ocho sujetos por casilla), de forma totalmente aleatoria.

Modelo de prueba de hipótesis

Paso 1. Según la estructura del diseño son estimables tres efectos. Por esa razón, se plantean tres hipótesis de nulidad relativas a la variable A, variable B e interacción:

H0: α1 = α2 = 0

H0: ß1 = ß2 = 0

H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0

Paso 2. Por hipótesis experimental, se espera que los efectos principales y el de la interacción sean significativos. Estas hipótesis se representan, al nivel estadístico, por

H1: α1 α2, o no todas las α son cero

H1: ß1 ß2, o no todas las ß son cero

H1: (αß)11 (αß)12 (αß)21 (αß)22, o no todas las αß son cero.

Paso 3. El estadístico de la prueba es la F de Snedecor, con un α de 0.05, para las tres hipótesis de nulidad. El tamaño de la muestra experimental es N = 32 y el de las submuestras n = 8.

Paso 4. Cálculo del valor empírico de las razones F. Para ello, se toma la matriz de datos del experimento.

Matriz de datos del diseño

60

7.5

70

8.75

27

3.375

52

6.5

8

6

9

9

8

7

7

6

7

9

10

8

10

9

10

7

4

3

4

5

2

3

4

2

10

9

4

8

8

4

3

6

A2B2A2B1A1B2A1B1

DISEÑO FACTORIAL 2X2

Totales:Medias:

209

6.53

ANOVA factorial

Modelo estructural del ANOVA:Diseño factorial 2X2

ijkjkkjijkY )(

Especificación del modelo

Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinación del j valor del factor A y el k valor del factor B.

μ = la media común a todos los datos del experimento.

αj = el efecto o impacto del j nivel de la variable de tratamiento A. ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B. (αß)jk = efecto de la interacción entre el j valor de

A y el k valor de B. εijk = error experimental o efecto aleatorio de

muestreo.

Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados

SCA

SCentre-grupos SCB

SCtotal SCAB

SCintra-grupos SCS/AB

Cuadro resumen del ANOVA primera etapa: Diseño factorial 2X2

F0.95(3/28) = 2.95

abn-1=31 203.97Total (T)

<0.0515.2842.19

2.76

ab-1=3

ab(n-1)=28126.59

77.38

Entre G

Intra G (E)

pFCMg.l.SCF.V.

Inferencia del primer análisis

Del primer análisis se concluye que los grupos de tratamiento o experimentales difieren significativamente entre sí; la probabilidad de que un valor F de 15.28 ocurra al azar es menor que el riesgo asumido (α = 0.05)

..//..

En consecuencia, se procede a determinar las causas de esa significación. Nótese que este análisis no obedece a ningún propósito de investigación, ya que sólo sirve para detectar si, en términos globales, hay o no diferencia entre los grupos. De hecho, es como si se hubiera aplicado un modelo uni-factorial de la variancia.

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa

SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B +

SCinteracción AxB

El cálculo de estas Sumas de Cuadrados requiere la previa construcción de la tabla de los totales por columnas.

Matriz de datos acumulados

209 87 122TOTALES

1306070A2

792752A1

TOTALESB2B1

Cuadro resumen del ANOVA segunda etapa: Diseño factorial 2X2

<0.05

<0.05

>0.05

29.94

13.87

2.55

81.28

38.28

7.03

(a-1)=1

(b-1)=1

(a-1)(b-1)=1

81.28

38.28

7.03

Factor A

Factor B

Inter AxB

F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20

abn-1=31 203.97Total (T)

<0.0515.2842.19

2.76

ab-1=3

ab(n-1)=28

126.59

77.37

Entre-g

Intra-g

pFCMg.lSCF.V.

Inferencia del segundo análisis

Paso 5. De los resultados del análisis se infiere la no-aceptación de las hipótesis de nulidad para los efectos principales de A y B, con riesgo de error del 5 por ciento. En cambio, se acepta la hipótesis de nulidad para la interacción. En suma, sólo se deriva la significación de los efectos principales.

No interacción (nula)

A1

A2

B1 B2

Interacción positiva

A1

A2

B1 B2

Interacción negativa

A1

A2

B1 B2

Interacción inversa

A2

A1

B1 B2

Representación gráfica de la interacción

A1 A2

B1

B2

Interacción nula

A1 A2

B2

B1

Interacción positiva

A1 A2

B2

B1

Interacción negativa

A1 A2

B1

B2

Interacción inversa

Medias de grupos de tratamiento

7.58.75A2

3.386.5A1

B2B1

Gráfico de interacción

7,5

3,38

6,5

8,75

012345

6789

10

B1 (Tarea simple) B2 (Tarea compleja)

Prom

edio

ens

ayos

cor

rect

os

A1 (Incentivo bajo)A2 (Incentivo alto)

Caso paramétrico. Ejemplo 2

Se ha puesto de manifiesto que cuando las personas se sienten molestas ante la presencia de estímulos ambientales adversos incrementan su comportamiento agresivo. Berkowitz y Frodi (1979) realizaron un experimento para estudiar si el comportamiento agresivo depende no sólo de la presencia de estímulos ambientales adversos sino también del atractivo físico de la persona que supuestamente va a recibir la agresión.

Procedimiento

Se seleccionó una muestra de 56 mujeres y se formaron 4 grupos al azar. En el laboratorio, se informó a los sujetos de que iban a participar en un estudio sobre la dinámica paterno-filial. Así, en un primer momento, sólo la mitad de las participantes interactuaron con un cómplice del experimentador (que ejercía el rol de padre), entrenado para provocarles irritación. En un segundo momento, a todas se les pasó un vídeo en que una niña (que ejercía el rol filial) realizaba una tarea. ..//..

En esta segunda parte, para la mitad de las participantes el vídeo mostraba una niña con un aspecto físico atractivo y para la otra mitad la niña tenía un aspecto físico poco atractivo. Durante la presentación del vídeo las participantes debían corregir los errores que la niña cometía en la tarea mediante un estímulo auditivo que podía variar de 1 a 10 en una escala de intensidad.

Estadísticos descriptivos

Estadísticos descriptivos

Variable dependiente: Castigo

3.8985 1.30023 14

5.6585 1.27211 14

4.7785 1.54797 28

3.5199 .76323 14

4.6254 .73157 14

4.0726 .92467 28

3.7092 1.06379 28

5.1419 1.14610 28

4.4256 1.31258 56

Atractivoatractivo

no atractivo

Total

atractivo

no atractivo

Total

atractivo

no atractivo

Total

Irritacionsí

no

Total

Media Desv. típ. N

Prueba de homogeneidad

Contraste de Levene sobre la igualdad de las varianzas errora

Variable dependiente: Castigo

2.309 3 52 .087F gl1 gl2 Significación

Contrasta la hipótesis nula de que la varianza error de lavariable dependiente es igual a lo largo de todos los grupos.

Diseño: Intercept+Irritacion+Atractivo+Irritacion *Atractivo

a.

ANOVA

Pruebas de los efectos inter-sujetos

Variable dependiente: Castigo

37.213a 3 12.404 11.209 .000

1096.794 1 1096.794 991.096 .000

6.976 1 6.976 6.303 .015

28.738 1 28.738 25.969 .000

1.499 1 1.499 1.355 .250

57.546 52 1.107

1191.552 56

94.758 55

FuenteModelo corregido

Intersección

Irritacion

Atractivo

Irritacion * Atractivo

Error

Total

Total corregida

Suma decuadrados

tipo III glMedia

cuadrática F Significación

R cuadrado = .393 (R cuadrado corregida = .358)a.

Gráfico de interacción

Ventajas del diseño factorial

Se ha descrito, a lo largo de ese tema, los conceptos básicos del diseño factorial o estructura donde se manipulan, dentro de una misma situación experimental, dos o más variables independientes (o factores). En aras a una mejor exposición del modelo se ha descrito, básicamente, el diseño bifactorial a dos niveles, dentro del contexto de grupos completamente al azar. ..//..

La disposición bifactorial aporta información no sólo de cada factor (efectos principales), sino de su acción combinada (efecto de interacción o efecto secundario). De esta forma, con la misma cantidad de sujetos requerida para experimentos de una sola variable independiente o factor, el investigador puede estudiar simultáneamente la acción de dos o más variables manipuladas. ..//..

Ello supone un enorme ahorro de tiempo y esfuerzo. Si se tiene en cuenta la posibilidad de analizar la acción conjunta o cruzada de las variables, se concluye que el diseño factorial es una de las mejores herramientas de trabajo del ámbito psicológico, puesto que la conducta es función de muchos factores que actúan simultáneamente sobre el individuo. ..//..

Formato del diseño factorial 2 x 2 de bloques

Bloque 1

Bloque 2

Bloque k

………………………………………….………………………………………….

A1B1 A2B1 A1B2 A2B2

S11 S12 S14S13

S21 S22 S24S23

Sk1 Sk2 Sk4Sk3

Formato del diseño factorial de medidas repetidas, S x A x B

Y111 Y11k Y121 Y12k … Y1j1 Y1jk

Y211 Y22k Y221 Y22k … Y2j1 Y2jk

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Yn11 Yn1k Yn21 Yn2k … Ynj1 Ynjk

Medias

S1

S2

Sn

.

.

Sujetos

Medias

Y1..

Y2..

.

.

Yn..

Y…

…Tratamientos

A1 A2 AjB1 Bk…

B1 Bk…

B1 Bk…

…

..

..

..

..

..

..

..

.. ..

Y.11 Y.12 … Y.21 Y.j1 Y.jkY.2k.. .. ..