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Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de
probabilidades
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (2/2)
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
a) Basándonos en el proceso de generación (p.e. un dado):
c) Infiriendo resultados compatibles con la muestra:
1, 2, 3, 4, 5, 6
15, -4, π
b) Basándonos en la información empírica: 1, 2, 3
Muestra
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de
probabilidades
Probabilidades y Estadística I
2. Interpretación de la probabilidad (1/3)
INTERPRETACIÓN CLÁSICA
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
Basándonos en el proceso de generación (p.e. un dado):
1, 2, 3, 4, 5, 6
Probabilidades y Estadística I
2. Interpretación de la probabilidad (2/3)
INTERPRETACIÓN FRECUENTISTA
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
Basándonos en la información empírica
1, 2, 3
Probabilidades y Estadística I
2. Interpretación de la probabilidad (3/3)
INTERPRETACIÓN BAYESIANA
SERIE 1, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, ?
Basándonos en creencias a priori
1, 2, Π
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I
Ω = , , , , , , , , ,
3. Definición axiomática (1/8)
CONCEPTOS BÁSICOS
Experimento aleatorio, E
Espacio muestral, Ω
Probabilidades y Estadística I
3. Definición axiomática (2/8)
CONCEPTOS BÁSICOS
Sucesos, S ⊆ Ω
A= , , , B= , , , , , Extraer bola clara Extraer bola oscura
C=
Ω = , , , , , , , , ,
Extraer bola amarilla
Suceso elemental
Probabilidades y Estadística I
3. Definición axiomática (3/8)
ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)
Probabilidades y Estadística I
3. Definición axiomática (4/8)
ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)
Probabilidades y Estadística I
3. Definición axiomática (5/8)
ALGEBRA DE BOOLE DE SUCESOS (℘(Ω), ∪ , ∩)
Ω
Probabilidades y Estadística I
3. Definición axiomática (7/8)
PROPIEDADES ADICIONALES
Propiedad 1
Propiedad 4 P(A)∈[0,1]
Propiedad 3 Regla de cálculo potente
Propiedad 2 aditividad n n
i jA A∩ =∅
Probabilidades y Estadística I
3. Definición axiomática (8/8)
PROPIEDADES ADICIONALES
Propiedad 6
Propiedad 5 monotonía
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Anexo: Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I
4. Cuantificación (1/3)
REGLA DE LAPLACE
Interpretación clásica
1 2, ,..., ns s sΩ =
( ) ( ) ( )11
1 1( )n n
i ii iii
P S P s P P sn
s n P s i==
= = = = × =⇒ ∀
∑
Probabilidades y Estadística I
4. Cuantificación (2/3)
REGLA DE LAPLACE
1 2 1 2, ...., , ,...,k nA s s s s s s′ ′ ′= ⊆ Ω =
( ) ( )11
( )k k
i i iii
k AP A P s P s k P sn==
#′ ′ ′= = = × = = #Ω ∑
A
Ω (casuística)
Probabilidades y Estadística I
4. Cuantificación (3/3)
RUEDA DE LA FORTUNA
Aα
Opción 1
Si cae en A 6.000 €
Si no cae en A 0 €
Si ocurre S 6.000 €
Si no ocurre S 0 €
Opción 2
Interpretación bayesiana
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción 2. Interpretaciones de la probabilidad 3. Definición axiomática de la probabilidad 4. Cuantificación de la probabilidad 5. Métodos de conteo para determinación de probabilidades
Probabilidades y Estadística I
5. Combinatoria (1/5)
Sea un espacio muestral de cardinal n, Deseamos extraer una muestra de tamaño k, en diferentes supuestos:
1,..., ns sΩ =
1) Se tiene en cuenta el orden de extracción y se produce reemplazamiento 2) Se tiene en cuenta el orden de extracción y no se produce reemplazamiento 3) No se tiene en cuenta el orden de extracción y no se produce reemplazamiento 4) No se tiene en cuenta el orden de extracción y se produce reemplazamiento
Probabilidades y Estadística I
5. Combinatoria (2/5)
Caso 1
1ª 2ª kª
s1
(con orden y con reemplazamento)
s2
….
sn
s1 s2
….
sn
s1 s2
….
sn
n n n x x …………. x k
= nk
knVR
Caso 2 (con orden y sin reemplazamento)
!( 1) ( 2) ( 1)( )!
... nn n n n kn k
× × × × =− − − +−
knV
Probabilidades y Estadística I
5. Combinatoria (3/5)
Caso 2 (con orden y sin reemplazamento)
!( 1) ( 2) ( 1)( )!
... nn n n n kn k
× × × × =− − − +−
knV
Cuando k=n tendremos el concepto de permutación de n elementos
!nnV n=
Las permutaciones entre elementos de la misma naturaleza son excluidas mediante el factorial en el cociente (permutaciones con repetición)
nP
1 2
!! !.... !t
nk k k
1 2, ,.., tk k knPR
Probabilidades y Estadística I
5. Combinatoria (4/5)
Caso 3 (sin orden y sin reemplazamento)
knC
Número de subconjuntos con k elementos
knCR
!! !( )!
kn nV n
kk k n k
= = −
Caso 4 (sin orden y con reemplazamento)
1n kk
+ −