Métodos Numéricos en Ingeniería Electrónica. Grupo A109.

4. Integración numérica.

4.1. Introducción. Interpolación de Lagrange

4.2. Fórmulas de integración de Newton-Côtes: reglas del trapecio y de Simpson,

integración con intervalos desiguales, integración abierta.

4.3. Integración de Gauss-Legendre.

Objetivo general

Aproximar b

af x dx evaluando f en un número finito de puntos.

Supongamos que 0 1 ma x x x b . Una fórmula del tipo:

0

m

k k

k

Q f f x

tal que

b

af x dx Q f E f

se llama fórmula de integración numérica o de cuadratura; el término E f es el error de

truncamiento de la fórmula, los valores 0

m

k kx

se llaman nodos de integración y los valores

0

m

k k

son los denominados pesos de la fórmula.

Objetivos específicos

Al finalizar el capítulo el alumno deberá ser capaz de:

1. Obtener la regla del trapecio y las reglas de Simpson, simples y compuestas.

2. Interpretar geométricamente las reglas del trapecio, Simpson y Simpson 3/8.

3. Conocer y saber aplicar las fórmulas del error para las reglas del trapecio y Simpson,

simples y compuestas.

4. Comprender el concepto de grado de precisión de una fórmula de cuadratura.

5. Explicar la diferencia entre fórmulas de integración abiertas y fórmulas cerradas.

6. Obtener la fórmula de Gauss con dos nodos.

7. Explicar la diferencia entre las fórmulas de Newton-Côtes y las de Gauss.

4.1 Interpolación de Lagrange.

La interpolación es el proceso de determinar una función que represente una colección de datos.

El tipo más elemental de interpolación consiste en ajustar un polinomio a una colección de

puntos dados. Los polinomios tienen integrales que son polinomios, así que son una elección

natural para aproximar integrales definidas.

¿Qué papel juegan los polinomios de Taylor en este tema? Los polinomios de Taylor se ajustan

todo lo posible a una función dada cerca de un punto específico, pero esta exactitud se concentra

únicamente cerca del punto. Un buen polinomio de interpolación debe proporcionar una

aproximación relativamente precisa en todo un intervalo. Los polinomios de Taylor no tienen

esta propiedad.

2011-2012 Métodos Numéricos en Ingeniería Electrónica A109

Resumen Tema 4 2

Los polinomios de Lagrange se determinan especificando ciertos puntos del plano por los que

su gráfica debe pasar.

Se trata de obtener el polinomio de grado menor o igual que m que pasa por 1m puntos

dados 0

,m

i i ix y

llamados nodos de interpolación. Si planteamos esta condición, se obtiene

un sistema de ecuaciones lineales con solución única, que nos permite obtener los coeficientes

del polinomio.

Ejercicio: Sabiendo que 10log 10 1 y que 10log 100 2 , calcula por interpolación lineal el

logaritmo en base 10 de 90.

Los puntos de interpolación son 10,1 y 100,2 , entonces, 1 1 0P x a x a ,

1 1 010 10 1P a a

1 1 0100 100 2P a a

de donde 1

1 8

90 9P x x y 1

1790 1.8889

9P 10

log 90 1.9542

Podemos escribir la ecuación de la recta que pasa por dos puntos 0 0,x y y 1 1,x y como:

1 01 0 0

1 0

y yP x y x x

x x

El matemático francés Lagrange escribió este polinomio de una forma distinta:

011 0 1

0 1 1 0

x xx xP x y y

x x x x

donde cada uno de los sumandos es lineal. Denotemos:

011,0 1,1

0 1 1 0

1,0 0 1,0 1 1,1 0 1,1 11 0 0 1

x xx xL x L x

x x x x

L x L x L x L x

Usando esta notación podemos escribir.

1

1 0 1,0 1 1,1 1,

0

k k

k

P x y L x y L x y L x

y al proceso de utilizar 1P para aproximar f en el intervalo 0 1,x x se llama interpolación

lineal. Si 0x x o 1x x , hablamos de extrapolación.

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Resumen Tema 4 3

La forma de generalizar la fórmula anterior para construir un polinomio de grado menor o igual

que m y que pase por 1m puntos: 0 0 1 1, , , , , ,m mx y x y x y , es:

0 ,0 1 ,1 , ,

0

m

m m m m m m k m k

k

P x y L x y L x y L x y L x

0 1 1

,

0 1 1

k k m

m k

k k k k k k m

x x x x x x x xL x

x x x x x x x x

Se cumple que , 1m k kL x y , 0m k jL x si j k , entonces, m k kP x y .

El Teorema Fundamental del Álgebra asegura la unicidad del polinomio.

Ejercicio: De un muelle con un extremo fijo colgamos distintas masas obteniendo la tabla,

Masa (kg.) 5 10 15

Longitud (cm.) 395 620 795

Utiliza la interpolación cuadrática para estimar la longitud del muelle para una masa de 7 kg.

¿Podemos acotar el error cometido? Si f es conocida y además,

1. 1

,m

f C a b

2. 0 1, , , ,mx x x a b

Para ,x a b se cumple que existe ,c a b tal que m mf x P x E x , donde,

0 1 1)

1 !

m m

m

x x x x x xE x f c

m

.

4.2. Integración de Newton-Côtes.

Sean : ,f a b una función acotada y 0 1 ma x x x b un conjunto de nodos

del intervalo ,a b equiespaciados. Consideramos el conjunto de puntos 0

,m

i i ix y

, donde

para 1,2, ,i iy f x i m . El Teorema fundamental del Álgebra asegura que existe un

único polinomio mP de grado menor o igual que m que pasa por los puntos anteriores. Cuando

usamos este polinomio para aproximar la función f en el intervalo ,a b y aproximamos

b

af x dx por

b

ma

P x dx , la fórmula resultante se llama fórmula de cuadratura de Newton-

Côtes. Si el primer nodo es 0x a y el último es mx b , se dice que la fórmula de Newton-

Côtes es cerrada.

El grado de precisión de una fórmula de cuadratura es el número natural n que verifica:

0iE p para todos los polinomios de grado i n

1 0nE p para algún polinomio de grado 1n

2011-2012 Métodos Numéricos en Ingeniería Electrónica A109

Resumen Tema 4 4

Fórmulas de Newton-Côtes cerradas para 1,2 y 3m .

Regla del trapecio: Nodos 0 1,x x , h b a

1

0

32

0 1 ,2 12

x

x

h hf x dx y y f c c a b

Regla de Simpson: Nodos 0 1 2, ,x x x , 2

b ah

2

0

54

0 1 24 ,3 90

x

x

h hf x dx y y y f c c a b

Regla 3

8de Simpson: Nodos 0 1 2 3, , ,x x x x ,

3

b ah

3

0

54

0 1 2 3

3 33 3 ,

8 80

x

x

h hf x dx y y y y f c c a b

Ejercicio:

a) Obtener las reglas del trapecio y de Simpson integrando los polinomios de Lagrange

adecuados.

b) Plantear los cálculos que permiten demostrar la fórmula de Simpson 3

8 y obtener uno de

los pesos.

c) Demostrar que el grado de precisión de la regla del trapecio es 1n .

d) Demostrar que el grado de precisión de la regla de Simpson es 3n .

Ejercicio: Aproximar 1

0sen x dx mediante las tres reglas anteriores y comparar con el

valor exacto ( 1

0sen x dx =

20.6366198

)

Ejercicio: Deducir la regla del trapecio usando el método de los coeficientes indeterminados:

a) Hallar las constantes 0 y 1 de manera que 1

0 10

0 1g t dt g g sea

exacta para las funciones 1g t y g t t .

b) Trasladar la regla del trapecio desde 0,1 hasta el intervalo 0 1,x x utilizando el

cambio de variable 0x x ht .

Fórmulas de Newton-Côtes compuestas.

a) Regla compuesta del trapecio.

Supongamos que se divide el intervalo ,a b en M subintervalos 1,k kx x de

longitud común h b a M y que aplicamos la regla del trapecio en cada uno de

estos subintervalos, obtenemos entonces la fórmula compuesta del trapecio:

2

2, ,

12

b

a

b a hf x dx T f h f c c a b

Donde,

2011-2012 Métodos Numéricos en Ingeniería Electrónica A109

Resumen Tema 4 5

1

1 0

1 1

,2 2

M M

k k M k

k k

h hT f h f x f x f x f x h f x

b) Regla compuesta de Simpson.

Supongamos que se divide el intervalo ,a b en 2M subintervalos 1,k kx x de

longitud común 2h b a M y que aplicamos la regla de Simpson en cada uno

de estos subintervalos, obtenemos entonces la fórmula compuesta de Simpson:

4

4, ,

180

b

a

b a hf x dx S f h c a bf c

Donde,

2 2 2 1 2

1

1

0 2 2 2 1

1 1

, 43

2 4

3 3 3

M

k k k

k

M M

M k k

k k

hS f h f x f x f x

h h hf x f x f x f x

Ejercicio: Justificar las fórmulas, ,T f h y ,S f h de las reglas compuestas.

Ejercicio: Aproximar 1

20

2

4dx

x utilizando:

a) Las fórmulas simples: trapecio, Simpson y Simpson 3

8.

b) La regla compuesta del trapecio con 1

4h .

c) La regla compuesta del trapecio con 1

4h .

Ejercicio: Aproximar 2

1

0

xe dx

utilizando:

a) La regla compuesta del trapecio con 0.1h . Acotar el error cometido.

b) La regla compuesta de Simpson con 0.1h . Acotar el error cometido.

Ejemplo: Integración con intervalos desiguales.

En un proceso termodinámico presión-volumen, a temperatura constante, se tienen los

siguientes datos:

Presión (kPa) 420 368 333 326 326 312 242 207

Volumen (m3) 0.5 2 3 4 6 8 10 11

Se sabe que W PdV , donde W es trabajo, p es la presión y V es el volumen.

Calcule el trabajo en kJ usando una combinación de la regla del trapecio, la regla de Simpson y

la regla 3/8 de Simpson.

2011-2012 Métodos Numéricos en Ingeniería Electrónica A109

Resumen Tema 4 6

11

0.5

1.5 1 3 2 1420 368 368 4 333 326 326 3 326 3 312 242 242 207

2 3 8 2W PdV

Fórmulas de Newton-Côtes abiertas.

En las fórmulas abiertas de Newton-Côtes se consideran los nodos 0ix x ih , 0,1, ,i m ,

donde 2

b ah

m

y 0x a h . Esto implica que mx b h , por lo que marcamos los

extremos haciendo 1x a y 1mx b .

1 1

1 1 0

m mmb x x

m i ia x x

i

f x dx f x dx P x dx a f x

Para 0m se obtiene la regla del punto medio:

1

1

3 3 32 2 2

0 0 02 ,3 3 3

b x

a x

h h hf x dx f x dx f c f x b a f c hy f c c a b

x-1 x1x0

f(x0)

x-1 x1x0

f(x0)

Regla del punto medio, m=0.

Para 1m se obtiene:

2

1

3 32 2

1 0 1

3 3 3,

4 2 4

b x

a x

h h hf x dx P x dx f c f x f x f c c a b

x-1 x1x0

f(x0)

x2

f(x1)

P1(x)

x-1 x1x0

f(x0)

x2

f(x1)

P1(x)

Integración abierta: m=1

Ejercicio: Justificar las fórmulas de cuadratura de Newton-Côtes abiertas para 0m (regla del

punto medio) y 1m .

2011-2012 Métodos Numéricos en Ingeniería Electrónica A109

Resumen Tema 4 7

Ejercicio: Aproximar 1

1 30

sen xdx

x utilizando las fórmulas de integración abierta con 0m

(regla del punto medio) y 1m .

4.3. Integración de Gauss-Legendre.

Se seleccionan los nodos 1 2, , , ,nx x x a b y los pesos 1 2, , , na a a de manera que se

maximice el grado de precisión de la fórmula de cuadratura obtenida:

1 1pesos nodos

n n

i i i i

i i

Q f a f x a y

Esto proporciona 2n parámetros por seleccionar, que se determinarán imponiendo la condición

de que la fórmula de cuadratura sea exacta para polinomios de grado 2 1n ,

2 1 2 1

2 1 2 1 2 2 1 0

2 parámetros

n n

n n n

n

P x x c x c x cc

Veamos cómo determinar los pesos y los nodos cuando 2n y el intervalo de integración es

1,1 .

La fórmula 1

11

n

i i

i

f x dx a y

debe proporcionar el resultado exacto cuando la función f

sea 2 31, , y x x x . Por tanto,

1

1 21

1

1 1 2 21

12 2 2

1 1 2 21

13 3 3

1 1 2 21

2

0

2

3

0

a a dx

a x a x xdx

a x a x x dx

a x a x x dx

Ejercicio: Comprobar que este sistema de ecuaciones tiene una única solución:

1 2 1 2

3 31

3 3a a x x

Por tanto, la fórmula de aproximación de Gauss-Legendre (G-L) para 2n es:

1

21

3 3

3 3f x dx f f G f

Ejercicio: Aproximar 2

1

1

xe dx

utilizando la fórmula de G-L con dos nodos.

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Resumen Tema 4 8

Una limitación de la fórmula 2G f es que se ha obtenido para un intervalo concreto, el

1,1 , pero mediante un cambio de variable lineal podemos utilizarla en el caso general,

1

1 2 2

y 2 2

b

a

b a t a b b af x dx f dt

a m n a b b ax mt n n m

b m n

Ejercicio: Aproximar 2

1.5

0

xe dx

utilizando la fórmula de G-L con dos nodos.

Ejercicio: Comprobar que la regla de G-L con tres nodos:

1

31

5 3 5 8 0 5 3 5

9

f f ff x dx G f

Tiene grado de precisión 5n .

La fórmula de Gauss-Legendre con n nodos es exacta para polinomios de grado menor o igual

que 2 1n , es decir, el grado de precisión es 2 1n . Los nodos son las raíces del polinomio de

Legendre de grado n :

2! d1

2 ! d

nn

n n

nP x x

n x (polinomio mónico)

y los pesos vienen dados por:

1

11

nj

ij

i jj i

x xa dx

x x

El error para la fórmula de Gauss-Legendre con n nodos es:

21 1

2

1 12 !

n

n n n

f cE f f x dx G x P x dx

n

para cierto 1,1c .

Ejercicio: Comprobar que,

1. 4

2135

f cE f 2.

6

315750

f cE f