Temario PSU: Matemáticas

o Números Potencias Raíces Logaritmos Números complejos

o Algebra Expresiones algebraicas Operatoria algebraica Ecuaciones en 1er grado Ecuaciones en 2do grado Inecuaciones y sistemas de inecuaciones Sistema de ecuaciones Funciones Función lineal (proporcionalidad directa) Composición de funciones (2017)

o Geometría Angulo en la circunferencia Proporcionalidad en la circunferencia Área y volumen de cuerpos geométricos Geometría proporcional Ecuación principal y general de la recta Homotecia Transformación isométrica (Se agrega composición de transformaciones

isométricas y el concepto de congruencia a partir de ellas Ecuación vectorial y cartesiana de la recta Distancia entre dos puntos y su aplicación en el cálculo de módulo de un vector

o Datos y azar Medidas de tendencia central Técnicas de conteo Probabilidad simple Probabilidad condicional Suma y producto de probabilidad Lectura e interpretación de datos agrupados en intervalos Medidas de posición (Cuartiles y percentiles) Medidas de dispersión (Desviación estándar, varianza y rango) Estadística inferencial (2016-2017) Variable aleatoria discreta (Función de probabilidad y de distribución, valor

esperado, varianza, desviación estándar de una variable aleatoria discreta) Variable aleatoria continua (2017) Conceptos básicos de distribución normal Distribución normal y binominal (2016-2017)

Matemáticas

o Números Potencias Raíces Logaritmos Números complejos

Potencias

Una potencia es una expresión que representa a un número que se multiplica por sí mismo varias veces.

Operaciones con potencias

Adición: La suma de potencias solo se hace efectiva cuando estas poseen igual base e igual exponente. Por ejemplo: 5 2 + 5 2 + 5 2 = 3 · 5 2

Multiplicación:

Si multiplicamos potencias que tienen igual base, se conserva la base y se suman los exponentes. Por ejemplo: 7−5 · 7 2 · 7 12 · 7 −3 = 7−5+2+12+(−3) = 76 En general, si a ∈ R − {0} y n, m ∈ Z entonces: a m · a n = a n+m

Si multiplicamos potencias que tienen igual exponente, se conserva el exponente y se multiplican las bases. Por ejemplo: 2 8 · 6 8 = (2 · 6)8 = 128 En general, si a, b ∈ R − {0} y n ∈ Z entonces: a n · b n = (a · b) n

Potencia de base positiva con exponente entero

Para trabajar con potencias que poseen exponentes enteros tenemos que tener las siguientes consideraciones:

Un número elevado a un entero negativo es igual al valor invertido de la base elevado al mismo exponente en versión positiva.

- Por ejemplo: 4 −2 = (1/4) 2 - En general, si a ∈ R − {0} y n ∈ Z entonces: a −n = (1/a) n

Un número elevado a 0 es igual a la unidad. - Por ejemplo: 9 0 = 1 - En general, si a ∈ R − {0} entonces: a 0 = 1

Un número elevado a la unidad es igual al mismo número. - Por ejemplo: 141 = 14 - En general, si a ∈ R − {0} entonces: a 1 = a

Potencias de base 10 y exponente entero

Toda potencia de base 10 que posee exponente positivo es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades indica el exponente

Por el contrario, si el exponente de la potencia es negativo el resultado será igual a la unidad antepuesta de tantos ceros como unidades indique el exponente

Potencias de exponente fraccionario y las raíces

Veamos el siguiente problema:

x =√3

Si elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad obtenemos:

x 2 = (√ 3)2 = 3

Entonces:

x 2 = 3

Para obtener x nos debemos preguntar ¿qué expresión al cuadrado da como resultado 3? Podemos sospechar que debe ser una potencia de base 3 que al elevarla al cuadrado quede con exponente 1, es decir:

x = 3 exponente desconocido

Llamemos y al exponente desconocido:

x = 3y (5)

Entonces la expresión anterior quedaría:

x 2 = 3

(3y ) 2 = 3

3 2y = 3

Si lo desarrollamos un poco y recordamos que 3 = 31 se obtiene:

3 2y = 31

Para que esas potencias de igual base sean iguales no queda otra que sus exponentes también lo sean, entonces:

2y = 1 y = 1/2

(6) Reemplazamos (6) en (5)

x = 3 1/2

Notemos que el problema inicial es

x = √ 3

Por lo tanto si reemplazamos el valor obtenido para x obtenemos:

3 1/2 = √ 3

Por ultimo no olvidemos que las raíces tienen un índice que en este caso es 2. Reescribiendo la expresión anterior con el exponente e índice tácitos:

3 1/2 = 2√3 1

De esta manera encontramos una relación entre potencias racionales y las raíces:

a m/n = n√ am

Raíces

La radicación podemos entenderla como la operación inversa a la potenciación, así como multiplicar y dividir, sumar y restar. La raíz enésima de a elevada a m es n√am, de la cual podemos distinguir dos elementos importantes:

Propiedades de las raíces