INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA

TEMPERATURA Y PRESIÓNANÁLISIS DIMENSIONALINTERPOLACIÓN LINEAL

Prof. Mario Yovera Reyes

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUYESPACIO ACADÉMICO CIENCIA Y CULTURA DE LA

ALIMENTACIÓNPRINCIPIOS DE INGENIERÍA APLICADA A LOS

ALIMENTOSPERIODO LECTIVO 2012-2013

TEMPERATURAFísicamente es una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico. Más específicamente, está relacionada directamente con la parte de la energía interna conocida como "energía sensible", que es la energía asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A medida que es mayor la energía sensible de un sistema se observa que esta más "caliente" es decir, que su temperatura es mayor

TEMPERATURALa temperatura se mide con termómetros, los cuales pueden ser calibrados de acuerdo a una multitud de escalas que dan lugar a unidades de medición de la temperatura. En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de temperatura es el kelvin. Sin embargo, fuera del ámbito científico el uso de otras escalas de temperatura es común el uso de la escala Celsius (antes llamada centígrada) y en los países anglosajones, la escala Fahrenheit. También existe la escala Rankine (°R) que establece su punto de referencia en el mismo punto de la escala Kelvin

TEMPERATURA

TEMPERATURA ABSOLUTA

0 0K R Cero Absoluto

273,15 491,67K R

Punto de congelación del agua

273,15 0 491,67 0K R

491,671,8 1,8 273,15 491,67

273,15

RK R

K

1,8. T K T R

1,8.T K T R

TEMPERATURA RELATIVACero Absoluto

273,15 0K C

Punto de congelación del agua

273,15T K T C

0 273,15K C

Cero Absoluto

491,67 32R F

Punto de congelación del agua

459,67T R T F

0 459,67R F

491,67 32 459,67

TEMPERATURA RELATIVA273,15T K T C 459,67T R T F

1,8. 1,8. 273,15 459,67T K T R T C T F

1,8. 491,67 459,67T C T F 1,8. 491,67 459,67T C T F

1,8. 32T C T F

32

1,8

T FT C

DIFERENCIAS DE TEMPERATURA

(373,15 273,15) (100 0)K C

671,67 491,67 212 32R F

T K T C

T R T F

PRESIÓNLa presión de un fluido sobre una superficie se define como la fuerza normal ejercida por el fluido por unidad de área (superficie):

ghA

ghA

A

gV

A

gm

A

FP

Presión de vapor: Es la presión que ejercen las moléculas de un líquido en el espacio libre que queda sobre éste (vapor). La presión de vapor depende de la temperatura

PRESIÓN ESTÁTICA

El cuerpo de un fluido en equilibrio estático está bajo la influencia exclusiva de las fuerzas de compresión. La intensidad de esta fuerza se denomina presión estática. La presión estática es una fuerza normal a cualquier superficie en la que actúa y, en cualquier punto dado, tiene la misma magnitud, sea cual fuese la orientación de la superficie. Esta es una de las maneras de enunciar la Ley de Pascal; otra de ellas es que la presión en cualquier punto de un fluido en reposo actúa con igual intensidad en todas las direcciones.

PRESIÓN HIDROSTÁTICALa presión P de un fluido en la base de una columna, es la suma de la presión ejercida por en la superficie superior y la presión ejercida por la columna de fluido

cgghPP 0

mh 2mNP 3mkg

2mA 20 mNP

Abs atm relP P P

PRESIÓN BAROMÉTRICA

Barómetro de mercurio: el barómetro indica directamente la presión absoluta de la atmósfera expresada como altura de la columna de mercurio. La presión barométrica normal (estándar) es, por definición,

cHgatm gghP

101.325 1 760 760 29,92kPa atm Torr mmHg inHg

atmP0P

Hg

PRESIÓN MANOMÉTRICAManómetros de columna líquida: La altura o carga a la que un fluido se eleva en un tubo vertical abierto conectado a un aparato que contiene un líquido, constituye una medida directa de la presión en un punto de unión y se utiliza con frecuencia para indicar el nivel de líquido en tanques y recipientes. Este mismo principio se aplica a los manómetros de tubo en U para medir presiones en función de la altura de un fluido diferente al que se está comprobando. La mayor parte de estos medidores se usan ya sean como manómetros de extremo abierto, de extremo cerrado ó como manómetros diferenciales

PRESIÓN MANOMÉTRICAManómetros de extremo abierto: Se utilizan para medir presiones de fluidos en tuberías, tanques y depósitos; Además, mide presiones de bajas a moderadas

1 2. .atm man f cP P h h g g

PRESIÓN MANOMÉTRICAManómetros de extremo cerrado: Mide sólo presiones manométricas ó relativas de fluidos en tuberías, tanques y depósitos; Mide presiones de moderadas a altas

1 2. .man f cP h h g g

PRESIÓN MANOMÉTRICAManómetro diferencial: Mide diferencias de presiones de fluidos en tuberías, tanques y depósitos

PRESIÓN MANOMÉTRICA

Ejemplo 1:

PRESIÓN MANOMÉTRICAEjemplo 2: Determina la presión P, en atm, sabiendo que el fluido manométrico es mercurio cuya gravedad específica es 13,5 y la diferencia de altura es h = 30 cm

A 'A

B

' . .A A B Hg cP P P h g g 'A AP P

Principio de Equilibrio Hidrostático

2101.325B atmP P N m

2 3101.325 0,3 .13.500 .9,8A

N kg NP m

m m kg

2 2 2101.325 39.690 141.015 1,39AP N m N m N m atm

PRESIÓN MANOMÉTRICAEjemplo 3: Encuentra una ecuación que permita determinar la diferencia de presión ΔP entre los dos depósitos en función de: a, h, g, gc, ρ1, ρm y ρ2

1 1. .A cP P a g g ' ''A A AP P P Principio de Equilibrio

Hidrostático

'B BP P '' . .A B m cP P h g g 2 ' 2. .B cP P a h g g

1 2 1 2. . . . . .m c c cP P h g g a g g a h g g

1 2 2. . . . . . . .m c c c cP h g g a g g a g g h g g

2 1 2. . . .m c cP h g g a g g

2 1 2[ . . ].m cP h a g g

ANÁLISIS DIMENSIONAL

Es el estudio matemático de las dimensiones de las cantidades y tiene sus fundamentos en el Principio de Homogeneidad Dimensional; i.e. establece que en toda ecuación que exprese una relación física entre cantidades o variables es tal que las dimensiones de cada término de la ecuación son iguales. En términos más prácticos “Todos los términos aditivos en ambos lados de una ecuación deben tener las mismas dimensiones”. Por tanto, para que cualquier ecuación sea válida, debe ser dimensionalmente homogénea

ANÁLISIS DIMENSIONAL

1° Ejemplo demostrativo: Consideremos la ecuación de la rapidez en el movimiento vertical y caída libre (M.U.V):

0 .v v g t 0 2.

m m mv v g t ss s s

0 02. .

m m m m m mv v g t s v v g ts s s s s s

Conclusión: La ecuación de la rapidez en el movimiento uniformemente variado (vertical y caída libre) es válida, por tanto, es dimensionalmente homogénea

ANÁLISIS DIMENSIONALConsideremos la ecuación anterior, pero ahora nos suministran los datos del tiempo en minutos, ¿Qué debemos hacer para validar la ecuación?:

0 . minv v g t 0 2. min

m m mv v g ts s s

Obviamente esta ecuación no es dimensionalmente homogénea, entonces debemos aplicar un factor de conversión para corregir las unidades: 1 min = 60 s 0 02

60. min . 60. .

min

m m m s m m mv v g t v v g ts s s s s s

0 60 . minv v g t

ANÁLISIS DIMENSIONALLa relación entre algunas variables de un sistema puede dar una combinación tal que produzca un cantidad adimensional. Así como un número cualquiera ó una combinación de variables se denominan Números ó Grupos Adimensionales.

Los exponentes numéricos de las funciones polinómicas (el 2 en x²), las funciones trascendentales como: Log (x), exp (x), Ln (x), sen (x), tan (x) y sus respectivos argumentos son cantidades adimensionales. Por ejemplo: Si escribimos 10², sen (30) ó Ln (20) tiene sentido y es válido, pero no tiene ningún sentido matemático escribir 10²ft, sen (30 seg) ó Ln (20 kg)

ANÁLISIS DIMENSIONAL2° Ejemplo demostrativo: El volumen de un cultivo microbiano en una muestra de alimento aumenta en función del tiempo de acuerdo a la ecuación:Determina las unidades de V0 y k, si V está dado en centímetros cúbicos y t en segundos:

.0.

k tV V e

.30.

k t sV cm V e

Como se explico anteriormente la función exponencial debe ser adimensional, por tanto V0 debe tener las mismas unidades de V y el argumento de dicha función k.t también debe ser adimensional, por lo cual: 1

.3 3

0 .k t ssV cm V cm e

30V cm 1 1

: :kt s

ANÁLISIS DIMENSIONALConsideremos la ecuación anterior: , pero ahora requerimos plantear una ecuación que sea válida y homogénea, con el V en pulgadas cúbicas y t en horas:

.0.

k tV V e

3600. .300,061. . k t hV in V e

. .30.

k t hV in V e

Obviamente esta ecuación no es dimensionalmente homogénea, entonces debemos aplicar los factores de conversión correspondientes para corregir las unidades: 36003 . .3 3600 .0

03

16,39. . .

16,39

sk t h k th

VcmV in V e V e

in

INTERPOLACIÓN LINEALEn numerosos fenómenos de la naturaleza

observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, por ejemplo, el análisis de parámetros de calidad en los alimentos, esto nos permite predecir un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy fiable el resultado obtenido.

Cuando las variaciones de la función son proporcionales (o casi proporcionales) a los de la variable independiente se puede admitir que dicha función es lineal y usar para estimar los valores la interpolación lineal. Sean dos puntos (xo, yo), (x1, y1), la interpolación lineal consiste en hallar una estimación del valor y, para un valor x tal que x0< x < x1. Teniendo en cuenta que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos es: , siendo m la pendiente de la recta cuyo valor se calcula así:Finalmente, la ecuación de interpolación es:

INTERPOLACIÓN LINEAL

0 0y y m x x 1 0

1 0

y ym

x x

1 0 00 0 0 1 0

1 0 1 0

. .y y x x

y y x x y y y yx x x x