MMC 2007-2

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... 3 ... TENSORES

3.1 Definición analítica de tensor de orden cero (escalar), de primer orden (vector) y segundo orden.

Un sistema de cantidades es llamado tensor de orden n, dependiendo de cómo se definan

sus componentes en un sistema coordenado cartesiano 321 xxx , y cómo se transformen del

sistema 321 xxx al sistema 321 xxx ′′′ .

Tensor de orden cero (escalar)

Un sistema es llamado escalar cuando tiene una sola componente Φ en el sistema ix , y una

correspondiente componente Φ′ en el sistema ix′ , y si Φ y Φ′ son iguales en puntos

correspondientes:

( ) ( )321321 ,,,, xxxxxx ′′′′=ΦΦ .

Tensor de orden uno (vector)

Un sistema es un tensor de orden uno, si tiene tres componentes iξ en las variables ix , y

tres componentes iξ ′ en las variables ix′ , y éstas se relacionan por:

( ) ( )( ) ( )

kiik

ikki

xxxxxx

xxxxxx

βξξ

βξξ

321321

321321

,,,,

,,,,

′′′′=

=′′′′

Tensor de orden dos

Sistema con nueve componentes ijt en las variables 321 xxx , nueve componentes ijt′ en las

variables 321 xxx ′′′ , sus componentes están relacionadas por:

T

ijij tt BB ′=

( ) ( )( ) ( )

njmimnij

jnimmnij

xxxtxxxt

xxxtxxxt

ββ

ββ

321321

321321

,,,,

,,,,

′′′′=

=′′′′

Tensor de orden N

Es una cantidad que tiene 3N componentes en las variables 321 xxx ( ...ijkS , con N subíndices)

y su transformación ortogonal al sistema 321 xxx ′′′ , está dada por:

( ) ( ) KKK knjmillmnijk aaaxxxSxxxS 321321 ,,,, =′′′′

Otra definición de tensores:

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M

scomponentecuatroordendetensortetrádicoC

scomponentetresordendetensortriádicoQ

scomponentedosordendetensordiádicoT

scomponenteunoordendetensorvectorv

componenteceroordendetensorescalar

ijkl

ijk

ij

i

81),(:

27),(:

9),(:

3),(:

1),(:λ

El orden del tensor lo da el numero de índices no repetidos.

3.2 Álgebra de tensores de primer orden.

3.2.1 Notación índice y convención de suma.

Notación índice

Un tensor de orden uno (vector) o un conjunto de variables nxxx ,...,, 21 , se puede denotar

como niconxi ,...,2,1, = . A i se le conoce como índice, su rango es el conjunto de

valores que toma.

Convención de suma

La repetición de un índice en un término denota suma con respecto al índice sobre su rango.

ii

i

ii xaxaxaxaxa ==++ ∑=

3

1

332211

Los índices no repetidos en un término se llaman índices libres.

3.2.2 Operaciones básicas: suma algebraica y productos escalar y vectorial.

Sean los vectores (tensores de orden uno)

( )( )321332211

321332211

,,,ˆˆˆˆ

,,,ˆˆˆˆ

yyyyoeyeyeyey

xxxxoexexexex

jjj

iii

==++==

==++==

yy

xx

Suma algebraica

La adición de dos vectores se define como

( ) ( ) ( ) 333222111 ˆˆˆˆˆ eyxeyxeyxeyex jjii +++++=+=+ yx .

O también como

( )332211 ,, yxyxyxyx ji +++=+=+ yx .

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores se define como

( ) ( ) ( )jijijjii eeyxeyex ˆˆˆˆ •=•=• yx ,

considerando que

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3

.,0ˆˆ

,,1ˆˆ

jicuandoee

jicuandoee

ji

ji

≠=•

==•

O también como

ii yxyxyxyx =++=• 332211yx .

3.3 Álgebra de tensores de segundo orden.

3.3.1 Notación índice, Delta de Kronecker y símbolo asimétrico

Notación índice

Un tensor de orden dos se puede expresar empleando dos índices, esto es ijt . Si

( 3,2,1, =ji ), entonces ijt tendrá nueve componentes.

Delta de Kronecker o símbolo simétrico

≠

==

ji

jiij

,0

,1δ

.0,1 323123211312332211 ========= δδδδδδδδδ

Símbolo asimétrico

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

−

===

=

3,1,2,1,2,3,2,3,1,1

2,1,31,3,2,3,2,1,1

,,,0 kjkiji

eijk

Teoremas

(1) jikkjiikjkijjkiijk eeeeee −=−=−===

(2) kmjnknjmimnijk ee δδδδ −=

3.3.2 Operaciones básicas: suma algebraica, productos escalar y vectorial, producto interno o producto tensorial.

Sean los tensores de orden dos

( )

( )333231232221131211

333231232221131211

,,,,,,,,

,,,,,,,,

yyyyyyyyyy

xxxxxxxxxx

ij

ij

=

=

Y los vectores de tres dimensiones:

.ˆ

,ˆ

,ˆ

kkk

jjj

iii

zez

yey

xex

==

==

==

z

y

x

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Suma algebraica

La adición de dos tensores de orden dos se define como

( )333332323131232322222121131312121111 ,,,,,,,, yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx mnij +++++++++=+

Producto escalar o producto punto

Podemos utilizar el símbolo simétrico para representar el producto escalar, esto es

( ) ( ) ( )iiijjijijijjii yxyxeeyxeyex ==⋅=⋅=⋅ δˆˆˆˆyx .

Producto vectorial

Sean los vectores de tres dimensiones:

.ˆ

,ˆ

jjj

iii

yey

xex

==

==

y

x

El producto vectorial de dos vectores se define como

( ) ( ) ( )kijkjijijijjii eeyxeeyxeyex ˆˆˆˆˆ =×=×=× yx .

El producto vectorial de dos vectores es otro vector (como su nombre lo indica) con las

siguientes características:

{ { {Dirección

k

Sentido

ijk

Magnitud

ji eeyx ˆ=× yx .

Triple producto escalar

El triple producto escalar de tres vectores se define como

( ) ( )ijkkji ezyxw ==⋅×= zyxzyx ,, .

En efecto

( ) ( ) ( ) ( )ijkkjikmijmkjikkmijmji ezyxezyxezeeyxw ==•==⋅×= δˆˆ,, zyxzyx .

Propiedades:

(1) ( ) ( ) ( )yxzxzyzyx ,,,, ,, == .

(2) ( ) ( )zyxzyx ,,,, λλ = , donde λ es un escalar.

(3) ( ) ( ) ( )wzywzxwzyx ,,, ,,, +=+ .

Triple producto vectorial

El triple producto vectorial de tres vectores se define como

( ) ( ) ( )xzyyzxzyxw •−•=××= .

En efecto

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) .

ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

xzyyzx

zyxw

•−•=−=−=

=−===×=

=×=××=××=

ijjjiijjiiji

jkinjnikkjimknmijkjimknijmkjikmijmkji

kkmijmjikkjjii

xzyyzxzyxzyx

zyxeezyxeezyxeeezyx

ezeeyxezeyex

δδδδ

Propiedades

(1) ( ) ( ) ( ) ( )xyzyxzzxyzyx ××=××−=××−=×× .

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(2) ( ) ( )zyxzyx ××≠×× .

3.3.3 Representación matricial de tensores.

El tensor de orden dos ijt , se puede representar como un arreglo de números, es decir,

como una matriz:

==

333231

232221

131211

ttt

ttt

ttt

t ijT .

Matriz traspuesta

Sea T una matriz de 33×

==

333231

232221

131211

ttt

ttt

ttt

t ijT .

La matriz traspuesta de T, se define como

( )

===

332313

322212

312111

ttt

ttt

ttt

tt ji

T

ij

TT .

Se observa que la operación de intercambiar renglones por columnas en un matriz,

corresponde a invertir el orden de los índices en su representación por medio de notación

índice.

Matriz simétrica

Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta, esto es

.jiij

T

tt =

= TT

Entonces una matriz simétrica tiene la forma

=

===

333231

322221

312111

332313

232212

131211

ttt

ttt

ttt

ttt

ttt

ttt

tt jiijT .

Producto matricial

El producto de dos matrices (de 33× ) se define como

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++++++

++++++

++++++

=

=

=

333323321331323322321231313321321131

332323221321322322221221312321221121

331323121311321322121211311321121111

333231

232221

131211

333231

232221

131211

bababababababababa

bababababababababa

bababababababababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

AB

El producto matricial en notación índice se representa como

( )kjikij ba== ABAB .

Determinante de una matriz

El determinante de un matriz de 33× se define como

233211331221132231231231133221332211

333231

232221

131211

)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

−−−++==A

En notación índice se puede expresar como

321)det()det( tsrrstij aaaea ==A .

3.3.4 Simetría de tensores.

Una función cualquiera se dice simétrica si cumple que: ( ) ( )xyyx ,, φφ = .

Una función se dice antisimétrica si: ( ) ( )xyyx ,, φφ −= .

Un tensor de orden dos, ijt , se dice simétrico si jiij tt = . Y antisimétrico si jiij tt −= .

Un tensor cualquiera de orden dos puede expresarse como

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−−

−−

−−

+

++

++

++

−++=

02

1

2

12

10

2

12

1

2

10

2

1

2

12

1

2

12

1

2

12

1

2

1

23321331

32231221

31132112

3323321331

3223221221

3113211211

tttt

tttt

tttt

ttttt

ttttt

ttttt

ttttt jiijjiijij

Donde

( ) ( )4342143421

icoantisimétrTensor

jiij

simétricoTensor

jiijij ttttt −++=2

1

2

1.

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3.4 Transformación de coordenadas: cambios de base para las componentes de un vector y un tensor.

3.4.1 Translación y rotación de un sistema cartesiano de coordenadas.

Translación de ejes

En la translación de un sistema coordenado, los ángulos entre los respectivos ejes antes y

después de la translación son nulos.

Ecuaciones de transformación

Rotación de ejes

Mientras los ejes son rotados, el origen se mantiene fijo.

Ecuaciones de transformación

Empleando notación índice, en el caso de tres componentes, la rotación se puede describir

como el producto escalar de los dos sistemas coordenados.

Un vector cualquiera puede ser representado en dos sistemas coordenados diferentes, esto

es:

332211332211 ˆˆˆˆˆˆ eueueueueueu ′′+′′+′′=++=u .

Por definición

ijijijjiji eeee βαα ==′=⋅′ coscosˆˆˆˆ .

Donde

( )jiij ee ˆ,ˆcos ′=β , es el coseno director entre los ejes ji eye ′′ ˆˆ .

ijα es el ángulo entre los mismos ejes.

−=′

−=′

+′=

+′=

kyy

hxx

kyy

hxx

+−=′

+=′

′+′=

′−′=

θθ

θθ

θθ

θθ

cossin

sincos

sinsin

cos

yxy

yxx

yxy

senyxx

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Las componentes de un sistema coordenado se pueden describir a partir de su proyección

en otro sistema coordenado:

iii ededirecciónendeproyeccióneu ′⇒′⋅=′ ˆˆ uu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

133122111

1331221111111

βββ uuu

eeueeueeueeueeueu iiii

++=

=′⋅+′⋅+′⋅=′⋅=′⋅=′⋅=′ u

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

233222211

2332222112222

βββ uuu

eeueeueeueeueeueu iiii

++=

=′⋅+′⋅+′⋅=′⋅=′⋅=′⋅=′ u

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

333322311

3333223113333

βββ uuu

eeueeueeueeueeueu iiii

++=

=′⋅+′⋅+′⋅=′⋅=′⋅=′⋅=′ u

Las ecuaciones anteriores se pueden ordenar en forma matricial, como sigue

Buu =′

=

′

′

′

3

2

1

333231

232221

131211

3

2

1

u

u

u

u

u

u

βββ

βββ

βββ

La base original está formada por los vectores unitarios: 321 ˆ,ˆ,ˆ eee . La base nueva por

321 ˆ,ˆ,ˆ eee ′′′ . Los vectores unitarios de ambas bases se relacionan por:

3332321313

3232221212

3132121111

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

eeee

eeee

eeee

βββ

βββ

βββ

++=′

++=′

++=′

En notación índice

jiji

jj

jj

jj

ee

ee

ee

ee

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

33

22

11

β

β

β

β

=′→

=′

=′

=′

.

La matriz de transformación o de cosenos directores ( B=ijβ ) es ortogonal, esto es:

.

,1

1

IBBBB

BB

==

=−

−

T

T

3.4.2 Transformación de coordenadas en general.

La transformación del sistema 321 ,, xxx al sistema 321 ,, xxx ′′′ , se realiza por medio de una

ecuación

( )321 ,, xxxfxi =′ .

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La transformación inversa, de 321 ,, xxx ′′′ a 321 ,, xxx , es

( )321 ,, xxxgxi′′′= .

Para que una transformación se reversible y en correspondencia uno a uno en ℜ , es

necesario y suficiente que:

a) las reglas de transformación sean monovaluadas y tengan derivadas parciales

continuas en ℜ ,

b) el jacobiano sea diferente de cero en cualquier punto de ℜ .

Valores y vectores característicos (eigen-valores y eigen-vectores)

Encontrar los valores y vectores característicos es encontrar la base en la cual una matriz de

transformación A consiste de escalares λ, que escalan a los vectores originales dando una

nueva base.

Dada la regla de transformación Axy = , ¿existe un vector real 0≠x para el que el vector

correspondiente y sea real y tenga el mismo sentido y dirección que x?

Es decir

( ) 0=−⇒== xIAxAxy λλ

Los eigenvalores de una matriz cuadrada ( 33× ) A son las raíces de la ecuación

característica

( ) 00 32

2

1

3 =−+−⇒=−444 3444 21

ticocaracterísPolinomio

III λλλλ xIA .

Donde iI son los invariantes del tensor A, los cuales no cambian al cambiar el sistema

coordenado.

( )

( ) AA

A

detedeterminanttte

aaa

aaa

aaa

I

principaldiagonalladecofactoreslosdesuma

aaaaaa

aa

aa

aa

aa

aaI

detrazaaI

kjiijk

jiijjjii

ii

:det

:2

1

:

321

333231

232221

131211

3

3332

2322

3331

1311

2221

1211

2

1

===

−=++=

=

Para calcular los vectores característicos ix hacemos

( )( )( ) 0

0

0

33

22

11

=−

=−

=−

xIA

xIA

xIA

λ

λ

λ

Cada una de las ecuaciones anteriores representa un sistema de 3 ecuaciones con 3

incógnitas. Se desea hallar la solución no trivial, si existen muchas soluciones se elige la

que da vectores ortonormales.