Resumen--El artículo establece un criterio de parada para un

algoritmo multiarranque basado en el recocido simulado

aplicado a la optimización de losas de puentes de vigas

prefabricadas de hormigón pretensado. Para ello se ha

comprobado que los óptimos locales encontrados constituyen

valores extremos que ajustan a una función Weibull de tres

parámetros, siendo el de posición, �, una estimación del

óptimo global que puede alcanzar el algoritmo. Se puede

estimar un intervalo de confianza para � ajustando una

distribución Weibull a muestras de óptimos locales extraídas

mediante una técnica bootstrap de los óptimos disponibles. El

algoritmo multiarranque se detendrá cuando se acote el

intervalo de confianza y la diferencia entre el menor coste

encontrado y el teórico ajustado a dicha función Weibull. Palabras clave-- Puentes pretensados, teoría del valor

extremo, recocido simulado, optimización heurística, diseño

de estructuras.

I. INTRODUCCIÓN

La fabricación de grandes series de piezas de hormigón prefabricado presenta claras ventajas económicas. La construcción prefabricada ahorra material y mano de obra, mejora la calidad del producto respecto a la construcción in situ y permite una mayor velocidad en el montaje. A ello hay que añadir motivos adicionales basados en beneficios sociales y medioambientales [34]. A este respecto, Ballington [1] proporciona una perspectiva histórica del desarrollo del hormigón pretensado. Asimismo, los ingenieros han tomado buena nota de las ventajas del prefabricado cuando se trata de construir puentes con luces moderadas, de 10 a 40 m[14]. En estos casos, la disminución del peso resulta fundamental para reducir los costes de elevación y transporte de las piezas. En este contexto, la optimización estructural del coste necesario para construir un puente de vigas prefabricadas constituye un área de gran interés.

La optimización de las estructuras tuvo sus balbuceos en el siglo XV con los trabajos de 1

Institute of Concrete Science and Technology (ICITECH), Universitat Politècnica de València, Camino de Vera s/n 46022 Valencia. E-mail: vyepesp@upv.es 2 Institute of Concrete Science and Technology (ICITECH), Universitat Politècnica de València, Camino de Vera s/n 46022 Valencia. E-mail: jvmartia@upv.es

Leonardo da Vinci y de Galileo Galilei sobre la disminución del peso de estructuras de madera. Sin embargo, hay que esperar al siglo XIX, con Maxwell y Levy, y a comienzos del siglo XX, con Mitchell, para ver las primeras aportaciones en el diseño de mínimo peso de estructuras metálicas. Es a partir de la revolución informática de los años 70 cuando estas herramientas empiezan a ser empleadas de forma habitual en numerosas aplicaciones en las ciencias, las ingenierías y los negocios [36]. El uso de técnicas de optimización exacta se limita a problemas con pocas variables, puesto que el tiempo de cálculo crece exponencialmente con su número. Sarma y Adeli [29] aportan una extensa revisión de artículos sobre optimización económica de estructuras de hormigón.

Sin embargo, es posible utilizar en el ámbito de la optimización estructural técnicas aproximadas de optimización heurística, que proporcionan buenas soluciones en tiempos de cálculo razonables. Este grupo contiene procedimientos bioinspirados o basados en procesos físicos, tales como los algoritmos genéticos [12], el recocido simulado [17], las colonias de hormigas [7] o las nubes de partículas [15], entre otros. Cohn y Dinovitzer [4] tras revisar los métodos empleados en la optimización de estructuras advierten del vacío existente entre los estudios teóricos y las aplicaciones reales, indicando además que numerosos estudios se han centrado en las estructuras de acero mientras que una porción muy pequeña se ha ocupado del hormigón estructural.

Los primeros trabajos de optimización de hormigón estructural, aplicados a vigas, se remontan a 1997 [3]. Gran parte de los trabajos posteriores han utilizado la programación evolutiva. Kicinger et al. [16] aportan una revisión de la programación evolutiva y el diseño estructural. Recientemente, nuestro grupo de investigación ha presentado trabajos con técnicas no evolutivas en la optimización de estructuras [10, 18-20, 24-27, 34,35,37].

Teoría del valor extremo como criterio de parada en algoritmos estocásticos

multiarranque. Aplicación a la optimización heurística de puentes

Víctor Yepes1, José V. Martí2

X Congreso Español sobre Metaheurísticas, Algoritmos Evolutivos y Bioinspirados (MAEB 2015)

329

Este tipo de algoritmos, debido a que incluyen un gran número de decisiones aleatorias, alcanzan un resultado distinto en cada ejecución. Así, un problema añadido radica en determinar las veces que el algoritmo se debería ejecutar para que la mejor solución obtenida tuviera una calidad suficiente. Además, sería de gran interés conocer lo alejada que se encuentra dicha solución del óptimo global del problema. Ello supone encontrar un criterio objetivo de parada para un algoritmo multiarranque que conciliase la calidad de la solución con el tiempo de cálculo necesario para su obtención.

Si se acepta que el óptimo local encontrado por un algoritmo de búsqueda estocástico puede considerarse como una solución extrema de una muestra aleatoria simple constituida por las soluciones visitadas, entonces se podría aplicar la teoría del valor extremo (Extreme Value Theory: EVT) para estimar el óptimo global del problema. El empleo de la EVT a los métodos heurísticos ya ha sido descrita en trabajos preliminares como en McRoberts [21] y Golden et al. [13]. Giddings et al. [11] han realizado una revisión muy reciente de las técnicas de estimación estadística de los óptimos en los problemas de optimización combinatoria.

Siguiendo esta línea de trabajo, el artículo se centra en la optimización económica de puentes de vigas en artesa prefabricadas empleadas como pasos superiores en carreteras. Estos puentes consisten en vigas con forma de U con losa superior colaborante (Figuras 1 y 2) y un tablero de hormigón, parcialmente prefabricado o construido in situ. Esta tipología cuenta a su favor, entre otras, con las ventajas derivadas de la prefabricación, como por ejemplo la construcción industrializada, los moldes reutilizables, los plazos reducidos de ejecución en obra y la baja interferencia con el tráfico inferior.

Fig. 1. Perfil longitudinal del puente de vigas

Fig. 2. Sección transversal del puente de vigas

En la comunicación se describe una metodología que determina el número de veces que un algoritmo heurístico debe reiniciarse para que el mejor resultado obtenido no difiera más de un umbral

predeterminado respecto al valor teórico obtenido mediante la EVT. Para ello, se ha desarrollado una aplicación que comprueba las secciones de la estructura, donde las dimensiones, los materiales y las armaduras de refuerzo son dadas de antemano y son variables discretas. Este módulo evalúa el coste de la solución y comprueba que se cumplen con las restricciones impuestas por todos los estados límite relevantes.

El artículo se organiza como sigue: en la sección II se describe el problema de optimización, en la sección III se analiza la aplicabilidad de la distribución de Weibull, los resultados se discuten en la sección IV, y por último, en la sección V se recogen las conclusiones principales.

II. OPTIMIZACIÓN DEL COSTE DE LOS PUENTES

El problema consiste en minimizar el coste de una losa de puente de vigas artesa prefabricado con hormigón pretensado, representado por la función objetivo F de la expresión (1), de modo que satisfaga las restricciones formuladas en la expresión (2).

),...,,(),...,( 21,1

21 n

ri

iin xxxmpxxxF �=

⋅= (1)

0),.....,( 21 ≤nj xxxg (2)

),.....,( 21 iiqiii dddx ∈ (3)

Obsérvese que x1, x2,..., xn son las variables de diseño del problema, que pueden tomar uno de los valores discretos indicados en la expresión (3). La función objetivo (1) expresa el coste de ejecución de la estructura como sumatorio de los costes unitarios de las respectivas unidades de obra (Tabla I) por sus mediciones. La expresión (2) indica las restricciones geométricas y de constructibilidad, así como todos los estados últimos y de servicio que la estructura ha de cumplir. La definición de problema se basa en el trabajo realizado por Martí et al. [18].

TABLA I

PRECIOS UNITARIOS DE LA FUNCIÓN DE COSTE

Unidad de obra Coste viga (€)

Coste losa (€)

Kg acero pasivo (B500S) 2,81 1,50 Kg acero activo (Y1860S7) 3,62 NA m de molde en viga 80,37 NA m2 de encofrado en losa NA 32,00 m3 de hormigón HA-25 NA 70,00 m3 de hormigón HA-30 NA 75,00 m3 de hormigón HA-35 NA 80,00 m3 de hormigón HA-40 NA 85,00 m3 de hormigón HP-35 130,81 NA m3 de hormigón HA-40 142,74 NA m3 de hormigón HA-45 152,10 NA m3 de hormigón HA-50 163,59 NA

Metodologías y Herramientas Software para la Investigación sobre Metaheurísticas

330

A. Variables de diseño

Se han considerado 40 variables de diseño. Estas variables son discretas para facilitar la construcción efectiva de la estructura real optimizada. Las variables representan un número desorbitado de posibles soluciones, debido a la explosión combinatoria generada, que es del orden de 3,50·1051, lo que justifica el uso de algoritmos heurísticos. Se incluyen entre ellas ocho variables geométricas (ver Figura 3), que toman valores escalonados de centímetro en centímetro. El canto de la viga h1 oscila entre 0,50 m hasta 1/17 de la luz para limitar la esbeltez mínima y para permitir el transporte de la viga por carretera. El ancho del ala inferior de la viga b1 puede variar entre 0,50 m y 2,00 m, mientras su espesor e1 toma valores comprendidos entre 0,15 a 0,50 m. El ancho b3 de las alas superiores de la viga puede variar desde 0,15 hasta 1,00 m. Tanto el espesor e2 de las almas, como el espesor e3 de las alas, pueden tomar valores comprendidos entre 0,10 y 0,50 m. El espesor de la losa e4 varía entre 0,12 hasta 0,47 m. Finalmente, la separación entre vigas Sv puede comprender valores entre 3,96 hasta 6,96 m.

Fig. 3. Definición geométrica de la estructura.

Las variables que definen la resistencia característica de los hormigones varían entre 25 MPa a 40 MPa para la losa y desde 35 MPa hasta 50 MPa para las dos vigas, en escalones de 5 MPa. La armadura de pretensado puede definirse mediante cuatro variables: el número de torones en las alas superiores, con un máximo de 10; el número de torones dispuesto entre las primeras, segundas y terceras capas del ala inferior, con un máximo de 98; y el número de tramos con fundas dispuestas en la segunda y en la tercera capa. Por último, son necesarias 23 variables para definir la disposición del armado pasivo, tanto para la viga como para la losa superior.

B. Parámetros

Los parámetros del análisis son las magnitudes fijas y que, por tanto, no son objeto de optimización. Son los valores geométricos, de carga, de coste, de armado y de exposición. La Tabla II resume los parámetros empleados.

TABLA II

PARÁMETROS DEL PROBLEMA

Parámetros Notación y

valores

Geométricos Ancho del tablero b_total = 12,00 m Inclinación alma Ia = 80º Pendiente cartela ala superior (1: ns3)

ns3= 3

División base ala superior s3= 3 Pendiente cartela ala inferior (1: ni3)

ni3 = 3

División base ala inferior i4 = 4 Entrega de la viga Ent= 0,47 m Esbeltez mínima viga Esb= (L/17) De carga Ancho de las barreras a_bar = 2 x 0,5 m. Espesor nominal del pavimento

e_pav = 9 cm.

Carga muerta no procedente del pavimento

Qm = 2 x 5,0 kN/m

De coste Distancia transporte (ida) d_transporte =

50 Km Despunte armadura activa 25% De armado Tipo de acero pasivo (B-500-S)

fyk = 500 N/mm2

Tipo de acero activo (Y1860-S7)

fpk = 1700 N/mm2

Diámetro torones acero activo

� = 0.6”

Armadura piel viga � = 8 mm Fundas torones Nivel 2 y 3 Esbeltez vertical cercos 200 (longitud / �) De exposición Ambiente de exposición externo

IIb (EHE)

C. Función de coste

La función objetivo es el coste de tablero de puente definido en la expresión (1), donde pi son los precios unitarios (Tabla 2) mientras que mi son las mediciones de las unidades de obra necesarias. El proceso constructivo aquí empleado contempla la fabricación de las vigas artesa en la planta de prefabricados, su transporte a obra, su colocación y la posterior ejecución de la losa in situ. Tras el acopio temporal de la viga fabricada, ésta se transporta con un coste que dependerá del peso de la viga y de la distancia a la obra. Sin que el problema pierda generalidad, en el caso analizado se han

X Congreso Español sobre Metaheurísticas, Algoritmos Evolutivos y Bioinspirados (MAEB 2015)

331

considerado distintos costes en función del peso para una distancia de transporte de 50 km. Por otro lado, el coste de la colocación de la viga depende de factores tales como la distancia (dietas de los operarios), la longitud de la viga (grúa a emplear) y la dificultad del montaje. En nuestro caso, la dificultad del montaje se ha considerado afectada con un parámetro de valor unitario, pudiéndose variar para otros casos particulares sin que la metodología empleada pierda generalidad. El esfuerzo principal en computación se requiere para evaluar las restricciones impuestas por los estados límites. Es importante resaltar que en este trabajo no se aceptan soluciones que incumplan las condiciones impuestas por los estados límite.

D. Restricciones estructurales

La expresión (2) representa las restricciones impuestas por las normas [22] para el diseño de este tipo de estructuras e incluyen la comprobación de los estados límites últimos de flexión y cortante para la envolvente de esfuerzos originados. La viga artesa se ve sometida a las acciones que provienen de la fuerza de pretensado y del peso propio en la planta de prefabricados, del peso propio de la losa ejecutada in situ sobre la viga y del peso propio y acciones variables sobre el conjunto estructural formado por las vigas y la losa. Las acciones permanentes consideradas de valor constante son el peso propio y las cargas muertas (pavimento y pretiles). Los pretiles constituyen una carga distribuida uniforme de 5 kN/m; las cargas de valor no constante sobre la viga consideradas son el pretensado, la retracción y la fluencia. Las acciones variables aplicadas sobre el tablero se corresponden al tren de cargas en puentes de la IAP-98 [23]. En cada estado individual de cargas se hace actuar una sobrecarga repartida uniforme de 4 kN/m2 sobre el área limitada entre dos nodos, el eje de una viga y el extremo del tablero o el eje del mismo. Además, se considera una carga puntual de 600 kN, que en cada estado de cargas actúa sobre un nodo y a la máxima excentricidad exterior, teniendo en cuenta la separación a los pretiles. Las tensiones y las reacciones se obtienen como resultado de un programa de desarrollo propio aplicado a los dos modelos descritos. Las flechas instantáneas se limitan a 1/250 de la luz para las cargas frecuentes y las diferidas a 1/1000 de la luz para la combinación de cargas cuasi-permanente. Se considera la fatiga del hormigón y del acero. Además se comprueban las rasantes entre alas/alma/losa, y las flexiones transversales locales en distintos puntos de la losa y de las alas y alma de la viga.

E. Algoritmo de recocido simulado

El algoritmo empleado en este estudio es el “recocido simulado” (simulated annealing –SA-). El algoritmo se utilizó por primera vez por Kirkpatrick

et al. [17] para el diseño de circuitos electrónicos. El término “recocido” al que hace referencia el método es el proceso consistente en calentar y enfriar un material de manera controlada. La energía de un sistema termodinámico se compara con la función de coste evaluada para una solución admisible de un problema de optimización. Si existe un descenso suave de la temperatura, el metal adquirirá una estructura cristalina que corresponderá a un estado termodinámico de mínima energía. Si se enfría demasiado rápido, las moléculas pueden llegar a estados meta-estables, sin alcanzar configuraciones adecuadas. Este símil termodinámico es el que ha permitido el diseño de un algoritmo de optimización heurística, considerando que los estados alcanzados son cada una de las soluciones y que la energía es la función objetivo.

El criterio de aceptación de nuevas soluciones está gobernado por la expresión de Bolzman exp(-�E/T), donde �E es el incremento del coste y T es un parámetro denominado temperatura. El algoritmo comienza con una solución generada aleatoriamente y con una temperatura inicial elevada. La solución de trabajo inicial se modifica por un pequeño movimiento al azar de los valores de las variables. La nueva solución se comprueba en términos de coste, aceptándose algunas de mayor coste cuando un número aleatorio entre 0 y 1 es más pequeño que la expresión exp(-�E/T). Dicha solución se comprueba estructuralmente, y si es factible se adopta como nueva solución. La temperatura inicial se reduce geométricamente (T=kT) por medio de un coeficiente de enfriamiento k. En cada paso de temperatura se ejecutan un número determinado de iteraciones denominado cadena de Markov. El algoritmo se detiene cuando la temperatura queda reducida a un porcentaje pequeño de la temperatura inicial y, simultáneamente, no hay mejoras en un número consecutivo de cadenas de Markov. Este método, es capaz de sobrepasar óptimos locales en temperaturas de rango alto-medio para converger gradualmente cuando la temperatura se reduce a cero.

El método del SA requiere la calibración de la temperatura inicial, de la longitud de las cadenas de Markov y del coeficiente de enfriamiento. En este caso, la calibración llevó a un coeficiente de enfriamiento de 0,85, una longitud de 10000 en la cadena de Markov, un número de cadenas sin mejora de 5 y un movimiento de variación simultánea del 5% de las variables.

III. LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL

La función de distribución de Weibull puede expresarse como:

( )��

��

�

≤

>��

���

��

���

���

� −−−

=

γ

γη

γβ

0

00

0

,0

,exp1

x

xx

xFX (3)

Metodologías y Herramientas Software para la Investigación sobre Metaheurísticas

332

con

�� � � � (4)

donde � es el parámetro de posición, � es el parámetro de escala y � es el parámetro de forma.

Esta función fue desarrollada por Weibull [33] para estimar el comportamiento tensional de los materiales. La función pertenece a la familia de distribuciones de valores extremos. Fisher y Tippett [9] demostraron que si se extraen muestras de tamaño m de una población cuyo valor extremo es �, conforme crece el valor de m, la distribución formada por los valores extremos de dichas muestras tienden a una distribución Weibull de tres parámetros, donde � es el parámetro de posición de la función.

La aplicación de esta función de distribución se basa en que el óptimo local alcanzado por el algoritmo constituye un mínimo respecto a un amplio conjunto de soluciones consideradas durante el proceso de búsqueda. La población de soluciones del problema de optimización considerado es extraordinariamente alto, pero finito, por lo que se asume que el espacio discreto de soluciones se aproxima suficientemente bien a esta distribución continua. Si es posible ajustar el conjunto de óptimos locales obtenidos mediante la heurística SAa una distribución Weibull, entonces el parámetro �puede estimar el óptimo global del problema. Para ello, se va a utilizar una metodología similar a la propuesta por nuestro grupo a la optimización de pórticos de edificación [25], bóvedas de pasos inferiores en carreteras [2] y estructuras realizadas con hormigón de muy alta resistencia [30].

IV. RESULTADOS Y DISCUSIÓN

El algoritmo fue programado en Fortran 95 con compilador 6.6.0 de Compaq Visual-Fortran Professional. Un ordenador personal con un procesador INTEL Core TM2 Quad CPU Q6600 con 2,40 GHz necesitó alrededor de 300 minutos para procesar el algoritmo.

La Figura 4 muestra el histograma obtenido para los 1000 óptimos locales encontrados con el algoritmo SA para un puente de 30 m de luz. La descripción estadística de la muestra es la siguiente: los valores máximos y mínimos son 85583,12€ y 97500,34€, respectivamente; la media muestral vale 87760,62€, con un intervalo de confianza de ± 114,02€; la mediana vale 87157,31€. La distribución es leptocúrtica (coeficiente de curtosis de 5,95) y asimétrica positiva (coeficiente de asimetría de 2,49). El percentil del 5% vale 86500,51€.

Fig. 4. Histograma de 1000 óptimos locales obtenidos mediante el algoritmo SA

Para comprobar la hipótesis de que la muestra de 1000 resultados obtenidos por SA se ajusta a una distribución Weibull de tres parámetros se debe verificar, en primer lugar, que no existen razones para rechazar la hipótesis nula de que el histograma se corresponde con dicha distribución; en segundo lugar, se debe comprobar que las 1000 soluciones de mínimo coste encontradas por el algoritmo SA son independientes (ver Fisher y Tippet [9]); por último, el coeficiente de correlación del ajuste de los 1000 resultados a la distribución debe ser suficientemente alto.

Para comprobar el ajuste a una distribución se pueden emplear pruebas no paramétricas como las de Kolmogorov-Smirnov y la de �2 de Pearson (ver, por ejemplo, Conover [5]), siempre que se asuma la independencia del muestreo. Se verifica que ambos estadísticos se encuentran muy por debajo del valor crítico correspondiente a un nivel de significación del 0,05. Por tanto, no existe razón para rechazar la hipótesis de pertenencia de la muestra a la distribución de Weibull.

Una de las premisas subyacentes en la teoría del valor extremo es la independencia de cada una de las muestras, es decir, que cada una de las soluciones obtenidas por el algoritmo SA debe ser independiente de las restantes. Este supuesto se basa en que el proceso de búsqueda del algoritmo SA se inicia desde una solución aleatoria. Para confirmar la independencia se ha empleado el contraste de rachas de Wald-Wolfowitz a las 1000 soluciones obtenidas siguiendo el orden en que aparecieron (ver, por ejemplo, Conover [5]). En nuestro caso, se comprueba que no es posible rechazar la hipótesis nula de que los resultados sean independientes. Los datos, pues, proceden de una muestra aleatoria.

Finalmente, se deben calcular los parámetros que mejor encajen con la muestra de 1000 resultados

X Congreso Español sobre Metaheurísticas, Algoritmos Evolutivos y Bioinspirados (MAEB 2015)

333

obtenidos por SA y cuantificar dicho ajuste. Pueden utilizarse distintos métodos de estimación como el método de los momentos, el de máxima verosimilitud, de mínimos cuadrados, etc. (ver Dannenbring [6], Golden et al. [13], Vasko y Wilson [31]). En este trabajo se ha manejado el software de ReliaSoft’s Weibull++7 [28] para estimar los tres parámetros de la distribución de Weibull. Se han utilizado tanto los métodos de máxima verosimilitud como el de regresión en Y (de acuerdo con el principio de mínimos cuadrados, que minimiza la distancia vertical entre los datos y la función de densidad de probabilidad), dando ambas estimaciones el valor de � = 84827,29€ para el parámetro de posición. Esta magnitud constituye la estimación que la teoría del valor extremo proporciona para el óptimo global del problema en el caso de utilizar la heurística SA. El resto de parámetros obtenidos para la regresión en Y son � = 3334,4120 y � = 2,3156. El coeficiente de correlación del ajuste es � = 0,7976, que es suficientemente alto para los resultados numéricos. La diferencia entre el mínimo obtenido por las 1000 ejecuciones y el parámetro estimado es de 755,83€, apenas una diferencia del 0,89% respecto al valor teórico. Desde el punto de vista del ingeniero estructural, la diferencia detectada es suficientemente pequeña para aceptar el óptimo local encontrado por el algoritmo SA.

El número ejecuciones del algoritmo tendría que asegurar que la diferencia entre el mínimo valor encontrado y el estimado por la distribución de probabilidad es inferior a un umbral previo. Sin embargo, la estimación del parámetro � está sujeta a variabilidad, pues depende de la muestra empleada. Para analizar este hecho, se utiliza la metodología propuesta por Paya et al. [26] para obtener un intervalo de confianza para el parámetro �. Del conjunto de 1000 soluciones se extraen 9 muestras con reemplazamiento de tamaño 5, 10, 25, 50, 100, 500 y 1000. En cada muestra se determina el valor de coste mínimo, Cmín, y se estima el parámetro � de la distribución de Weibull correspondiente. En la Figura 5 se ha representado, el coste mínimo (Cmín) y los valores máximo (�máx) y mínimo (�mín) del parámetro de posición de las 9 muestras extraídas de un tamaño determinado.

En la Tabla III se evidencia que la variabilidad del parámetro de posición se puede estimar mediante la diferencia entre �máx y �min. Este rango baja con el número de ejecuciones, así la diferencia relativa respecto a �min pasa del 1,604% para 5 ejecuciones, hasta un 0,372% en el caso de 1000. Este descenso también se observa cuando se analiza la diferencia relativa entre el coste mínimo y el parámetro �min estimado, disminuyendo del 1,214% al 0,891% cuando las ejecuciones suben de 5 a 1000, respectivamente. También se advierte que, si bien la diferencia entre �máx y �min baja

consecutivamente, la divergencia entre Cmin y �min se estabiliza a partir de las 100 ejecuciones.

Fig. 5. Coste mínimo y parámetros de posición estimados para 9 muestras extraídas con reemplazamiento.

Como el número de óptimos locales conocidos depende de las ejecuciones realizadas, para estimar los parámetros, se puede aplicar la técnica bootstrap

[8]. Ésta se basa en tratar una muestra aleatoria de nobservaciones como si fuera toda la población, de la cual se extraen nuevas muestras utilizando el reemplazamiento de los individuos seleccionados. Este método se ha empleado con éxito en problemas que serían complicados de resolver mediante herramientas estadísticas tradicionales o en situaciones donde las técnicas clásicas no son aplicables [38].

TABLA III

COSTE MÍNIMO Y PARÁMETROS ESTIMADOS PARA 9MUESTRAS MEDIANTE EXTRACCIÓN CON

REEMPLAZAMIENTO DEL CONJUNTO DE 1000EJECUCIONES

Ejecuciones Cmin γ máx γ mín

5 86530,83 86863,57 85492,55 10 86331,27 86638,32 85567,96 25 85902,05 86252,83 85143,03 50 85902,05 85735,50 84827,29

100 85583,12 85735,50 84827,29 500 85583,12 85438,85 84827,29

1000 85583,12 85143,03 84827,29

Se ha repetido la estimación de la variabilidad del parámetro de posición mediante 9 muestras obtenidas mediante la selección aleatoria con reemplazamiento de entre el conjunto de óptimos locales encontrados. En la Figura 6 se ha representado la evolución del coste mínimo y de los parámetros �máx y �min correspondientes a las 9 muestras extraídas mediante bootstrap para 5, 10, 25, 50, 100, 500 y 1000 ejecuciones.

La diferencia relativa entre �máx y �mín baja con el número de ejecuciones, pasando del 0,527% en el caso de 5, al 0,347% en el caso de 1000. En cuanto a la diferencia relativa entre el coste mínimo y el parámetro �mín estimado, ésta se ha mantenido del 0,892% al 0,891%, cuando se pasa de 5 a 1000 ejecuciones del algoritmo SA (Tabla IV).

Metodologías y Herramientas Software para la Investigación sobre Metaheurísticas

334

Fig. 6. Coste mínimo y parámetros de posición estimados mediante bootstrap para 9 muestras

Con ello se establece un criterio de parada objetivo para un algoritmo multiarranque basado en la búsqueda local SA. En efecto, partiendo desde una solución aleatoria, se aplica una búsqueda local hasta alcanzar un coste mínimo. Con distintos arranques se obtiene una muestra de óptimos locales que permiten, mediante bootstrap, extraer 9 muestras para determinar la diferencia entre el coste mínimo alcanzado hasta ese momento y el mínimo teórico estimado mediante una distribución Weibull, además de la diferencia entre el valor máximo y mínimo de los parámetros � estimados. El algoritmo multiarranque se detendrá cuando tanto la diferencia entre el mínimo encontrado y el teórico como la variabilidad de los parámetros de posición no superen determinada cota. En nuestro caso, si se establece que es suficiente que la variabilidad en la determinación del parámetro de posición � sea inferior al 0,3% y que la diferencia entre el coste mínimo alcanzado y el teórico sea inferior al 1%, interpolando en la Tabla IV, hubieran sido necesarias 14 ejecuciones de SA.

TABLA IV

COSTE MÍNIMO Y PARÁMETROS ESTIMADOS

MEDIANTE BOOTSTRAP PARA 9 MUESTRAS

Ejecuciones Cmin γ máx γ mín

5 86500,51 86187,61 85735,50 10 86500,51 86055,92 85735,50 25 86500,51 85783,55 85735,50 50 85902,05 85735,50 85143,03

100 85902,05 85735,50 85143,03 500 85902,05 85529,21 85143,03

1000 85583,12 85143,03 84827,29

V. CONCLUSIONES

Los óptimos locales encontrados por un algoritmo de recocido simulado (SA) para optimizar el coste de puentes de viga de hormigón pretensado constituyen valores extremos que conforman una muestra aleatoria simple que ajusta a una distribución Weibull de tres parámetros, siendo el de situación � una estimación del óptimo global al que

podría llegar dicho algoritmo. El trabajo comprueba el siguiente criterio de parada objetivo para un algoritmo multiarranque basado en SA: que tanto la diferencia entre el mínimo coste encontrado y el parámetro �, así como el intervalo de confianza para dicho parámetro estén acotados, por ejemplo, a un 1% y a un 0,3%, respectivamente. Para el puente estudiado, la estimación de los parámetros se realiza sobre 9 muestras extraídas mediante la técnica bootstrap. Además, esta metodología es fácilmente adaptable a otros problemas de optimización.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen la financiación del Ministerio de Ciencia e Innovación (Proyecto de Investigación BIA2011-23602) y de la Universitat Politècnica de València (Proyecto de Investigación SP20120341).

REFERENCIAS

[1] Billington, D.P. Historical perspective on prestressed concrete. PCI Journal, 49:14-30, 2004.

[2] Carbonell, A.; Yepes, V.; González-Vidosa, F. Automatic design of concrete vaults using iterated local search and extreme value estimation. Latin American Journal of Solids and Structures, 9(6):675-689, 2012.

[3] Coello, C.A.; Christiansen, A.D.; Santos, F. A simple genetic algorithm for the design of reinforced concrete beams. Engineering with Computers, 13:185-196, 1997.

[4] Cohn, M.Z.; Dinovitzer, A.S. Application of structural optimization. ASCE Journal of Structural Engineering, 120(2):617-649, 1994.

[5] Conover, W.J. Practical nonparametric statistics. Willey, New York, 1971.

[6] Dannenbring, D.G. Procedures for estimating optimal solution values for large combinatorial problems. Management Science, 23(12):1273-1283, 1977.

[7] Dorigo, M.; Maniezzo, V.; Colorni, A. The ant system: optimization by a colony of cooperating agents. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics-Part B, 26(1):29-41, 1996.

[8] Efron, B. Bootstrap methods: another look at the jackknife. The Annals of Statistics, 7(1):1-26, 1979.

[9] Fisher, R.A.; Tippett, L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 24:180-190, 1928.

[10]García-Segura, T.; Yepes, V.; Martí, J.V.; Alcalá, J. Optimization of concrete I-beams using a new hybrid glowworm swarm algorithm. Latin American Journal of Solids and Structures, 11(7):1190-1205, 2014.

[11]Giddings, A.P.; Rardin, R.L.; Uzsoy, R. Statistical optimum estimation techniques for combinatorial optimization problems: a review and critique. Journal of Heuristics, 20(3):329-358, 2014.

[12]Goldberg, D.E. Genetic algorithms in search, optimization and machine learning, Addison-Wesley, New York, 1989.

[13]Golden, B.L.; Alt, F.B. Interval estimation of a global optimum for large combinatorial problems. Naval Research Logistics Quarterly, 26(1):69-77, 1979.

X Congreso Español sobre Metaheurísticas, Algoritmos Evolutivos y Bioinspirados (MAEB 2015)

335

[14]Harris, F. Modern construction and ground engineering equipment and methods, Prentice Hall, Essex, 1994.

[15]Kennedy, J.; Eberhart, R. Particle swarm optimization. Proceedings of IEEE International Conference on Neural Networks, vol. IV: 1942-1948, 1995.

[16]Kicinger, R.; Arciszewski, T.; de Jong, K. Evolutionary computation and structural design: A survey of the state-of-the-art. Computers & Structures, 83:1943-1978, 2005.

[17]Kirkpatrick, S.; Gelatt, C.D.; Vecchi, M.P. Optimization by simulated annealing. Science, 220(4598):671-680, 1983.

[18]Martí, J.V.; González-Vidosa, F.; Yepes, V.; Alcalá, J. Design of prestressed concrete precast road bridges with hybrid simulated annealing. Engineering Structures, 48:342-352, 2013.

[19]Martí, J.V.; Yepes, V.; González-Vidosa, F. A memetic algorithm approach to designing of precast-prestressed concrete road bridges with steel fiber-reinforcement. ASCE Journal of Structural Engineering, 04014114, 2015.

[20]Martinez, F.J.; Gonzalez-Vidosa, F.; Hospitaler, A.; Yepes, V. Heuristic optimization of RC bridge piers with rectangular hollow sections. Computers & Structures, 88(5-6):375-386, 2010.

[21]McRoberts, K. A search model for evaluating combinatorially explosive problems. Operations Research, 19(6):1331-1349, 1971.

[22]Ministerio de Fomento. Instrucción de Hormigón Estructural EHE, Madrid, 2008.

[23]Ministerio de Fomento. Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de carreteras IAP-98, Madrid, 1998.

[24]Paya, I.; Yepes, V.; Gonzalez-Vidosa, F.; Hospitaler, A. Multiobjective optimization of reinforced concrete building frames by simulated annealing. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering, 23(8):596-610, 2008.

[25]Paya-Zaforteza, I.; Yepes, V.; Hospitaler, A.; Gonzalez-Vidosa, F. CO2-efficient design of reinforced concrete building frames. Engineering Structures, 31(7):1501-1508, 2009.

[26]Paya-Zaforteza, I; Yepes, V.; Gonzalez-Vidosa, F.; Hospitaler, A. On the Weibull cost estimation of building frames designed by simulated annealing. Meccanica, 45(5):693-704, 2010.

[27]Perea, C.; Alcala, J.; Yepes, V.; Gonzalez-Vidosa, F., Hospitaler, A. Design of reinforced concrete bridge frames by heuristic optimization. Advances in Engineering Software, 39(8):676-688, 2008.

[28]ReliaSoft. Weibull++7 user’s guide. Reliasoft, Tucson, 2007.

[29]Sarma, K.C.; Adeli, H. Cost optimization of concrete structures. ASCE Journal of Structural Engineering, 124(5):570-578, 1998.

[30]Torres-Machí, C.; Yepes, V.; Alcalá, J.; Pellicer, E. Optimization of high-performance concrete structures by variable neighborhood search. International Journal of Civil Engineering, 11(2):90-99, 2013.

[31]Vasko, F.J.; Wilson, J.R. An efficient heuristic for large set covering problems. Naval Research Logistics Quarterly, 31(1):163-171, 1984.

[32]Weibull, W. A statistical distribution of wide applicability. ASME Journal of Applied Mechanics, 18(3):293-297, 1951.

[33]Yee, A.A. Social and environmental benefits of precast concrete technology. PCI Journal, 43:14-20, 2001.

[34]Yepes, V.; Gonzalez-Vidosa, F.; Alcalá, J.; Villalba, P. CO2-optimization design of reinforced concrete retaining walls based on a VNS-threshold acceptance strategy. ASCE Journal of Computing in Civil Engineering, 26(3):378-386, 2012.

[35]Yepes, V.; Alcala, J.; Perea, C.; Gonzalez-Vidosa, F. A parametric study of optimum earth retaining walls by simulated annealing. Engineering Structures, 30(3):821-830, 2008.

[36]Yepes, V.; Medina, J.R. Economic heuristic optimization for the heterogeneous fleet VRPHESTW. ASCE Journal of Transportation Engineering, 132(4):303-311, 2006.

[37]Yepes, V.; Martí, J.V.; García-Segura, T. Cost and CO2

emission optimization of precast-prestressed concrete U-beam road bridges by a hybrid glowworm swarm algorithm. Automation in Construction, 49:123-134, 2015.

[38]Zoubir, A.M.; Boashash, B. The bootstrap and its application in signal processing. IEEE Signal Processing Magazine, 15(1):56-67, 1998.

Metodologías y Herramientas Software para la Investigación sobre Metaheurísticas

336