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TEORÍA DE ONDAS ACOPLADASMiguel V. Andrés

Departamento de Física Aplicada, Universitat de València

ÍNDICE1. Introducción2. Acoplo entre resonancias de cavidades

2.1. Acoplo entre dos resonancias2.2. Caso general

3. Acoplo entre modos de guías de onda3.1. Acoplo entre dos modos3.2. Caso general

4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica

5. Conclusión

1. Introducción

2

Angel Franco, "Física con ordenador"

1. Introducción

• Fenómenos físicos caraterísticos: (a) transferencia de energía y(b) el sistema tiene un nuevo conjunto de modos

OSCILADORES ACOPLADOS

• Acoplo entre ondas: - ondas estacionarias: resonancias- ondas guiadas: modos de propagación

1. Introducción• Sistemas acoplados: casos típicos

a) Introducción de una modificación en un sistema inicial dado

b) Dos sistemas independientes que interaccionan al aproximarse

∞

3







5. Conclusión

2. Acoplo entre resonancias de cavidades

Sistema inicial: εr(r)

( ) HHr 2

1c

2

r

ωε

=

×∇×∇ o

0=∇H

tjt ω−= e)(),( 0 rHrH

• Modos del sistema inicial: ondas no acopladas

• Evolución en función del tiempo sin posibilidad de transferenciade energía entre modos distintos del sistema

HH ωjt

−=∂∂

ijiV

jiji NdV δ20

*0 HH

HHHH == ∫

21i

i WWdVW HHH BHHH +==⇒= ∫∑=

*2

1 41

4

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Sistema inicial, , descrito con dos modos: )(~ rrε

111 ~~

~H

Hωj

t−=

∂∂

222 ~~

~H

Hωj

t−=

∂∂

≠)(rrε )(~ rrε

212111 ~~~

~HH

Hjkj

t+−=

∂∂

ω 121222 ~~~

~HHH jkj

t+−=

∂∂

ω

tjt 1~

011 e)(~),(~ ω−= rHrH

tjt 2~

022 e)(~),(~ ω−= rHrH

tjejkt

)~~(0212

01 21~

~ωω −=

∂∂

HH

tjejkt

)~~(0121

02 12~

~ωω −=

∂∂

HH

Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema

2.1. Acoplo entre dos resonancias• ¿Cuáles serán los nuevos modos del sistema?

tjettatat ω−=⇒+= )(),(),(~),(~),( 02211 rHrHrHrHrH

HH ωjt

−=∂∂

211221 )~)(~( kk=−− ωωωω

2112

22121

2,1 2

~~

2

~~kk+

−

±+

=ωωωω

ω

tj

tj

kA

kA

2

1

e~~~

e~~~

0212

210122

0212

110111

ω

ω

ωω

ωω

−

−

−+=

−+=

HHH

HHH

5

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Solución de la ecuación característica 211221 )~)(~( kk=−− ωωωω

111~ qSp +=ω

222~ qSp +=ω

12211212,121 2~~~ kyk =−±=⇒= ωωωωωω

S

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: acoplo de dos resonancias mecánicas

6

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: acoplo entre dos resonancias electromagnéticas

B

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: enlace de dos átomos de hidrógeno

7

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Ejemplo: átomos / pozos de potencial


POZOS DE POTENCIAL(1 o 2 pozos, de anchura 2.5, separación entre 10 y 1)

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Fundamentación de las ecuaciones anteriores

- El sistema inicial cumple las ecuaciones

ii

ir c

LL HHr HH

~~~~,)(~

1~2

2ωε

=

×∇×∇≡ o

- El sistema acoplado cumple las ecuaciones

( ) HHr HH 2,1

cLL

2

r

ωε

=

×∇×∇≡ o

02120110~~ HHH aa 11 +=

022202102~~ HHH aa 1 +=

=

2

12

2

2

1

222

2

i

ii

i

i

1

111

aa

caa

LLLL ω

HH

HH

- Si tomando como base del espacio vectorial los modos delsistema inicial

8

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Fundamentación de las ecuaciones anteriores

- La ecuación característica del sistema acoplado es

- Los coeficientes de la matriz LH del sistema acoplado son

21122

2

222

2

11 HHHH LLc

Lc

L ii =

−

−

ωω

∫ ∗

−+==

Vkj

rrkjjk

jkjjk dV

cLL 002

2 ~~~11~~

~~~ DDHH HH εεωωδ

ω

- Si consideramos el caso y tomando22 /~ cL iii ω≅H ii ωωω ~2~ ≅+

∗=

−== ∫ 2102

*0

212

221

2

12 d~~~11

2

~~~~2

kVc

LckV

1rr

1 DDH εεωω

ωω

211221 )~)(~( kk=−− ωωωω

2.1. Acoplo entre dos resonancias• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema

Amplitudes iniciales)0,()0,(~)0,(~

0201 rHrHrH =+

Expresamos la onda inicial en función de los modos del sistema acoplado

)0,()0,()0,( 022011 rHrHrH aa +=

La evolución armónica de los modos del sistema nos determina la onda en cualquier instante t

tjtj eaeat 21 )0,()0,(),( 022011ωω −− += rHrHrH

Expresamos la onda resultante en función de los modos iniciales

),(~),(~),( 0201 ttt rHrHrH +=

9


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∆+∆∆∆

−∆∆

∆∆

∆+∆∆∆

=

)0(~)0(~

cossen~

cossen~

)(~)(~

02

01

21

12

02

01

HH

HH

ttjtsenkj

tsenkjttj

tt

2/)~~(~12 ωω −=∆

2/)( 12 ωω −=∆21

~~ ωω =

111~ qSp +=ω

222~ qSp +=ω

PeriodicidadT = π/∆



OSCILADORES ACOPLADOS

%100eles/,~~~max2121212,121 PykTk πωωωω =±=⇒=

(muelle de 10, acoplo de 0.5)

10







5. Conclusión

2.2. Caso general• Descripción del sistema con n modos

∑=

=n

jjiji a

100

~HH

∫ ∗

−+==

Vkj

rrkjjk

jkjjk dV

cLL 002

2 ~~~11~~

~~~ DDHH HH εεωωδ

ω

[ ][ ] [ ]ac

aL 2

2ω=H

11







5. Conclusión

• Modos del sistema inicial: ondas no acopladas

• Propagación en función de z sin posibilidad de transferenciade energía entre modos distintos del sistema

21*

2

1 21 PPdP tt

ii +=×=⇒= ∫∑

=

SheHH

3. Acoplo entre modos de guías de ondas

Sistema inicial:

εr(x,y) ),(,ee),(

yxtzt

tjzj

hhyyx(x,y,z,t)

=+== −

hhhhhH ωβ

( ) tttr

rtrk hh2

t22

0 βεεε =

×∇×

∇++∇ o

HH βjz

−=∂∂

ijiS

tjti Pd δ=×∫ She *

12

• Sistema inicial, , descrito con dos modos:

111 ~~~

HH βjz

−=∂

∂22

2 ~~~HH βj

z−=

∂∂

≠),( yxrε ),(~ yxrε

Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema

3.1. Acoplo entre dos modos),(~ yxrε

212111 ~~~~

HHH

jkjz

+−=∂

∂β 12122

2 ~~~~HH

Hjkj

z+−=

∂∂

β

tjzjyx(x,y,z,t) ωβ ee),(~~1

1−= hH1

tjzjyx(x,y,z,t) ωβ ee),(~~2

2−= hH2

zjezjkzz )~~(

2121 21)(~)(~

ββ −=∂

∂ hh

zjezjkz

z )~~(112

2 12)(~)(~ββ −=

∂∂ hh

• ¿Cuáles serán los nuevos modos del sistema?

tjzj eettatat ωβ−=⇒+= )(),(),(~),(~),( 2211 rhrHrHrHrH

HH βjz

−=∂∂

211221 )~)(~( kk=−− ββββ

3.1. Acoplo entre dos modos

2112

2

21212,1 2

~~

2

~~kk+

−±

+=

βββββ

tjzj

tjzj

kA

kA

ωβ

ωβ

ββ

ββ

ee~~~

ee~~~

2

1

212

21122

212

11111

−

−

−+=

−+=

hhH

hhH

13

• Solución de la ecuación característica 211221 )~)(~( kk=−− ββββ

111~ qSp +=β

222~ qSp +=β

12211212,121 2~~~ kyk =−±=⇒= ββββββ


S

β

• Ejemplo: acoplo de dos ondas electromagnéticas3.1. Acoplo entre dos modos

Fibre

Gould∆

Gould

Fibre

20

10

0

-10

-20-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20-20 -10 0 10 20

- Acoplo entre el modo fundamental de una fibra óptica y el plasmón fundamental de una capa metálica cilindríca

14

• Ejemplo: acoplo de dos ondas electromagnéticas3.1. Acoplo entre dos modos

dc=30 µm ∆=27 nm next=1.444(—) modos acoplados

(- -) plasmones no acoplados

n0 = β0 / k0, fibran = β / k0, modosm = orden acimutal

Fibre

Gould∆

next

dc

• Fundamentación de las ecuaciones anteriores

- El sistema inicial cumple las ecuaciones

- El sistema acoplado cumple las ecuaciones

=

2

12

2

1

222

2

i

ii

i

i

1

111

aa

aa

LLLL

β

- Si tomando como base del espacio vectorial los modos delsistema inicial


( )

×∇×

∇++∇== ot

r

rtrtt kLsiendoL

εεεβ ~~~,~~~ 2

02 2

thh

( )

×∇×

∇++∇== ot

r

rtrtt kLsiendoL

εε

εβ 20

2 , 2thh

21211~~

tt1t1 aa hhh +=

222212~~

tt1t aa hhh +=

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• Fundamentación de las ecuaciones anteriores- La ecuación característica del sistema acoplado es

- Los coeficientes de la matriz L del sistema acoplado son

( )( ) 21122

222

11 LLLL =−− ββ

- Si consideramos el caso y tomando2~iiiL β≅ ii βββ ~2~

≅+


( ) She dLS

tktjjkjjk ∫ ×+= *2 ~∆~~ δβ

( ) ( )o×∇×

∇−

∇+−= t

r

rt

r

rtrrk

εε

εεεε ~

~~∆ 2220

( ) ∗=∆×== ∫ 21*

2121

212 dh~e~~~2

1~~2

kLkS

t2t11 S

ββββ

211221 )~)(~( kk=−− ββββ

• Ejemplo:El coeficiente de acoplo k12


∫∝S

t2t12

r2rk Sde~e~)~-( *

12 εε

20

10

0

-10

-20-20 -10 0 10 20

20

10

0

-10

-20-20 -10 0 10 20

Fibre

Gould∆

next

dc

(···) dc = 40 µm(- -) dc = 30 µm(—) dc = 20 µm

16

• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema

Amplitudes iniciales

00201 ),0,,(~),0,,(~==+ ztyxtyx HHH

Expresamos la onda inicial en función de los modos del sistema acoplado

),0,,(),0,,( 0220110 tyxatyxaz HHH +==

La propagación de los modos del sistema nos determina la onda en cualquier posición z

zjzjz etyxaetyxa 21 ),0,,(),0,,( 022011

ββ −− += HHH

Expresamos la onda resultante en función de los modos iniciales

),(~),(~0201 ttz rHrHH +=


• Transferencia de energía entre los modos iniciales del sistema

2/)~~(~12 ββ −=∆

2/)( 12 ββ −=∆

111~ qSp +=β

222~ qSp +=β

PeriodicidadL = π/∆


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∆+∆∆∆

−∆∆

∆∆

∆+∆∆∆

=

)0(~)0(~

cossen~

cossen~

)(~)(~

2

1

21

12

2

1

hh

hh

zzjzsenkj

zsenkjzzj

zz

21~~ ββ =

z

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• Ejemplo: transferencia de energía entre dos modos3.1. Acoplo entre dos modos

Fibre

Gould∆

next

dc

dc = 25 µm, ∆ = 26 nmnext = 1.444, l = 4 mm

i ii iii iv v

z=Lwz= 0

Gold coating

Pi Pt

• Ejemplo: transferencia de energía entre dos modos- Longitud característica: L = π/∆


Fibre

Gould∆

next

dc

dc = 25 µm, ∆ = 33 nmnext = 1.442, λ = 1.32 µm

L/2

l

i ii iii iv v

z=Lwz= 0

Gold coating

Pi Pt

18

• Ejemplo: transferencia de energía entre los modosfundamentales de dos fibras fundidas- Longitud característica: L = π/∆ = π/k12


1

2

3

41

2

3

4

Dos fibras iguales:

122121 2~~ k=−⇒= ββββ

y en consecuencia: ∆ = k12

( ) 1

212

4 PzsenkP

∆

∆=

L = π / ∆







5. Conclusión

19

3.2. Caso general• Descripción del sistema con n modos

,

∑=

=n

jtjijti a

1

~hh

[ ][ ] [ ]aaL 2β=

( ) She dLS

tktjjkjjk ∫ ×+= *2 ~∆~~ δβ

( ) ( )o×∇×

∇−

∇+−= t

r

rt

r

rtrrk

εε

εεεε ~

~~∆ 2220







5. Conclusión

20

4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Red de Bragg grabada en fibra óptica

Λ=− zyxyxzyx πδεεε 2cos),(),(~),,(

∆z

∫∫∫∆+

Λ≅

−∝

zz

zSV

zdzdxdydVk 02*0102

*0112

~~2cos~~~

~EEDD πδε

εεεε

∫

−=

V1

rr

Vc

k d~~~11

2

~~02

*0

212

12 DDεε

ωω

[ ]zj

itj

ii

jKzjKz

iyxt

Ksiendoz

βω

ππ

−

+−

=⇒=

Λ=+=

Λ

e),(~)(~e)(~),(~

/2,ee212cos

00 erErErE

4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Red de Bragg grabada en fibra óptica

Λ=− zyxyxzyx πδεεε 2cos),(),(~),,(

∆z

[ ] ∫∫+∞

∞−

∆++−−− ⋅+∝ dxdyyxdzk

zz

z

zKjzKj2

*1

)()(12 ),(ee 2121 eeδεββββ

Condición de Bragg: K±≈− 21 ββ

- Acoplo al modo fundamental reflejado

- Acoplo a modos de orden superior de la cubierta

21

lambda(nm) vs redt(lin)

wavelength (nm)1544.5 1545.0 1545.5 1546.0 1546.5 1547.0

Tran

smis

sion

(dB)

-25

-20

-15

-10

-5

0

AW AW OnOn(CL=(CL=π)π)

AW AW OffOff

4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Ejemplo: red de Bragg grabada en fibra óptica

Acoplo al modo fundamental reflejado:

onmod2λ

=ΛPi

Pr

Pt

1520 1530 1540 1550-18-16-14-12-10-8-6-4-202

Resonancias con modos de orden superior

Resonancia de Bragg

Tran

smita

ncia

(dB

)

Longitud de onda (nm)

0

4. Acoplo entre modos generado por una perturbación periódica• Ejemplo: barreras de potencial


BARRERAS DE POTENCIAL(barreras de 0.2 y separación 0.5)

22







5. Conclusión

5. Conclusión

• Acoplo generado por una perturbación periódica en una guía− Transferencia de energía ↔ condición de Bragg− ¿Cómo serán los nuevos modos del sistema periódico?

• Acoplo entre dos resonancias y entre dos modos guiados− Transferencia de energía con periodicidad π/∆ ↔ k12− Los modos nuevos del sistema acoplado: separación ↔ k12

∫∝S

t2t1rrk Sde~e~)~-( *12 εε

23

5. Conclusión• Del enlace entre dos átomos al sólido


EL SÓLIDO

(pozos de 2.5 y separación 1)

Fin

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