UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC

ESTADISTICA 1

TRABAJO DE CONSULTA

PRESENTADO POR:

DANIELA ANDREA SUAREZ SUAREZ

PRESENTADO A:

PROF.HENRY HERRERA SANDOVAL

GRUPO:

GN2

BARRANQUILLA SEPTIEMBRE 2015

Teorema de Chebyshev.

Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.Podemos argumentar lo mismo para una distribución discreta. En el histograma de probabilidad. El área se extiende mucho más que. Lo cual indica una distribución más variable de mediciones o resultados el matemático ruso P. L. Chebyschev(1821±1894) descubrió que la fracción de área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de la media está relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad, o de un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dos números es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor entre estos números. El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones estándar de su media para cualquier número real k proporcionaremos la demostración solo para el caso continuo y se deja el caso discreto como ejercicio.

Ejercicios

Medidas de formas

Una vez iniciado el análisis estadístico de sintonización de la información, para lo cual hemos estudiado las medidas de tendencia central, de posición relativa y de dispersión de un conjunto de datos, necesitamos conocer más sobre el comportamiento de tales datos. Para ello estudiaremos las medidas de forma, las cuales nos proporcionan información sobre cómo se distribuyen los datos.

Las medidas de forma se clasifican en medidas de asimetría (o coeficiente de sesgo) y medidas de curtosis (o de apuntamiento). A continuación, explicaremos cada una de ellas. Antes, estudiaremos los conceptos de simetría y asimetría.

Simetría y asimetría

Decimos que una distribución de frecuencias es simétrica cuando lo es su representación gráfica, es decir, los datos equidistantes a una medida central de la misma tienen frecuencias iguales. Esta medida central coincide con la mediana y la media.

Una distribución de frecuencias que no es simétrica, se denomina asimétrica. La asimetría se puede presentar a la derecha (asimetría positiva) o a la izquierda (asimetría negativa) si la representación gráfica está más “estirada” hacia la derecha o hacia la izquierda, respectivamente.

(a) Distribución simétrica uni- (b) Distribución simétrica bi- modal

modal

(c) Distribución asimétrica a (d) Distribución asimétrica a

la derecha la izquierda

Fig. 1: Comparación de cuatro distribuciones cuya forma difiere.

En este tipo de distribuciones, los datos se encuentran repartidos a lo largo del recorrido de forma que todas las medidas de tendencia central están justo en el centro del conjunto de datos.

• Si la distribución es asimétrica a la derecha el orden en que aparecen las medidas de tendencia central es moda-mediana-media (compárese con la figura 1.2). Es decir, se cumple la relación:

Moda < mediana < media.

Esto es así porque es en el lado derecho dónde se concentra la mayor frecuencia de los datos, por lo tanto, observamos una cola larga a la derecha de la distribución.

• Si la distribución es asimétrica a la izquierda, el orden en que aparecen es media-mediana-moda (compárese con la figura 1.13c). Es decir, se cumple la relación:

Media < mediana < moda.

En este caso, la mayor frecuencia de los datos se concentra en el lado izquierdo. Por lo tanto, observamos una cola larga hacia la izquierda de la distribución.

Consideremos el caso en que la distribución no es unimodal:

• Para distribuciones que no tengan moda, si la media es igual a la mediana, entonces, la representación gráfica de la distribución es simétrica.

• Para distribuciones que tengan más de una moda, la media es igual a la mediana si y sólo si la representación gráfica de la distribución es simétrica.

(a) Distribución simétrica (b) Distribución asimétrica a la derecha

(c) Distribución asimétrica a la izquierda

Fig. 2: Comparación de tres distribuciones unimodales cuya forma difiere.

Medidas de asimetría

Las medidas de asimetría o coeficientes de sesgo tienen como finalidad la de elaborar un indicador que permita establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución, sin necesidad de llevar a cabo su representación gráfica. La medida de asimetría más utilizada en la práctica es el llamado coeficiente de asimetría de Pearson.

El coeficiente de asimetría de Pearson, simbolizado por Ap, se define como la diferencia entre la media aritmética y la mediana dividida por la desviación

estándar. Es decir,Ap=mediaaritmetica−modadesviacion estandar

Cuando As = 0, se dice que la distribución es simétrica; cuando As > 0, se dice que la distribución es sesgada positivamente o a la izquierda y cuando As > 0, se dice que la distribución es sesgada negativamente o a la derecha.

Consideremos la figura 2, en donde mostramos la forma de tres conjuntos de datos.

• Los datos en la figura 2(a) son simétricos. Por esta razón, el coeficiente de sesgo es cero.

• Los datos de la figura 2(b) están sesgados a la derecha. Por lo tanto, el coeficiente de sesgo es positivo.

• Los datos de la figura 2(c) están sesgados a la izquierda. Por consiguiente, el el coeficiente de sesgo es negativo.

Ahora bien, por diversas razones, el coeficiente de asimetría de Pearson tan sólo es aplicable en las distribuciones de forma acampanada y unimodales. En distribuciones de otro tipo se puede utilizar, entre otros, los llamados coeficiente de asimetría de Fisher y coeficiente de asimetría de Fisher estandarizado.

Los coeficientes de asimetría de Fisher (simbolizado por g1) y de Fisher estandarizado (simbolizado por gs) de un conjunto de datos x1,...,xn con frecuencias f1,...,fn se definen:

Si g1 = 0 la distribución es simétrica; si g1 > 0, la distribución es sesgada positivamente, y si

g1 > 0, la distribución es sesgada negativamente. Interpretaciones análogas se tienen con el valor de gs .

Relación empírica entre media, mediana y moda

El siguiente teorema fue encontrado empíricamente por Pearson. Allí se puede observar claramente una relación empírica entre la media, la mediana y la moda.

Para distribuciones campanoides, unimodales y moderadamente asimétricas se cumple aproximadamente la relación empírica

Media − Moda ≈ 3(Media aritmética − Mediana),

Con lo anterior, el coeficiente de asimetría de Pearson se puede calcular

también a través de la fórmula: Ap=3(mediaaritmetica−mediana)

desviacionestandar

Medidas de curtosis o apuntamiento

Las medidas de curtosis estudian la distribución de frecuencias en la zona central de la misma. La mayor o menor concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la distribución dará lugar a una distribución más o menos apuntada. Por esta razón, a las medidas de curtosis se aplican a distribuciones campaniformes, es decir, unimodales simétricas o con ligera asimetrıa. Para estudiar la curtosis de una distribución es necesario definir previamente una distribución tipo, que vamos a tomar como modelo de referencia. Esta distribución es la normal, que sólo introduciremos en la sección? Por esta razón, aplazaremos nuestro estudio de la curtosis de una distribución para más adelante, una vez que hallamos introducido la distribución normal.

Bibliografia

http://estadisticarsanchez.com/CC_08_EjPrTchebycheff.pdf http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un1/

cont_135_35.html http://eduvirtual.cuc.edu.co/moodle/pluginfile.php/23379/mod_resource/

content/1/Capitulo%201%20.pdf