UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROSPECCION GRAVIMETRICA Y MAGNETOMETRICA

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y LEY DE GAUSS

Gómez Madrigal Tonatiuh Ollin

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Recordando nuestras clases de calculo vectorial:

Obtenido del teorema Stokes

𝑓 ∙ 𝑛 𝑑𝑠 = 𝛻 ∙ 𝑓 𝑑𝐴

C R

Flujo negativo Flujo positivo

Podemos hacer una analogía sobre una región solida simple

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

𝑓 ∙ 𝑛 𝑑𝑠 = 𝛻 ∙ 𝑓 𝑑𝐴

S R

Demostración del teorema de la divergencia

𝛻 ∙ 𝑓 𝑑𝐴 = 𝑓 ∙ 𝑛 𝑑𝑠

𝜕𝐴3

𝜕𝑥+𝜕𝐴3

𝜕𝑦+𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑣 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘 𝑑𝑠

𝑓1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓2(𝑥, 𝑦)

En dirección de z

𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑣 =

𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑧

𝑓(𝑥,𝑦)

𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

= 𝐴3(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑓1𝑓2𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐴3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 − 𝐴3(𝑥, 𝑦, 𝑓3) 𝑑𝑦𝑑𝑥

De superficie S2

Si hacemos una proyección del vector normal sobre el vector unitario k tenemos:

𝑛2 ∙ 𝑘 = 𝑛2 𝑘 cos𝜑2

𝜑2 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜

Entonces tenemos

𝐴3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐴3𝑛2 ∙ 𝑘𝑑𝑠

De superficie S1,de la misma manera proyectamos el vector normal 1

𝑛1 ∙ 𝑘 = 𝑛1 𝑘 cos𝜑2

𝜑1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜

𝐴3 𝑥, 𝑦, 𝑓1 𝑑𝑦𝑑𝑥 = − 𝐴3𝑛1 ∙ 𝑘𝑑𝑠

Sustituimos en

𝐴3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 − 𝐴3(𝑥, 𝑦, 𝑓3) 𝑑𝑦𝑑𝑥

Se obtiene

𝐴3 𝑥, 𝑦, 𝑓2 − 𝐴3(𝑥, 𝑦, 𝑓3) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝐴3𝑛2 ∙ 𝑘𝑑𝑠 + 𝐴3𝑛1 ∙ 𝑘𝑑𝑠

Por lo tanto

𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑣 = 𝐴3𝑛 ∙ 𝑘𝑑𝑠

De la misma forma se obtienen para las otras direcciones

𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑣 = 𝐴3𝑛 ∙ 𝑘𝑑𝑠

𝜕𝐴3

𝜕𝑥𝑑𝑣 = 𝐴3𝑛 ∙ 𝑖 𝑑𝑠

𝜕𝐴3

𝜕𝑦𝑑𝑣 = 𝐴3𝑛 ∙ 𝑗 𝑑𝑠

Sumando todas las direcciones se obtiene

𝜕𝐴3

𝜕𝑥+𝜕𝐴3

𝜕𝑦+𝜕𝐴3

𝜕𝑧𝑑𝑣 = 𝐴1𝑖 + 𝐴2𝑗 + 𝐴3𝑘 𝑑𝑠

Por lo tanto

𝛻 ∙ 𝑓 𝑑𝐴 = 𝑓 ∙ 𝑛 𝑑𝑠

Ley de Gauss Nos describe matemáticamente los flujos de campo

que atraviesan una superficie cerrada pero para poder entender bien el concepto voy a trabajar primero un una superficie abierta.

Supongamos que tenemos un campo 𝐷 que atraviesa una superficie S.

𝜑𝐷 = 𝑛 ∙ 𝐷𝑆

𝐴 ∙ 𝑛 𝑑𝑠 ≠ 0