Teorema de Heine-Borel
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Teorema de HeineBorelDe Wikipedia, la enciclopedia libre
En el análisis matemático, el teorema de HeineBorel (también llamado teorema de HeineBorelLebesgueBolzanoWeierstraß o inclusoteorema de BorelLebesgue) establece condiciones para que un subconjunto de o de sea compacto. Cuando se refiere al casoparticular de la recta real recibe el nombre de Teorema de HeineBorel. En el resto de los casos, es frecuente llamarlo Teorema de BorelLebesgue.[cita requerida]
El teorema se enuncia de la siguiente manera:
Si un conjunto tiene alguna de las siguientes propiedades, entoncestiene las otras dos:
1. es cerrado y acotado.2. es compacto.3. Todo subconjunto infinito de tiene un punto de acumulación en .
Las distintas formulaciones del teorema se deben su nombre a los matemáticos Eduard Heine, Émile Borel, Henri Lebesgue, Bernard Bolzanoy Karl Weierstrass.
Índice
1 Demostración
1.1 Teoremas preliminares
1.2 Demostración del teorema de HeineBorel
2 Véase también
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Demostración
Teoremas preliminares
Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos
Sea un conjunto cerrado y un conjunto compacto tales que .
Sea una cubierta abierta de , entonces es una cubierta abierta de (podemos agregar ya que es abierto). Como es compacto entonces tiene un refinamiento finito que también cubre a . Podemos quitar a y sigue cubriendo a . Así
obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de
Si , donde es un conjunto infinito y es compacto, entonces tiene un punto de acumulación en
Si no tuviera puntos de acumulación en entonces donde es una epsilonvecindad y . Es claro que elconjunto de estas vecindades forman una cubierta par pero no tiene un refinamiento finito, lo mismo cumpliría para que contradiría ladefinición de que es compacto.
Toda kcelda es compacta
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Sea una kcelda que consiste de todos los puntos x tal que y . Sea entonces si . Sea una cubierta arbitraria de y supongamos que no se puede
cubrir con una cantidad finita de 's.
Tomemos entonces los intervalos determinan celdas . Entonces por lo menos un
no se puede cubrir con una cantidad finita de 's. Lo llamaremos y así obtenemos una sucesión tal que:
1. .2. no se puede cubrir con una cantidad finita de 's.3. Si entonces .4.
Digamos que , como cubre a entonces . Como es abierto . Si tomamos nsuficientemente grande tal que tenemos que este lo cual contradice la suposición de que no se puede cubrircon una cantidad finita de 's.
Demostración del teorema de HeineBorel
Si cumple 1) entonces para alguna kcelda , y 1) implicaría 2) por los teoremas 1 y 3 anteriores.
Si se cumple 2), entonces se cumple 3) por el teorema 2 anterior.
Ahora falta demostrar que si cumple 3), entonces cumple 1): Si no es conexo entonces contiene un conjunto tal que entonces el subconjunto es finito y tiene un límite en , lo cual contradice 3). Si no es abierto entonces existe un elemento
que es un punto de acumulación de pero no está en . Para existen tales que ,entonces el conjunto es infinito y tiene límite contenido en él mismo, lo cual contradice 3).
Véase también
Conjunto de Borel
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