teorema de kennelly
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8/3/2019 teorema de kennelly
1/3
7. Teorema de Kennelly
En muchas ocasiones, dentro de los circuitos, se pueden conseguir
simplificaciones notables haciendo algunas transformaciones en los
mismos sin que sufran alteraciones. Se pueden sustituir elementos
que estn en serie, o en paralelo, por sus equivalentes.
Muy interesante es el caso de la transformacin estrella-tringulo y
viceversa, conocido tambin comoteorema de Kennelly o frmulasde Kennelly.
Consideremos los circuitos de la figura 2.36. Estas configuraciones
en estrella y en tringulo queremos hacerlas equivalentes, de tal
manera que si una de ellas la extraemos de una red y la sustituimos
por la otra no se modifica, en absoluto, la respuesta de la red.
Para ello se deben satisfacer las dos condiciones siguientes: las
intensidades IA , IB e IC han de ser idnticas en las dos configuraciones y tambin las tensiones VAB , VBC y VCA .
Aplicando la 1 ley de Kirchhoff en los puntos A, B y C del tringulo:
I I I
I I I I I I
A AB CA
B BC AB
C CA BC
=
= =
En cada rama del tringulo AB, BC y CA se verifica: IV
ZAB
AB
AB
= IV
ZBC
BC
BC
= IV
ZCA
CA
CA
=
Con lo que obtenemos: IV
Z
V
ZA
AB
AB
CA
CA
= IV
Z
V
ZB
BC
BC
AB
AB
= IV
Z
V
ZC
CA
CA
BC
BC
=
Anlogamente, en la configuracin en estrella se puede expresar, en el nudo N:
I I I A B C + + = 0
y entre las bornas:
V Z I Z I AB A A B B= V Z I Z I BC B B C C = V Z I Z I CA C C A A= que lo podemos escribir en forma de sistema de ecuaciones, para determinar, como incgnitas, las intensidades IA , IB e IC, tomando
la primera y dos de las otras:
0 = IA +IB +IC
VAB = Z IA A Z IB B
VBC = Z IB B Z IC C
que en forma matricial:
0 1 1 1
0
0
V
V
Z Z
Z Z
I
I
I
AB
BC
A B
B C
A
B
C
=
en la que el determinante de la matriz impedancia ser:
Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z A B
B C
B C A B A C =
= + + 1 1 1
0
0
con lo que los valores de las intensidades sern:
( )I
V Z
V Z Z
Z
V Z V Z V Z
Z
V V Z V Z
Z
V Z V Z
Z Z Z Z Z Z A
AB B
BC B C AB B BC B AB C AB BC B AB C
AB C CA B
B C A B A C
=
= + +
=+ +
=
+ +
0 1 1
0
I
Z V
V Z
Z
V Z V Z
Z
V Z V Z
Z Z Z Z Z Z B
A AB
BC C AB C BC A BC A AB C
B C A B A C
=
= +
=
+ +
1 0 1
0
0
ZAB ZCA
ZBC
IAA
B
CIB
IC
IAB
ICA
IBC
ZA
ZC
IA
N
C
IC
A
ZB
B
IB
Fig. 2.36
-
8/3/2019 teorema de kennelly
2/3
( )I
Z Z V
Z V
Z
V Z V Z V Z
Z
V V Z V Z
Z
V Z V Z
Z Z Z Z Z Z C
A B AB
B BC BC B AB B BC AAB BC B BC A
CA B BC A
B C A B A C
=
=
= +
=
+ +
1 1 0
0
Si comparamos estos valores obtenidos con los de la configuracin en el tringulo, tendremos:
I VZ
VZ
VZ
Z Z Z Z Z Z V
Z
Z Z Z Z Z Z A AB
AB
CA
CA
AB
C
B C A B A C
CA
B
B C A B A C
= = + +
+ +
1 1
I VZ
VZ
V ZZ Z Z Z Z Z
V ZZ Z Z Z Z Z
B BC
BC
AB
AB
BCA
B C A B A C
ABC
B C A B A C
= = + +
+ +
1 1
I VZ
VZ
VZ
Z Z Z Z Z Z V
Z
Z Z Z Z Z Z C CA
CA
BC
BC
CA
B
B C A B A C
BC
A
B C A B A C
= = + +
+ +
1 1
Con lo que podemos afirmar que:
ZZ Z Z Z Z Z
ZAB
B C A B A C
C
= + +
ZZ Z Z Z Z Z
ZBC
B C A B A C
A
= + +
Z Z Z Z Z Z Z
ZCA
B C A B A C
B
= + +
manteniendose las corrientes y las tensiones en las dos configuraciones, estrella y tringulo.
Si tuviramos que utilizar las admitancias:
YY
Y Y Y Y Y Y
Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y YAB
C
B C A B A C
C
A B C
A B C
A B
A B C
=
+
+
=+ +
=
+ +
1
1 1 1
1
Y
Y
Y Y Y Y Y Y
Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y YBCA
B C A B A C
A
A B C
A B C
B C
A B C =
+
+
= + +
=
+ +
1
1 1 1
1
YY
Y Y Y Y Y Y
Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y YCA
B
B C A B A C
B
A B C
A B C
A C
A B C
=
+
+
=+ +
=
+ +
1
1 1 1
1
Tambin es posible determinar la relacin que nos dan los valores de ZA , ZB y ZC de la estrella equivalente, respecto a los de la
configuracin en tringulo (figura 2.37). La impedancia equivalente para la estrella y el tringulo es:
entre los puntos A y B
( )Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z A B
AB CA BC
AB BC CA
AB CA AB BC
AB BC CA+ = ++ + = + + +
entre los nudos A y C
( )Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z A C
CA AB BC
AB BC CA
AB CA BC CA
AB BC CA
+ = +
+ +=
+ + +
y entre B y C
( )Z Z
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z Z
Z Z Z B C
BC AB CA
AB BC CA
AB BC BC CA
AB BC CA
+ = +
+ +=
+ + +
sumando las tres expresiones y dividiendo por 2:
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z A B C
AB BC AB CA BC CA
AB BC CA
+ + = + + + +
ZA
ZC
N
C
A
ZB
B
ZAB ZCA
ZBC
A
B
C
Fig. 2.37
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8/3/2019 teorema de kennelly
3/3
y restndole cada una de las anteriores:
ZZ Z
Z Z Z A
AB CA
AB BC CA
=
+ +Z
Z Z
Z Z Z B
AB BC
AB BC CA
=
+ +Z
Z Z
Z Z Z C
BC CA
AB BC CA
=
+ +
En funcin de las admitancias tambin podemos obtener las equivalencias:
YY Y Y
Y Y
Y Y Y Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y Y Y Y Y
YA
AB CA BC
AB CA
BC CA AB BC AB CA
AB BC CA
AB CA
BC CA AB BC AB CA
BC
=+ +
=
+ +
= + +
1 1 1
1 1 1
YY Y Y
Y Y
Y Y Y Y Y Y
Y Y Y
Y Y
Y Y Y Y Y Y
YB
AB CA BC
AB BC
BC CA AB BC AB CA
AB BC CA
AB BC
BC CA AB BC AB CA
CA
=+ +
=
+ +
= + +
1 1 1
1 1 1
AB
CAABBCABCABC
BCCA
CABCAB
CAABBCABCABC
BCCA
BCCAABC
Y
YYYYYY
YY
YYY
YYYYYY
YY
YYYY
++=
++
=
++=
111
111
En el caso particular que todas las impedancias sean iguales, bien las de las estrellas, o bien las del tringulo:
Z Z Z A B C = = y Z Z Z AB CA BC = =llamando a la de la estrella Z y a la del tringulo Z :
Z Z = 3 y ZZ
=3
en funcin de las admitancias:
YY
=3
y Y Y = 3
Por ultimo conviene aclarar que cuando se habla de conexiones en T (figura 2.38), se trata de uniones en estrella.
Y
Z2Z1
Y1
Z
Y2
Fig. 2.38 Fig. 2.39
Y, si se indica en (figura 2.39), expresamos conexiones en tringulo.
(Hacer los ejercicios 3.13 y 3.14)
