MATEMATICAS II

para Ciencias

e

Ingenieria

Felix Carrillo Carrascal

6 de septiembre de 2013

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Captulo 1

Sucesiones y Series

1.1. Sucesiones

Si los elementos de un conjunto pueden ordenarse, es decir, existen primer elemento,

segundo elemento, tercer elemento, y en general un n-esimo elemento, entonces se dice que

dicho conjunto es una sucesion. La siguiente definicion corresponde a una sucesion cuyos

elementos son numeros reales.

Definicion 1.1.1 Una sucesion es una funcion que asocia a cada numero natural un nume-

ro real.

Una sucesion tal se denota de la forma:

a1 , a2 , a3 , , an ,

o tambien de la forma {an}.

Definicion 1.1.2 Una sucesion {an} se dice que es convergente si se verifica que

lmn

an = L

donde L es un numero real finito.

Si la sucesion no es convergente se dice que es divergente.

Las propiedades establecidas para las funciones , son tambien validas para los lmites

de las sucesiones. Algunas tecnicas para hallar el lmite de una sucesion son las siguientes:

El concepto de lmite de una funcion:

Sea f(x) una funcion y sea {an} la sucesion an = f(n).Si lm

xf(x) = L = lm

nan = L

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4 CAPITULO 1. SUCESIONES Y SERIES

Pueden utilizarse, en el calculo de los lmites de las sucesiones, todas las herramientas

utilizadas para calcular los lmites de las funciones. Entre estas herramientas esta la

regla de LHospital.

El Teorema de Sandwich para sucesiones:

Si lmn

an = lmn

an = L finita o infinita y {cn} es una sucesion que verificaan cn bn, n N entonces tambien lm

cn = L.

Definicion 1.1.3 Una sucesion {an} se dice:1. acotada superiormente si existe c R tal que an c.

2. acotada inferiormente si existe c R tal que an c.

3. acotada si es acotada superiormente e inferiormente

(existe c1 , c2 R, tal que c1 an c2).

Definicion 1.1.4 Se dice que una sucesion {an} es:1. monotona creciente si an < an+1 (no decreciente si an an+1)

2. monotona decreciente si an > an+1 (no creciente si an an+1)

3. monotona, si es uno de los dos casos previos.

Teorema 1.1.1 Si la sucesion an es monotona y acotada entonces es convergente.

1.2. Series

Definicion 1.2.1 Sea la sucesion {an}. Una serie (infinita) es la suma de todos sus termi-nos:

n=0

an = a1 + a2 + a3 + (1.1)

A la suma

Sn = a1 + a2 + a3 + + anse le denomina suma parcial de la serie.

Si la sucesion de sumas parciales {Sn} converge al lmite S, entonces se dice que la serien=1

converge y que S es la suma de la serie:

n=0

an = lmS

Sn = a1 + a2 + a3 + = S (1.2)

En otro caso se dice que la serie es divergente.

1.2. SERIES 5

Propiedades

1. Si las series

n=0 an y

n=0 bn son convergentes, entonces la serie

n=0

bn(c1an + c2bn) = c1

n=0

an + c2

n=0

bn

es tambien convergente.

2. Si lmn

an 6= 0, entonces la serie

n=0 an es divergente.

3. Si la serie

n=0 an es convergente, entonces lmn

an = 0. Pero lmn

an = 0 no implica

que la serie

n=0 an sea convergente.

1.2.1. Criterios de convergencia para las series

Teorema 1.2.1 (Criterio de comparacion directa) Sean las sucesiones de terminos

positivos {an} y {bn}. Si para todo n se verifica: 0 < an bn, entonces:

1. Si

n=0 bn converge, entonces

n=0 an tambien converge.

2. Si

n=0 bn diverge, entonces

n=0 an tambien diverge.

Teorema 1.2.2 (Criterio de comparacion en el lmite) Sean las sucesiones de termi-

nos positivos {an} y {bn}. Si se verifica que

lmn

anbn

= L

donde L es un numero finito y positivo, entonces las series

n=0 an y

n=0 bn tienen el

mismo comportamiento: ambas convergen o ambas divergen.

Teorema 1.2.3 (Criterio de la raz) Sea la sucesion {an} de terminos positivos y talque

lmn

an = L

donde L es un numero real positivo. Entonces:

1. Si L < 1, la serie

n=0 an es convergente.

2. Si L > 1, la serie

n=0 an es divergente.

3. Si L = 1 no se puede concluir nada.

6 CAPITULO 1. SUCESIONES Y SERIES

Teorema 1.2.4 (Criterio de la razon) Sea la sucesion {an} de terminos positivos y talque

lmn

an+1an

= L

donde L es un numero real positivo. Entonces:

1. Si L < 1, la serie

n=0 an es convergente.

2. Si L > 1, la serie

n=0 an es divergente.

3. Si L = 1 no se puede concluir nada.

Teorema 1.2.5 (Criterio de Leibniz para series alternantes) Las siguientes seriesn=1

(1)n1an = a1 a2 + a3 a4 + n=1

(1)n an = a1 + a2 a3 + a4

donde an > 0 , son denominadas series alternantes. Si se cumple:

(i) an+1 an para todo n (ii) lmn

an = 0

entonces dichas series son convergentes.

Si S es el valor al que converge dicha serie alternante, puede demostrarse que el error que

se comete al aproximar S por la suma parcial Sn, es:

En = |S Sn| an+1Teorema 1.2.6 (Criterio de la integral) Sea f una funcion de valores positivos, conti-

nua y decreciente en el intervalo [1,+. Consideremos la sucesion {an} tal que an = f(n).Entonces:

n=0

an y

1

f(x)dx

son ambos convergentes o ambos divergentes.

Series geometricas

La serien=0

arn = a+ ar + ar2 + ar4 + (1.3)

es denominada serie geometrica de razon r, donde r 6= 0.Teorema 1.2.7 Una serie geometrica de razon r diverge si |r| 1. Si 0 < |r| < 1,entonces converge al valor:

n=0

arn =a

1 r (1.4)

1.2. SERIES 7

Series p y serie armonica

Una serie de la forma:n=0

1

np=

1

1p+

1

2p+

1

3p+

es denominada serie p, donde p es una constante positiva. Si p = 1, la serie toma la forma:

n=0

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

y es denominada serie armonica.

La prueba de la convergencia o divergencia de las series p se hace mediante el criterio

de la integral. Puede probarse que la integral impropia 1

1

xpdx , p > 0

es convergente para p > 1 y divergente para 0 < p 1. El criterio de la integral nos permiteestablecer el siguiente teorema:

Teorema 1.2.8 Las series p convergen si p > 1 y divergen si 0 < p 1.De acuerdo a este teorema, la serie armonica es divergente.

1.2.2. Series de Potencias

Una serie de la forman=0

anxn = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + (1.5)

donde x es una variable y los an son coeficientes es denominada serie de potencias. Para

cada valor de x en (1) se obtiene una serie de terminos constantes. Estas series pueden ser

algunos convergentes y otros divergentes. Entonces la suma es una funcion

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn + (1.6)

cuyo dominio es el conjunto de valores de x para los cuales la serie converge. A dicho

dominio es generalmente un intervalo o union de intervalos, denominados, intervalos de

convergencia.

En forma mas general, una serie de la forma

n=0

an(x x0)n = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2 + (1.7)

es denominada serie de potencias de (x x0) o serie de potencias centrada en x0.Nota: En las ecuaciones (1.5) y (1.7), el termino correspondiente a n = 0, por convencion,

se considera que x0 = 1 = (x x0)0, aun cuando x = 0 o x = x0, respectivamente.

8 CAPITULO 1. SUCESIONES Y SERIES

Teorema 1.2.9 Consideremos la serie de potencias:

n=0

an(x x0)n

Se verifica solo una de las siguientes alternativas:

i) La serie converge solo cuando x = x0.

ii) La serie converge para todo x R.

iii) Existe un numero real R > 0 tal que la serie converge si |x x0| < R, y diverge si|x x0| > R.

A R se le denomina radio de convergencia.

Ejemplo 1.2.1 Dada la serie de potencias:

n=1

(1)nn 3n

(3x 2)n

a) Determinar el radio de convergencia.

b) Determinar el intervalo de convergencia.

Solucion: Los terminos an y an+1 de la serie son :

an =(1)nn 3n

(3x 2)n , an+1 = (1)n+1

(n+ 1) 3n+1(3x 2)n+1

Entonces el valor absoluto del cociente an+1/an es:an+1an = n 3n|3x 2|n+1(n+ 1) 3n+1|3x 2|n =

(n

n+ 1

) |3x 2|3

(1)

Si n crece ilimitadamente, manteniendose x constante, entonces:

lmn

an+1an =

(lmn

n

n + 1

) |3x 2|3

=|3x 2|

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As, por el criterio de la razon, la serie converge si se verifica que:

|3x 2|3

=

x 23 < 1 (2)

y diverge si |3x2| > 1. De (2) se concluye que el radio de convergencia es R = 1. Ademas,(2) implica que:

1 < x 23< 1 = 1

3< x