Teorema del Valor Medio
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Universidad Técnica Particular de Loja
Explicación y Aplicación del Teorema del Valor Medio
CÁLCULO
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Teorema del Valor Medio Es uno de los Teoremas más importantes dentro del
Calculo Diferencial.
En el lenguaje geométrico el teorema del Valor Medio es fácil de establecer y de comprender. Dice que si la gráfica de una función continua tiene una tangente no vertical en todo punto comprendido entre A y B, entonces hay por lo menos un punto C en la gráfica comprendida entre A y B en el que la tangente es paralela a la recta secante AB
A
B
C
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Demostración del Teorema
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en su interior (a, b), entonces existe al menos un número c en cada (a, b).
Observación: El teorema de Rolle es similar, se diferencian porque aqui no se exige f (a) = f (b). Si esto se diera se reduce al teorema de Rolle.
ab
afbfcf
)()(
)('
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DemostraciónLa expresión es la pendiente de la
recta Secante que une los puntos (a, f (a)) y (b f (b)).
Queremos probar que un punto x = c en la recta tangente tiene esa misma pendiente, o sea, es paralela a esa recta secante.
ab
afbf
)()(
a c bx
y
y=f(x)m=f’(c)
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En primer lugar la recta secante que une a (a,
f (a)) y (b f (b)) tiene pendiente .La ecuación de la recta es por lo tanto,
Definimos la función inclinada g como la diferencia entre los valores de f y la secante.
Como f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), también g lo es. Además
)()( axmafy
ab
afbfm
)()(
)]()([)()( afaxmxfxg
0)](0[)()( afafag
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Y porque
Al ser g (a) = g (b), el teorema de Rolle existe un c en (a, b) tal que g’(c) = 0. Derivamos
Luego despejamos f’(c) y llegamos al resultado antes mencionado:
0)]()()([)(
)]()([)()(
afafbfbf
afabmbfbg
ab
afbfm
)()(
mcfcg
afaxmxfxg
)(')('
)]()([)()(
ab
afbfmcf
)()(
)('
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Mediante el siguiente ejemplo, vamos a demostrar más detalladamente, en que consiste este teorema:
Hallar el valor c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio para
En el intervalo [0, 2]
1)( 23 xxxxf
102
13)('
cf
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Para hallar el número c haremos:
Despejando
Aplicando la formula general resolvemos:
1123)(' 2 cccf
0223 2 cc
)3(2
)6(442
2
42
a
acbb
3
71
6
722
6
2442
Myriam Sarango
Karla Espinosa