Teoremas de Energía

Análisis estructural 1Fac. Ingeniería, U.A.Z.

Cálculo de desplazamientos por trabajo virtualDiego Miramontes De León

Resumen

Uno de los métodos más comunes para calcular los desplazamientos en las estructuras es el dela carga unitaria. Aunque se puede recurrir directamente a las expresiones simples propuestaspor el método, es útil identificar que el método se basa en dos principios básicos. Estos son elconcepto de energía y la ley de la conservación de la energía. En el primero se deducen losteoremas de Castigliano y de Engesser, mientras que con el segundo se formula el método dela carga unitaria. Este método se presenta para el caso particular de vigas en flexión yarmaduras.

Teoremas de Energía

Castigliano 1879 .- Energía de deformación elástica restringida a estructuras con diagramaslineales de carga-desplazamiento (comportamiento elástico).

Engesser 1889 .- Energía complementaria, sin especificar que la estructura tenga un diagramalineal.

Asumiendo el diagrama carga-desplazamiento mostrado :

L

∆

P

P

0

A

P

∆

P+δP

∆ + δ∆d∆

∆

Fig. 1. Estructura sujeta a carga axial Fig. 2. Diagrama carga-desplazamiento

El trabajo realizado para un incremento de ∆ es P•δ∆ y por definición este trabajo es igual alincremento en la energía de deformación elástica. Entonces el incremento total de la energíaelástica U cuando la carga aumenta de 0 a P1 será :

1

U Pd= ∫0

1∆∆

Esta integral es igual al área bajo la curva de la línea 0A. De esa misma ecuación puedeobtenerse :

∂∂U

P∆

= Part I del Teorema 1 de Castigliano

Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a un desplazamiento, el resultadoda la carga debido a ese desplazamiento en su línea de acción.

Puesto que la línea 0A es una recta, las áreas arriba y bajo de ella serán iguales, entonces :

Pd dPP

0 0

1 1∆∆ ∆∫ ∫=

de donde se deduce que :

∂∂UP

= ∆ Parte II del Teorema 1 de Castigliano

Si la energía total es parcialmente derivable con respecto a una carga aplicada, el resultadoda el desplazamiento de esa carga en su línea de acción.

El segundo teorema de la energía elástica o teorema de compatibilidad de Castigliano trata delas relaciones entre la energía de deformación elástica y la acción de una fuerza en unaestructura estáticamente indeterminada. En este se establece que la energía elástica totalparcialmente derivable con respecto a la carga redundante es igual a la falta inicial de ajustede dicho elemento. Si no hay falta de ajuste la derivada parcial será igual a cero :

∂∂UR

= 0

Esta ecuación representa una condición para el valor mínimo de la energía de deformaciónelástica. El incremento en tal energía es, sin embargo, igual al trabajo correspondiente aldesplazamiento de las cargas aplicadas. De esta manera, la relación implícita en la ecuaciónanterior expresa también una condición para el valor mínimo del trabajo realizado (Principiodel trabajo mínimo)

Como aplicación del segundo teorema, supóngase un marco doblemente empotrado :

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A B

Ph

Pv

MV

H

Fig. 3. Estructura estáticamente indeterminada de 3er grado

Si las redundantes se consideran las reacciones en B (soporte completamente fijo), según laparte II del teorema se tendrá :

∂∂

∂∂

∂∂

UH

UV

UM

= = = 0

Esto implica que existen tres condiciones de compatibilidad que representan tres ecuacionespara resolver las tres incógnitas.

Primer teorema de la energía complementaria

Para una relación no lineal entre carga-desplazamiento la energía de deformaciónelástica sigue siendo

Pd0

1∆∆∫

El área a la izquierda de la curva 0A y el eje P

es ∆0

1PdP∫ y se conoce como energía

complementaria. Esta tiene las mismasdimensiones que la energía elástica.

P

0

A

dP

d∆

∆

Fig. 4. Diagrama no lineal carga-desplaz.

Puesto que C dPP

= ∫ ∆0

1,

∂∂CP

= ∆

3

Si la energía complementaria total es parcialmente derivable con respecto a la cargaaplicada, el resultado es el desplazamiento de esa carga sobre su línea de acción.

El segundo teorema es similar al segundo teorema de Castigliano donde se remplaza laenergía elástica por la energía complementaria :

∂∂

λCR

= − ó ∂∂CR

= 0 dependiendo si hay falta de ajuste o no.

Teorema de la energía potencial mínima

De la parte I del teorema de Castigliano se tiene que∂∂U

P∆

= . Para todos los puntos sin carga

esto implica que∂∂U∆

= 0 . Por el segundo teorema de Castigliano se llega a un valor similar

en el caso de que no haya carencia inicial de ajuste : La carga redundante es tal que da unvalor mínimo para la energía elástica. Esto es una condición para un valor mínimo de U y lainterpretación física es que la configuración deformada de la estructura es tal que hacemínima la energía de deformación elástica :

Equilibrio Neutro

Equilibrio estable

Inestable

Fig. 5. Condiciones para el valor mínimo de la energía de deformación elástica

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Principio de Fuerzas Virtuales

Supóngase una estructura cualquiera enequilibrio sujeta a cargas externas R yesfuerzos internos correspondientes a σ. Bajoestas cargas, la estructura tendrádeformaciones externas r y deformacionesinternas ε.

r

R

σ ε

Fig. 6. Estructura en equilibrio

Supóngase ahora que la misma estructura sesomete a un conjunto de cargas imaginariasδR. Estas cargas virtuales produciránesfuerzos virtuales δσ. En esta estructura untrabajo imaginario o virtual, δW ocurriráfuera y dentro de la estructura. δR

δσ ε

A

Fig. 7. Estructura sujeta a fuerzas virtuales δR

El trabajo virtual externo está dado por las fuerzas virtuales δR desplazándose en la direcciónde las deflexiones reales r. El trabajo virtual interno está dado por los esfuerzos virtualesinternos δσ desplazándose en la dirección de las deformaciones internas reales ε. De acuerdocon el principio de fuerzas virtuales :

Trabajo virtual externo = trabajo virtual interno : δWe = δWi

Este principio puede usarse para encontrar lasdeflexiones en puntos dados de unaestructura. Supóngase por ejemplo que sequiere encontrar la deflexión hacia abajo delpunto A bajo la carga real R y lasdeformaciones reales correspondientes ε. Seescogerá un sistema virtual de fuerzas haciaabajo actuando en A, cuyos esfuerzos internoscorrespondientes son δσ. Ya que la únicafuerza virtual externa es una fuerza aplicadaen A, el trabajo virtual externo serásimplemente el producto de la fuerza virtualpor la deflexión real :

R

σ ε

A

rA

Fig. 8. Deflexión en A como punto de interés

δWe = δR•rA

El trabajo interno virtual será la integral de los esfuerzos virtuales internos desplazándose lasdeformaciones internas reales :

5

δWi = v∫ (δsij) • εij dV

donde cada esfuerzo virtual realizará su trabajo a través de la deformación realcorrespondiente. Igualando los trabajos se tiene :

δR•rA =v∫ (δσij) • εij dV

Si δR es una fuerza unitaria, entonces :

rA =v∫ (δσij) • εij dV

Para utilizar este procedimiento en estructuras reales, se requiere calcular el trabajo virtualinterno para varios tipos de estructuras, por ejemplo :

Elemento barra .- Considérese una deformación uniforme real con el desplazamientocorrespondiente v donde A y E permanecen constantes :

L v

P Pσ

Fig. 9. Barra sujeta a carga axial

ε = v / L

La deformación real se asocia con el esfuerzoreal σ y con la carga real P por :

σ = P / Aε = σ / E = P / AEentonces v / L = P / AE, v = PL / AE

Supóngase que el elemento se somete a esfuerzos δσ correspondientes a una fuerza virtualδP :

L v

δP δPδσ

Fig. 10. Barra sujeta a carga virtual δP

δσ = δP / A

El trabajo virtual será δWi =v∫ (δσ) • ε dV

Ya que el área es constante

δWi = AL∫ (δσ) • ε dx

substituyendo δσ = δP / A y ε = v / L

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δWi = AL∫ (δP / A) • (v / L) dx = A (δP / A) (v / L)

L∫ dx = (δP) v

δWi = Producto de la fuerza virtual P y la deformación real interna ε.

Pero la deformación interna real se puede expresar en términos de la fuerza interna real :

v = PL / AE entonces δWi = (δP) (PL / AE) = (fuerzas virtuales) (desplazamientos reales)

Si se tienen varios miembros (i.e. armaduras) el trabajo virtual interno total será la suma deltrabajo hecho en cada miembro :

δWi = (i

∑ δP ) (PiLi / AiEi)

Elemento viga (deformación por flexión)

Considérese una rebanada de longitud dx sujeta a deformaciones reales por flexión :

dx

y

ε(y) σ

M

Fig. 11. Elemento diferencial de viga

σ = M y / I

y

ε = σ / E = M y / EI

Supóngase ahora que esta rebanada se somete a esfuerzos virtuales δσ correspondientes a unmomento virtual δM :

dx

y

ε(y) δσ

δM

Fig. 12. Sección sujeta a momento virtual δM

δσ = (δM) y / I

δWi =v∫ (δσ) • ε dV =

v∫ (δM y / I) • (M y / EI) dV

Ya que δM, M, E e I son constantes

7

δWi = L∫ (δM / I) • (M / EI) (

A∫ y2 dA) dx

δWi = L∫ (δM / I) • (M / EI) I dx

Para una rebanada de longitud dx

δWi = (δM) • (M / EI) dx = Producto del momento virtual interno y la curvatura real interna

Para el miembro completo, δW se obtiene integrando la cantidad anterior a lo largo de lalongitud :

δWi = L∫ (δM(x)) • (M(x) / EI(x)) dx = [fuerzas virtuales (momentos)] [deformaciones reales (φ)]

Para estructuras que no tienen tangentes de referencia explícitas, el principio de los trabajosvirtuales es mucho más fácil que el de área de momentos.

Estructuras planas cargadas fuera del plano (retículas)

Considérese una rebanada de long dx sujeta a deformaciones por torsión :

dx

T

θ

Fig. 13. Elemento diferencial a torsión

Asumiendo que la sección es libre de torcerse

θ = T / GJ

G = módulo de cortante = E / 2(1 + ν)J = Rigidez a torsión (St. Venant)ν = Coeficiente de Poisson

Supóngase ahora que esta rebanada está sujeta a una torsión virtual δT. El trabajo interno estádado por :

δWi =L∫ (δT(x)) • (T(x) / GJ(x)) dx = [esfuerzos virtuales (torsión)] [deformaciones reales

(distorsión por unidad de longitud)]

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Cálculo de deflexiones en vigas por trabajo virtual

Supóngase una viga sujeta a las cargas P1 y P2 que producen esfuerzos internos y por lo tantouna compresión S en cualquier fibra del área transversal dA.

∆ ∆2∆1

S S

dx

dL

P1 P2

Fig. 14a. Viga sujeta a sistema de cargas Pi

δ δ2δ1

U U

dx

dL

1

Fig. 14b. Viga bajo carga unitaria

δ+∆ δ2+∆2δ1+∆1

P1 P2

1Fig. 14c. Viga sujeta a carga unitaria y Pi

El trabajo externo es :½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 1)

La energía total almacenada es :½ Σ S dL 2)

Por la ley de la conservación de la energía(principio de trabajo virtual) :½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 = ½ Σ S dL 3)

Igualmente si se aplica una carga unitaria encualquier punto :

½ 1(δ) = ½ Σ U dL 4)

Si se agrega gradualmente P1 y P2 (figura14b), el trabajo externo es :

½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + 1(∆) 5)

La energía interna adicional almacenada es½ Σ S dL + Σ U dL 6)

Entonces el trabajo total externo en la figura14c) es :

½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + ½ 1(δ) + 1(∆) 7)

Y la energía total interna es :

½ Σ U dL + ½ Σ S dL + Σ U dL 8)

Nuevamente por la ley de la conservación dela energía :

½ P1 ∆1 + ½ P2 ∆2 + ½ 1(δ) + 1(∆) = ½ Σ U dL+ ½ Σ S dL + Σ U dL 9)

restando 3) y 4) de 9) :

1(∆) = Σ U dL 10)

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La ecuación 10) se puede aplicar para encontrar la deflexión o rotación en cualquier punto deuna estructura, donde dL puede ser provocada por cargas aplicadas, cambios de temperatura,errores de fabricación o asentamientos de los apoyos.

Deflexiones en vigas (∆ = Σ U dL)

Supóngase que el momento producido por las cargas es M en cualquier fibra y el momentodebido a la carga unitaria es m. El esfuerzo debido a 1 es (m y / I) y la fuerza u será :

U = (m y / I) dA 11)

además S / dA es el esfuerzo provocado por las cargas en la fibra estudiada. Por la ley decomportamiento lineal (Hooke) : f = εE, entonces :

ε = f / E = (S / dA) (1 / E) 12)

de modo que la deformación en la fibra será :

dL = ε dx = (S / dA) (1 / E) dx 13)

además por Navier :

S = (M y / I) dA y substituyendo en la ecuación anterior :

dL = (M y / EI) dx 14)

Si se substituye 14) y 11) en 10) :

∆ = S ( m y / I) dA (M y / EI) dx = Mmy dAdx

EI

AL 2

200 ∫∫ 15)

∆ = MmdxEI

y dAMmdx

EI

LAL

22

000= ∫∫∫ 16)

Si en lugar de una carga unitaria se aplica un par unitario se obtendrá el giro :

θ =Mmdx

EI

L

0∫ 17)

donde m es el momento en cualquier sección, correspondiente a un par unitario en el punto dela viga descargada donde se quiere determinar la rotación.

Procedimiento general para el cálculo de deformaciones en armaduras

Para el caso de una barra sujeta solo a carga axial, se dedujo que si la carga virtual es unitaria,el trabajo interno da como resultado el desplazamiento en el punto y en la dirección en la quese aplica dicha carga :

10


rA =v∫ (δσij) • εij dV

entonces

di = δWi = (i

∑ δP ) (PiLi / AiEi) = (i

∑ Pi ) Po (Li / AiEi)

donde Po representa las fuerzas en las barras debidas al sistema de carga real y Pi representalas fuerzas en las barras debidas a la carga unitaria. Usualmente se disponen los cálculos enforma tabular.

Bibliografía de referencia

Chu-Kia Wang, Statically indeterminate structures, I.S.E., 1953

Yuan-Yu Hsieh, Teoría elemental de estructuras, PHH, 1970

White, Gergely & Sexsmith, Estructuras estáticamente indeterminadas, Vol. 2, Limusa 1972

J.S. Kinney, Análisis de estructuras indeterminadas, CECSA, 1960

A. Ghali & A. Neville, Análisis estructural, Diana

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