Teoría Clásica de Placas
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TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS
1. INTRODUCCIÓN
1.1. GENERALIDADES. Se define como Placa al sólido paralepipédico en el que una de sus dimensiones (espesor) es mucho menor que las otras dos (las vigas tiene dos dimensiones pequeñas, ancho y canto, respecto a una tercera, longitud). La superficie plana equidistante de las dos caras con mayores dimensiones se denomina plano medio de la placa. Por otra parte se define como estado de placa al sistema de cargas en el que sólo actúan fuerzas exteriores normales al plano medio de la placa y momentos contenidos en planos perpendiculares al mismo (o lo que es lo mismo momentos cuyos ejes están contenidos en el plano medio).
Esta tipología es tan frecuente en la práctica de la construcción que su estudio está plenamente justificado. Se pueden encontrar ejemplos de aplicación en los forjados de edificación, algunos tipos de cimentación, puentes losa, depósitos rectangulares, pavimentos, etc.. Es decir en estructuras tan simples, comunes y frecuentes con las que cualquier ingeniero sea cual sea su especialidad va a encontrarse muchas veces en el desarrollo de su vida profesional y por tanto debe poder conocer su respuesta estructural sin necesidad de ser un gran especialista en el cálculo de estructuras.
Análisis de Estructuras 2
La tipología Placa es en principio una estructura tridimensional y como tal debería estudiarse. Sin embargo su comportamiento podría representarse con un modelo bidimensional si se pudiera considerar que la variación de las variables significativas a lo largo del espesor es una función conocida de los valores que las mismas toman en el plano medio de la placa. En estas condiciones sería suficiente analizar el plano medio para encontrar una solución tensodeformacional compatible y equilibrada. En esta dirección son numerosos los trabajos realizados por grandes matemáticos y fisicos, tales como Euler, Lagrange, Navier, Poisson, etc. . Sin embargo, y debido al trabajo contenido en su libro Clases de Fisica Matemática (1876), Kirchhoff (1824-1887) es considerado como el padre de la denominada teoría clásica de placas. Posteriormente Love recogió y amplió aquellos trabajos hasta el punto que hoy dia, la teoría clásica de placas se conoce también como de Kirchhoff-Love. A finales del siglo 19 los constructores de barcos cambiaron sus métodos constructivos reemplazando la madera por el acero. Este cambio de material estructural provocó fructíferos desarrollos en las teorías de análisis de elementos superficiales, placas y láminas. Los científicos rusos de la epóca (Krylov, Boobnov) hicieron importantes contribucciones en este campo, reemplazando los antiguos métodos de cálculo por teorías matemáticas sólidas. De entre todos ellos cabe destacar a Timoshenko que tuvo el mérito de provocar en Occidente una gran credibilidad, hasta el punto que los científicos occidentales fueron recogiendo e incorporando gradualmente la investigación rusa en el campo de la Elasticidad. En los últimos años el desarrollo de los ordenadores ha tenido una considerable influencia en el análisis estático y dinámico de placas. Los métodos de Diferencias Finitas (1941) y de los Elementos Finitos (1956) proporcionan la técnica necesaria para, discretizando el continuo, tratar con la ayuda del ordenador, con problemas complejos de placas encontrando soluciones numéricas e introducir las más avanzadas teorías de comportamiento estructural .
Teoría Clásica de Placas 3
1.2. CONSIDERACIONES INTUITIVAS. Se supone una placa rectangular sustentada, apoyada o empotrada, en dos bordes opuestos pero con los otros dos bordes libres, sometida a una carga q variable pero sólo con la coordenada relativa a los bordes libres.
Si se descompone la placa transversalmente, paralelamente a los bordes libres, en n vigas paralelas, cada una de ellas soporta la carga que le afecta y en un funcionamiento independiente las próximas no le prestan más ayuda que en impedir su contracción lateral, ya que la deformación longitudinal es, para todas las vigas ficticias, idéntica y compatible.
Por formar parte de una placa estas vigas ficticias tienen limitada su contracción lateral lo que reduce su deformación longitudinal en una proporción que como se verá más adelante es de 1-ν2. Es decir la placa en este caso tiene una respuesta estructural similar a la de una viga equivalente pero con una rigidez mayor.
ν 2-1EI = PLACA RIGIDEZ EI = VIGA RIGIDEZ
Si no se satisfacen las condiciones de borde y de carga anteriores, es decir, los bordes libres tienen algún movimiento impedido y/o la carga es variable en la dirección transversal el comportamiento descrito para la placa varía. Las vigas longitudinales ficticias además de tener limitada su contracción lateral, ahora no tienen la misma deformación longitudinal.
Análisis de Estructuras 4
En este supuesto la aproximación sólo con vigas longitudinales, no es válida y el comportamiento resistente de la placa se simula mejor con dos series de vigas ortogonales entre sí. En la hipótesis de que la carga actúe totalmente sobre ambas vigas o franjas, la compatibilidad de deformaciones, exige que en los puntos comunes actúen unas fuerzas dirigidas en sentido contrario que igualen los movimientos. Esto es equivalente a suponer que la carga está soportada en parte por cada una de la serie de vigas en ambas direcciones. Por lo tanto las tensiones y deformaciones serán menores en cada una de ellas.
Pero además entre las series de vigas existe una solidaridad de otro tipo ya que el giro de flexión provoca, tanto entre las vigas paralelas como con las ortogonales, la presencia de un momento torsor. Entre vigas ortogonales es necesario compatibilizar el giro de flexión de una serie con uno de torsión en la ortogonal. Entre vigas paralelas es necesario controlar el deslizamiento que se produciría en las caras comunes por una flexión diferente. En el primer caso aparece un momento torsor de compatibilidad. En el segundo unas tensiones tangenciales en la cara de contacto que evitan el deslizamiento y cuya resultante da lugar a un momento torsor. En estas consideraciones intuitivas se basan algunos métodos aproximados de cálculo de placas que se ven a continuación.
Teoría Clásica de Placas 5
1.3. METODOS APROXIMADOS. En el análisis estructural es interesante en ocasiones disponer de métodos de cálculo rápidos y fiables que, aún sin constituir una solución exacta de un determinado problema físico, si permitan determinar soluciones aproximadas muchas veces suficientes para los objetivos de un proyecto o anteproyecto estructural. En este sentido algún tipo de placas rectangulares constituyen un ejemplo típico en el que aplicando exclusivamente razonamientos y modelos estructurales intuitivos y sencillos pueden obtenerse soluciones razonables. 1.3.1 Método de Grashof para cálculo de placas rectangulares. Sea una placa rectangular que se descompone en franjas de ancho unidad normales entre sí y paralelas a los bordes x e y de la misma. Cada franja absorberá parte de la carga y es evidente que en la zona o punto de intersección debe existir compatibilidad de desplazamientos. Asumiendo un comportamiento como viga y compatibilizando flechas:
Dl p
384
5 =D
l p
3845 = )(w = )(w
y
4y2
x
4x1
2l y
2l x
)-(1 12tE =)-(1 EI =D=D 2
32
yxν
ν
que conjuntamente con p = p1 + p2 nos permite determinar la carga que soporta cada una de las vigas.
lx
ly
P1
P2
Análisis de Estructuras 6
p l +l
l =p p l +l
l =p 4
y4x
4x
24y
4x
4y
1
o de forma genérica p1 = κ p p2 = ρ p Para distintas condiciones de borde los coeficientes κ y ρ toman las expresiones siguientes:
κρ
κ
−=
+=
1
52
544
4
yx
y
ll
l
κρ
κ
−=
+=
1
5
544
4
yx
y
ll
l
κρ
κ
−=
+=
1
2
244
4
yx
y
ll
l
κρ
κ
−=
+=
1
44
4
yx
y
ll
l
1.3.2. Método de Marcus para el cálculo de placas rectangulares.
lx
ly
lx
ly
lx
ly
lx
ly
Teoría Clásica de Placas 7
Este método representa una considerable mejora del anterior de Grashof y basicamente introduce un coeficiente reductor en los esfuerzos anteriormente obtenidos para tener en cuenta la influencia del momento torsor. Si denominamos mx max y my max a los momentos máximos obtenidos por el método de Grashof, Marcus propone usar los siguientes coeficientes reductores:
m )-(1 =M m )-(1 =M y yy xxx maxmax ϕϕ
Según las comparaciones efectuadas por Marcus con los valores exactos de los momentos, los coeficientes jx y jy , pueden determinarse para cualquier condición de enlace en los cuatro bordes, mediante las expresiones:
8l p
=m 8l p
=m2y
y 0 2x
x 0
donde: 2
0
2
0 65
65
=
=
x
y
y
maxyy
y
x
x
maxxx m
mm
ml
l
l
lϕϕ
Análisis de Estructuras 8
EJEMPLO 1
Dada la placa cuadrada de hormigón de 10 m. de lado y 25 cm de canto simplemente apoyada en sus cuatro bordes, sometida a una carga uniforme 1 T/m2 SE PIDE Determinar la flecha y momentos en el centro de la placa.
SOLUCION: E=250.000 kg/cm2
ν=0,2 t= 25 cm.
D= Et3/12(1-ν2) = 2,5 x 106 T/m2 x 0,253 m3 / 12 (1-0,22) = 3.391 Tm.
0,5 = l +l
l = 0,5 = l +l
l =
4y
4x
4x
4y
4x
4y ρκ
p1 = 0,5 p p2 = 0,5 p
m. 0,019 = 3391
100,5. 3845 = w
4
5,5
La solución exacta tal y como se verá en los próximos capítulos es:
w(5,5)= 0,00406 p l4/D = 0,012 m error = 50,8 % Los momentos en cada dirección x e y, en el centro de cada viga valen:
Mx = My = pl2 / 8 = 0,5. 102 /8 = 6,25 m T
La solución exacta de la placa tal y como se verá en los próximos capítulos es:
Mx = My = 0,0479 p l2 = 4,8 mT/m error = 30,5 %
Los errores son apreciables pero no excesivos y por tanto el método permite de forma intuitiva y sencilla, acotar la respuesta tenso deformacional de la placa.
10 m
10 m
Teoría Clásica de Placas 9
EJEMPLO 2 Resolver la placa del ejemplo 1.1 por el método de Marcus. SOLUCION
La solución de esfuerzos obtenida por el método de Grashof proporciona unos momentos máximos:
mx max = 6,25 mT/m = my max
En este caso el momento isostático de referencia vale:
m0 x = m0 y = p l2/8 = 12,5 mT por tanto:
ϕx = 5/6 . mx max/m0 x . ( l x / l y )2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41
ϕy = 5/6 . my max/m0y . ( l y / l x )2 = 5/6 x 6,25/12,5 x 1 = 0,41
mx = my = ( 1 - 0,41 ) x 6,25 = 3,7 mT/ m.
lo que representa un error respecto a la solución exacta de un 22,9 % inferior al 30,5% obtenido en el método de Grashof pero que está del lado de la inseguridad, inferior al exacto.
Análisis de Estructuras 10
2. TEORÍA CLÁSICA DE PLACAS 2.1. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD. Un sólido tridimensional bajo la acción de unas cargas exteriores se deforma y queda sometido a un estado tensodeformacional equilibrado y compatible con los enlaces. En este apartado se hace una breve revisión de aquellos conceptos de la Elasticidad necesarios para formular la teoría de Placas a partir de un comportamiento tridimensional. 2.1.1. Estado tensional en Elasticidad Tridimensional. En la elasticidad tridimensional se describe el estado tensional (σx ,σy ,σz ,τxy , τxz , τyz ) sobre un elemento paralepipédico diferencial (dx dy dz) con caras paralelas a los planos coordenados.
Las tensiones normales se representan afectadas de un subíndice que hace referen-cia a la normal al plano sobre el que actúa. Las tensiones tangenciales tienen dos subíndices. El primero indica la normal al plano en el que actúa y el segundo la dirección de la tensión en el mismo.
Teoría Clásica de Placas 11
Puesto que las tensiones en un punto son función de su posición en el sólido, su intensidad cambia al mover el plano de referencia un dx, dy o dz . Para representar esta variación se toman, para la tensión incrementada, los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor . Como criterio de signos en los planos más avanzados (x+dx,y+dy,z+dz) se considera la tensión positiva cuando lleva la dirección de los ejes coordenados. En los planos opuestos el criterio cambia, de forma que, se considera positiva cuando lleva la dirección contraria a los ejes coordenados.
Como caso particular, la elasticidad bidimensional sigue los mismos criterios y sólo con fines aclaratorios se presenta en la figura el estado tensional, con sus direcciones y signos, asociado a un dominio rectangular diferencial bidimensional (dx,dy) que responde también a la nomenclatura y signos definidos anteriormente. 2.1.2. Deformaciones en la Elasticidad Tridimensional. Los desplazamientos de un punto cualquiera del sólido son función de su posición y vienen dados en general por:
z)y,(x,f 3 = wz)y,(x,f 2 = v z)y,(x,f 1 =u
dónde u, v y w representan los desplazamientos de un punto P (x,y,z) en las direcciones de los ejes coordenados X, Y y Z respectivamente. La relación entre desplazamientos y deformaciones se establece en un elemento diferencial paralepipédico dx dy dz. Por simplicidad se presenta en la figura la proyección de la deformación del elemento diferencial tridimensional sobre el plano XY lo que puede generalizarse con facilidad para los demás planos.
Análisis de Estructuras 12
Las deformaciones normales εx y εy vienen dadas por:
yv =
dy
v-dy yv+v
= xu =
dx
u-dx xu+u
= yx ∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
εε
y por extensión: zw = z ∂
∂ε
La deformación tangencial o deslizamiento en el plano XY, γxy viene dada por:
yu +
xv =
dy
dyyu
+ dx
dxxv
= + = xy ∂∂
∂∂∂
∂
∂∂
′′′ γγγ
donde se considera que las deformaciones son pequeñas y por tanto el ángulo considerado coincide con su tangente. Por extensión para los demás planos:
yw +
zv =
xw +
zu = yzxz ∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
γγ
2.1.3. Relaciones Tensión-Deformación. Si suponemos que el material tiene un comportamiento lineal, las relaciones entre las tensiones y las deformaciones normales vienen dadas por las ecuaciones clásicas siguientes:
Teoría Clásica de Placas 13
] ) + ( - [ E1 =
] ) + ( - [ E1 = ] ) + ( - [
E1 =
yxzz
xzyyzyxx
σσνσε
σσνσεσσνσε
y para las componentes tangenciales:
G =
G =
G = yz
yzxz
xzxy
xyτ
γτγτ
γ
donde E y G son respectivamente los módulos de elasticidad y de rigidez transversal, que están relacionados entre sí por:
) +1 ( 2E =G
ν
Planteando las ecuaciones de equilibrio, de compatibilidad de deformaciones y de desplazamientos en los bordes es teóricamente posible encontrar una solución compatible y equilibrada. En general esta mecánica presenta, aún asumiendo pequeñas deformaciones, grandes dificultades matemáticas que impiden obtener la solución del problema planteado integrando el sistema de ecuaciones diferenciales resultante. 2.2. TEORIA CLASICA DE PLACAS. 2.2.1 Hipótesis Básicas. La respuesta tenso deformacional de una placa puede obtenerse por degeneración de la teoría de la elasticidad tridimensional suponiendo que la variación, de las distintas magnitudes que intervienen en el proceso a lo largo del espesor, es una función conocida de los valores que toman en el plano medio de la misma. Para generar la teoría de Placas clásica bajo estas condiciones es necesario establecer las siguientes hipótesis: - El material de la Placa se supone elástico, homogéneo e isótropo.
- Se supone válida la teoría de las pequeñas deformaciones. Una flecha del 10% del espesor puede ser considerada como un límite máximo para satisfacer la hipótesis de flechas pequeñas.
Análisis de Estructuras 14
- Todos los puntos situados sobre una recta normal al plano medio de la placa sin deformar, permanecen después de la deformación sobre una recta (Hipótesis de Navier) normal al plano medio deformado. Hipótesis de Normalidad.
- Los puntos del plano medio sólo se mueven en la dirección
perpendicular al mismo. Es decir sólo se considera la deformación provocada por la flexión.
- Todos los puntos situados sobre una normal al plano medio tienen la
misma flecha. Es decir w (x, y, z) = w (x, y). - La tensión normal al plano medio de la placa se considera despreciable. Estas hipótesis permiten expresar los desplazamientos, deformaciones, tensiones y esfuerzos en el plano medio sólo en función de la flecha w(x, y) que caracteriza cada punto de la placa transformando así un problema inicialmente tridimensional en bidimensional. Posteriormente estableciendo las ecuaciones de equilibrio, se determina la ecuación diferencial en derivadas parciales que debe satisfacer esta función w(x, y). 2.2.2. Campo de desplazamientos. Bajo las hipótesis anteriores, el campo de desplazamientos puede expresarse en función de un solo parámetro del plano medio, la flecha w(x, y), en la forma siguiente:
Teoría Clásica de Placas 15
w(xy)= (xyz) wy
w(xy)-z = (xyz) vx
w(xy)-z = (xyz)u ∂
∂∂
∂
Se supone que los giros son pequeños y que por tanto el giro se produce según la perpendicular. El signo menos aparece al considerar el eje z en sentido descendente y los giros positivos en el sentido de las agujas del reloj. 2.2.3. Campo de deformaciones. Por lo tanto el campo de deformaciones de acuerdo con las expresiones anteriormente presentadas viene dado bajo las hipótesis anteriores por:
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
0
0
yxw(xy)2z-
0
yw(xy)z -
xw(xy)z -
=
zv(xyz) +
yw(xy)
zu(xyz) +
xw(xy)
xv(xyz) +
yu(xyz)
zw(xy)
yv(xyz)
xu(xyz)
=
2
2
2
2
yz
xz
xy
z
y
x
2
γ
γ
γ
ε
ε
ε
Este campo de deformaciones también sólo depende de la flecha w(x, y) que caracteriza al plano medio de la placa y como puede observarse los deslizamientos
Análisis de Estructuras 16
en los planos perpendiculares al plano medio son nulos (lo que equivale a que las hipótesis de partida no consideran la deformación debida al esfuerzo cortante y por ello sólo son válidas para el análisis de placas delgadas) y el resto de componentes varían linealmente a lo largo del espesor. 2.2.4. Campo de tensiones. El campo de tensiones de acuerdo con las relaciones tensión deformación deducidas anteriormente, viene ahora dado por:
( )
∂
∂+
∂
∂
−−=+
−=
2
2
2
2
22),(),(
11 yyxw
xyxwzEE
yxx νν
ενεν
σ
( )
∂
∂+
∂
∂
−−=+
−=
2
2
2
2
22),(),(
11 yyxw
xyxwzEE
yxy νν
εενν
σ
0),(1
2===
∂∂∂
+−== yzxzzxyxy yx
yxwzEG ττσν
γτ
Nuevamente las tensiones normales y tangenciales no nulas varían linealmente a lo largo del espesor. Las tensiones tangenciales en los planos normales al plano medio son nulas. Esto significa que no se considera en el proceso el efecto del esfuerzo cortante, fuerza vertical actuando en los planos (XZ) Qx e (YZ) Qy, lo cual no implica que este sea nulo.
Teoría Clásica de Placas 17
El estado tensional descrito provoca unos esfuerzos internos que actúan sobre la sección recta de la Placa y que son equivalentes a las resultantes de tensiones sobre el plano medio de la misma. Se obtienen así unos Momentos Flectores a partir de las tensiones normales y unos Momentos Torsores a partir de las tensiones tangenciales. No aparecen siguiendo este esquema los esfuerzos Cortantes, dado que las tensiones tangenciales son nulas, pero existen y no tienen porque ser nulos. 2.2.5. Esfuerzos sobre el Plano medio. Los esfuerzos internos de flexión y torsión se obtienen integrando las tensiones a lo largo del espesor de la Placa y son función de la flecha w(x, y) de los puntos del Plano medio de la misma.
) - 1 ( 12t E = D
y xw
) +(112t E-= dzz =M
) yw +
xw (
)-(112t E-= dzz =M
) yw +
xw (
)-(112t E-= dzz =M
2
323
t
txyxy
2
2
2
2
2
3
t
tyy
2
2
2
2
2
3
t
txx
νντ
νν
σ
νν
σ
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∫
∫
∫
−
−
−
2
2
2
2
2
2
Este coeficiente D es clásico en placas, la caracteriza desde el punto de vista resis-tente y tiene un significado físico similar a la rigidez EI en vigas. Para expresar los esfuerzos cortantes Qx y Qy en función de la flecha del plano medio w(x, y) es necesario establecer las ecuaciones de equilibrio ya que la formu-lación en desplazamientos planteada no permite explicitarlos al no considerar su influencia durante el proceso de deformación . Como estos esfuerzos se han obtenido como la resultante de tensiones a lo largo del espesor vienen dados por unidad de longitud horizontal X e Y. Es decir los mo-mentos tienen dimensiones de F . L/ L (T. m. / cada m.).
Análisis de Estructuras 18
2.3. ECUACION DIFERENCIAL DE LA PLACA. El equilibrio del elemento diferencial de placa de la figura, (dx, dy, t), se plantea considerando que exteriormente actúa una carga normal al plano medio q= q(x, y) por unidad de superficie. El equilibrio tiene que satisfacerse en fuerzas y momentos y por lo tanto debe incorporarse la longitud que afecta a cada uno de los esfuerzos anteriormente presentados.
0 =M 0 =M 0 =F yxz ∑∑∑ 2.3.1. Equilibrio de Momentos respecto a x=0
0 =M x∑
0= Q - x
M +
yM
0=dy dx Q-dy M -dy ) dx x
M +M ( dx M - dx )dy
yM
+M (
yxyy
yxyxy
xyyy
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
Teoría Clásica de Placas 19
2.3.2. Equilibrio de Momentos respecto a y=0
0 = M y∑
0 = Q - y
M +
xM
0 =dxdy Q-dx M -dx dy) y
M+M( dy M -dy dx)
xM+M(
xyxx
xyxyx
yxxx
x
∂
∂
∂∂
∂
∂+
∂∂
2.3.3. Equilibrio de fuerzas verticales. 0 = F z∑
0 =dy dx q + dxdy y
Q +dy dx
xQ yx
∂
∂
∂
∂
Sustituyendo las expresiones de Qx y Qy en esta última ecuación se obtiene:
y)(x, q -= y
M +
y xM
+ xM
2y
2xy
2
2x
2
∂
∂∂∂
∂
∂∂ 2
y sustituyendo los momentos por sus expresiones en función de la flecha del plano medio w(x,y) se obtiene la ecuación diferencial que rige el comportamiento de la Placa:
D
y)q(x, = y)w(x, ∆∆
Por tanto resuelta la ecuación diferencial y obtenida la expresión de w(x, y) es sencillo conocer el campo de desplazamientos, deformaciones, tensiones y esfuerzos en cualquier punto de la placa. Los esfuerzos cortantes vienen dados por:
) w ( y
D- = ) yw +
xw (
y D - =
yM
+ x
M = Q 2
2
2
2yxyy ∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
) w ( x
D- = ) yw +
xw (
x D - =
yM
+ x
M = Q 2
2
2
2yxxx ∆
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
Análisis de Estructuras 20
2.4. CONDICIONES DE CONTORNO. Al resolver la ecuación diferencial de la placa es necesario imponer unas determinadas condiciones en los bordes. Esto es obvio tanto desde el punto de vista físico como matemático ya que la respuesta de una Placa, o la solución de la ecuación diferencial que la representa, es distinta según su contorno este apoyado, empotrado o libre. 2.4.1. Contorno Empotrado. Sí el borde x=a esta empotrado la flecha y el giro en dicho borde son nulos. Se tienen por tanto las siguientes condiciones que debe satisfacer la función w(x, y):
( )[ ] ( )0
,0, =
∂
∂=
==
axax x
yxwyxw
2.4.2. Contorno Apoyado. Si el borde x=a esta simplemente apoyado, la flecha w(x,y) es nula a lo largo del borde. Como en el borde la placa puede girar libremente el momento Mx es nulo. Matemáticamente un borde simplemente apoyado introduce las siguientes condiciones para la flecha w :
Teoría Clásica de Placas 21
( )[ ] [ ] ( ) ( )0
,,00,
2
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂⇒==
===
axaxxax y
yxwx
yxwMyxw ν
Si el borde x=a esta apoyado de forma continua, la curvatura según el eje Y a lo largo de la línea x=a es nula:
2.4.3. Borde Libre. Si el borde x=a esta libre a lo largo de él los Momentos Flectores, Torsores y esfuerzo Cortante son nulos.
[ ] [ ] [ ] 000 === === axxaxxyaxx QMM En principio un borde libre incorpora tres condiciones que debe satisfacer la ecuación diferencial que representa el comportamiento de la placa estudiada. No obstante Kirchoff probó que estas tres condiciones son excesivas y son suficiente dos para determinar correctamente la flecha w(x, y). Kirchoff puso de manifiesto que las condiciones relativas al momento torsor y al esfuerzo cortante pueden sustituirse por una condición única.
( ) ( )0
,0
,2
2
2
2=
∂
∂⇒=
∂
∂
== axax xyxw
yyxw
Análisis de Estructuras 22
Los esfuerzos que actúan sobre la placa no varían si el momento torsor Mxy dy que actúa sobre un elemento diferencial de longitud dy del borde x=a, se sustituye por dos fuerzas verticales de valor Mxy y brazo dy. Es decir la distribución de momentos torsores Mxy en el borde libre x=a es estáticamente equivalente a una distribución de esfuerzos cortantes Q'x de intensidad:
ax
xyx y
MQ
=
∂
∂=′
Por lo tanto la condición conjunta relativa al momento torsor Mxy y esfuerzo cortante Qx en un borde x=a libre puede escribirse como:
[ ] [ ] 0=
∂
∂+=+′=
===
ax
xyxaxxxaxx y
MQQQV
condición que expresada en función de la flecha w(x ,y) toma la forma:
( ) 022
3
3
3=
∂∂
∂−+
∂
∂
=axyxw
xw
ν
Si el borde libre está definido por y=b las condiciones anteriores son las siguientes:
Teoría Clásica de Placas 23
by
xyy x
MQ
=
∂
∂=′
[ ] [ ] 0=
∂
∂+=+′=
===
by
xyybyyybyy x
MQQQV
( ) 022
3
3
3=
∂∂
∂−+
∂
∂
=byxyw
yw
ν
Este razonamiento conduce a que en cualquier borde libre o no, debe satisfacerse esta condición conjunta de torsión y cortante de forma que ambos esfuerzos son estáticamente equivalentes a una fuerza vertical Vx o Vy dadas por:
( ) ( )
∂∂
∂−+
∂
∂=
∂∂
∂−+
∂
∂=
yxw
ywDV
yxw
xwDV yx 2
3
3
3
2
3
3
322 νν
Si el borde estudiado tiene el movimiento vertical impedido estas expresiones cambiadas de signo, una vez determinada la flecha w(x, y) en función de los condicionantes del tipo de apoyo considerado, permiten obtener las reacciones en la sustentación.
En las esquinas como puede verse en la figura existen dos fuerzas concentradas del mismo sentido Vx y Vy de valores Mxy (debido al signo diferente de Myx) de forma que sí la placa esta apoyada en los bordes aparece una reacción:
yxw D )-(1 2- = M 2 = R
2xy ∂∂
∂ν
Análisis de Estructuras 24
Es decir la placa frente a una carga vertical se levanta en las esquinas y es necesario en la práctica realizar el anclaje correspondiente para soportar este efecto. Si la placa tiene unas condiciones de apoyo tales que el momento torsor es nulo en el borde este efecto no aparece. 2.4.4. Sustentación Elástica. 2.4.4.1. Apoyo Elástico. Sí el borde x=a esta apoyado elásticamente, constante elástica del apoyo variable a lo largo del borde considerado k = k (y), la función w(x, y) debe satisfacer las siguientes condiciones:
[ ] ( ) ( )[ ] [ ] 0, == === axxaxaxx MyxwykV lo que conduce
2.4.4.2. Empotramiento Elástico. Sí el borde x=a esta empotrado elásticamente, constante elástica del empotramiento variable a lo largo del borde considerado k = k (y), la función w(x,y) debe satisfacer las siguientes condiciones:
[ ] ( )axx
wykaxxM=
∂∂==
( )( ) ( ) 02,
2
3
3
3
=
∂∂
∂−+
∂∂
=
∂
∂
== axax yxw
xw
ykD
xyxw
ν
( )[ ] ( ) ( ) 02
323
3, =
=
∂∂
∂−+
∂
∂==
axyx
w
x
wyk
Daxyxw ν
Teoría Clásica de Placas 25
2.4.4.3. Viga de Borde. Un caso interesante aparece cuando en el borde x=a de la placa existe una viga de borde de rigidez EI. En este caso la condición de borde se obtiene estableciendo compatibilidad entre la viga y el borde de la placa considerado.
[ ] [ ] ( )axax
axxax yxw
xwD
xyxwEIyxVxq
====
∂∂
∂−+
∂
∂=
∂
∂=
2
3
3
3
4
42
),(),()( ν
2.4.4.4. Placa sobre lecho elástico. Si todos los puntos de la placa están bajo condiciones de apoyo elástico la carga se modifica con una reacción vertical R(x,y) = -k(x,y) w(x, y) con lo que la ecuación diferencial de la placa se modifica en la forma:
Dy)q(x, =y) w(x,
Dy)k(x, + y)w(x, ∆∆
PLACAS RECTANGULARES
1. PLACAS RECTANGULARES 1.1.GENERALIDADES. Matemáticamente la ecuación diferencial en derivadas parciales que gobierna el comportamiento de una placa se clasifica entre las de cuarto orden con coeficientes constantes. Si el término independiente es nulo, ecuación diferencial homógenea, se denomina Ecuación Biarmónica.
0 = y) w(x, D
y)q(x, = y) w(x, ∆∆∆∆
La solución de la ecuación diferencial de la placa debe satisfacer las condiciones de contorno lo que dificulta extraordinariamente el proceso en tal forma que sólo es posible encontrar dicha solución en muy pocas situaciones. Incluso en la mayoría de estos casos debe recurrirse a la linealidad de la ecuación diferencial lo que permite obtener la solución como superposición de las soluciones de la ecuación diferencial homogenea (q=0) y a una solución particular de la ecuación no homogenea (q≠ 0). Es decir: y)w(x, +y)w(x, = y)w(x, PH donde wH representa la solución de la ecuación diferencial homogénea y wP es una solución particular de la ecuacion original. Es decir:
Dy)q(x,=
yw+
yxw2+
xw 0=
yw+
yxw2+
xw
4P
4
22P
4
4P
4
4H
4
22H
4
4H
4
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
∂∂
Algunas condiciones de borde permiten el uso de soluciones especiales, tal como sucede con la solución de Navier que se describe más adelante en la que wH=0 de modo que:
y)w(x, = y)w(x, P
Análisis de Estructuras 2
Las primeras soluciones básicas en la estática de Placas fueron dadas por Navier en 1821 poco después de haber deducido Lagrange su ecuación diferencial y haber estudiado Fourier las series que llevan su nombre. 1.1.1. Solución de la Ecuación Homogénea. La ecuación homogénea, término independiente nulo, puede físicamente interpretarse como la asociada a una placa sobre la que sólo actúan acciones exteriores en los bordes. La solución de la ecuación homogénea w(x,y)H , describe plenamente las condiciones de borde de la Placa y mantiene el equilibrio con las fuerzas externas en los bordes pero no considera el equilibrio de las fuerzas q(x,y). La determinación de esta solución presenta en general graves dificultades y limita el campo de aplicación de esta metodología de cálculo. 1.1.2. Solución Particular. La solución particular w(x,y)P , satisface la ecuación diferencial completa de la Placa pero no satisface completamente las condiciones de contorno. En general la solución particular tiene un mayor sentido físico y es sencilla de determinar. Por ejemplo en placas rectangulares pueden usarse como soluciones particulares la flecha de una viga con las mismas condiciones de borde y carga o la flecha de una Placa con condiciones de borde simplemente apoyados. Más adelante se presenta algún ejemplo de aplicación de esta metodología a placas de interés práctico.
1.2. SOLUCIONES BASADAS EN LAS SERIES DE FOURIER. Las series de Fourier son una herramienta indispensable para obtener una solución analítica de muchos problemas en el campo de la mecánica aplicada, tales como la
Placas Rectangulares 3
solución de las ecuaciones en derivadas parciales que originan la teoría de la elasticidad, las vibraciones, el flujo de calor, las ondas electromagneticas, etc. Los teoremas de Fourier establecen que una función arbitraria f(x) puede expresarse mediante una serie infinita de senos y cosenos es decir, la función se reemplaza por la superposición de infinitas ondas de senos y cosenos.
Tx2nsenBT
x2nA +A2
1 =f(x) n1
n1
0 + ππ ∑∑∞∞
cos 5
donde An y Bn son los coeficientes de Fourier del desarrollo que vienen dados por:
dxT
x2nf(x)senT2=B dx
Tx2nf(x)
T2=A f(x)dx
T2=A
T
0n
T
00
T
00
ππ∫∫∫ cos
siendo T el periodo de la función f(x). En 1820 Navier presentó en la Academia de Ciencias Francesa la solución de placas simplemente apoyadas en los cuatro bordes usando series de Fourier dobles. Este tipo de soluciones se denominan forzadas ya que implican automáticamente unas determinadas condiciones de borde para la Placa pero tienen la ventaja de que transforman la ecuación diferencial que rige su comportamiento en otra algebraica de fácil solución. 1.2.1. Aplicación de las series de Fourier a Flexión de Vigas. La mecánica de trabajo que incorpora el uso de los desarrollos en serie de Fourier se introduce en este capítulo con su aplicación a la flexión de vigas. Para ello se considera una viga de longitud l y rigidez EI simplemente apoyada en sus extremos y sometida a una carga variable q(x). Como es bien conocido la flecha w(x) de la viga debe satisfacer la ecuación diferencial siguiente:
EIq(x) =
xdw(x)d
4
4
Desarrollando en serie de Fourier la función w(x) :
lxm senw = w(x) m
1=m
π∑∞
8
función que satisface automáticamente las condiciones de borde simplemente
Análisis de Estructuras 4
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
apoyado ya que:
0 = xdwd EI- = M(x)0 = w(x)l=x 0=x 2
2
9 Si se desarrollan en serie las cargas exteriores usando las mismas funciones armónicas:
lxm senq = q(x) m
1=m
π∑∞
la condición de que w(x) satisfaga la ecuación diferencial nos proporciona los si-guientes valores de las amplitudes wm:
con π
π44
4m
mm
m4
44
m EIl q
= w EIq
= w l
m
dx l
xm senq(x) = ql
0m
π∫
Sí la carga q(x)=q es uniforme: )m -1 ( m2q = qm π
πcos
Representación del desarrollo de una carga uniforme
Placas Rectangulares 5
lxm sen
m2
msen 2Pl =
xdwd -EI= M(x) 2
=1m22
2 ππ
π∑
∞
lxm sen
mm -1 l2q =
xdwd EI- = M(x) 3
1=m3
2
2
2 ππ
π
cos∑∞
En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.0130711 0.1290060 3 -0.000054 -0.0047780 5 0.0000042 0.0010321 7 -0.0000008 -0.0003761 Σ 0.0130207 0.1249 Exacta 0.0130208 0.125
Variación de la flecha y del momento con el número de términos del desarrollo
Si la carga es puntual q(l/2)=P :
lxm sen
m2
msen
EIl2P = w(x)
2m sen
l2P = q 4
1=m4
3
mπ
π
π
π ∑∞
0,013
0,0130208
0,0130416
0,0130624
0,0130832
1 3 5 7 9 11 13 150,12
0,1225
0,125
0,1275
0,13
1 3 5 7 9 11 13 15
lxm sen
mm -1
EIl2q = w(x) 5
1=m5
4 ππ
π
cos∑∞
Análisis de Estructuras 6
En el centro de la viga x = l/2 se tienen los siguientes valores de w y M para los distintos términos no nulos del desarrollo armónico usado: m w . ql4/EI M . ql2 1 0.02053196 0.2026434 3 0.00025348 0.0225158 5 0.00003285 0.0081057 7 0.00000855 0.0041356
Σ 0.020827 0.2374 Exacta 0.02083 0.25
2.2. Placas rectangulares simplemente apoyada en los 4 bordes. Solución de
Navier. En una placa rectangular simplemente apoyada en los 4 bordes de longitudes a y b respectivamente, la flecha w(x,y) se puede representar con la serie doble siguiente:
byn sen
axm senw =y)w(x, mn
1=n1=m
ππ∑∑∞∞
que satisface automáticamente las condiciones de los 4 bordes simplemente apoyados:
0 =M 0 =M 0 =)yw(x, ] b=y0,=y [y ] a=x0,=x [ x] b=y0,=ya,=x0,=x [
ya que son nulas tanto la función flecha w(x, y) como sus segundas derivadas en los bordes x=0 x=a, y=0 e y=b al estar afectadas por los desarrollos de senos correspondientes. La carga q(x ,y) se desarrolla en la misma forma que w(x, y):
byn sen
axm senq =y)q(x, mn
1=n1=m
ππ∑∑∞∞
17 con :
y)dxdyq(x, ab4 =q
b
0
a
0mn ∫∫
Placas Rectangulares 7
la condición de que la función w(x, y) satisfaga la ecuación diferencial de la placa para cada término del desarrollo armónico nos proporciona la siguiente relación:
b
yn
a
xmmnq
Db
yn
a
xm
b
n
ba
nm
a
mmnw
πππππππcossen
1cossen4
44
22
42224
44=++
de donde se obtiene: 2
2
2
2
24
+
=
bn
amD
qw mnmn
π
y por tanto la flecha w(x,y) puede escribirse:
bym
axm
bn
am
qD
yxw mn
nm
ππ
πsensen1),(
2
2
2
2
2114
+
= ∑∑∞
=
∞
=
Conocida la flecha es fácil determinar los esfuerzos que derivan de ella para cada término del desarrollo armónico en función de la amplitud de la carga qmn. MOMENTOS
byn
axm
bn
am
bn
am
qMn
mnm
xππ
ν
πsensen1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
112
+
+= ∑∑
∞
=
∞
=
byn
axm
bn
am
bn
am
qMn
mnm
yππ
ν
πsensen1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
112
+
+= ∑∑
∞
=
∞
=
byn
axm
bn
am
bn
am
qMn
mnm
xyππ
π
ν coscos12
2
2
2
2112
+
−= ∑∑
∞
=
∞
=
Análisis de Estructuras 8
CORTANTES
byn sen
axm
bn+
am
m q a
=Q
2
2
2
2mn1=n1=m
xππ
πcos1 ∑∑
∞∞
byn
axm sen
bn+
am
n q b
=Q
2
2
2
2mn1=n1=m
yππ
πcos1 ∑∑
∞∞
CORTANTES EQUIVALENTES
( )b
ynsena
xm
bn
am
bn
am
qa
Vn
mnm
xππν
πcos
212
2
2
2
2
2
2
2
2
11
+
−+= ∑∑
∞
=
∞
=
( )b
yna
xmsen
bn
am
bn
am
qb
Vn
mnm
yππν
πcos
212
2
2
2
2
2
2
2
2
11
+
+−= ∑∑
∞
=
∞
=
Debe hacerse notar que en general mientras la flecha crece inversamente proporcional a potencias de m y n altas lo que provoca una convergencia rápida de la serie usada para su representación, los esfuerzos lo hacen más lentamente. Esta velocidad de convergencia depende del tipo de carga q(x, y) y para cada una de ellas se deben determinar los coeficientes qmn del desarrollo de Fourier correspondiente. 2.2.1. Amplitudes de una Carga Uniforme. Si sobre la placa actúa una carga uniforme de valor qo se obtienen las siguientes amplitudes para su desarrollo armónico:
)n-(1)m-(1mn
q4=dxdy
byn sen
axm senq
ab4 =q 2
00
ba
mn πππ
ππ coscos00∫∫
Placas Rectangulares 9
mnq16
=q
0 =q
20
mn
mn
π:impares enteros númerosson n y m sí
:pares enteros númerosson n y m sí
2.2.2. Amplitudes de una Carga Uniforme Parcial y Puntual. La amplitud del desarrollo armónico asociado a una carga puntual se determina como limite de la de una carga uniforme parcial que actua sobre un elemento superficial (u,v) cuando u y v tienden a cero.
uvP = q
La amplitud para una carga uniforme q0 parcial en (u,v) viene dada por:
ydxd b
ynsen a
xmsen q ba
4 =q 0
vpb
vpb
upa
upa
mnππ
∫∫+
−
+
−
2
2
2
2
que trás realizar la integración correspondiente nos proporciona:
2bvn sen
2aum sen
bbn
senaam
senmnuv
16P =q pp2mn
ππππ
π
La amplitud asociada a una carga puntual se obtiene en el límite cuando u y v tienden a 0. En este caso el seno coincide con el ángulo y se obtiene:
Análisis de Estructuras 10
bbn
senaam
senab
4P =q pp4mn
ππ
π
2.3. Placas rectangulares simplemente apoyadas en los 4 bordes. Solución de Levy. Para Placas rectangulares con dos bordes opuestos simplemente apoyados Levy propuso tomar como solución para la ecuación homogenea la serie simple:
axm sen(y)Y = )yw(x, m
1=mH
π∑∞
dónde se supone que los bordes x=0 y x=a están de forma forzada simplemente apoyados ya que cada término de la serie adoptada satisface automáticamente dichas condiciones de borde.
( )[ ] ( )[ ] 0),(),(0,,2
2
02
2
0 =
∂
∂=
∂
∂==
====
axxaxx x
yxwx
yxwyxwyxw
En este caso la amplitud del desarrollo depende de y y se determina de modo que satisfaga las condiciones de borde en y=± b/2 y la ecuación diferencial de la placa. La solución w(x, y) se puede obtener ahora como suma de la correspondiente de la ecuación diferencial homogénea wH más una solución particular wP:
)y w(x,+ )y w(x,= y)w(x, PH
Placas Rectangulares 11
Como solución particular se elige la flecha de una franja (viga con rigidez EI= D) paralela al eje x de longitud a con la carga que actúa sobre la placa. Si la carga es uniforme q(x, y)=qo
x)a+ax2-x( 24Dq
=)yw(x, 3340P
sólo función de x que satisface la ecuación diferencial de la placa y las condiciones de borde en x=0 y x=a. Esta solución particular puede desarrollarse en serie de senos para uniformizarla con la solución homogénea elegida.
axmsen
m1
Daq4
=x)a+ax2-x( 24Dq
=)yw(x, 51=m
5
403340
Pπ
π∑∞
La solución w(x, y)H debe satisfacer la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, y para ello las amplitudes Ym(y) deben cumplir:
01
=
′′∑
∞
axmsenY
am + Y
am2 -Y m4
44
m2
22IVm
πππ
Para que se cumpla para todos los valores de x:
0 = Ya
m + Y a
m2 -Y m4
44
m2
22IVm
ππ ′′
La solución general de esta ecuación diferencial para una carga uniforme q0 es de la forma:
+
+
+
=
aymCh
aymD
aymShC
aymSh
aymB
aymChA
DaqyY mmmmm
ππππππ40)(
Si se considera la simetría de la solución respecto al eje X no quedan más que los términos impares del desarrollo de w(x,y)P y los términos Cm y Dm de w(x,y)H deben ser nulos. En este caso la flecha total w(x,y) viene dada por:
+
+= ∑
∞
=a
xma
ymSha
ymBa
ymChAmD
aqyxw mmm
ππππ
πsen4),( 55
1
40
que satisface la ecuación diferencial completa ∆∆w(x,y)=q/D y las condiciones de contorno en los bordes x=0 y x=a. Las condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x nos permiten determinar las constantes de integración Am y Bm.
Análisis de Estructuras 12
Si dichos bordes también están simplemente apoyados deben satisfacerse las dos condiciones siguientes:
( )[ ] 0),(0,
2
2
2
2=
∂
∂=
±=±= by
by yyxwyxw
De estas dos condiciones se obtienen las dos ecuaciones siguientes en Am y Bm:
0222
455 =
+
+
abmSh
abmB
abmChA
mmm
πππ
π
( ) 0222
2 =
+
+
abmSh
abmB
abmChBA mmm
πππ 31
de donde:
=
+
−=
abmChm
B
abmChm
abmTh
abm
A mm
2
2
2
222
2
5555 ππ
ππ
ππ
Obtenidas estas expresiones la flecha de la placa queda ahora representada por una serie de Fourier simple en la dirección x y por unas funciones hiperbólicas en la dirección y en la forma:
( )
+
+
−= ∑∞
=a
xma
ymSh
abmCha
yma
ymCh
abmCh
abmTh
abm
mDaqyxw
m
πππ
πππ
ππ
πsen
22
22
222
114, 51
5
40
Una vez determinada la flecha de la placa w(x,y) es fácil obtener las expresiones para los esfuerzos, momentos y cortantes, que actúan sobre el plano medio de la misma. En los apartados anteriores se presenta la solución de la misma placa, rectangular simplemente apoyada en sus cuatro bordes, usando dos técnicas similares pero diferentes en cuanto a su desarrollo. La solución de Levy abre más expectativas pues permite representar otras condiciones de contorno en los bordes paralelos al eje x. Así por ejemplo sí particularizamos la solución en algún punto típico de una placa cuadrada de lado a y coeficiente de Poisson ν=0.3 , es fácil comprobar que ambas soluciones coinciden. FLECHA EN EL PUNTO MEDIO.
Placas Rectangulares 13
Daq 0.00406 =,0)
2aw( =)
2b,
2aw(
4
LevyNavier
MOMENTOS EN EL PUNTO MEDIO
aq 0.0479 =,0)2a(M =)
2b,
2a(M
aq 0.0479 =,0)2a(M =)
2b,
2a(M
2y
Levyy
Navier
2x
Levyx
Navier
33 CORTANTES MAXIMOS EN EL CENTRO DE LOS BORDES
qa 0.338 =(0,0)Q =)2b(0,Q
qa 0.338 =)2b,
2a(Q =,0)
2a(Q
y Levyy Navier
x Levyx Navier±±
3. Placas rectangulares con bordes empotrados. La respuesta tenso deformacional de una placa rectangular con los 4 bordes simplemente apoyados para cualquier tipo de carga puede obtenerse como se ha visto en apartados anteriores, con facilidad usando desarrollos en serie de senos que satisfacen automáticamente dichas condiciones de borde.
5
Si alguno de los bordes está empotrado se debe proceder siguiendo un esquema de compatibilidad similar al utilizado en vigas. Es decir se considera la placa apoyada en sus cuatro bordes y se supone que sobre el borde que está empotrado actúa un momento de empotramiento que da lugar a un giro nulo a lo largo del borde.
Análisis de Estructuras 14
( ) ( ) 0,,
=
+
ntoempotramieMApoyadaeSimplement ydyxwd
ydyxwd
Para poder superponer soluciones sería necesario conocer la flecha w(x,y) de una placa rectangular cuando sobre un borde actúa un momento variable con la coordenada que describe el mismo. 3.1. Placa rectangular con un momento distribuido en dos bordes. Sea la placa rectangular, de dimensiones a y b, de la figura de la página anterior, simplemente apoyada en sus cuatro bordes sometida a dos momentos f1 (x) y f2 (x) variables con x actuando a lo largo de los bordes y=0 e y=b (o y=± b/2 si consideramos que el eje x está situado en el centro de la placa). Con q(x,y)=0 la flecha w(x,y) debe satisfacer la ecuación diferencial homogé nea:
0 = yw+
y x
w 2 + xw
4
4
22
4
4
4
∂∂
∂∂∂
∂∂
y las condiciones de borde siguientes:
(x)f =yw D- 0=w
2b-=y (x)f =
yw D- 0=w
2b=y
0 = xw 0=w a=x 0 =
xw 0=w 0=x
22
212
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
__
__
Las condiciones en X se satisfacen automáticamente considerando desarrollos en seno. Las condiciones respecto a Y deben estudiarse más específicamente.Se supone que la solución viene representada por la serie simple:
Placas Rectangulares 15
axm sen(y)Y = y)w(x, m
=1m
π∑∞
Para que la flecha w(x,y) satisfaga la ecuación diferencial, la función amplitud Ym(y) debe satisfacer la ecuación diferencial ordinaria:
0 = Ya
m + Y a
m2 -Y m4
44m2
22IVm
ππ ′′
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma:
aymCh
aym
D+a
ym Sha
ymC+
aymCh B+
aym ShA=(y)Y mmmmm
ππππππ
Si los momentos, f1 (x) = - f2 (x) , son simétricos respecto al eje X:
Am = Dm = 0 Si los momentos, f1 (x) = f2 (x), son antimétricos respecto al eje X:
Bm = Cm = 0 En el primer caso la condición de flecha nula en el borde y=b/2 nos proporciona:
2abmTh
2abm C- = B 0 =
2abm Sh
2abm C +
2abmCh B mmmm
πππππ
En el segundo:
2abmTh
2abm
1 A- = D 0 = 2a
bmCh 2a
bm D + 2a
bm ShA mmmmπ
ππππ
Si desarrollamos las funciones f1(x) y f2(x) en serie de senos se tiene:
axmsen E = (x)f = (x)f m
1=m21
π∑∞
±
La condición de contorno en el caso simétrico viene dada por:
axm senE =
axm sen
2abmCh C
am D 2- m
1=mm2
22
1=m
ππππ ∑∑∞∞
de donde se obtiene:
2abmChm D 2
Ea - = C22
m2
m ππ
Análisis de Estructuras 16
( )
−
= ∑
∞
=a
xma
ymCha
yma
ymShabmCth
abm
abmShm
E
Dayxw m
m
ππππππππ
sen22
22
,21
2
2
( )
−
= ∑
∞
=a
xma
ymSha
yma
ymChabmTh
abm
abmChm
E
Dayxw m
m
ππππππππ
sen22
22
,21
2
2
y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como: en función de Em amplitud del momento f1 (x). La condición de contorno en el caso antimétrico viene dada por:
axm senE =
axm sen
2abmTh
2abm ShA
2abm
m a
D 2m
1=mm
2
1=m2
2 πππππ
π ∑∑∞∞
de donde se obtiene:
2abmTh
2abmSh
2abm
. D m 2
Ea = A 22m
2m ππ
π
π
y por tanto la flecha w(x,y) se puede expresar como:
La superposición del caso simétrico y antimétrico permite obtener la solución cuando actua un momento 2 f (x), con amplitud de desarrollo en serie Em, sobre un borde. Conocida la función f1 (x) está perfectamente determinado Em y por tanto la flecha w(x, y). Si por el contrario f1 (x) fuese un momento hiperestático, su amplitud Em se determina igualando los giros en el borde considerado. Ecuación que permite determinar Em y por lo tanto el desarrollo armónico del momento reacción. Conocido este momento queda perfectamente definida la flecha w(x, y) de una placa rectangular con un borde empotrado bajo una carga q(x, y). 4. Placa Rectangular empotrada en 3 bordes y con un borde libre. Las placas rectangulares con este tipo de condiciones de borde presentan un interés especial en ingeniería ya que permiten simular el comportamiento de las paredes de depósitos rectangulares o los muros de contención. Por ello se presentan a continuación las bases necesarias para encontrar la solución a este tipo de placa cuando actua una carga exterior uniforme o hidrostática.
Placas Rectangulares 17
En ambos casos de carga la solución para la flecha w(x,y) puede expresarse de la forma siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] HP yxwyxwyxwyxw ,,,, 21 ++= Las funciones w(x,y)P y (w(x,y)1 )H tratan con condiciones de bordes simplemente apoyados en x=± a/2 y la función (w(x,y)2 )H con las coacciones adicionales que el empotramiento introduce en los mismos.
4.1. Carga Uniforme. Para una carga q(x,y)=q0 uniforme, la solución particular:
( ) ( )
( )
−
=
=
=+−=
−∞
=
∞
=
∑
∑
axm
mD
q
axm
mD
qxaxax
Dqyxw
m
m
a
m
aP
π
π
π
π
cos14
sen142
24,
52
1
15
40
51
5
403340
correspondiente al desarrollo de la flecha en una franja de ancho unidad (viga de rigidez D) de longitud a simplemente apoyada en sus extremos.
( )[ ] ( ) ( )
−=
−∞
=∑ a
xmyYyxwm
mm
Hπcos1, 2
1
,..5,3,11
donde:
Análisis de Estructuras 18
( )
+
+
+
=
aymSh
aymD
aymShC
aymSh
aymB
aymChA
DaqyY mmmmm
ππππππ40
En ambos casos, wP y w1H , cuando x=± a/2 , el coseno de un múltiplo de /2 es cero y por lo tanto se anulan automáticamente la flecha y el momento de ella derivado ya que el coseno permanece en una segunda derivación, en estos bordes.
( )[ ]
+
+
+
+
−
=
∑
∑∞
=
∞
=
axm
aymSh
aymI
aymCh
aymH
aymShG
Daq
byn
bxnSh
bxnF
bxnCh
banTh
banF
Daqyxw
mmmm
nnn
H
ππππππ
ππππππ
cos
2sen
22244,
,..5,3,1
40
,..5,3,1
40
2
desarrollo que satisface automáticamente la condición de borde:
(w(x y)2 )H=0 en y=0 y x= ± a/2 Esta función debe también satisfacer: BORDE LIBRE y=b. GIROS NULOS EN x=± a/2.
( ) ( ) ( ) 0,,0 2
2
2
2=
∂
∂+
∂
∂⇒=
==
bybyx
yyxw
xyxwM ν
( ) ( ) ( ) ( ) 0,2,0 2
3
3
3=
∂∂
∂−+
∂
∂⇒=
==
bybyy
yxyxw
yyxwV ν
( ) 00
2
21
0
2 =
∂
++∂=
∂
∂
±==ax
HHP
y
Hx
wwwy
w
con estas condiciones de borde se pueden determinar las constantes de integración Fn , Gm , Hm e Im. 4.2. Carga hidróstatica. Se trata de la misma forma que una carga uniforme pero considerando que la carga es ahora función de la coordenada y.
Placas Rectangulares 19
bym sen
m1
q2 = q(y)
1=m
0 ππ ∑
∞
Desarrollando en serie de senos la función carga hidrostática q(y) se obtiene:
Sustituyendo q en las expresiones de wP , w1H y w2H del apartado anterior por la expresión algebraica q(y) o por su desarrollo armónico, se puede obtener siguiendo los pasos allí descritos la solución w(x, y) usando las mismas condiciones de borde. Estas aplicaciones ponen de manifiesto las dificultades que aparecen al resolver la ecuación diferencial de incluso placas de geometría y condiciones de carga senci-llas. De ahí que los métodos numéricos, diferencias y elementos finitos hallan alcanzado un desarrollo importante y constituyan en la actualidad la herramienta más adecuada para el análisis de Placas.
Análisis de Estructuras 20
EJEMPLO Nº 1
Obtener la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en los cuatro lados sometida a una carga uniforme q0
SOLUCION
Si la flecha w(x, y) se desarrolla en serie doble de senos:
= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xmnmwyxw
n
n
m
m
ππ sensen),(11
los desarrollos satisfacen de forma automática unas condiciones de contorno:
( ) 0sen0sen),(11
0 =
= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynwyxw nm
n
n
m
mx
π
( ) 0sensen),(11
=
= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynmwyxw nm
n
n
m
max
ππ
( ) 00sensen),(11
0 =
= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
xmwyxw nm
n
n
m
my
π
( ) 0sensen),(11
=
= ∑∑
∞=
=
∞=
== π
π na
xmwyxw nm
n
n
m
may
x
q0
a
a q0
y
Placas Rectangulares 21
( ) ( ) 0sen0sen22
112
2
0 =
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynnmwa
DM nm
n
n
m
mxx
πν
π
( ) ( ) 0sensen22
112
2=
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
ynmnmwa
DM nm
n
n
m
maxx
ππν
π
( ) ( ) 00sensen22
112
2
0 =
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== a
xmnmwa
DM nm
n
n
m
myy
πν
π
( ) ( ) 0sensen22
112
2=
+−= ∑∑
∞=
=
∞=
== π
πν
π na
xmnmwa
DM nm
n
n
m
mayy
La selección de un determinado desarrollo armónico para representar la flecha w(x, y) implica que se satisfacen automáticamente unas condiciones de contorno específicas. Por ello en esta situación las condiciones se denominan forzadas ya que vienen incluidas en la solución y por tanto no se pueden alterar. En este caso las condiciones de flecha y momentos nulos en los cuatro bordes corresponden a la situación de lados simplemente apoyados. En la técnica de desarrollos en serie la carga exterior se desarrolla en la misma forma que la flecha:
= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xmnmqyxq
n
n
m
m
ππ sensen),(11
pero ahora como la función q(x, y)=q0 es conocida las amplitudes del desarrollo se pueden determinar sin más que:
dxa
yna
xmqaa
qay
y
ax
xnm
= ∫∫
=
=
=
=
ππ sensen220
00
( )[ ] ( )[ ]πππ
ππ
ππnm
nm
qa
a
yna
a
xm
n
a
m
a
a
qnmq cos1cos1
1204
0cos
0cos2
04−−=−−=
cuando m y/o n sean pares el cos (par x π)=1 de forma que:
( )[ ] ( )[ ] 0cos1/0cos1 =−=− ππ noym
sin embargo cuando m y n sean impares el cos (impar x π)=-1 de forma que:
( )[ ] ( )[ ] 2cos1/2cos1 =−=− ππ noym
por lo tanto:
=
=
L
L
,7,5,3,1116,8,6,4,20
20 nympara
nmq
nomparaq nm
π
Análisis de Estructuras 22
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
La variación de la carga a lo largo del eje x con y=0,5 a viene dada en las siguientes figuras.
Fig 1. q(x,y) considerando 1 término del desarrollo Fig 2. q(x,y) considerando 3 términos
Fig 3 q(x,y) considerando 5 términos Fig. 4 q(x,y) considerando 7 términos
Fig. 5 q(x,y) considerando 9 términos La flecha w(x, y) tiene que satisfacer la ecuación diferencial de equilibrio de la placa:
ayn
axmq
D
ayn
axm
an
an
am
amw
nm
n
n
m
m
nm
n
n
m
m
ππ
ππππππ
sensen1
sensen2
11
4
44
2
22
2
22
4
44
11
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
=
=
++
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Placas Rectangulares 23
que proporciona para cada término del desarrollo:
Dq
an
an
am
amw nm
nm ==
++ 4
44
2
22
2
22
4
442 ππππ
( )2224
4
2
2
2
2
2 nmD
aq
a
n
a
mD
qw nmnm
nm+
=
+
=π
La flecha viene dada por tanto por:
( )
+= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xm
nm
q
D
ayxw nmn
n
m
m
ππ
πsensen),( 222
114
4
y para la carga uniforme:
( )
+= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xm
nmnmD
aqyxwn
n
m
m
ππ
πsensen116),( 222
116
40
w(0,5 a, 0,5 a) x (q0 a4 / D)
n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,0041606 -5,548 10-5 4,92 10-6
0,0041606 m=3 -5,548 10-5 5,707 10-6 -9,598 10-7
0,0040554
m=5 4,92 10-6 -9,598 10-7 2,66 10-7
SUMA 0,0040636
Tabla 1. Flecha en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
La solución converge rápidamente ya que en el denominador de la flecha aparecen las quintas potencias de m y n.(Fig 6)
La solución exacta vale w(0,5 a, 0,5 a)= 0,0040624 q0 a4 /D
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 y con un D= 1.500 T m la flecha máxima vale 3,4 mm.
Análisis de Estructuras 24
0,004042
0,004062
0,004082
0,004102
0,004122
0,004142
0,004162
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Fig. 6. Convergencia de la flecha en el centro de la placa con el número de armónicos Conocida la flecha, se pueden calcular los esfuerzos que dependen de ella:
+
+∞=
=
∞=
=
=
∂
∂+
∂
∂= ∑∑ a
yna
xm
nmnm
nmn
n
m
m
aq
y
yxw
x
yxwDxM ππν
πν sensen222
22
114
2016
2),(2
2),(2
( )
+
+=
∂
∂+
∂
∂= ∑∑
∞=
=
∞=
=a
yna
xm
nmnm
nmaq
y
yxw
x
yxwDMn
n
m
my
ππν
πν sensen16),(),(
222
22
114
20
2
2
2
2
Los momentos Mx y My son nulos en los bordes y toman su valor máximo en el centro, senos máximos, de la placa y son por simetría iguales.
Mx(0,5 a, 0,5 a)
x (q0 a2) n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,0533831 -0,0020258 0,0004131
0,053383 m=3 -0,0050919 0,0006591 -0,0001563
0,0469244
m=5 0,0012295 -0,0002624 8,541 10-5
SUMA 0,0482337
Tabla 2. Mx en el centro de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4 (Fig 7).
La solución exacta vale Mx=0,0479 q0 a2
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 2,4 m T/ m.
A las mismas conclusiones se llega para My que es simétrico con Mx.
Placas Rectangulares 25
0,0285
0,0295
0,0305
0,0315
0,0325
0,0335
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
0,0469
0,0479
0,0489
0,0499
0,0509
0,0519
0,0529
0,0539
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Fig. 7 Convergencia del Mx en el centro de la placa con el número de armónicos El momento torsor MXy viene dado por:
( ) ( ) ( )( )
( )( ) a
yna
xm
nm
aq
ayn
axm
nmnm
an
am
aqyxyxwDM
m
m
m
m
m
m
m
mxy
ππ
π
ν
ππππ
π
νν
coscos1116
coscos116,1
222114
20
222116
40
2
+
−=
=+
−=
∂∂∂
−=
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
Mxy(0, 0) x (q0 a2)
n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,0287448 0,0011498 0,0001701
0,0287448
m=3 0,0011498 0,0003549 9,946 10-5
0,0313992
m=5 0,0001701 9,946 10-5 4,599 10-5
SUMA 0,0319843
Tabla 3. Mxy en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
El momento torsor es nulo en el centro de la placa y máximo en las esquinas, cosenos máximos. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha ya que las potencias de m y n son ahora de orden 4.
Fig. 8 Convergencia del Mxy en las esquinas de la placa con el número de armónicos
Análisis de Estructuras 26
La solución exacta vale Mxy=0,0325 q0 a2 Este momento torsor activa una reacción vertical puntual en cada esquina
R= 2 Mxy=0,065 q0 a2
Para tener un orden de magnitud del momento y de la reacción, en una placa cuadrada de 5 m de lado sometida a una carga uniforme de 2 T/m2 Mxy= 1,625 m T/ m y R= 3,25 T. Si no se toman precauciones pueden aparecer problemas de anclaje de la placa al apoyo.
Los cortantes Qx y Qy vienen dados por
( ) ( )
( )
( )
+=
=
+
+=
∂∂
∂+
∂
∂=
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
aym
axm
nmn
aq
aym
axm
nmnm
a
na
m
a
maq
yx
yxw
x
yxwDQ
n
n
m
m
n
n
m
mx
ππ
π
πππππ
π
sencos116
sencos16,,
2211
30
222
2
22
3
33
116
40
2
3
3
3
( ) ( )( )
( )
+=
=
+
+=
∂
∂+
∂∂
∂=
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
aym
axm
nmm
aq
aym
axm
nmnm
a
n
a
ma
naq
y
yxw
xy
yxwDQ
n
n
m
m
n
n
m
my
ππ
π
πππππ
π
cossen116
cossen16,,
2211
30
222
3
33
2
22
116
40
3
3
2
3
El cortante Qx es nulo cuando x = 0,5 a e y=0 o y=a. El cortante Qy es nulo cuando x = 0 y x= a e y=0,5 a. El cortante Qx es máximo cuando x=0 o x=a e y=0,5 a. El cortante Qy es máximo cuando x=0,5 a e y=0 o y=a. Por simetría los cortantes máximos son iguales.
La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.
La solución exacta vale Qx=0,338 q0 a
3,25 T
Placas Rectangulares 27
Qx(0, 0,5 a) x (q0 a)
n=1 SUMA n=3 SUMA n=5
m=1 0,2580123 -0,0172008 0,0039694
0,258012 m=3 0,0516025 -0,009556 0,0030354
0,2828579
m=5 0,0198471 -0,0050591 0,0020641
SUMA 0,3067149
Tabla 4. Qx en las esquinas de la placa para 1 3 y 5 términos del desarrollo
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 3,38 T/ m.
Fig. 9 Convergencia del Qx en centro de lado de la placa con el número de armónicos Debe hacerse notar que con 31 términos del desarrollo todavía no ha convergido el Qx.
El cortante equivalente viene dado por:
xM
QVy
MQV xy
yyxy
xx ∂
∂+±=
∂
∂+±=
Como de las expresiones anteriores se conoce el cortante, sólo es necesario calcular las derivadas del momento torsor respecto a x e y.
( )( )
( )( ) a
yna
xm
nm
maq
ayn
axm
nm
am
aqx
M
m
m
m
m
m
m
m
m
xy
ππ
π
ν
πππ
π
ν
cossen116
cossen116
222113
0
222114
20
+
−−=
=+
−−=
∂
∂
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
0,238
0,263
0,288
0,313
0,338
0,363
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
Análisis de Estructuras 28
yM xy∂
∂
Qx
0,5 a, 0 o a
0,078
0,08
0,082
0,084
0,086
0,088
0,09
0,092
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
( )( )
( )( ) a
yna
xm
nm
naq
ayn
axm
nm
an
aqy
M
m
m
m
m
m
m
m
m
xy
ππ
π
ν
πππ
π
ν
sencos116
sencos116
222113
0
222114
20
+
−−=
=+
−−=
∂
∂
∑∑
∑∑∞=
=
∞=
=
∞=
=
∞=
=
Estas derivadas se anulan para y=0,5 a y x=0,5 a respectivamente y son máximas en los puntos medios de los lados x=0,5 a y=0 e y=a y y=0,5 a, x=0 y x=a respectivamente. Por la simetría los valores máximos son los mismos para las dos derivadas. La solución ya no converge tan rápidamente como la flecha y los momentos ya que las potencias de m y n son ahora de orden 3.
δMxy/δy
(0, 0,5 a)x (q0 a)
n=1
SUMA
n=3
SUMA
n=5 m=1 0,0903043 -0,0108365 0,0026717
0,0903043 m=3 0,0012041 -0,0011149 0,0005208
0,079557
m=5 0,0001069 -0,0001875 0,0001445
SUMA 0,0828134
Tabla 5. δMxy/δy en los puntos medios de los lados para 1 3 y 5 términos del desarrollo
La solución exacta vale dMxy/dy=0,082 q0 a
Fig. 9 Convergencia del dMxy/dy en centro de lado de la placa con el número de armónicos
Para tener un orden de magnitud si se considera una placa de 5 m. sometida a 2 T/m2 el momento máximo vale 0,82 T/ m.
El cortante equivalente en el centro de lado vale: Vxmáxima=(0,338 + 0,082) q0 a = 0,42 q0 a
Placas Rectangulares 29
EJEMPLO Nº 2
Calcular la flecha, los esfuerzos y reacciones en un placa rectangular de lados a y 2a simplemente apoyada en sus bordes sometida a una carga uniforme q0 usando la solución de Levy
SOLUCION
La solución de Levy usa, cuando los bordes x=0 e x=a están simplemente apoyados, los desarrollos:
( )a
xmyYyxw mm
πsen),(1
∑∞
=
=
que satisface de forma forzada las condiciones de borde en x=0 y x=a.
La solución de la ecuación diferencial homogénea, q(x,y)=0, implica que Ym(y) debe satisfacer
( ) ( ) ( )02 4
4
2
2
2
22
4
44=
+−
yd
yYd
yd
yYd
a
myYa
m mmm
ππ
cuya solución general, teniendo en cuenta la simetría, es de la forma:
( )
+=
aymSh
aymB
aymChA
DaqyY mmm
πππ40
Como solución particular se toma la flecha de una franja de placa en la dirección x de forma que para una carga uniforme q0:
( ) ( ) 51
5
403340
sen42
24),
ma
xm
D
aqxaxaxD
qyxwm
P
π
π∑∞
=
=+−=
2a
a
x
y
Análisis de Estructuras 30
( )a
xma
ymSha
ymBa
ymChAmD
aqyxw mmm
ππππ
πsen4, 55
1
40
++= ∑
∞
=
Am y Bm se determinan en base a las condiciones de contorno en y. Como los bordes y = ± a están también simplemente apoyados:
( ) 0),(0),(),(0, 2
2
2
2
2
2=
∂
∂→=
∂
∂+
∂
∂==
===
axaxyay
y
yxw
y
yxw
y
yxwMyxw ν
Como w(x,y) debe satisfacer estas dos condiciones:
( ) 020455 =++=++ ππππππ
πmShmBmChBAmShmmChA
mmmmm
dos ecuaciones que determinan:
( ))(
2
)(
2)(25555 ππππ
ππ
mChmB
mChm
mThmA mm =+
−=
( )a
xma
ymSha
ymmCha
ymChmCh
mThm
mD
aqyxwm
ππππ
ππ
ππ
πsen
)(21
)(22)(114, 5
15
40
+
+−= ∑
∞
=
La flecha máxima se produce en el centro de la placa y=0, x=a/2
( )2
sen)(2
2)(114, 51
5
40 π
πππ
π
mmCh
mThm
mD
aqyxwm
+−= ∑
∞
=
w(0,5 a, 0) x
4q0/D
m=1
0,0101788
0,0101788
m=3
-5,3741 10-5
0,0101251
m=5
4,1827 10-6
0,0101293
m=7
-7,7771 10-7
0,0101285
Tabla 1. Evolución de la flecha en el centro con el número de armónicos
La flecha converge rápidamente a la solución exacta wexacta=0,0101286 q0 a4/D
Placas Rectangulares 31
Figura 1. Convergencia de la flecha en el centro
Figura 2. Flecha en la sección (y=0, x=0, y=0 x=a/2)
Figura 3. Flecha en sección x=a/2 y=0 x=a/2 y=a
Los momentos Mx y My vienen dados por:
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂= 2
2
2
2
2
2
2
2 ),(),(),(),(
y
yxw
x
yxwDMy
yxw
x
yxwDM yx νν
Si la flecha se representa como:
0,0101086
0,0101286
0,0101486
0,0101686
0,0101886
1 3 5 7 9 11 13 15
- 0 ,0 1 0 1 3
- 0 ,0 0 8 1 0 4
- 0 ,0 0 6 0 7 8
- 0 ,0 0 4 0 5 2
- 0 ,0 0 2 0 2 6
00 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1
-0,01013
-0,0075975
-0,005065
-0,0025325
00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Análisis de Estructuras 32
( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD
aqyxw mmmmmmm
ααααπ
sen114),( 51
5
40 +−= ∑
∞
=
con ( )( ) ( ) a
mmCh
BmCh
mThmA mmmπ
αππ
ππ==
+=
21
22
( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAmD
aq
x
yxwmmmmmm
m
mαααα
α
πsen14),(
5
2
15
40
2
2+−−=
∂
∂ ∑∞
=
( ) ( )[ ] ( )xyShyByChBAmD
aq
y
yxwmmmmmmm
m
mαααα
α
πsen)2(4),(
5
2
15
40
2
2++−=
∂
∂ ∑∞
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm
aqM mmmmmmmmm
x ααανανανπ
sen1211143
13
20 −+−−−= ∑
∞
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChByChAm
aqM mmmmmmmmm
y ααανααννπ
sen121143
13
20 −−−−+= ∑
∞
=
Ahora el Mx y el My ya no son iguales en el centro:
ν=0,3
Mx(0,5 a, 0) x q0a2
m=1
0,10568591
0,10568591
m=3
-0,00477469
0,10091122
m=5
0,001032047
0,10194327
m=7
-0,000376111
0,10156716
Tabla 2. Evolución del Mx en el centro con el número de armónicos
La solución converge al valor exacto Mx=0,1017 q0 a2
Placas Rectangulares 33
Figura 4. Convergencia de MX en el centro con el número de armónicos.
ν=0,3
Mx(0,5 a, 0) x q0a2
m=1
0,04755445
0,04755445
m=3
-0,001435714
0,04611873
m=5
0,000309616
0,04642835
m=7
-0,000112833
0,04631552
Tabla 3. Evolución del My en el centro con el número de armónicos
Figura 5. Convergencia de MY en el centro con el número de armónicos La solución converge al valor exacto My=0,04635 q0 a2 El momento torsor MXY viene dado por:
0,04535
0,04585
0,04635
0,04685
0,04735
0,04785
0,04835
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
0,0997
0,1007
0,1017
0,1027
0,1037
0,1047
0,1057
0,1067
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
Análisis de Estructuras 34
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChyByShBAaqyxyxwDM mmmmmmmxy αααα
π
νν cos)1(4),()1( 3
20
2++−
−=
∂∂∂
−=
ν=0,3
Mxy(0ª, a) x
q0a2
m=1
0,043928186
0,043928186
m=3
0,001672301
0,04560049
m=5
0,000361217
0,0459617
m=7
0,0000131639
0,04609334
Tabla 4. Evolución del Mxy en las esquinas con el número de armónicos
El valor máximo se alcanza en las esquinas de la placa y vale Mxy=0,04626 q0 a2
Figura 6. Convergencia de Mxy en las esquinas con el número de armónicos. La reacción en las esquinas vale R= 2 Mxy = 0,0925 q0 a2 Los cortantes vienen dados por:
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm
aq
yx
yxw
x
yxwDQ mmmm
x ααπ
cos2114,,2
120
2
3
3
3−=
∂∂
∂+
∂
∂= ∑
∞
=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyChBm
aq
y
yxw
xy
yxwDQ mmmm
y ααπ
sen2114,,2
120
3
3
2
3−=
∂
∂+
∂∂
∂= ∑
∞
=
0,043263
0,043763
0,044263
0,044763
0,045263
0,045763
0,046263
0,046763
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Placas Rectangulares 35
ν=0,3
Qx (0, 0) x q0a
m=1
0,37032214
0,37032214
m=3
0,045024369
0,41534651
m=5
0,016211384
0,4315579
m=7
0,008271117
0,43982901
Tabla 5. Evolución del Qx en centro de lado con el número de armónicos
Qx converge con mayor dificultad y su valor máximo vale: Qx=0,464 q0 a
Figura 7. Convergencia de Qy en centro de lado con el número de armónicos
ν=0,3
Qy (0,5a, a) x q0a
m=1
0,403773864
0,403773864
m=3
-0,045031637
0,35874223
m=5
0,016211389
0,37495362
m=7
-0,008271117
0,3666825
Tabla 6. Evolución del QY en centro de lado con el número de armónicos
QY converge con dificultad y su valor máximo vale: QY=0,3698 q0 a
0,3590,3740,3890,4040,4190,4340,4490,4640,479
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Análisis de Estructuras 36
Figura 8. Convergencia de QY en centro de lado con el número de armónicos Para determinar VX y VY calculamos las derivadas del momento torsor MXY
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyChyByShBAm
q
x
Mmmmmmmm
m
axyααααν
πsen
11
42
120
++−−=∂
∂∑∞
=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )yyShyByChBAm
q
yM
mmmmmmmm
axy αααανπ
cos2114
21
20
++−−=∂
∂∑∞
=
ν=0,3
dMxy /dx (0,5a, a) x
q0a
m=1
0,138004468
0,138004468
m=3
-0,015761069
0,1222434
m=5
0,005673986
0,12791738
m=7
-0,002894891
0,12502249
Tabla 7. Evolución de la variación de Mxy con x en centro de lado con el número de armónicos
El valor máximo de la derivada de Mxy respecto a x es: 0,126 q0 a Por tanto el valor máximo de VY= QY+ dMXY/dx (0,370 + 0,126) q0 a=0,496 q0 a
0,3498
0,3598
0,3698
0,3798
0,3898
0,3998
0,4098
0,4198
0,4298
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Placas Rectangulares 37
Figura 9. Convergencia de dMXY/dx con el número de armónicos.
ν=0,3
dMxy /dy (0, 0) x q0a
m=1
0,038300064
0,038300064
m=3
2,3975 10-5
0,03832404
m=5
2,68631 10-8
0,03832407
m=7
3,58324 10-11
0,03832407
Tabla 8. Evolución de variación de MXY respecto a y en centro de lado con número de armónicos
Figura 10. Convergencia de la dMXY/dy en centro de lado con el número de armónicos Por tanto el valor máximo de Vx= Qx+ dMXY/dy (0,465 + 0,038) q0 a= 0,503 q0 a
0,03829
0,0383
0,03831
0,03832
0,03833
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
0,116
0,121
0,126
0,131
0,136
0,141
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53
Análisis de Estructuras 38
EJEMPLO Nº 3
Determinar la flecha, esfuerzos y reacciones en una placa cuadrada de lado a simplemente apoyada en dos bordes y empotrada en los opuestos sometida a una presión hidrostática pmáxima = γa.
SOLUCION ESTADO 1. Placa simplemente apoyada en los cuatro lados con carga hidrostática ESTADO 2. Placa simplemente apoyada con un M(x) en los bordes y= ± 0,5 a SOLUCION ESTADO 1 SOLUCION ESTADO 2
LEVY ( ) ( )xyYyxw mmm
αsen)(,,..3,2,1
∑∞
=
=
x
γ a
y
a
γ x
x
y
+
x
M(x) M(x)
x
y
x
Placas Rectangulares 39
ESTADO 1 ( ) ( ) ( )xwyxwyxw PH += ,, wH (x,y)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24
1=+′′−∑
∞
=
xyYyYyY mIV
mmmmmm
ααα
( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα
( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm
H αααα sen,1
+= ∑∞
=
wP (x,y)
( )
( ) ( )xmD
a
xaxaax
Daxw
mm
m
P
απ
γ
γ
sen12
7103360
5
1
15
5
335
+∞
=
−=
=
+−=
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyShyByChAmD
ayxw mmmmmmm
mαααα
π
γ sen12, 55
1
1
5
++
−=
+∞
=∑
Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado en y= ± 0,5 a
( ) ( ) ( ) ( ) 05,05,05,0120, 55
1
5,0 =++−
=+
= aShaBaChAm
yxw mmmmmm
ay αααπ
( ) [ ] ( ) ( ) 05,05,05,020,
5,02
2=++=
=
aShaBaChBAyd
yxwdmmmmmm
ay
ααα
ahora mmma
ama δ
ππα ===
25,05,0
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:
x
y
xx
Análisis de Estructuras 40
( )[ ] ( )( )
( )( )m
mm
m
mmm
mChm
BChm
ThAδπδπ
δδ55
1
55
1 112 ++ −=
−+−=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyDyChCmD
ayxw mmmmmmm
mαααα
π
γ sen21, 55
1
1
5++
−=
+∞
=∑
( )
( ) ( )mm
m
mmm Ch
DCh
ThCδδ
δδ 12=
+−=
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThChmD
ay
yxwmmmmmm
m
m
may
αδδδδδπ
γ sen11,55
1
1
5
2
+∂+−−
=
∂
∂ +∞
==∑
ESTADO 2 ( ) ( )yxwyxw H ,, = wH (x,y)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0sen2 24
1=+′′−∑
∞
=
xyYyYyY mIV
mmmmmm
ααα
( ) ( ) ( ) 02 24 =+′′− yYyYyY IVmmmmm αα
( ) ( ) ( )yShyByChAyY mmmmmm ααα +=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm
H αααα sen,1
+= ∑∞
=
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyByChAyxw mmmmmmm
αααα sen,1
+= ∑∞
=
Esta flecha debe satisfacer las condiciones de contorno de simplemente apoyado con un momento M(x) en y= ± 0,5 a
( ) ( ) ( ) 00, 5,0 =+== mmmmmay ShBChAyxw δδδ
( ) ( ) [ ] ( ) ( ){ } mmmmmmmmmmma
y
MShBChBADxsenMxMyd
yxwdD =++→==
∑
∞
==
δδδαα 2)(, 2
12
2
2
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:
y
M(x) M(x) xx
Placas Rectangulares 41
( )
( ) ( )mm
mm
mm
mmmm
ChM
DB
ChThM
DA
δαδα
δδ22 2
121
=−=
( )( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )xyShyyChThChM
Dyxw mmmmmm
mm
m
mααααδδ
δαsen
21, 2
1+−= ∑
∞
=
( )( )
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )xChShThCh
MDy
yxwmmmmmm
mm
m
may
αδδδδδδα
sen121,
212
+−=
∂
∂ ∑∞
==
que igualado con el giro anterior permite obtener Mm
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] 011
121
33
13=++−
−+
++−
+
mmmmmm
mmmmmm
ChShThm
a
ChShThM
δδδδδπ
γ
δδδδδ
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )mmmmm
mmmmmm
m ChShThChShTh
maM
δδδδδδδδδδ
π
γ+−−+−
=+
1112
33
13
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) mmmm
mmmmm
m ThThThTh
maM
δδδδδδδδ
π
γ+−−+−
=+
1112
33
13
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
+−−+−
=+∞
=∑ a
xmThThThTh
maxM
mmmm
mmmmm
m
πδδδδδδδδ
π
γ sen1112)( 33
13
1
Figura 1. Convergencia del momento de empotramiento en el centro del lado con el número de
armónicos
0,0339
0,0344
0,0349
0,0354
0,0359
0,0364
0,0369
0,0374
0,0379
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Análisis de Estructuras 42
m MY (0,5 a, 0,5 a) Σ MY (0,5 a, 0,5 a) x γ a3
1 0,03691453 0,03691453 3 -0,002381746 0,03453279 5 0,00051602 0,03504881 7 -0,000188056 0,03486075 9 8,84816 10-5 0,03494923 11 -4,84621 10-5 0,03490077
Figura 2. Convergencia del momento con el número de armónicos
0
0,00818566
0,01612742
0,02352768
0,02998028
0,034914740,037543410,03681898
0,03141364
0,01973079
00
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
PLACAS CIRCULARES
1.- INTRODUCCION. Sí la Placa es circular es conveniente expresar las ecuaciones básicas deducidas anteriormente en un sistema coordenado polar. La ecuación de equilibrio de una Placa circular puede obtenerse bien realizando una transformación de coordenadas del sistema cartesiano al polar de la ecuación obtenida en el apartado correspon-diente del capítulo anterior o establecer el equilibrio directamente sobre un ele-mento diferencial referido al sistema polar.
El primer método precisa de un desarrollo matemático de transformación del sistema de referencia (X,Y,Z) a (r, ϕ, z) determinando las relaciones entre las derivadas de la función w(x,y) respecto a x e y con las de w(r, ϕ) respecto a r y ϕ . El segundo necesita de las expresiones de los esfuerzos, momentos y cortantes referidos al sistema polar (r, ϕ, z) y de las relaciones de equilibrio adecuadas de forma análoga al proceso realizado en el sistema cartesiano. De cualquier manera la obtención de una solución exacta para placas circulares bajo carga y condiciones de borde cualquiera, y por tanto no simétricas, es, igual que en las placas rectangulares, tedioso, complejo y muy a menudo imposible. 2.- ECUACION DIFERENCIAL DE PLACAS CIRCULARES. Puesto que x es función de r y ϕ, la derivada de w(r, ϕ) respecto a x se transforma en derivadas respecto a r y ϕ :
Análisis de Estructuras 2
x w +
xr
rw =
x)w(r,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ϕ
ϕϕ
y
w + yr
rw =
y)w(r,
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ senr1- =
x =
xr
∂∂
∂∂
cos
con lo que:
ϕϕϕ
ϕ∂∂
∂∂
∂∂ w sen
r1 -
rw =
x)w(r,
cos ϕ
ϕϕϕ
∂∂
∂∂
∂∂ w
r1 +
rw sen=
y)w(r, cos
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂
∂ϕ
ϕϕϕ
ϕϕw
rrw
rrxw
xxw sen1cossen1cos2
2
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂
∂ϕ
ϕϕϕ
ϕϕw
rrw
rryw
yyw cos1sencos1sen2
2
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
=
∂∂
∂∂
=∂∂
∂ϕ
ϕϕϕ
ϕϕw
rrw
rrxw
yyxw sen1coscos1sen
2
Por lo tanto se obtienen las siguientes expresiones:
w sen2r21 +
rw2
sen2r1 -
rw sen2
r1 + 2
w2 sen2
r21 +
r2w2
2 = x2w2
ϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ∂∂
∂∂∂
∂∂
∂
∂∂∂
∂∂ cos
Placas Circulares 3
w sen2r1 -
rw sen2
r1 +
rw
r1 + w
r1 +
rw sen =
yw
2
22
2
22
22
22
2
2
ϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
∂∂
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ coscos
r
w 2r1 +
rw sen2
2r1 - w 2
r1 - w sen2
r21 -
rw sen2
21 =
yxw 2
22
2
22
22
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕ
∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂ coscos
El operador de Laplace se transforma en términos de coordenadas polares en:
r
r1 +
r1 +
r = 2
2
22
2
∂∂
∂∂
∂∂∆
ϕ
y la ecuación diferencial de la placa queda:
( )Drqrw
rrrrrrrrrw ),(),(1111,
2
2
22
2
2
2
22
2 ϕϕ
ϕϕϕ =
∂∂
+∂
∂+
∂
∂
∂∂
+∂
∂+
∂
∂=∆∆
Los esfuerzos internos, momentos y cortantes, tienen en el sistema coordenado polar las siguientes expresiones:
∂∂
+∂
∂+
∂
∂−=
rw
rw
rrwDM r
112
2
22
2
ϕν
∂∂
+∂
∂+
∂
∂−=
rw
rw
rrwDM 11
2
2
22
2
ϕνϕ
( )
∂∂
−∂∂
∂−−=
ϕϕνϕ
wrr
wr
DM r 2
2 111
w D- = Q w r
D- = Qr ∆∂∂
∆∂∂
ϕϕ
∂∂
−∂∂
∂∂∂−
+∆∂∂
−=ϕϕϕ
ν wrr
wrr
wr
DVr 2
2 111
( )
∂∂
−∂∂
∂∂∂
−+∆∂∂
−=ϕϕ
νϕϕ
wrr
wrr
wr
DV2
2 1111
2.1. Equilibrio de un elemento diferencial. En la figura se muestran los esfuerzos que actúan sobre las caras de una rebanada diferencial de placa circular. El equilibrio de fuerzas y de momentos permite llegar
Análisis de Estructuras 4
a la ecuación diferencial de equilibrio de la placa que evidentemente coincide con la obtenida por la transformación del sistema coordenado de referencia.
3. PLACAS CIRCULARES CON CARGA DE REVOLUCION. Sí la placa circular considerada tiene carga y condiciones de borde con simetría de revolución, la flecha es sólo función de r. Todas las secciones rz son de simetría y por lo tanto la respuesta estructural es la misma para todas ellas. En estas situaciones las ecuaciones en derivadas parciales definidas en el apartado anterior se transforman en otras en derivadas totales y las derivadas respecto a ϕ se anulan. El operador Laplaciano toma ahora la forma:
drd
r1 +
rdd = 2
2∆
y la ecuación diferencial de la Placa queda en la forma:
D
q(r) = drdw
r1 +
rdwd
r1 -
rdwd
r2 +
rdwd = w(r) 32
2
23
3
4
4∆∆
Placas Circulares 5
Los esfuerzos que actúan en el plano medio vienen dados por:
012
2
2
2=
+−=
+−= ϕϕ ν
νrr M
rdwd
rrdwdDM
rdwd
rrdwdDM
01122
2
3
3==
−+−== ϕϕ VQ
rdwd
rrdwd
rrdwdDVQ rr
El esfuerzo cortante puede también expresarse en forma más compacta como:
rr Vrdwd
rrd
drrd
dDQ =
−=
1
4. PLACA CIRCULAR UNIFORMEMENTE CARGADA. Si una placa circular de radio a soporta una carga uniforme sobre toda sus superficie de intensidad q , el esfuerzo cortante Q a una distancia r genérica del centro de la placa viene dado por:
2 π r Q = π r2 q Q= q r / 2 y por tanto:
−=
rdwd
rrd
drrd
dDrq 1
2
Una primera integración de esta ecuación proporciona:
1
2
41 C
Drq
rdwd
rrd
dr
+=
Análisis de Estructuras 6
donde C1 es una constante de integración que se determina posteriormente en función de las condiciones de contorno de la placa. Multiplicando los dos miembros por r e integrando de nuevo se obtiene:
r
C + 2
rC + 16D
rq = drdw 21
3
una nueva integración conduce a:
C + ar C +
4rC +
D64rq = w(r) 32
14
Ln2
Las constantes de integración C1 , C2 y C3 se determinan para cada condición de borde. 4.1. Borde Empotrado. Si el borde está empotrado la flecha y el giro en el mismo, r=a, deben ser nulos. Por simetría también el giro en el centro de la placa, r=0 , debe ser nulo. Tres condiciones que debe satisfacer la función w(r) y sus derivadas que nos permiten determinar las tres constantes de integración.
GIRO en r=a ( ) ( )arar r
CrCD
rqrdwd
==
++==
22
13
2160
GIRO en r=0 ( ) ( )0
22
13
0 2160
==
++==
rr rCrC
Drq
rdwd
de estas dos ecuaciones se obtiene:
8Daq - = C 0 = C
2
12
Por tanto la flecha w(r) queda como:
C + 32D
raq - 64D
rq = w(r) 3
224
y como en r=a la flecha debe ser nula:
Placas Circulares 7
64Daq = C 0=a)=w(r
4
3
luego la flecha de la placa vale:
( ) 222 ra 64D
q = w(r) −
La flecha máxima se produce en el centro de la placa r=0 y vale
w max = q a4 / 64 D Los momentos flectores Mr y Mϕ vienen dados para cada posición r por:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]νννν ϕ 31116
3116
2222 +−+=+−+= raqMraqM r En el contorno r=a se tiene:
( )( ) ( )( ) 88
22 aqMaqMararr
νϕ −=−=
==
y en el centro r=0
( )( ) ( ) ( )( )0
2
0 116 == =+−=
rrr MaqM ϕν
4.2. Borde Simplemente Apoyado. Si el borde está simplemente apoyado la flecha y el momento en el mismo, r=a, deben ser nulos. Por simetría el giro en el centro de la placa, r=0 , debe ser nulo. Tres condiciones que debe satisfacer la función w(r) y sus derivadas que nos permiten determinar las tres constantes de integración.
GIRO en r=0 ( ) ( )0
22
13
0 2160
==
++==
rr rCrC
Drq
rdwd
MOMENTO en r=a ( )( )( )ar
arr rdwd
rrdwdDM
==
+−==
ν2
20
Análisis de Estructuras 8
Estas dos ecuaciones proporcionan los siguientes valores de las constantes de integración:
νν
+1+3
8Daq - = C 0 = C
2
12
Por tanto la flecha w(r) queda como:
C + r +1+3
32Daq -
64Drq = w(r) 3
224
νν
y como en r=a la flecha debe ser nula
νν
+1+5
64Daq = C
4
3
la flecha w(r) toma la forma:
( )
−
++−
= 2222
15
64)( ra
Draqrw
νν
La flecha máxima se produce en el centro de la placa y vale:
νν
+1+5
64Daq = w
4
max
Los momentos flectores Mr y Mϕ vienen ahora dados por:
( )( ) ( ) ( )[ ]ννν 31316
316
2222 +−+=−+= raqMraqM rr
El momento máximo se produce en el centro de la placa, r=0 y vale:
a q 16
)+(3 = M = M 2r
νϕ
Placas Circulares 9
5. PLACA CIRCULAR CON AGUJERO CIRCULAR EN EL CENTRO. 5.1. Momentos exteriores actuando sobre los bordes. Sea una placa circular de radio a con un agujero en el centro también circular de radio b sometida a dos momentos uniformemente repartidos M1 y M2 a lo largo de los contornos interior y exterior respectivamente.
El cortante en una sección a > r > b se anula al no existir fuerzas verticales actuando sobre la placa , Q (r) = 0 . Esta circunstancia nos proporciona la ecuación diferencial siguiente:
=
rdwd
rrd
drrd
d 10
Integrando dos veces esta ecuación se obtiene: r
C - 2
rC - = drdw 21
y una tercera integración da la flecha w(r):
C + ar C - 4
rC - = w(r) 32
21 Ln
en función de tres constantes de integración que hay que determinar considerando las condiciones de contorno.
Análisis de Estructuras 10
Sí la placa está simplemente apoyada en su borde exterior, se imponen las siguientes condiciones:
M = (r)M M = (r)M 0 = )w(r 1r b=r 2r a=r a=r
las condiciones de momento se traducen en:
( ) ( ) ( ) ( ) 2221
1221 11
211
2M
aCC
DMbCC
D =
−−+=
−−+ νννν
de donde: ( )
( ) ( )( )
( ) ( )2212
22
2221
22
2
111
2baD
MMbaC
baDMbMa
C−−
−=
−+
−=
νν
La condición de w(r) = 0 para r = a nos proporciona:
( )( ) ( )22
12
222
312 baD
MbMaaC
−+
−=
ν
Por tanto la flecha w(r) de la placa viene dada por:
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) a
rLnbaD
MMbabaD
MbMararw
2212
22
221
22
222
112)(
−−
−−
−+
−−=
νν
El giro en cualquier punto de la placa viene dado por:
( )( ) ( )
( )( ) ( )22
1222
221
22
2
11
1 baDMMba
rbaDMbMa
rrdwd
−−
−−
−+
−−=
νν
Sí el giro está impedido en r=a el momento M2 que se obtiene anulando la relación anterior, coincide con el de empotramiento cuando actua un momento M1 en el borde interior. Si el giro está impedido en r=b el momento M1 obtenido anulando la relación de giro coincide con el de empotramiento cuando el borde interior tiene unas condiciones de apoyo equivalentes a una deslizadera vertical estando el borde exterior, simplemente apoyado y bajo la acción de un momento M2. Si M2 es igual a cero las relaciones anteriores se simplifican obteniendo:
( )( ) ( ) ( ) ( ) a
rLnbaD
MbabaD
Mbrarw
221
22
221
222
112)(
−−+
−+−−=
νν
Placas Circulares 11
( ) ( ) ( ) ( )221
22
221
2
11
1 baDMba
rbaDMb
rrdwd
−−+
−+=
νν
5.2. Carga vertical uniforme sobre el borde interior. Sea la placa de la figura sometida a una fuerza vertical descendente uniformemente repartida a lo largo del contorno interior (equivalente a un esfuerzo cortante inducido)
El cortante en un circulo de radio r comprendido entre a y b viene dado por:
2 Q0 π b = 2 Q π r , Q = Q0 b / r
=
rdwdr
rdd
rrdd
rbQ 10
integrando:
rCrLnrD
bQrdwdr
rdd
10 +=
rC +
2rC + 1)-
ar (2
4DbrQ
= drdw 210 Ln
C +ar C +
4rC + 1)-
ar (
4DrbQ
= w 32
21
20 LnLn
Para calcular las constantes de integración Ci es necesario imponer a w(r) las condiciones de contorno. Sí la placa considerada esta simplemente apoyada en su contorno exterior r = a entonces:
Análisis de Estructuras 12
( ) 00)(2
2=
+−=
==
arar rd
wdrrd
wdDrw ν
y libre en su contorno interior r = b:
00
2
2=
+−
=rrdwd
rrdwdD ν
Tres condiciones que debe satisfacer w(r) y que permiten determinar las constantes de integración.
abLn
baba
D
bQC
abLn
bab
D
bQC 22
22
11
20
211
22
2220
1 −−+
=
+−
−−
=νν
νν
−−
+−
+=abLn
bab
D
baQC 22
2
11
211
4
20
3 νν
Sustituyendo estas constantes en la expresión anterior, se obtiene la función que representa la flecha w(r) de la placa.
−−
+−
+−−
++
+−
−−
abLn
bab
DbaQ
+ar
abLn
baba
DbQ
+abLn
bab
DrbQ
+ 1)- ar (
4DrbQ
= w2
0
22
220
22
220
22
220
11
211
4Ln
11
2
112
8Ln
νν
νν
νν
El giro en el borde r=b viene dado por:
−+
+−
++
−=
= νν
ν 111
21
224 2
2
22
220
ba
abLn
bab
abLn
DbQ
rdwd
br
Para b muy pequeño en el límite, b2 Ln b/a tiende a cero y la flecha w(r) puede escribirse como:
( ) ( )
+−
++
=arLnrra
DbQ
rw 2220
123
4)(
νν
Placas Circulares 13
valor que coincide con la flecha de una placa circular de radio a simplemente apoyada en su borde exterior bajo una carga puntual Q0 en el centro. Es decir un agujero muy pequeño en el centro de una placa circular no modifica su respuesta estructural. Un caso práctico especialmente interesante surge de combinar los dos casos anteriormente presentados. La situación de la figura se puede simular mediante una placa circular que compatibiliza el movimiento vertical, por medio de una reacción Q , con un elemento vertical que es infinitamente rígido al giro.
0=
+
== brQbrM rdwd
rdwd
( )( )0
111
21
224
111
1
2
2
22
22
222
22
=
−+
+−
++
−
+
+−
+−−
νν
ν
νν
ν
ba
abLn
bab
abLn
DbQ
ab
bbaDMba
de donde se obtiene la relación entre M y Q siguiente:
( )( ) ( )
++
−−
−++
=baLn
ba
ba
baQbM
2
2
2
2
2
21211
112νν
νν
Análisis de Estructuras 14
conocidos Q y M(Q) se obtiene la flecha w(r) de la placa en las condiciones expuestas sumando las expresiones de wM y wQ. 5.3. Placa anular bajo carga uniforme. Siguiendo una técnica de superposición similar a la del apartado anterior y para unas condiciones de contorno de borde exterior simplemente apoyado, podemos determinar la flecha cuando sobre una placa anular, rext=a y rint=b, actua una carga uniforme q.
En una placa circular de radio r=a simplemente apoyada en su borde exterior el momento y cortante en una sección r=b vienen dados para una carga uniforme
por: ( ) ( ) ( ) ( )223162
baqMbqQ brrbr −+== == ν
La superposición de la solución de la placa circular completa con la anular cargada con -M y -Q en el rango a >r> b, satisface en r=b las condiciones de borde libre M=0 y Q=0. Por lo tanto la solución de la flecha para una placa anular a>r> b se obtiene sumando las soluciones siguientes:
(r)w + (r)w + )(rw = w(r) QMb)r(ao ≥≥
Placas Circulares 15
EJEMPLO Nº 1 En la placa circular de radio 5 m. de la figura sometida a una carga puntual de 10 T. en el centro E=2 . 106 T/m2 t=0,3 m. = 0 SE PIDE: Determinar la flecha w(r) : a) Cuando el perimetro exterior de la placa está simplemente apoyado. b) Cuando el perimetro exterior de la placa está empotrado. SOLUCION El cortante en una sección r viene dado por:
Q(r) = P/2 π r
=
rdwdr
rdd
rrddD
rP 1
2π
Integrando 3 veces esta ecuación diferencial ordinaria se obtiene una solución del tipo:
+++= 32
21
2
41
2)( CrLnCrCrLnr
DPrwπ
determinando las tres constantes de integración imponiendo las condiciones de borde.
BORDE EXTERIOR
a) SIMPLEMENTE APOYADO
0=C+LaC+aC+4La a 0 =)w(r 32
21
2
a=r
00242
0 22
100
==
+++=
→
=
Cr
CrCrrLnrlim
rdwd
rr
( ) 0242
243
20 11 =
+++++== aCaaLna
aC
aLnM arr
ν
)+(1 8)+(3a=C
)+(1 8+3-
4a L-=C
2
31 νν
νν
Análisis de Estructuras 16
( ) ( )
+
+−+=
νν
π 123
8)( 222 ra
arLnr
DPrw
( )
−+= 22 2533,1
5000085,0)( rrLnrrw
La flecha máxima se produce en el centro y vale 0,0028 m. b) EMPOTRADO
0=C+LaC+aC+4La a 0 =)w(r 32
21
2
a=r
00242
0 22
100
==
+++=
→
=
Cr
CrCrrLnrlim
rdwd
rr
00242
0 21 ==
++=
=
CaCaaLnardwd
ar
8a=C
81-
4La-=C
2
31
−+=
28)(
222 ra
arLnr
DPrw
π
( )
−+= 22 255,0
5000085,0)( rrLnrrw
La flecha máxima se produce en el centro de la placa y vale:
w max = 0,0011 m.
Placas Circulares 17
EJEMPLO Nº 2 En la placa circular de la figura SE PIDE determinar
1. la flecha 2. los esfuerzos 3. las reacciones.
SOLUCION
)(00 ardrdrqrdFdMdrdrqdF −=== ϕϕ
[ ]4
52
85
2
20
20
20
5,120
2
00
5,1aqaqrqddrrqF
a
a
ar
ar
ππϕϕ π
π
==
== ∫∫
=
=
Esta fuerza está repartida en toda la circunferencia de radio a por lo que la fuerza por unidad de longitud viene dada por:
aqa
Ff 085
2==
π
a
1,5 a
q0
a 1,5 a
q0
a 1,5 a
M
q0
a
F
r dϕ
r
dr
q0
Análisis de Estructuras 18
( ) [ ]3
224
423
30
30
20
5,1230
2
00
5,1aqaqarrqddrarrqM
a
a
ar
ar
ππϕϕ π
π
==
−=−= ∫∫
=
=
Este momento está repartido en toda la circunferencia de radio a por lo que el momento por unidad de longitud viene dado por:
206
12
aqa
Mm ==π
En estas condiciones:
202 02
0rqQrQrq rr −==+ ππ
( )
=−
drrdwr
drd
rdrd
Drq 1
20
( ) ( )
=+−
=+−
drrdwr
drdrC
Drq
drrdwr
drd
rC
Drq
13
01
20
41
4
( ) ( )
drrdw
rCrC
Drq
drrdwrCrC
Drq
=++−=++−1
216216 213
02
21
40
( ) ( ) 322
14
032
21
40
64464CrLCrC
DrqrwrwCrLCrC
Drq
++′+−==+++−
Las constantes C’1, C2 y C3 se determinan en función de las condiciones de contorno:
( ) 00 20
=→=
=C
drrdw
r
Qr
q0
a
q0 a2 /6
q0 5 q0 a /8
Placas Circulares 19
( )[ ] 32
14
064
00 CaCDaqrw ar ++−=→==
( )[ ] ( )6
216
3)0(6
20
12
02
220 aqCDaq
drrwdDsiaqrM
ararr −=′+−=
=→−=
== ν
Daqa
Daq
DaqC
DaqC
192966496
402
20
40
32
01 =−==
( ) [ ]422404
022
04
0 231921929664
ararD
qD
aqrDaq
Drqrw −−−=++−=
( ) [ ]42240 23192
ararD
qrw −−−=
( )D
aqrw192
04
0==
( ) [ ]
−==
==−−=
Daq
ar
rar
Drq
drrdw
a 24
003
483
0
0220
ϕ
ϕ
( ) [ ] ( )
−==
===−−=
6
480
0948 2
0
20
2202
2
aqMar
aqMrsiar
Dq
drrwd
r
rν
( ) [ ] ( )
−==
===−−=
24
480
0348
12
0
20
220aqMar
aqMrsiar
Dq
drrdw
rϕ
ϕν
−==
==−=
2
00
2 00 aqQar
QrrqQr
rr
492
89
285 2
0000 aqarRaqaqaqQfr rπ
π ===+=−=
que coincide con: 2
0 23
= aqR π
Análisis de Estructuras 20
000-0,0361
-0,1296-0,2601-0,4096-0,5625-0,7056-0,8281-0,9216-0,9801-1 -0,7961
-1,5696
-2,3001-2,9696
-3,5625-4,0656
-4,4681-4,7616-4,9401-5
0,21720,35040,41990,44370,43750,41440,38520,35840,3399
0,3333
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Figura 1. Flecha x q0/64 D:Simplemente Apoyada, Empotrada yCon voladizo