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E = E E E E E E e Ee Ee E e E e Ee E e E e E MECNICA CUNTICA/Teora de los Slidos h.g.valqui 2014-1Referencias Bibliogrficas: (todos estos libros estn en la biblioteca de la Facultad) Ashcroft-Mermin, Solid state Physics (es la referencia principal) Snchez del Ro, Mecnica Cuntica (captulos 29,, 32) Cohen, Quantum Mechanics (Complementos ) Omar, Kitell, Introduction Kittel, Quantum Mechanics Feynman, Vol III (captulos 13, 14 , 21 ) Park, D. Introduction to QT, chap 13 H.G.Valqui, Apuntes de Mecnica Cuntica/Teora de los SlidosNOTAS: i) En el texto nos referiremos a algunos dibujos del libro de Ashcroft-Mermin, que los indicaremos con A-M , ii) Por comodidad tipogrfica, en el presente texto se escribe la constante simplemente como h.

I) CRISTALES Y LA RED DE BRAVAIS. La red de Bravais directa, RdBD, constituida por la estructura de los iones. La RdBR (recproca), constituida por los vectores de las ondas planas peridicas. Los vectores primitivos, la base primitiva; la clula unitaria primitiva, los planos de Bragg, la celda de Wigner-Seitz; planos de la red. La red de Bravais Recproca. Teorema de conexin entre los planos de la red y los vectores recprocos. ndices de Miller. Primera zona de Brillouin. La n-sima zona.

01) La RED de BRAVAIS. Es un arreglo peridico tridimensional (tambin podra ser 1 -dimensional, 2-dimensional, o de mayor dimensin. Pero la que nos interesa es la tridimensional). Para ella existen 3 vectores primitivos a1, a2, a3 linealmente independientes, de longitudes 1 , 2 , 3 , (que podran ser iguales entre s), de manera que cualquier punto R de la red puede ser escrito como R = n1a1 + n1a2 + n3a3 , donde n1 , n2 , n3 son nmeros enteros. La eleccin de los vectores primitivos no es nica. As, por ejemplo, si consideramos un Sistema de Referencia rectangular, cuyos vectores unitarios son los vectores e1, e2 , e3 , entonces: i) Para la RdB conocida como de cuerpo centrado (1/8 de in en cada uno de los vrtices de un cubo, ms un in en el centro) dos posibles ternas de vectores primitivos son: i) a1 = a e1 , a2 = a e2 , a3 = (a/2)(e1 + e2 + e3) ii) a1 = a( e1 + e2 + e3)/2 , a2 = a(e1 e2 + e3)/2 , a3 = a(e1 + e2 e3)/2

002022112202020222220200211000121011101110E1) Exprese los vectores primitivos ak en funcin de los ak, y recprocamente.

112222121101000110011211

FIG. Celda Convencional para la celda cbica de cara centrada, y la correspondiente celda primitiva (una copia de esta se muestra a la derecha). Por comodidad de escritura se ha tomado un cubo de lado 2 unidades. Las ternas de nmeros son coordenadas. El volumen de la celda convencional es 4 veces el de la celda primitiva.

Por supuesto que los cristales no constituyen una red infinita, sino una finita. Pero un cristal macroscpicamente pequeo est constituido por un nmero de iones del orden de 1022 ; y se asume que los iones no muy cercanos a la superficie del cristal macroscpico no son sensiblemente afectados por las caractersticas de los bordes del cristal. As que mientras no consideremos los iones vecinos a los bordes, podemos asumir que ellos pertenecen a una red infinita.NOTA. Una RdB est constituida por iones; pero cada in est bien localizado por un vector posicin, de manera que en vez del conjunto de iones podemos considerar el conjunto de los vectores que los caracterizan. En tal sentido se puede asumir que una RdB est constituida por un conjunto de vectores discretos. A veces es conveniente usar las dos representaciones simultneamente, mientras ello no produzca confusin.02) Cldas Unitarias Primitivas. Llamamos Celda Unitaria Primitiva a la figura volumtrica conexa (es decir, sin huecos) que: i) Encierra a un nico in en su interior, ii) Trasladada por vectores de la red, puede cubrir todo el espacio, sin vacos ni superposiciones (como si fuesen especie de ladrillos). Para una cierta RdB se pueden construir un nmero indeterminado de celdas unitarias primitivas (Ver pgs. 71 y siguientes de A-M). La celda primitiva oficial es la llamada celda de Wigner-Seitz, que contiene toda la simetra de la red y que para cada punto A de la red se determina de la siguiente manera: i) Se considera el punto B de la red ms cercano a A , y se traza el plano mediatriz del segmento AB, ii) Si C es el siguiente punto ms cercano (pudiendo ser |AB| = |AC|) se traza el plano mediatriz del segmento AC, iii) As se contina rodeando al punto A de planos mediatrices hasta encerrar al punto A en una poliedro, iv) iv) La celda de W-S es el poliedro cerrado en cuyo interior se encuentra A . Por ejemplo, para al caso de la RdB cbica de cuerpo, bcc, centrado se obtiene un octaedro (Ver pg. 74 de A-M). {En el caso de la red cbica de cuerpo centrado se obtiene un octaedro regular truncado en cada vrtice} A los planos mediatrices del segmento que une dos puntos de la red se los suele llamar planos de Bragg.E2) Determine las ecuaciones de los planos de Bragg de la celda de W-S de una red cbica de cuerpo centrado.E3) Verifique que una celda de Wigner-Seitz de un cierto punto A de la red se puede definir como el conjunto de puntos del espacio R3 que pueden conectarse con A sin atravesar ningn plano de Bragg.E4) Definimos la celda W-S-1 como la celda de Wigner-Seitz, definida ms arriba. Ahora definimos la celda W-S-2 al conjunto de puntos de R3 que pueden conectarse con el punto A atravesando slo un plano de Bragg. En general, definimos la celda W-S-n al conjunto de puntos de R3 que pueden conectarse con el punto A atravesando solamente n 1 planos de Bragg. (Ver A-M p.164 )03) Planos de la red. Consideremos 3 puntos de la red, no colineales, R1 , R2 , R3 ; ellos determinan un plano de ecuacin r = R1 + R2 + R3 , con nmeros reales + + = 1. Se puede demostrar que dicho plano contiene infinitos puntos de la RdB. Tambin se demuestra que dado un plano, P, de la red, existe una familia de planos de la red, paralelos al plano P , que son equidistantes entre s. Por supuesto que dado cierto punto R de la red, existen otros pares de puntos de la red de manera que el terceto sea no colineal; entonces por R pasan muchos planos de la red.E5) Calcule la distancia al origen del plano determinado por R1 , R2 , R3 .E6) Determine las condiciones que deben satisfacer los coeficientes , , , para que los puntos del plano sean puntos de la red. {p, q, t Z entonces tambin debe ser p + q + t Z}E7) Demuestre que por un punto de una RdB pasan infinitos planos de dicha RdB.{Mantenga, por ejm. R1 fijo}

04) La RED RECPROCA.Consideremos la onda plana ei kr ; elijamos los vectores de onda K que den valores peridicos a dicha onda, es decir, tales que ei K(r+ R) = ei Kr , o tambin ei KR = 1 , para cualquier punto R de la red. Se puede demostrar que los vectores K tambin constituyen un espacio vectorial discreto, es decir, una segunda RdB. As, para cada RdB DIRECTA existe una RdB RECPROCAE8) Verifique que los vectores K constituyen una RdB.E9) Verifique que si los vectores a1 , a2 , a3 , son vectores primitivos de la red directa, entonces los vectores b1 = (2/det) a2 a3 , b2 = (2/det) a3 a1 , b3 = (2/det) a1 a2 , con det a1 a2 a3 , son vectores primitivos de la red recproca; es decir, para todo vector recproco K existen 3 enteros m1 , m2 , m3 de manera que K = m1b1 + m2 b2 + m3 b3 ,E10) Verifique que: i) (b1 b2 b3) (a1 a2 a3) = (2)3 , ii) aj bk = 2 j k E11) Verifique que la red recproca de una red recproca es la correspondiente red directa.E12) Sean las redes correspondientes a los cristales cbicos simples, los cbicos de cuerpo centrado, bcc, y cbicos con cara centrada, fcc. Para cada una de dichas redes construya una terna primitiva y la correspondiente terna primitiva recproca.

P x Ok P05) TEOREMA 1. Para cada familia de planos de una RdB, separados por la distancia existen vectores recprocos (de dicha red) perpendiculares a los planos de la familia; el ms corto de tales vectores tiene longitud K = 2/d. Recprocamente, dado un conjunto de vectores recprocos existe una familia de planos (de la red) paralelos y separados por la distancia 2/Kmn . En efecto, Sea x un punto de un plano P , con vector normal unitario N = k/k ; la ecuacin del plano ser xN = |OP| = distancia de P al origen. Si, por otra parte, x es un punto de otro plano P , paralelo a P , su ecuacin ser xN = |OP | ; entonces la distancia entre tales planos ser = |PP | = |OP| |OP | (debe asumirse el signo positivo), es decir, (x x)N = , donde x y x son puntos arbitrarios de cada uno de los planos correspondientes. Si R es un vector de una RdB, que conecta a dos puntos de dos planos de una familia de planos de la red, tendremos que RN = kR = k . Si K es un vector recproco, tendremos que ei KR = 1 , luego KR = 2m , donde m es un entero, es decir, 2m = K m(2/K) = ser la distancia entre los dos planos. Para m = 0 se obtiene que los dos planos coinciden; si los planos son diferentes, la distancia mnima entre ellos ser = (2/K) , de donde K = 2/ el valor mnimo de la longitud de los vectores recprocos perpendiculares a la familia de planos en consideracin. Por supuesto que la distancia entre planos no vecinos ser m , con m > 1.

1) Considere una red constituida por cubo que tienen un in en cada vrtice, ms un in en el centro. D las ecuaciones de los planos que forman la celda de Wigner-Seitz correspondiente. 2) Para la red cristalina anterior construya la correspondiente Primera Zona de Brillouin.3) Por otro lado si {K} es un conjunto de vectores de una red recproca, entonces para los puntos R de la red directa tendremos que ei KR = 1 , de donde KR = 2m , siendo m es un entero (positivo) . Puesto que NR = es la distancia del plano al origen o , si R conecta a dos planos, P1 y P2 ,es la distancia entre dichos planos, entonces KR = | P1 , P2| K = 2m . Para dichos planos, el menor valor que de KR se obtiene para m = 1 ; y cuando los planos sean vecinos inmediatos se obtiene el menor de K , es decir, Kmn ; de donde | P1P2|vecinos inmediatos = 2/Kmn , que ser la separacin entre los planos adyacentes de la familia caracterizada por el sub-espacio de vectores K paralelos entre s.06) Primera Zona de Brillouin. La RRdB es tambin una RdB constituida por vectores (llamados vectores recprocos), que dado un Sistema de Referencia, pueden ser considerados como los vectores posicin de ciertos puntos, y por lo tanto, la RRdB (como en el caso de RdBD) pueden ser considerado como un espacio de vectores o un espacio de puntos, segn convenga. As, para cada punto de la RRdB podemos construir una celda de Wigner-Seitz, que en este caso recibe el nombre de Primera Zona de Brillouin, ZB-1. As, por ejemplo:i) RdB cbica de cuerpo centrado; su RRdB es la RdB cbica de cara centrada, y recprocamente, la RdB fcc es la RRdB bcc; entoncesii) La ZB-1 de la RdB bcc es el octaedro que es la celda de W-S de la RdB fcc. Anlogamente, la ZB-1 de la RdB fcc es el dodecaedro que es la celda de W-S de la RdB fcc, (ver A-M p.89).Tambin se pueden construir la segunda, tercera,, n-sima Zona de Brillouin de una red directa como la WS-2, WS-3,, WS-n de la correspondiente red recproca.

E13) La red recproca es un espacio discreto, Cunto vale el ngulo mnimo que pueden formar dos vectores recprocos?07) ndices de Miller de una familia de planos de la red. Todos los planos de una familia de planos estn caracterizados por un nico vector normal unitario N = K/K , pero tambin estn caracterizados por el vector recproco Kmn , que corresponde al plano ms cercano (en sentido positivo) al origen del SdR elegido. En dicho SdR primitivo podemos escribir las coordenadas (h, k, ) de dicho vector Kmn = h b1 + k b2 + b3 , entonces, dichas coordenadas, que reciben el nombre de IdM, caracterizan bien a una familia de planos- Es claro que los IdM son nmeros enteros, dependientes del Sistema de Referencia elegido.E14) i) Verifique que los nmeros enteros de IdM son primos entre s , ii) Verifique que para un plano caracterizado por los ndices (h, k, ), existe otro plano caracterizado por los ndices (h, k, ) , iii) Reconozca alguna caracterstica geomtrica notable de cada una de las familias de planos con IdM (1 , 2 , 10100) y (1, 101000, 10100) , iv) D, con aproximacin de trilloncimas cifras decimales, las longitudes de los correspondientes Kmn de la dos familias anteriores. E15) Considere el plano Po , cuya distancia al origen primitivo elegido es |OPo| = 2/K ; dicho plano intersecar a los ejes de coordenadas de la RdB en los puntos x1 , x2 , x3 ; verifique que h x1 = k x2 = x3 , donde h, k, son los correspondiente IdM. {un plano de normal K/K caracterizado por los IdM h , k , , tiene ecuacin rK = A , donde A/K es la distancia del plano al origen }FIN del CAPTULO I

PARA CONSTRUIR LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES EN DOS DIMENSIONES1 0.11 11.22 20.23 21.54 22 = 85 30.36 31.107 32 = 138 40.4941.1710 33 = 1811 42 = 2012 43.513 50.513 51.2614 52 = 2915 44 = 3216 53.3417 60.61861.3719 62 = 4020 54.4121 63.4522 70.723 55.5024 ..71.5024 64.5225 72.5326 73.5827 65.6128 80.829 74.6530 ..81.6530 82.6831 66.7232 83.7333 75.743484.8035 90.936 91.8237 76.8538 ..92.8538 85.8939 93.904094.9741 77 = 9842 86.1043 ..100.1043 101.10144 102.10445 95.10646103.10947 87.11348 104.11649 96.11750105.12551 88.12852 97.13053 106.13654 98.14555 107.14956 99.16257 108.16458 Son 58 polgonos diferentes: i) Los de la forma 0 n , 0 n , n 0 , n 0 dan cuadrados , ii) Los de la forma x x , x x , x x , 1 x x tambin dan cuadrados , iii) De la forma m n , dan octgonos.Los cuadrados y octgonos se obtienen de la construccin de las correspondientes rectas mediatrices. Cmo se procede en el caso siguiente? Consideremos los polgonos generados por los vrtices (3 , 5) y (1 , 6) , cuya distancias al centro son 34 y 37 , respectivamente, que son para x > 0 : j) el arco de los 3 segmentos de (1/2 , 3) a (3 , 1/2) a (3 , 1/2) a (1/2 , 3) y jj) el arco de los 3 segmentos de (3/2 , 5/2) a (5/2 , 3/2) a (5/2 , 3/2) a (3/2 , 5/2) donde el segmento de (5/2 , 1/2) a (5/2 , 1/2) es ms cercano al origen que el segmento de (3 , 1/2) a (3 , 1/2). Por supuesto que tal cosa se repite en los otros tres lugares simtricos.Al parecer se procede as: A) Se construye la W-S-1 , B) Para construir la segunda zona NO se toman necesariamente los siguientes puntos ms cercano, SINO: los puntos ms cercanos que no generen planos mediatrices que invadan la zona W-S-1. En general, para construir la W-S-n+1 se toman los siguientes puntos ms cercanos que no generen planos mediatrices que invadan W-S-n. Ver pgs 163 y 173 de A-M.Ver ps 218, 219 de J.S. Blakemore, Solid state Physics, 2d Editioj.

1) Construya, para una red de cara centrada (8 + 6 iones) dos ternas de vectores primitivos, y compare los volmenes2) Las ecuaciones para los planos que, para una red de cuerpo centrado (8 + 1 iones) que forman la correspondiente celda de Wigner-Seitz3) Dados 3 puntos no co-lineales de una RdB, verifique: i) Que dicho plano contiene infinitos puntos de la red, ii) Para cada plano existe una familia de vectores recprocos que le son perpendiculares, iii) Determine la menor longitud de l vector recproco perpendicular { x = p(R1 R2) + q(R2 R3) + s(R3 R1) , si p, q, s enteros x = R }4) Dado los 3 vectores primitivos de una red directa, construya los vectores primitivos de la red recproca. {dados a1 , a2, a3 , R = j1 a1 + j2 a2 + j3 a3 , j1 , j2 , j3 enteros E(i aj bj) = 1 aj bj = 2mj , mj entero}5) Sea K = m1b1 + m2b2 + m3b3 , Ko = m1b1 + m2b2 + m3b3 , con mj = mj/MCD , Ko es de longitud mnima6) i) Reconozca alguna caracterstica geomtrica notable de cada una de las familias de planos con IdM (1 , 2 , 10100+p) y (1, 1010000+ q, 10100+ p) , 5 < p, q