LÍNEAS DE ESPERA (TEORÍA DE COLAS)

Ejemplo 1. En un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora:  Dados A = 9 clientes por horaS = 12 clientes por hora  Entonces:

Lq=A2

S (S-A )= 92

12 (12−9 )=2.25 clientes

W q=9

12(12-9 )=0.25 horas o 15 minutos

Ls=9

12-9=3 clientes

W s=1

12-9=0.33 horas o 20 minutos

U= AS

= 912

=0.75 ó 75%

P=(Ls>n)=( AS )

n+1

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema (o tres o más esperando en la cola).

Ejemplo 2. Se está estudiando un muelle de carga y descarga de camiones para aprender cómo debe formarse una brigada. El muelle tiene espacio sólo para un camión, así es un sistema de un servidor. Pero el tiempo de carga o descarga puede reducirse aumentando el tamaño de la brigada.Supóngase que puede aplicarse el modelo de un servidor y una cola (llegadas Poisson, tiempos de servicio exponenciales) y que la tasa promedio de servicio es un camión por hora para un cargador. Los cargadores adicionales aumentan la tasa de servicio proporcionalmente. Además, supóngase que los camiones llegan con una tasa de dos por hora en promedio y que el costo de espera es de $ 20 por hora por un camión. Si se le paga $ 5 por hora a cada miembro de la brigada, ¿Cuál es el mejor tamaño de esta?Datos:A = 2 camiones por hora.S = 1 camión por persona.Cw = costo de espera = $20 por hora por camión.CS = costo de servicio = $ 5 por hora por persona.  Ahora sea k = número de personas en la brigada. Se busca k tal que la suma de los costos de espera y servicio se minimicen: Costo total = CwLS + k CS

Las pruebas deben de empezar con tres miembros de la brigada, ya que uno o dos no podrían compensar la tasa de llegadas de dos camiones por hora. Para una brigada de tres, la tasa de servicio es de tres camiones por hora y puede encontrarse Ls con la siguiente ecuación:

  Ls=

AS-A

  De la misma manera, para una brigada de cuatro:

 Ls=

24-2

= 1 camión

Costo total (4)=(20)(1)+(4)(5)=$40El costo es menor, por tanto se sigue adelante.Para una brigada de cinco:

Ls=2

5-2= 0.67 camión

 El Costo total(3 )=Cw Ls+kC s

Costo Total(3)=(20)(0.67)+(5)(5)=$38.33Este todavía es menor:

 Ls=

26-2

= 0.5 camión

 El Costo total(3 )=Cw Ls+kC s

Costo Total(3)=(20)(0.5)+(6)(5)=$40Como este costo es mayor que el de la brigada de cinco, se rebasó el límite inferior de la curva de costo; el tamaño óptimo de la brigada es cinco personas.

Ejemplo 3.Considérese un restaurante de comida rápida con un menú limitado. El restaurante se está diseñando para que todos los clientes se unan a una sola línea para ser servidos. Una persona tomará la orden y la servirá. Con sus limitaciones, la tasa de servicio puede aumentarse agregando más personal para preparar la comida y servir las órdenes.Esto constituye un sistema de un servidor y una cola. Si las llegadas y salidas son aleatorias, puede aplicarse el modelo de una cola. Supóngase que la administración quiere que el cliente promedio no espere más de dos minutos antes de que se tome su orden. Esto se expresa como: Wq = 2 minutos Supóngase también que la tasa máxima de llegadas es de 30 órdenes por hora.

W q=A

S(S-A )arreglando términos,

S (S−A )= AW q

S 2−AS− AW q

=0

 Como la tasa de servicio debe ser mayor que la tasa de llegadas, puede descartarse la solución negativa. Entonces:

TOMAS RAZIEL ROSAS CRUZ

S= A2

+√ A2

4+ A

W qPara este ejemplo, se supuso:A = 30 ordenes por hora.Wq= 2 minutos o 0.033 horasEntonces:

S= 302

+√ (30 )2

4+ 300 .033

=15+ 33. 5=48 . 5 órdenes por hora

Para cumplir los requerimientos, se necesita una tasa de casi 50 órdenes por hora. Si, por ejemplo, una brigada de cinco, pueden manejar 45 órdenes por hora y una de seis puede procesar 50 por hora, entonces sería necesario tener la brigada de seis.

Ejemplo 4:Supóngase un lavado automático de autos con una línea de remolque, de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como en una línea de ensamble. Una instalación de este tipo tiene dos tiempos de servicio diferentes: el tiempo entre autos y el tiempo para completar un auto. Desde el punto de vista de teoría de colas, el tiempo entre autos establece el tiempo de servicio del sistema. Un auto cada cinco minutos da una tasa de 12 autos por hora. Sin embargo, el tiempo para procesar un auto es el tiempo que se debe esperar para entregar un auto limpio. La teoría de colas no considera este tiempo.Supóngase que el lavado de autos puede aceptar un auto cada cinco minutos y que la tasa promedio de llegadas es de nueve autos por hora (con distribución Poisson). Sustituyendo:

Lq=(9)2

2 (12)(12−9)=1.125 autos

W q=A

2S (S−A )= 92(12 )(12−9

=0 .125 horas ó 7 .5 minutos

Ls=A [ 2S-A ]

2S (S−A )=9 [2(12 )−9 ]2(12 )(12−9)

=1.875 autos

W s=AS

= 912

=0 .75 o 75%

Ejemplo 5. Considérese la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco, ¿cuántas copiadoras se deben instalar?Se usa prueba y error para resolver este tipo de problemas, no se encuentra una solución general como se hizo para el modelo de un servidor. Se tratará primero con dos copiadoras, después con tres, y así hasta que se satisfaga el criterio del tiempo de espera.¿Cuál es la tasa de servicio? Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto. Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un 70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6 estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto.Se comenzará con dos copiadoras, ya que una no sería suficiente.A = 1 por minuto.S = 0.6 por minuto.N = 2

Lq=( A

S )3

4-( AS )

2=( 10.6 )

3

4-( 10.6)2=3.8 estudiantes

W q=Lq

A=3.81

=3.8 minutos por llegada

Esto excede el criterio del máximo de 2 minutos de espera para el estudiante promedio. Se tratarán tres copiadoras.

Lq=( A

S )4

(3− AS )[6+ 4A

S+( A

S )2]

=( 10 .6 )

4

(3− 10.6 )[6+ 41

0.6+( 10.6 )

2]=0.31

W q=Lq

A=3.81

=3.8 minutos por llegada

Se necesitan tres copiadoras. La utilización de cada una será:

U= ANS

= 13(0.6 )

=0. 56 o 56%

 

TOMAS RAZIEL ROSAS CRUZ

PERTCPM

Usted y varios amigos van a preparar lasaña para la cena. Las tareas que deberían realizar, sus tiempos (en minutos) ya las restricciones de precedencia son:

Número

Actividad Tiempo

Tareas precedentes

1 Comprar el queso mozzarella

30

2 Rayar el mozzarella 5 13 Batir 2 huevos 24 Mezclar huevos y queso

ricotta3 3

5 Picar cebollas y hongos 76 Cocinar la salsa de tomate 25 57 Hervir agua en una vasija 158 Hervir la pasta de lasaña 10 79 Enjuagar la pasta de lasaña 2 8

10 Unir los ingredientes 10 9, 6. 4, 211 Precalentar el horno 1512 Hornear la lasaña 30 10, 11

a) Dibuje un diagrama PERTb) Dibuje un diagrama CPMc) Encuentre la ruta crítica y calcule la holgura para cada actividad.

No de Actividades

12

Id Actividades Duración Precedencia

1 Comprar el queso mozzarella 30

2 Rayar el mozzarella 5 1

3 Batir 2 huevos 2

4 Mezclar huevos y queso ricotta 3 3

5 Picar cebollas y hongos 7

6 Cocinar la salsa de tomate 25 5

7 Hervir agua en una vasija 15

8 Hervir la pasta de lasaña 10 7

9 Enjuagar la pasta de lasaña 2 8

10 Unir los ingredientes 10 9, 6, 4, 2

11 Precalentar el horno 15

12 Hornear la lasaña 30 10, 11

CPM - Método de la Ruta Crítica

Id Actividad Duración Precedencia Inicio Final

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

1 Comprar el queso mozzarell 30 Sí 1 30 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 Rayar el mozzarella 5 1 Sí 31 35### 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 Batir 2 huevos 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 Mezclar huevos y queso rico 3 3 3 5### 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 Picar cebollas y hongos 7 1 7 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 Cocinar la salsa de tomate 25 5 8 32### 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 Hervir agua en una vasija 15 1 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 Hervir la pasta de lasaña 10 7 16 25### 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 Enjuagar la pasta de lasaña 2 8 26 27### 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 Unir los ingredientes 10 9, 6, 4, 2 Sí 36 45### 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 Precalentar el horno 15 1 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 Hornear la lasaña 30 10, 11 Sí 46 75### 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Act No Crítica

Act Crítica

No de Actividades

10

Id Actividades Duración Precedencia

1 Predimensionado de la Madera 3

2 Rodeado de las Piezas 4 1

3 Secado de la Piezas 8 2

4 Hacer las Pegas 1 3

5 Inmunizado de las Piezas 1 3

6 Sacar los Chazos 1 3

7 Ensamblar las Piezas 4 5

8 Pulir 2 7

9 Enchazar 1 7

CPM - Método de la Ruta Crítica

TOMAS RAZIEL ROSAS CRUZ

Diagrama Gantt

Id Actividad DuraciónPrecedencia InicioFinal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1Predimensionado de la Madera 3 Sí 1 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 Rodeado de las Piezas 4 1 Sí 4 7 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3 Secado de la Piezas 8 2 Sí 8 15 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 Hacer las Pegas 1 3 16 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

5 Inmunizado de las Piezas 1 3 Sí 16 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

6 Sacar los Chazos 1 3 16 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

7 Ensamblar las Piezas 4 5 Sí 17 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0

8 Pulir 2 7 Sí 21 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0

9 Enchazar 1 7 21 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

10 Darle Terminado 2 8,9 Sí 23 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2

Act No Crítica

Act Crítica

Act Crítica

TOMAS RAZIEL ROSAS CRUZ