UNIDAD EDUCATIVA “PÉREZ PALLARES”

INSITUTUTO ID DE CRISTO REDENTOR

MISIONERAS MISIONEROS IDENTES

TEORÍA DE ELASTICIDAD

Estudiante:

Verónica Obaco

Curso:

3ero Ciencias “B”

Profesor:

Lic. Xavier Herrera

2013 – 2014LEY DE HOOKE

F = K · ∆l 

RELA

CIÓ

N

Fuerza

Aplicada

Deformación Producida

ESQUEMA

Ley

de

Hooke

RESUMEN

Originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el

alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente

proporcional a la fuerza aplicada  :

Establece la relación entre el alargamiento o estiramiento longitudinal y la fuerza aplicada.

Ley de Hooke establece que el límite de la tensión elástica de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza. Mediante un análisis e interpretación de la Ley de Hooke se estudia aspectos relacionados con la ley de fuerzas, trabajo, fuerzas conservativas y energía de Resortes. Los resortes son un modelo bastante interesante en la interpretación de la teoría de la elasticidad.

Ley de Hooke: “Cuando se trata de deformar un sólido, este se opone a la deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande”

La Ley de Hooke se puede expresar matemáticamente así:

= -k 

K es la constante de proporcionalidad o de elasticidad.  es la deformación, esto es, lo que se ha comprimido o estirado a

partir del estado que no tiene deformación. Se conoce también como

Fórm

ula

el alargamiento de su posición de equilibrio.  es la fuerza resistente del sólido. El signo ( - ) en la ecuación se debe a la fuerza restauradora que

tiene sentido contrario al desplazamiento. La fuerza se opone o se resiste a la deformación.

Las unidades son: Newton/metro (New/m) – Libras/pies (Lb/p).

Si el sólido se deforma mas allá de un cierto punto, el cuerpo no volverá a su tamaño o forma original, entonces se dice que ha adquirido una deformación permanente.

La fuerza más pequeña que produce deformación se llama límite de elasticidad.El límite de elasticidad es la máxima longitud que puede alargarse un cuerpo elástico sin que pierda sus características originales. Más allá del límite elástico las fuerzas no se pueden especificar mediante una función de energía potencial, porque las fuerzas dependen de muchos factores entre ellos el tipo de material.

Para fuerzas deformadoras que sobrepasan el límite de elasticidad no es aplicable la Ley de Hooke. Por consiguiente, mientras la amplitud de la vibración sea suficientemente pequeña, esto es, mientras la deformación no exceda el límite elástico, las vibraciones mecánicas son idénticas a las de los osciladores armónicos.

EJERCICIOS:

1)Si un resorte es presionado por una fuerza de 5 N y lo comprime 2 cm, ¿cuánto se estiraría si es sometido a una fuerza de 7,5 N?

Datos:

F = 5 N

x = 2 cm = 0,02 m

Con esos datos se determina la constante k.

F = kx k = F/x = 5 N / 0,02 m = 250 N/m

Entonces, si la fuerza es F = 7,5 N, el estiramiento sería x = F/k = 7,5 N / 250 (N/m) = 0,03 m

2) Una fuerza de 5 N estira 1,2 cm a un resorte. ¿Qué fuerza lo estiraría 2 cm?

Datos:

Caracteriza

Com

port

amie

nto

de

un M

ater

ial E

lásti

coUnidades

de N/m2.

F = 5 N

x = 1,2 cm = 0,012 m

Primero se halla k.

F = kx k = F/x = 5 N / 0,012 m = 416,67.. N/m

MÓDULO DE YOUNG

ESQUEMA

RESUMEN

El módulo de Young o módulo de elasticidad longitudinal es un parámetro que

caracteriza el comportamiento de un material elástico, según la dirección en la que

se aplica una fuerza. Este comportamiento fue observado y estudiado por el

científico inglés Thomas Young.

Cuando dos fuerzas iguales, pero de sentido contrario, comprimen a un cuerpo, se

dice que éste está sometido a un esfuerzo de compresión. Si las fuerzas estiran el

cuerpo, el esfuerzo es de tracción. Un esfuerzo cambia la longitud de una barra

una distancia ∆L dada por:

Módulo de Young

Donde L es la longitud de la barra y A su sección. E es el módulo de Young, que

nos da el grado de rigidez del material.

El cociente∆L/L≡ se conoce como deformación. La fuerza por unidad de área se

denomina esfuerzo y se denota por σ≡F/A.

El límite elástico es el esfuerzo máximo para el que la deformación es reversible.

El régimen lineal es aquel en el que se verifica la ecuación anterior. Existe un

esfuerzo de rotura para el que el sólido no resiste tanta deformación y se rompe.

El módulo de Young E posee unidades de N/m2.

Materiales lineales

Para un material elástico lineal el módulo de elasticidad longitudinal es una

constante (para valores de tensión dentro del rango de reversibilidad completa de

deformaciones). En este caso, su valor se define como el cociente entre

la tensión y la deformación que aparecen en una barra recta estirada o

comprimida fabricada con el material del que se quiere estimar el módulo de

elasticidad:

Donde:

 es el módulo de elasticidad longitudinal.

 es la presión ejercida sobre el área de sección transversal del objeto.

es la deformación unitaria en cualquier punto de la barra.

Materiales no lineales

Para estos materiales elásticos no lineales se define algún tipo de módulo de

Young aparente. La posibilidad más común para hacer esto es definir el módulo de

elasticidad secante medio, como el incremento de esfuerzo aplicado a un material

y el cambio correspondiente a la deformación unitaria que experimenta en la

dirección de aplicación del esfuerzo:

Donde:

 es el módulo de elasticidad secante.

 es la variación del esfuerzo aplicado

 es la variación de la deformación unitaria

EJERCICIOS:

 2)Si la barra de metal se reduce en 0.00003 metros, encuentra el módulo de young?

Datos

M= 500 kg

diámetro = 5 cm y una altura de 1.4 Metros.

A) Primero anotemos nuestros datos y luego sigamos con la fórmula del Módulo de Young.

Δl = 3 .0 x 10⁵ mm = 500 kgd = 5cm = 0.05 ml = 1.4 m.

Ahora recordemos la fórmula del módulo de Young. F * l

Y = ---------- a * Δl

Nos piden una fuerza y realmente no la tenemos pero la podemos hallar mediante la fórmula de masa por gravedad

p = m * gp = (500 kg ) (9.8 m/s²) = 4900 N

Ahora nos falta el valor del área esa no la tenemos.

Pero la podemos hallar mediante la fórmula siguiente:

a = π * d² / 4

a = π (0.05m)²/4

a = 1.96 x 10¯³ m²

CON ESTOS DATOS PUEDES SUSTITUIR EN LA FÓRMULA Y TE DARÁ EL SIGUIENTE RESULTADO.

Y = 116 666 Mpa

MÓDULO DE CORTE

ESQUEMA

RESUMEN

El módulo de elasticidad transversal, también llamado módulo de cizalladura,

es una constante elástica que caracteriza el cambio de forma que experimenta un

material elástico (lineal e isótropo) cuando se aplican esfuerzos cortantes. Este

módulo de rigidez transversal

módulo de cortadura

módulo elástico tangencial

módulo de elasticidad transversal

segunda constante de Lamé.

Mód

ulo

de C

orte

módulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe destacar los

siguientes: módulo de rigidez transversal, módulo de corte, módulo de

cortadura, módulo elástico tangencial, módulo de elasticidad transversal,

y segunda constante de Lamé.

Para un material elástico lineal e isótropo, el módulo de elasticidad transversal es

una constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En

materiales anisótropos se pueden definir varios módulos de elasticidad

transversal, y en los materiales elásticos no lineales dicho módulo no es una

constante sino que es una función dependiente del grado de deformación.

El módulo de corte (G) se obtiene con la expresión

 , donde t  es el esfuerzo cortante, y  Y es la deformación cortante. El módulo de corte  se correlaciona con el módulo de elasticidad  mediante la siguiente expresión: 

Donde v es el módulo de Poisson con valor de 0.29 tanto para el hierro como para el acero.

Tenacidad de un Metal Frágil (izquierda) y de un Metal Dúctil (derecha).

El módulo de corte mide la resistencia de un material a la deformación de corte. Se calcula mediante la siguiente expresión

EJEMPLOS:

1)Un perno de acero (S = 8.27 x 1010 Pa) de 1 cm de diámetro se proyecta 4 cm desde la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante de 36,000 N. ¿Cuál es la desviación d del perno?

Datos Gráfico

S=8.27∗1010Pa 1cm de diámetro

Proyección= 4cm

F= 36.000N

Incógnitas

d=?

Solución

A=π D2

4=π ¿¿

Área : A=7.85∗10−5m2

S= F /Aφ

=F / Ad /l

= FlAd; d= Fl

AS

d=(36.000N )(0.04m)

(7.85∗10−5m2 )(8.27∗1010Pa)

2)Una fuerza de corte de 2600N se distribuye de manera uniforme sobre la sección transversal de un alfiler de 1.3 cm de diámetro, ¿cuál es el esfuerzo cortante?

Datos: Incógnita:

F= 2600N T= ¿

D= 1.3

En este caso concreto de la pregunta: 

τ = F/A = F / (π r²) = F / (π d²/4) = 4 F / (π d²) ====== ======= ==================== 

donde τ es la letra griega "tau", usada para tensión de corte. 

d = 0.222 mm

Módulo Volumétrico

τ = 4 . 2600N / (3,1416 . 0,013² m²) = 19588255 Pa 

τ ≈ 19,6 MPa 

MÓDULO VOLUMÉTRICO

ESQUEMA

RESUMEN

Expresa la comprensibilidad de un líquido, éste es importante cuando se involucran cambios en la temperatura, un caso es la convención libre; existe un decrecimiento en el volumen de v-∆v cuando la presión del volumen unitario del líquido se incrementa en ∆p, se denota por la siguiente ecuación: k= (-∆p)/(∆v/v) (2)

Cifra que expresa la resistencia de un material a los cambios elásticos, relación entre la presión que actúa sobre el material y el cambio fraccional que se produce en su volumen dentro de los límites de elasticidad del material. También llamado coeficiente de estabilidad volumétrico.

B=esfuerzo volumétricodeformación volumétrica

=−F / AΔV /V

Las unidades siguen siendo pascales (Pa) pues la deformación es adimensional.

Cam

bios

de

la T

empe

ratu

ra

Coeficiente de Estabilidad Volumétrico

Unidades = Pascales (Pa)

EJERCICIOS:

1)Una prensa hidrostática contiene 5 litros de aceite. Encuentre la disminución en volumen del aceite si se sujeta a una presión de 3000 kPa. (Suponga que B = 1700 MPa.)

Disminución en V; mililitros (mL):

2)Si el módulo de elasticidad volumétrica del agua es E=300.000 Psi ¿Que presión se necesita para reducir su volumen en 0.5%?Datos:

1.- ∆VV

= -0.5% = 0.005%

E= 300.0002. – S que

E=∆ P∆VV

=¿− ∆ P(−0.005) =300000

∴ P= 15000 P

FUENTES DE CONSULTA

V = -8.82 mL

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_Ilustrada/Ciencias/Ley_de_Hooke.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Módulo_de_Young

http://www.esacademic.com/dic.nsf/eswiki/840632

http://www.slideshare.net/Diego_Valarezo/ejercicios-de-elasticidad-fsica

http://www.elconstructorcivil.com/2011/01/modulo-de-corte-o-de-rigidez.html

http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/Applets/Corte/Corte.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Módulo_de_cizalladura

http://es.wikipedia.org/wiki/Módulo_de_compresibilidad