TEORIA DE ESTRUCTURASMETODO DE CROSS

ING. WILLIAM LOPEZ

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TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS - HISTORIA El Método de Distribución de Momentos o

Método de Cross, es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy Cross. Publicado por primera vez en 1.930en una revista de la American Society Civil Engineering; el método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, suficiente para efectos prácticos. Desde esa fecha hasta que las computadoras comenzaron a ser usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de distribución de momentos fue el mas usado.

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TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS - INTRODUCCIÓN

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En el Método de Distribución de Momentos cada articulación de la estructura que se va a analizar, es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremo fijos. Después cada articulación fija es secuencialmente liberada y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no esta en equilibrio) son distribuidos a miembros adyacentes hasta que el equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos desde el punto de vista matemático puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por iteraciones.

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO Para la aplicación del método de cross deben

seguirse los siguientes pasos: 1) Momentos de “empotramiento” en extremos

fijos: son los momentos producidos al extremo del miembro por cargas externas cuando las juntas están fijas.

2) Rigidez a la Flexión: la rigidez a la flexión (EI/L) de un miembro es representada como el producto del Modulo de Elasticidad (E) y el segundo momento de área, también conocido como Momento de Inercia (I) dividido por la longitud (L) del miembro, que es necesaria en el método de distribución de momentos, no es el valor exacto pero es la razón aritmética de rigidez de todos los miembros.

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TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO 3) Factores de Distribución: pueden ser considerados

como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de sus miembros.

4) Factores de Acarreo o Transporte: los momentos no balanceados son llevados sobre el otro extremo del miembro cuando la junta es liberada. La razón de momento acarreado sobre el otro extremo, al momento en el extremo fijo del extremo inicial es el factor de acarreo.

5) Convención de Signos: un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la convención de signos usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianos.

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TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO Ejemplo de calculo Nº 1: Analizar la viga estáticamente indeterminada mostrada

en la figura. Donde P= 10.000 Kg, q= 1000 Kg/m y L= 10 mts, Rigideces a Flexión: AB= EI,BC= 2EI, CD= EI

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a bL

P

L

q

L/2 L/2L

P

A B C D

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO Solución del Ejemplo de calculo Nº 1:

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Paso I: se procede a realizar los cálculos preliminares de los momento en extremos fijos para cada caso tal y como se muestra.

a b

L

P MBMA

-MA= P*b2/L2 MB= P*a2/L2

VA= P*b/L VB= P*a/L

Caso (a)

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO Solución del Ejemplo de calculo Nº 1:

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L

qMBMA

-MA= q*L2/12 MB= q*L2/12 VA= q*L/2 VB= q*L/2

Caso (b)

L/2 L/2

L

P MBMA-MA= P*L/8 MB= P*L/8 VA= P/2 VB= P/2

Caso (c)

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO Solución del Ejemplo de calculo Nº 1:

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Paso II: se procede a la construcción de la tabla de calculo, una vez determinados los Factores de Distribución. Para el calculo de esos factores de distribución debe considerarse la Rigidez Rotacional a un Giro (k) en los casos en que sea la misma 4*E*I/L y también cuando sea un caso como el del ejemplo donde son distintas y seria 3*E*I/L. En esa tabla también se procederá a realizar lo aprendido en ESTATICA sobre los diagramas de Corte y Momento, los cuales nos servirán para el diseño de elementos mas adelante en CONCRETO ARMADO.

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO

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10,2

727

0,727

30,6

667

0,333

30

-14.70

06.3

00-8.

333

8.333

-12.50

012

.500

14.70

07.3

50

-1.45

0-3.

867

-1.93

3

2.033

4.067

2.033

1.017

-555

-1.47

9-73

9

246

493

246

123

-67-17

9-90

3060

3015

-8-22

-11

74

2

011

.570

-11.57

010

.187

-10.18

713

.657

7.000

3.000

5.000

5.000

5.000

5.000

-1.15

71.1

5713

8-13

8-34

734

7

5.843

4.157

5.138

4.862

4.653

5.347

1010

10Lo

ngitu

des

PASO

A PA

SO

Itera

cione

s (D

istrib

ucion

es y

Tran

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? Mom

ento

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Corte

Hipe

resta

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CORT

E

Rigide

ces a

Flex

ionEI

2EI

EI

Facto

r de D

istrib

ucion

Mom

ento

s en E

xtrem

os

Fijos

ab

L

P

L

q

L/2L/2

LP

AB

CD

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS –APLICACIÓN PASO A PASO

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5.843

5.138 4.653

-4.862

-5.347

17.529

1.630 13.075

-11.570 -13.657-10.190

DIAGRAMA DE CORTE Y MOMENTO

-4.157

TEORIA DE ESTRUCTURASMÉTODO DE CROSS BIBLIOGRAFIA: “Strength of Materials” (Resistencia de

Materiales) de Ferdinand L. Singer. HSIEH, Yuan-Yu. (1973). “Teoría Elemental de

Estructuras”. Editorial Prentice Hall Internacional. Madrid, España

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Cross

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