BLOQUE 3: MATEMTICAS DISCRETAS3.1. TEORA DE JUEGOS

La teora de juegos es una herramienta matemtica que analiza las interrelaciones entre dos o ms individuos y busca un modelo de actuacin ptimo.

El estudio de la teora de juegos no se restringe a los juegos usuales, sino que involucra situaciones donde hay competencia; por ejemplo, cuando un empleador y los trabajadores negocian un contrato.

JUEGOUn juego es una situacin competitiva entre personas o grupos, denominados jugadores.

Un juego de dos personas es un juego que tiene solo dos jugadores.

Un juego se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas con consecuencias conocidas. Las reglas definen las actividades elementales o movimientos del juego.

JUEGO SUMA CERO

Se dice que un juego es de Suma cero cuando lo que gana un jugador lo pierde el otro. Son ejemplos de juego de suma cero el cuarenta, el ajedrez, juegos de computadora de dos jugadores.

Un juego con dos jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la perdida de otro se conoce como juego de dos personas y de suma cero.

En un juego, cada jugador tiene un nmero finito de elecciones llamadas estrategias.

ESTRATEGIA

Una estrategia es una regla predeterminada que especifica por completo cmo se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa del juego.3.2. MATRICES DE PAGOSLa matriz de pagos muestra la ganancia (positiva o negativa) que resultara con cada combinacin de estrategias para el jugador 1 (el de las filas).

La matriz de pagos se da de esta manera, ya que la matriz del jugador 2 (el de las columnas) es el negativo de sta, debido a la naturaleza de la suma cero del juego.

Los elementos de la matriz pueden tener cualquier tipo de unidades (dlares, puntos, etc. ) siempre que representen con exactitud la utilidad del jugador 1 con el resultado correspondiente.

Ejercicios:

1. Considerar un juego de igualar monedas entre 2 jugadores Ivn y Carlos, cada uno de los cuales puede elegir cara (C) o escudo (E).Si los dos resultados son iguales (C y C) o (E y E), Ivn gana un dlar a Carlos; por el contrario, si los dos resultados son diferentes (C y E) o (E y C), Ivn pierde un dlar, que paga a Carlos.

Construir la matriz de pagos para el juego que acabamos de describir.2. Construir la matriz de pagos para el siguiente juego: Sonia y Ana muestran simultneamente 1, 2 o 3 dedos una a la otra. Si la suma de dedos mostrados, es par, Ana paga a Sonia esta suma, en dlares. Si la suma es impar, Sonia paga esa cantidad a Ana.3. Escriba la matriz de pagos para un juego de igualar monedas entre dos jugadores Gonzalo y Vanesa, cada uno de los cuales puede elegir cara (C) o escudo (E).Si los dos resultados son (C y C), Gonzalo paga a Vanesa 1 dlar; si ambos resultados son escudo (E y E), Vanesa paga a Gonzalo 2 dlares, si los dos resultados son diferentes (C y E) o (E y C), Gonzalo paga a Vanesa 0,5 dlares.4. Dos nios, Cecilia y Gastn, juegan el siguiente juego: Deben mostrar, simultneamente uno o dos dedos. El pago, en dlares, es igual al nmero de dedos que se muestran. Cecilia gana el juego si el nmero de dedos es par y Gastn gana el juego si el nmero de dedos es impar. Construya la matriz de pagos.5. Dos jugadores Ricardo y Fabin realizan un juego con las siguientes reglas. Ricardo tiene 3 billetes, uno de $ 1, uno de $10 y uno de $50. Fabin tiene un billete de $5 y un billete de $20. Ellos simultneamente y al azar escogen uno de sus billetes. El jugador que selecciona el billete de mayor denominacin, se lleva el billete que muestra el otro jugador. Construya la matriz de pagos.6. Construya la matriz de pagos del popular juego piedra, papel o tijeras. Hay dos jugadores A y B. Si los dos jugadores muestran la misma figura, hay un empate. El ganador de cada etapa gana un punto. 7. La matriz de pagos de un juego es:B

AC1C2

F114 3

F2 6 5

a) Cules son los posibles pagos si A selecciona la estrategia F1?b) Cules son los posibles pagos si B selecciona la estrategia C2?

c) Cul es el pago si A selecciona la estrategia F2 y B selecciona C1?8. Eduardo y Geovanny lanzan una moneda cada uno. La matriz de pagos asociada al juego es la siguiente:Eduardo

GeovannyCE

C3 6

E 21

a) Cul es el pago si los jugadores obtienen escudo?

b) Cul es la mayor ganancia posible para Eduardo?

c) Cul es la mayor prdida posible para Geovanny?

d) Cul es la mayor ganancia para Geovanny?9. La matriz de pagos de un juego es:B

AC1C2C3

F15 34

F2010 7

F3 840

a) Cul es el pago si los jugadores seleccionan las estrategias F2 y C2?

b) Cul es la mayor ganancia posible para el jugador A?

c) Cul es la mayor prdida posible para el jugador B?

d) Cul es la mayor ganancia posible para el jugador B?10. La matriz en dlares de un juego es:B

AC1C2C3

F15 34

F2010 7

D una interpretacin a cada trmino de la matriz de pagos.